精品解析：辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年八年级上学期数学12月月考试卷

辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年八年级上学期 数学12月月考试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. （） D. 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 7. 将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 下面命题中： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②对于所有自然数 ，的值都是质数； ③同位角相等，两直线平行； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 9. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A. 乙提速后每分钟攀登30米 B. 乙攀登到300米时共用时11分钟 C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟 D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 12. 如图，将 沿着 翻折，若，则的大小为___________度． 13. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差米，水平距离米，则点C与点B的高度差CE为___________米． 14. 如图，在矩形 中，，，点 为射线上一个动点，将沿直线 折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 三解答题（共8小题，共75分，解答题应写明文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） （3）解方程组 17. 已知：如图，D为 的 边上一点，于点 ，，且，若，求的度数？ 18. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于 分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 19. 根据如表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，请问购买方案分别是：___________________________________________________ 20. 小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足某个函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … （1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想； （2）当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为_______ ； （3）若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为，调节挎带长度的方法是_________． 21. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的 ，其中， ②直接写出 的面积=___________，点C到 边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 22. 如图 ，四边形 是正方形，分别在边 和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点 顺时针旋转后解决了这个问题． （1）①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形 边长为 ，点 为 中点，则___________ （2）如图 ，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． （3）如图，在 中，，，点在边 上，且，当，时，则 的长为___________． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点． （1）求点M坐标和直线的函数表达式； （2）如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点 ，交于点F． ①当时，的面积为_________． ②当时，的值为________． ③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时的值为_______． （3）如图3，，点为 轴上一动点，最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年八年级上学期 数学12月月考试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：是有理数； （相邻两个1之间依次增加一个2）是无理数． 故选A． 2. 下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理的运用，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 根据勾股定理逆定理可判定A，D选项；根据直角三角形内角和可判定B，C选项，由此即可求解． 【详解】解：A、， 设， ∴，即， ∴能判断 为直角三角形，不符合题意； B、， ∵， ∴， ∴， ∴能判断 为直角三角形，不符合题意； C、， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不能判断 为直角三角形； D、， ∵， ∴， ∴能判断 为直角三角形； 故选：C ． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 【详解】A. ，故本选项错误； B. ，故本选项正确； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. （） D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点的特点是横坐标变为相反数，纵坐标不变，由此即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：C ． 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，算术平均数，根据方差越小越稳定求解即可． 【详解】解：∵， ∴丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁， 故选：D． 6. 若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，让方程组中的两个方程直接相加得到，化简得，结合已知即可求出k的值． 【详解】解：， ①②得，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，利用直尺的对边平行可得，根据，求得，再根据三角形的外角性质即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 下面命题中： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②对于所有自然数 ，的值都是质数； ③同位角相等，两直线平行； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题，根据平行公理、质数的定义、平行线的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题错误，不合题意； ②∵， ∴当自然数 是的整数倍时，的值不是质数，原命题错误，不合题意； ③同位角相等，两直线平行，该命题是真命题，符合题意； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原命题错误，不合题意； ∴真命题有 个， 故选：． 9. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用时间路程速度，结合“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需”，即可列出关于 ，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解： 从甲地到乙地需， ； 从乙地到甲地需， ， 根据题意得，可列方程组， 故答案为：D． 10. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A. 乙提速后每分钟攀登30米 B. 乙攀登到300米时共用时11分钟 C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟 D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米． 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D． 【详解】解：甲的速度为：（米/分）， （米/分）， 即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意； 乙攀登到300米时共用时：（分钟），故选项B不符合题意； 设，， 由函数图象得：， 解得 ， ∴， ∵乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍， ∴乙提速后的速度为：30米/分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ， ∴， 当时， 则， 解得， 即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项C不符合题意； 从甲、乙相距100米到乙追上甲时， 甲、乙两人共攀登了：（米）， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解点的横纵坐标是含义，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 12. 如图，将 沿着 翻折，若，则的大小为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及四边形内角和问题，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，再根据平角以及四边形内角和，得出，即可求出的大小． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， 四边形的内角和， ， ， ， 故答案为：36． 13. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差米，水平距离米，则点C与点B的高度差CE为___________米． 【答案】2.25 【解析】 【分析】作于F， 于G，根据可证，根据全等三角形的性质，可得米，在中，根据勾股定理可求出,即可求 ，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B 的高度差． 【详解】解：如图所示：作于F， 于G， 由题可知： ,， ， 在和中， ， ， 米， 设米， 在中， 根据勾股定理得，即， 解得， 则米， 故答案为：2.25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是能正确作出辅助线证明三角形全等，采用数形结合的思想来解决问题． 14. 