备战2025年九年级中考数学解答题 专项05 圆

备战2025中考 专题五 圆 【考情分析】 中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是常考的考点；难度从基础到综合都有，通常选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系.简答题部分，一般会把切线的问题和三角形、锐角三角函数等结合考察，这是一般都是中等难度的问题. 【提分笔记】 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. ②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. ③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ④弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等 ⑤圆内接四边形：1）圆内接四边形对角互补. 2) 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. ⑥弧长公式： 扇形面积公式 S扇形==R 切线 性质 圆的切线垂直于过切点的半径． （实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 辅助线方法：连接切点与圆心．根据切线的性质可得半径与切线垂直 切线 判定 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 【高分秘籍】 1.如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 【总结】一条直线满足：①过圆心②垂直于弦③平分弦（被平分的弦不是直径）④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧；若已知五个条件中的两个，那么可推出其它三个，简称“知二得三” 2.常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ②有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 3.利用圆周角定理解题思路： ①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. ②在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. ③当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． ④在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【真题演练】 1.如图1，塑像在底座上，点是人眼所在的位置．当点高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过，两点的圆与水平视线相切时（如图，在切点处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． （1）请仅就图2的情形证明． （2）经测量，最大视角为，在点处看塑像顶部点的仰角为，点到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：． 2.如图，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3.如图，与相切于点，交于点，点在上，且．若，，则的长为 　　． 4.如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使． （1）若，为直径，求的度数． （2）求证：①；②． 5.已知中，，为的弦，直线与相切于点． （Ⅰ）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 6.如图，是的外接圆，为直径，过点作的切线交延长线于点，点为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 7.如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，． （1）求证：； （2）设，垂足为，若，求的长． 8.如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． 9.如图，是的内接三角形，是的直径，，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 10.如图，在中，，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，，于点，，，且点是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留． 1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$