专题05 一元函数的导数及其应用（6大经典基础题+6大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题05 一元函数的导数及其应用 导数的定义 1．（21-22高二下·河北承德·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值. 【详解】因为，所以， 故 故选：B 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）设是可导函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3．（23-24高二下·河南驻马店·期末）函数 在处的瞬时变化率为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】直接求导代入即可. 【详解】设，则，则， 则函数在处的瞬时变化率为1. 故选：C. 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】借助导数公式求导后代入计算即可得. 【详解】，当时，有， 故该物体在秒时的瞬时速度为米/秒. 故选：D. 5．（23-24高二下·河南三门峡·期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）关于时间（单位：）的函数满足关系式，则时，弹簧振子瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的意义，先对函数求导，再将代入即可求解. 【详解】根据已知求导得， 则， 所以此时弹簧振子瞬时数度为. 故选：D. 6．（23-24高二上·河南·期末）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】首先得抛物线方程，由导数的运算求得曲率表达式，进而得解. 【详解】由题可知抛物线方程为，即，则， 则该抛物线在各点处的曲率，当时，取最大值. 故选：D. 7．（23-24高二上·河南·期末）一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对求导，令导数为计算即可. 【详解】由题意知，则， 令，则，即该质点瞬时速度为时，时间. 故选: C. 导数的运 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数，（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则. 故选：A 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，且，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据令求出，再由求. 【详解】由题意知，所以， 所以， 又， 所以. 故选：B 3．（23-24高二下·河南郑州·期末）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照导数四则运算法则求导即可． 【详解】． 故选：C． 4．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数,则（    ） A． B． C． D．-3 【答案】C 【分析】两边分别求导,再赋值即可解决. 【详解】两边求导,得,令,即,解得. 故选：C. 5．（23-24高二下·河南洛阳·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则逐项判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 6．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，计算出，结合已知条件即可得解. 【详解】因为，则， 则， 所以，， 所以，，故. 故选：C. 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 导数的几何意义——曲线的切线方程 1．（23-24高二下·河南开封·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程. 【详解】由， 则， 所以函数在点处的切线斜率， 则切线方程为， 即切线方程为， 故选：D. 2．（23-24高二下·河南新乡·期末）若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先应用导数运算律求出导函数再根据斜率相等求参即可. 【详解】由，得，当时， 由，得， 曲线在点处的切线与在点处的切线平行， 则，得. 故选：A. 3．（23-24高二下·河南·期末）已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】函数，求导得，依题意，， 得，显然，因此，所以． 故选：A 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的导数为偶函数可知为偶函数，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】因为在点处的切线方程为，. 又两边求导得：，即为偶函数， 故选：A. 5．（23-24高二下·河南·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为，求出，即切线的斜率，结合点斜式方程，即可得到答案. 【详解】因为，所以，则， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故选：C. 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）点是曲线上任意一点，则点到的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在点处的切线与平行时，点到的距离最小，利用导数求切点坐标，然后由点到直线的距离公式可得. 【详解】记，则， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 易知，当在点处的切线与平行时，点到的距离最小， 设，则，整理得， 解得，则， 此时，点到的距离为. 故选：B 7．（19-20高三下·云南昆明·阶段练习）曲线 在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，求出在时的导数值，从而可求解. 【详解】由，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·河南信阳·期末）曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，切点坐标，即得切线方程. 【详解】记求导得，， 于是，，又， 则曲线在处的切线方程为：，即. 故答案为：. 9．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知曲线在直线的上方，则当曲线上的动点到直线的距离最短时，点的坐标为 【答案】 【分析】作曲线与直线平行的切线，可得该切线切点到直线的距离最短，计算该切点坐标即可得. 【详解】曲线与直线平行的切线切点到直线距离最短， 令，则，令， 即，解得或（舍），， 即切点坐标为. 故答案为：. 函数单调性的基本应用 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知为自然对数的底数，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，利用不等式的基本性质得到；B选项，构造，求导得到其单调性，得到，；C选项，构造，求导得到其单调性，故若时，，C错误；D选项，构造，求导得到，此时单调递增，故，D错误. 