如图，在矩形 中，，，点 为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设 的垂直平分线交 于点 ，交直线于点 ，根据题意分两种情况点 在矩形 内部时，点 在矩形 外部（ 下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：设 的垂直平分线交 于点 ，交直线于点 ，  ∵ 四边形 是矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分 ， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， 分两种情况讨论： 情况一：当点 在矩形 内部时， 在中，， ， 在中， 由勾股定理得：即 ， 解得， ∴； 情况二：当点 在矩形 外部（ 下方）时， 在中，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述， 的长为或， 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换—旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用偶次方非负数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点 ，轴于 ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，有最小值为5， 的最小值为， 故答案为：． 三解答题（共8小题，共75分，解答题应写明文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） （3）解方程组 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算以及二元一次方程组的解法． （1）利用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减即可； （2）先将括号里的二次根式化简并计算，再算除法即可； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可求出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 得：， ， ， 将代入①得：， ， ∴方程组的解为． 17. 已知：如图，D为 的 边上一点，于点 ，，且，若，求的度数？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，垂直的定义，平行线的判定与性质，先判定，得出，求出，根据垂直的定义得出，最后根据三角形的外角的性质得出求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 18. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于 分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为，平均成绩为：， 八年级优秀率为，平均成绩为：， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第 名学生为 分，进而求得 ，的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为 ∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为 故答案为：． 【小问2详解】 ∵八年级名学生活动成绩的中位数为分， 第名学生为分，第 名学生为 分， ∴， ， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． 19. 根据如表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，请问购买方案分别是：___________________________________________________ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2：见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． 任务1：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，根据购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：任务1、设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2、设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， 均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案：（1）A款奶茶14杯，购买B款奶茶5杯；（2）A款奶茶8杯，购买B款奶茶10杯；（3）A款奶茶2杯，购买B款奶茶15杯． 20. 小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足某个函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … （1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想； （2）当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为_______ ； （3）若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为，调节挎带长度的方法是_________． 【答案】（1）画图见解析，是 的一次函数，，验证见解析 （2）30 （3）调节挎带长度使单层部分的长度为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线，根据图象的特征判断函数类型并利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）将代入关于 的函数表达式，解方程求出的值即可； （3）分别求出当 时对应的值和当时对应 的值，从而求出挎带长度的取值范围，根据是否在这个范围来判断挎带长度是否满足小林的身高要求；设调节挎带长度使单层部分的长度为 ，则双层部分的长度为，将它们分别代入关于 的函数表达式并求出 的值即可． 【小问1详解】 解：描点及函数图象如图所示： 图象是一条直线， 是 的一次函数． 设关于 的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入 ， 得， 解得， 关于 的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当挎带的长度为时，单层部分的长度为． 将代入，得， 解得． 此时双层部分的长度为． 故答案为：30； 【小问3详解】 解：当斜挎包挎带全为双层时 ，则，此时挎带长度为； 当斜挎包挎带全为单层时，得，解得，此时挎带长度为； 挎带长度在之间， 小林的身高最合适的挎带长度为， 挎带长度满足小林的身高要求． 设调节挎带长度使单层部分的长度为 ，则双层部分的长度为， ， 解得， 调节挎带长度使单层部分的长度为． 故答案为：调节挎带长度使单层部分的长度为 21. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的 ，其中， ②直接写出 的面积=___________，点C到 边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③ 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论； ②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出 点位置，进而求出的最小值； ③把看成点到两点和的距离之差，当点和重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①如图所示， 即为所求； ②， ， 的面积， 设点 到 边的距离， 的面积， 点 到 边的距离， 故答案为：2，； （2）①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点 关于 轴对称的点 ，连接，直线与 轴的交点即为所求的点 ． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为， 故答案为：； ③ 把式看成点到两点和的距离之差，即， 点在直线上，且在点 右边时，，有最大值， 最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理． 22. 如图 ，四边形 是正方形，分别在边 和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点 顺时针旋转后解决了这个问题． （1）①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形 边长为 ，点 为 中点，则___________ （2）如图 ，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． （3）如图，在 中，，，点在边 上，且，当，时，则 的长为___________． 【答案】（1）①；② （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（ ）①由旋转的性质可得，，，再根据正方形的性质证明，得到，进而由即可求证； ②设，则，，在中由勾股定理可得，即可得，再利用勾股定理即可求解； （ ）把绕点 顺时针旋转得到， 连接，如图 ，同理（ ）①即可求解； （ ）把绕点 顺时针旋转得到，连接，如图，同理（ ）①可得，，，过点 作，垂足为 ，则，可得，由直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 解：①，理由如下： 如图2，由旋转可得，，，， ∵四边形 为正方形， ∴， ； 即三点共线； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵正方形 边长为 ，点 为 中点， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 把绕点 顺时针旋转得到， 连接，如图 ， ∴，， ，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：把绕点 顺时针旋转得到，连接，如图， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， 过点 作，垂足为 ，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点． （1）求点M坐标和直线的函数表达式； （2）如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点 ，交于点F． ①当时，的面积为_________． ②当时，的值为________． ③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时的值为_______． （3）如图3，，点为 轴上一动点，最小值为______． 【答案】（1）；直线的函数表达式为 （2）①；②或 ；③或； （3）． 【解析】 【分析】（1）先利用直线解析式求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）①先求出点A、C、E的坐标，再根据列式计算即可；②求出E、F的坐标，进而表示出，再根据建立方程求解即可；③分当时， 当时， 当时，三种情况讨论求解即可； （3）作交y轴负半轴于P，过点Q作交直线于T，连接，证明，得到，，求出，得到，进而求出；利用勾股定理求出；再证明，得到，则当M、Q、T三点共线，即当时， 有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得，解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接 ， ∵轴， ∴轴， 在中，当 时，， ∴； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； ②在中，当 时，， 在中，当 时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或 ； ③当时，则， ∴轴， ∴， 由（2）②可得， ∴， 解得； 当时，则， ∴轴， ∴， 由（2）②可得， ∴， 解得； 当时，如图所示，过点N作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，作交y轴负半轴于P，过点Q作交直线于T，连接， ∵， ∴， ∴，， 在中，当 时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴当M、Q、T三点共线，即当时， 有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $