备战2025年九年级中考数学解答题 专项06 三角函数及解直角三角形

备战2025中考 专题六 三角函数及解直角三角形 【考情分析】 中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主.其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主；题目难度中等，考点所占分值有6-12分，需要对这块考点多加重视。 【提分笔记】 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B、∠C 2）三边之间的关系：（勾股定理） 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° 4）边角之间的关系： sin A= = ， sin B= = cos A= = tan A= = 解直角三角形常见类型及方法： 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边和一直角边 (如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A 两直角边 (如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A 一边和一锐角 斜边和一锐角 （如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 一直角边和一锐角 （如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 另一直角边和一锐角 （如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 【真题演练】 1. 如图1，塑像在底座上，点是人眼所在的位置．当点高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过，两点的圆与水平视线相切时（如图，在切点处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． （1）请仅就图2的情形证明． （2）经测量，最大视角为，在点处看塑像顶部点的仰角为，点到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：． 2.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到． 3.如图，是外一点，过点作的两条切线，分别交于点和点，连接，为上一点，连接，．若，，则的长度为（    ） A． B．7 C． D． 第3题 第4题 第5题 第6题 4.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接将纸片沿折叠，使A落在的位置，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 　 　m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 6.如图，中，，点D在上，．若， ，则的长度为（　　） A． B． C． D．4 7. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 8.研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 9.科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离，点处水深为，到池壁的水平距离．点，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到．参考数据：，，． 10.如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？通过计算说明． 11.如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）； （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？ 12. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体” 成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间． 参考数据：，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$