【详解】A选项，，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，，则， 当时，，故在上单调递增， 因为，所以，，B正确； C选项，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 若，则，故，C错误； D选项，令，则， ，此时，单调递增， 故当时，，，D错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小. 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，，由，可比较，，从而得到答案 【详解】构造函数，所以，即在上单调递增， 所以，即，即，所以， 又因为，所以，则， 故选：B 3．（23-24高二上·河南开封·期末）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，则单调递增，所以， 即，则； 令，则，当时，，单调递增， 所以，即，即． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2）. 4．（22-23高二下·河南郑州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可证明，从而判断、，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，即可得解. 【详解】令，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立，当且仅当时取等号，则，即； 又， 令，则，则在上单调递减， 又， 当时，所以在上单调递增，又， 所以，即，所以，即， 综上可得. 故选：A 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据导函数推得单调性比较大小、导数几何意义判断各个选项. 【详解】对于A，由，知得在递增，因为，所以，选项A正确； 对于B，因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知， 随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小， 所以，，选项B错误； 对于C，D，设，， 由切线的几何意义知，， 即， 即.选项C错误D正确. 故选：AD. 6．（23-24高二下·河南三门峡·期末）已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数与函数单调性的关系即可得解. 【详解】（1）因为的导数为， 所以在处的切线斜率为，而 故所求的切线方程为，即． （2）因为，定义域为 所以 解得，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 7．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 由，解得，由，解得， 因此的单调递增区间为，单调递减区间为． 利用导数求函数的最值 1．（23-24高二下·河南·期末）函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后求出最大值即可. 【详解】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是． 故选:A． 2．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数在处取得极小值1求出，利用导数判断出区间上的单调性，求出极值、端点值可得答案. 【详解】， 因为函数在处取得极小值1， 所以，解得， 可得，且，解得， ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， ，， 则在区间上的最大值为6. 故选：C. 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）半径为2的球内切于一个圆锥，则该圆锥的侧面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设底面圆半径，，根据三角形相似和勾股定理得到，，表达出侧面积，利用导函数求出单调性和最值，得到答案. 【详解】设底面圆半径，， 由题意得，∽， 故，即，故， 又，即， 故， 故圆锥的侧面积为， 故， 令得，令得， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值， 故最小值为. 故答案为： 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； 【答案】(1) 【分析】（1）当时，利用导数研究函数单调性，从而得最值； 【详解】（1）当时，， 则， 所以，当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，函数在上的最大值为； 5．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知函数. (2)当时，求在上的最小值与最大值. 【答案】 (2)答案见解析 【分析】（2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可； 【详解】（2）当时，. 由（1）知，在处取得极大值，且极大值为. 当时，在上单调递增， . 当时，， 若，则， 因为，所以. 6．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数的定义域为D，其中．对于点，设．若在处取最小值，则称点为M的“f最近点”． (1)若，，，求M的“f最近点”； 【答案】(1) 【分析】（1）由函数新定义得，只需求出的最小值以及取最小值时的的值即可； 【详解】（1）当，，， ，， 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，又， 所以M的“f最近点”为； 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，且当时，有极值－5． (2)求在上的值域． 【答案】 (2) 【分析】（2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域. 【详解】（1）由，得， 又当时，有极值－5，所以，解得 所以，当时，单调递减；当时，单调递增． 所以当时，有极小值． 所以． （2）由（1）知． 令，得， 的值随的变化情况如下表： －4 －1 3 4 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的值域为． 函数极值点、极值、零点的基础应用 1．（23-24高二下·河南三门峡·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．的极大值与极小值之和为6 C．有三个零点 D．对于任意实数过的切线有且只有一条 【答案】BD 【分析】求得，由，求得，结合题意，可判定A不正确；利用导数求得函数的单调区间，求得函数的极值，可判定B正确；根据函数的极值，以及函数取值的变化趋势，可得判定C不正确；利用导数的几何意义，求得切线方程，将代入切线方程，得到，结合的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为，可得且， 令，即，可得， 由函数的对称中心为，可得，解得， 又由，所以A不正确； 对于B中，由A知，， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，极小值为， 所以极大值与极小值之和为，所以B正确； 对于C中，当时，；当时，， 所以函数只有一个零点，所以C不正确； 对于D中，设切点坐标为，得到， 即切线的斜率为，则切线方程为， 将代入切线方程，可得， 令，可得，所以函数为单调递减函数， 所以与的图象有且仅有一个公共点， 即对于任意实数过的切线有且只有一条，所以D正确. 故选：BD. 2．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．直线是的切线 D．点是的对称中心 【答案】BD 【分析】对于A，极值点不是点，由此即可判断；对于B，令即可判断；对于C，由即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】 对于A，令，解得， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以有两个极值点，故A错误； 对于B，令，得或， 所以有两个零点，故B正确； 对于C，因为，所以直线不可能是的切线，故C错误； 对于D，因为， 所以点是的对称中心，故D正确. 故选：BD. 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程是 B．函数有极大值，且极大值点 C． D．函数只有1个零点 【答案】BD 【分析】求出函数的导数,根据导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程,判断A；根据导数与函数单调性以及极值的关系，可判断B；利用函数的单调性可判断C；利用函数的单调性，结合零点存在定理可判断D. 【详解】对A，由，得，则， 故曲线在点处的切线方程是，即，故A错误； 对B，令，则，所以在上单调递减， 又， 所以存在，使得，即， 即时,,时,, 则在上单调递增，在上单调递减， 所以有极大值，且极大值点，故B正确； 对C，由以上分析知在上单调递减，故，故C错误； 对D，当时，单调递增，又在内有唯一一个零点， 当时，,则，则在上无零点， 即只有一个零点，故D正确． 故选:BD． 4．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (2)若，函数，且在上的最大值为，证明：方程在上恰有两个不相等的实数根． 参考数据：． 【答案】 (2)证明见解析. 【分析】（2）利用二阶导函数来帮助分析原函数的单调性，再利用端点值的正负即可得到零点的个数, 【详解】（2）由题可知， 当时，因为，所以， 则在上是单调递增，， 又因为在上的最大值为，所以，即， 令，由上面可得：在上单调递增， 又由， 所以在上存在唯一的零点. 当时，，令， 则， 当，有，则， 即在上单调递减， 又由 所以在上存在唯一零点， 则当时，所以在上单调递增， 此时，即在上无零点； 当时，所以在上单调递减， 又由所以在上有且仅有一个零点， 综上，方程在上恰有两个不相等的实数根． 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； 【答案】(1)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用求导思想，求出函数的最小值，即可以判断零点情况； 【详解】（1）函数的定义域为，， 由，得，由，得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 因为只有一个极小值点，也是最小值点，且， 所以，不存在零点. 6．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（    ） A．方程的判别式 B． C．若，则在区间上单调递增 D．若且，则是的极小值点 【答案】ABD 【分析】求出函数的导函数，根据是的一个极值点，判断A、B，由可得函数的性质，即可得到的单调性，从而判断C，求出方程的两根，即可得到的单调性，从而判断D. 【详解】因为，则， 依题意是关于的方程的一个变号正实数根， 所以方程的判别式，故A正确； 因为，显然，所以，故B正确； 当时，因为，所以函数的开口向下，且与轴的正半轴只有一个交点， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 当且，将代入，整理得， 所以方程有两个不相等正实数根与， 又，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，故D正确. 故选：ABD 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，且当时，有极值－5． (1)求的值； 【答案】(1) 【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可； 【详解】（1）由，得， 又当时，有极值－5，所以，解得 所以，当时，单调递减；当时，单调递增． 所以当时，有极小值． 所以． 8．（22-23高二下·河南·期末）已知函数在处有极值36． (1)求实数a，b的值； 【答案】(1)或 【分析】（1）求导，利用及，列出方程组，求出，检验后得到答案； 【详解】（1）由题意知． ∵，， ∴或， 经检验都符合题意． 根据函数的单调性求参数 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，在内恒成立，利用参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围； 【详解】函数求导得由题意可知， 在内恒成立，即在内恒成立， 故，令， 令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 则函数在有最大值为， 故， 故选：B. 2．（23-24高二下·河南·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为在区间恒成立，设，利用导数求得的单调性，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递减， 可得在恒成立，即恒成立， 设，则，所以， 所以在单调递减，所以. 故选：B． 3．（23-24高二下·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可． 【详解】求导，令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 4．（23-24高二下·河南焦作·期末）若关于的不等式有实数解，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AB 【分析】依题意可得关于的不等式有实数解，令，，则问题转化为有实数解，只需，利用导数求出，由二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】关于的不等式有实数解， 等价于关于的不等式有实数解， 令，， 则问题转化为有实数解， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，所以当时， 要使不等式有实数解，则，即， 结合选项可知只有A、B符合题意. 故选：AB 5．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解. 【详解】由题意单调递增，且， 所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数， 则，解得. 故答案为：. 6．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； 【答案】(1)； 【分析】（1）利用导数来研究单调性，再用分离参变量法求最值即可； 【详解】（1）由，因为在区间上单调递增，所以， 即，构造函数， 则， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，，所以在区间上单调递减； 即， 故的取值范围是. 7．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】 (2) 【分析】（2）在上单调递减，则恒成立，转化为关于的不等式恒成立，然后参变分离，与两边放，最后转化为求函数最值问题即可解决. 【详解】（2）因为，求导得， ， 在上单调递减，则恒成立. 即. 令，则上式转化为恒成立， 参变分离得，令， 则， 令，解得. 当单调递增，当单调递减. 则，故. 8．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； 【答案】(1) 【分析】（1）先由在定义域内单调递增得，再结合不等式求最小值即可； 【详解】（1）的定义域为，， 由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是． 含参函数的单调性 1．（23-24高二下·河南许昌·期末）函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）先求导函数，分两情况谈论，分别求函数的单调性； 【详解】（1）由题意，定义域为， 即，         对于方程，， 当，即时， ，，在上单调递增，     当，即或时，方程有两不等根， ，，而，， 所以当时，，在上恒成立， 即在上单调递增； 当时，，或时，， 时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，         综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减； 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，其中. (1)讨论在区间上的单调性； 【答案】(1)在上单调递减； 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数再探讨函数的单调性即可得解. 【详解】（1）函数，求导得， 设，则. 而，则当时，，函数在上单调递减， 于是，所以函数在上单调递减. 3．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数． (1)若，讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，判断函数单调性，即得答案； 【详解】（1）由已知，得的定义域为， ， 若，则当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 若，则，当或时，， 当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减． 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (2)讨论的单调性. 【答案】 (2)答案见解析 【分析】（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的单调性. 【详解】（2）函数的定义域为， ， 当时，由，可得，， 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增； 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减. 5．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可； 【详解】（1）. 令，得； 令，得；令，得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性； 【详解】（1）的定义域为， 当时，令，得的单调递增区间为； 令，得的单调递减区间为. 当时，令，得的单调递增区间为； 令，得的单调递减区间为. 7．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 8．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数． (1)讨论在上的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，根据的范围对参数进行分类讨论，确定的符号，从而确定函数的单调性； 【详解】（1）由，得， 由，得. 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 当时，由，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 9．（22-23高二下·河南·期末）已知函数在处有极值36． (2)当时，求的单调递增区间． 【答案】 (2)， 【分析】（2）在（1）的基础上，由导函数大于0，解不等式，求出单调递增区间. 【详解】（1）由题意知． ∵，， ∴或， 经检验都符合题意． （2）当时，由（1）得， ∴， 由，即， 解得或， ∴函数的单调递增区间为，． 与零点有关的参数的取值范围问题 1．（23-24高二下·河南·阶段练习）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程转化为，令，利用导数求函数单调性和极值，确定关于的方程存在三个不等实数根的条件，求出实数的取值范围. 【详解】关于的方程存在三个不等的实数根， 等价于方程存在三个不等的实数根， 令，，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，当时，有极大值， 方程，，方程有两个不等的实数根，且两根之积为， 则方程有一正根一负根，且正根位于区间上， 此时关于的方程存在三个不等的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．在上单调递减 C．对任意两个正实数，且，若，则 D．若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于AB，直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况即可判断；对于C，通过分析得出要证，只需证，从而构造函数即可判断；对于D，画出函数图象，通过数形结合分析得出，此时，进一步将的范围转换成复合型二次函数的值域来求即可. 【详解】于AB，，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值是，故A正确，B错误； 对于C，由题意，，所以， 所以要证，只需证， 令， 要使，只需， 令， 要使，只需， 而， 注意到， 这意味着，即单调递增， 所以， 所以，所以，故原命题即成立，故C正确； 对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根， 则关于的方程有两个不相等的实数根， 或， ， 若是方程的根，则，这与矛盾， 所以或， 当时，，解得，但事实上此时，矛盾， 所以只能，此时， 又，所以，即， 所以的取值范围是，从而的取值范围是，故D正确.          故选：ACD. 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知是函数的零点，则 . 【答案】1 【分析】利用三次导数判断的单调性，结合可得，然后可得. 【详解】由题可得，记， 则，记， 则，所以在上单调递增， 又，所以，所以在上单调递增， 又，所以当时，，在上单调递增， 因为，所以在上存在唯一零点， 所以. 故答案为：1 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线（轴，以下同），切线与轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解. (1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)如图，设函数； （i）由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？ （ii）若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析； （ii） 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的近似值； （2）（i）设，则，由，求得点处的切线方程，得到，即可得证； （ii）再根据得到，从而，求解； 【详解】（1）由函数，则， 切线斜率，, 那么在点处的切线方程为， 所以，且， ，, 那么在点处的切线方程为， 所以，且， 故用牛顿法求方程满足精度的近似解为； （2）（i）设，则， 因为，所以， 则处切线为， 切线与轴相交得， ，即为定值，根据牛顿法，此函数没有零点； （ii）因为得， 所以，， 所以， ， ． 故所得前n个三角形的面积和为. 5．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数． (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】 (2) 【分析】（2）将函数恰有2个零点，转化为方程恰有2个正实数解．继而利用函数单调性转化为方程恰有2个正实数解．继而设，则恰有2个零点，利用导数结合零点存在定理即可求解. 【详解】（2）由题知，， 恰有2个零点，方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解． 设，即方程恰有2个正实数解， 显然在上单调递增， ，即方程恰有2个正实数解． 设，则恰有2个零点， ， 若，则， 在区间上单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 若，当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 要使函数恰有2个零点， 则， ，即． 当时， ， 存在，使得， ， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，故， 即，当且仅当时取等号； 由于，故， 设， 则当时，， 在区间上单调递增， ， 存在，使得， 当时，恰有2个零点， 实数的取值范围为． 不等式恒（能）成立问题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段讨论不等式，利用导数研究函数的最值即可得出参数范围. 【详解】当时，. 当时，恒成立等价于恒成立，因为当时，，所以. 当时，恒成立等价于恒成立. 记，则在区间上为增函数， 并且零点为，单调递减， 单调递增， 因此，所以. 综上，. 故选：A. 2．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设由题可知，利用导函数研究单调性知存在使得，此时得，而，即，则即构造，由的单调性可知，，构造，利用导函数研究的单调性，进而求得的值域，得出的取值范围. 【详解】解法一：不等式，即 ， 设，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增. 故只需， 所以，即. 设，则在上单调递增，又， 所以，设，则， 所以在上单调递增，所以的值域为，即的取值范围为. 解法二：由题意将原不等式变形可得， 即，令，则有，即 因为，所以有对于任意的恒成立， 令，则 因为，且当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取极大值，也是的最大值 所以 又因为，所以 故选：C 3．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分，，讨论，分离参数，分别构造函数，利用导数求出函数的最值，进而可得出答案. 【详解】①当时，恒成立，则， ②当时，则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递增， 所以, 所以； ③当时，则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：BCD. 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先把不等式移项化简，再分类讨论利用导数研究函数的单调性最后结合范围求解. 【详解】因为， 所以，即. 若，不等式化为，此不等式对任意恒成立，不符合条件. 若，不等式化为，即恰有一个整数解. 记，则，当，；当，； 可得在上单调递增，在上单调递减， 并且， 因此恰有一个整数解时，实数的取值不可能是B，C，D. 故选：BCD. 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】 (2) 【分析】（2）利用分离参变量思想，求出函数的最值，即可得到参数的范围. 【详解】（2），即. 令 构造函数， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 则. 故的取值范围为. 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知函数. (3)证明：. 【答案】(3)证明见解析. 【分析】（3）由（2）知：当时，有，当且仅当时等号成立，从而得到，利用累加法得到，得到. 【详解】（2）等价于， 令，则不等式等价于， ， 当，则在上单调递减，， 时不合题意； 当，令得，令得， 故的递增区间为，递减区间为， 若， ，则当时，，不合题意； 若，，适合题意； 若， ，则当时，，不合题意； 综上，. （3）由（2）知：当时，有，当且仅当时等号成立. 时，， ， ， ， ， ，即， . 7．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数的定义域为D，其中．对于点，设．若在处取最小值，则称点为M的“f最近点”． (2)已知函数，，，证明：对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”． 【答案】 (2)证明过程见解析 【分析】（2）先得出的表达式，设既是的“f最近点”，也是的“f最近点”，然后结合新定义、平方数的非负性以及同一思想即可得证. 【详解】（2）设， 设既是的“f最近点”，也是的“f最近点”， 由题意，在处取最小值， 所以对任意，，即①， ，即②， 由①+②得，， 所以， 所以， 所以对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”. 8．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数． (2)证明： 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（2）转化为证明成立，构造函数，再利用导函数的隐零点研究单调性，结合隐零点满足的关系式指对互化并回代入原函数值，变形后利用双勾函数求解范围即可证明. 【详解】（2）要证，即证， 令，则， 可知在上单调递增． 又， 故在上有唯一的实根，且． 当时，；当时，， 从而当时，有最小值； 由，得， 故 令，则， 则， ，故在上单调递增， ，即， 故得证. 9．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知函数，（其中为自然对数的底数）、 (1)若函数的图象与轴相切，求的值； (2)设，、，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，设，由可求得实数的值； （2）利用导数分析函数、在上的单调性，令，分析可知函数在上为减函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求出函数在区间上的最小值，结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，则， 若，则函数，不合乎题意，所以，， 设切点坐标为，则，解得， 且，整理可得，可得，解得． （2）解：因为，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，则对任意的恒成立， 则函数在上单调递增， 不妨设，由可得， 即． 记，则， 则函数在上为减函数， 在恒成立，则对任意的，则， 令，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在区间上为增函数，则， 所以，函数在上为增函数，则， 又因为，则实数的取值范围是. 由函数的极值求参数 1．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解，， 故，解得：，经检验适合题意； 故选：C. 2．（23-24高二下·河南洛阳·期末）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数求解极值点个数情况. 【详解】令即又函数有两个极值点，故方程有两个零点，即有两个零点，令则则当时，单调递减，当时，单调递增，故时，取极小值，也为最小值， 又时， 则有两个零点时，a的取值范围是 故答案为： 3．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在上，有极值点表示有零点，由导数可得即可得，从而有，计算可求得的范围. 【详解】由题可知， 当时,, 单调递减， 当时,, 单调递增， 故只有极小值点2. 若在区间上有定义且有极值点，则，解得. 故答案为: 4．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 ． 【答案】 【分析】求导，将原问题转化成在区间上只有一个变号的根，构造函数解决问题. 【详解】，令，得， 由题意知在区间上只有一个变号的根， 令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 又，如图： 所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，的最小值为． 故答案为：. 5．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，其中. (2)若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围. 【答案】 (2). 【分析】（2）求出函数的导数，结合（1）的信息按，分类讨论的单调性即可求得答案. 【详解】（2）函数，求导得， 若，由（1）知在上恒成立，从而在内无极值点，不符合题意； 若，设，则，且， 设，则在上恒成立，因此在上单调递减， 若，即，则在上恒成立，因此在上单调递增， 则在上恒成立，从而单调递增，无极值点，不符合题意； 若，即，则在上存在零点，且在上单调递增，在上单调递减， 又，所以要使有极值点，必须有，即， 从而的取值范围是. 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知函数. (2)若为的极大值点，求实数的取值范围. 【答案】 (2) 【分析】（2）记，则原命题等价于为的极大值点，求实数的取值范围，对求导，对分类讨论，求出的极值，即可求解的取值范围． 【详解】（2）记，， 则原问题等价于为的极大值点，求实数的取值范围． 因，则恒成立， 记，，， 则， 当时，恒成立，在上单调递增， 又因为，则当时，，即，所以单调递减； 当时，，即，所以单调递增， 此情况可得为的极小值点，与题意矛盾； 当时，若，即当时，则存在，使得在上恒成立， 即在上单调递增，也即在上单调递增， 由，从而可得，，单调递减； ，，单调递增， 此情况可得为的极小值点，与题意矛盾； 若，即时，在上单调递减， ，，单调递增；时，，单调递减， 因此恒有，也即恒成立，因此不是的极值点，与题意矛盾； 若，即时，则存在，使得在上恒成立， 在上单调递减，也即在上单调递减， 由，从而可得，，单调递增； ，，单调递减， 此情况可得为的极大值点，符合题意． 综上所述，满足条件的实数的取值范围为． 7．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数. (2)若，函数有两个极值点，，求的取值范围. 【答案】 (2) 【分析】（2）求出函数的导函数，依题意可得方程有两个不等的正实数根，，利用根的判别式及韦达定理求出的取值范围，即可表示出，再换元，利用导数求出函数的值域，即可得解. 【详解】（2）若时，，定义域为， 又， 因为，为的两个极值点， 所以有两个不等的正实数根，， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减，所以， 且当时，， 所以的取值范围为. 8．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 (2) 【分析】（2）先根据极值点得出导函数为0得出韦达定理，再应用参数分离，构造函数根据单调性求出最大值即可. 【详解】（2），因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不相等的实数根， 故且， 所以， ， 又恒成立，即恒成立， ． 设，则 在上恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 构造法解决函数问题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为.当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，利用导函数分析函数的单调性，奇偶性分类讨论解不等式即可. 【详解】构造函数，， 当时，，所以当时，， 则在上单调递增，由于，所以， 为奇函数，所以，， 所以为偶函数，所以，且在上单调递减， 当时，不等式转化为，即， 又在上单调递增，所以， 当时, 不等式转化为，即， 又在上单调递减，所以. 所以不等式成立的的取值范围为， 故答案为： 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】求出函数在的单调性，且是偶函数，将问题转化为即可依据函数的单调性和奇偶性求解. 【详解】因为时，， 所以，即， 因此，从而在上单调递增， 又是上的偶函数，且是偶函数， 所以， 即是上的偶函数，故在上单调递减， 由于，因此，又即，即， 所以，故由的单调性和偶函数特点可知， 因此的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·河南·期末）已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】的图象经过第一象限，即，使得，即，令，求出的最小值可得的取值范围. 【详解】由的图象经过第一象限，得，使得，即， 设，求导得， 当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 则有，即，所以实数的取值范围是． 4．（23-24高二下·河南许昌·期末）函数. (2)若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：. 【答案】 (2)证明见解析 【分析】（2）由（1）得，函数有两个极值点，则，且，，将不等式转化为，构造函数利用导数求解即可. 【详解】（1）由题意，定义域为， 即，         对于方程，， 当，即时， ，，在上单调递增，     当，即或时，方程有两不等根， ，，而，， 所以当时，，在上恒成立， 即在上单调递增； 当时，，或时，， 时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，         综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减； （2）由（1）可知，函数有两个极值点，则， 且，， 因为 ， 所以要证， 即证， 即证， 也即证（*）成立. 设，函数， 由（1）知在上单调递增，且， 所以时，， 所以（*）成立，原不等式得证. 5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)若图象上任意两点连线的斜率都大于a，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）将图象上任意两点连线的斜率都大于转化为单调递增，再转化为恒成立，然后求的范围即可. 【详解】（1），则， 又， 所以切线方程为，即. （2）设图象上任意两点的坐标为，，且， 则，整理得， 令，则单调递增， 恒成立，即， 所以的取值范围为. 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知函数. (2)对任意的恒成立，求的值； 【答案】 (2)； 【分析】（2）变形为在上恒成立，构造，求导，分，，和四种情况，得到； 【详解（2）等价于， 令，则不等式等价于， ， 当，则在上单调递减，， 时不合题意； 当，令得，令得， 故的递增区间为，递减区间为， 若， ，则当时，，不合题意； 若，，适合题意； 若， ，则当时，，不合题意； 综上，. 7．（23-24高二下·河南漯河·期末）我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题正确的是（    ） A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是 C．的纵坐标最大值是 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，结合函数思想逐项分析判断即可. 【详解】依题意，，即， 整理得， 对于A，当时，，因此曲线过原点，A正确； 对于B，由，得，整理得， 解得，的横坐标最大值是，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 因此的纵坐标最大值是1，C错误； 对于D，，令， 上述不等式等价于， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，，即成立， 因此，D正确. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元函数的导数及其应用 导数的定义 1．（21-22高二下·河北承德·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）设是可导函数，且，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南驻马店·期末）函数 在处的瞬时变化率为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 5．（23-24高二下·河南三门峡·期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）关于时间（单位：）的函数满足关系式，则时，弹簧振子瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南·期末）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．（23-24高二上·河南·期末）一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 导数的运 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数，（    ） A． B．0 C．1 D．3 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，且，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高二下·河南郑州·期末）若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数,则（    ） A． B． C． D．-3 5．（23-24高二下·河南洛阳·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 导数的几何意义——曲线的切线方程 1．（23-24高二下·河南开封·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南新乡·期末）若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（23-24高二下·河南·期末）已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C．1 D．-1 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高二下·河南·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）点是曲线上任意一点，则点到的最短距离为（    ） A． B． C． D． 7．（19-20高三下·云南昆明·阶段练习）曲线 在点处的切线方程为 ． 8．（23-24高二下·河南信阳·期末）曲线在处的切线方程为 . 9．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知曲线在直线的上方，则当曲线上的动点到直线的距离最短时，点的坐标为 函数单调性的基本应用 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知为自然对数的底数，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南开封·期末）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·河南郑州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南三门峡·期末）已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 7．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； 利用导数求函数的最值 1．（23-24高二下·河南·期末）函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）半径为2的球内切于一个圆锥，则该圆锥的侧面积的最小值为 . 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； 5．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知函数. (2)当时，求在上的最小值与最大值. 6．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数的定义域为D，其中．对于点，设．若在处取最小值，则称点为M的“f最近点”． (1)若，，，求M的“f最近点”； 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，且当时，有极值－5． (2)求在上的值域． 函数极值点、极值、零点的基础应用 1．（23-24高二下·河南三门峡·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．的极大值与极小值之和为6 C．有三个零点 D．对于任意实数过的切线有且只有一条 2．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．直线是的切线 D．点是的对称中心 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程是 B．函数有极大值，且极大值点 C． D．函数只有1个零点 4．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (2)若，函数，且在上的最大值为，证明：方程在上恰有两个不相等的实数根． 参考数据：． 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； 6．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（    ） A．方程的判别式 B． C．若，则在区间上单调递增 D．若且，则是的极小值点 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，且当时，有极值－5． (1)求的值； 8．（22-23高二下·河南·期末）已知函数在处有极值36． (1)求实数a，b的值； 根据函数的单调性求参数 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南焦作·期末）若关于的不等式有实数解，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．1 5．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 6．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； 7．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 8．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； 含参函数的单调性 1．（23-24高二下·河南许昌·期末）函数. (1)讨论的单调性； 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，其中. (1)讨论在区间上的单调性； 3．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数． (1)若，讨论的单调性； 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (2)讨论的单调性. 5．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 7．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 8．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数． (1)讨论在上的单调性； 9．（22-23高二下·河南·期末）已知函数在处有极值36． (2)当时，求的单调递增区间． 与零点有关的参数的取值范围问题 1．（23-24高二下·河南·阶段练习）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．在上单调递减 C．对任意两个正实数，且，若，则 D．若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知是函数的零点，则 . 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线（轴，以下同），切线与轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解. (1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)如图，设函数； （i）由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？ （ii）若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 5．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数． (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 不等式恒（能）成立问题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (2)若恒成立，求的取值范围. 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知函数. (3)证明：. 7．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数的定义域为D，其中．对于点，设．若在处取最小值，则称点为M的“f最近点”． (2)已知函数，，，证明：对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”． 8．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数． (2)证明： 9．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知函数，（其中为自然对数的底数）、 (1)若函数的图象与轴相切，求的值； (2)设，、，都有，求实数的取值范围． 由函数的极值求参数 1．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南洛阳·期末）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 3．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 ． 5．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数，其中. (2)若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围. 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知函数. (2)若为的极大值点，求实数的取值范围. 7．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数. (2)若，函数有两个极值点，，求的取值范围. 8．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 构造法解决函数问题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为.当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 3．（23-24高二下·河南·期末）已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高二下·河南许昌·期末）函数. (2)若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：. 5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)若图象上任意两点连线的斜率都大于a，求a的取值范围. 6．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知函数. (2)对任意的恒成立，求的值； 7．（23-24高二下·河南漯河·期末）我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题正确的是（    ） A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是 C．的纵坐标最大值是 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$