重庆市两江中学校2024-2025学年高一上学期数学期末复习题四

高一上期末复习题四 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ） 0 1 2 3 A. B. C. D. 5. 函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（     ）    A． B． C． D． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. D. 二、多选题(本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.) 9. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若为第二象限的角，则为第三、四象限的角 B. 已知，且，则 C. 已知关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为 D. 若，则 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间为___________. 13. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是______． 14. 已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （13分）已知，且是第二象限角． （1）求的值； （2）求的值． 16. （15分）已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若存在，使成立，求的取值范围. 17. （15分）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 18. （17分）已知函数，其中，图象上对称中心到相邻最近对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值. 19. （17分）已知函数的图象经过点和点，. （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上有实数根，求的取值范围； （3）设，若对于任意，都有，求的取值范围. 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上期末复习题四 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】根据题意，， 所以.故选:A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 详解】要使有意义，则，解得，且， 故的定义域为.故选：B. 3. 下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：， 所以AC选项不符合题意； 对于B：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递增，所以B选项不符合题意； 对于D：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递减，所以D选项符合题意；故选：D 4. 已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ） 0 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】令， 因为均为上连续不断的曲线，所以在上连续不断的曲线， ，， ，， ， 因为，所以函数有零点的区间为， 即方程有实数解的区间是.故选：C. 5. 函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【详解】当时，， 所以函数的图像恒过定点 记，则有，解得 所以.故选：A 6．（2024上·宁夏石嘴山·高一统考期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， 所以， 因为，所以， 故的弧长为， 则扇形的面积为，的面积为， 所以弧田的面积为．故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即.故选：B. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】选项A，，则， 但由图象可知，，不满足题意，故A错误； 选项B，，由，解得， 由函数图象可知，函数在处有定义，故B错误； 选项C，，则，理由同A项，故C项也错误； 故的解析式可能是C.故选：C. 二、多选题(本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.) 9. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若为第二象限的角，则为第三、四象限的角 B. 已知，且，则 C. 已知关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为 D. 若，则 【答案】BCD 【详解】对于A：因为为第二象限的角，所以，， 所以，， 则为第三、四象限的角或轴负半轴上，故A错误； 对于B：， 则 则有，若，则，故B正确； 对于C：解：由关于的不等式的解集为或， 可知，且和是方程的两根， 故由根与系数的关系得， ，又 故关于不等式等价为， 即，即，解得故C正确； 对于D：若，则， 令， 则函数在单调递减， 则不等式等价为， 则，即，故D正确． 故选：BCD 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【详解】A：因为，， 所以有， 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确； B：因为，所以 ，因为， 所以，即，于是有，因此本选项结论正确； C：当时，显然成立， 而，所以本选项结论不正确； D：因为，，且，所以 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确， 故选：ABD 11. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【详解】当时，，当时，，当时，， 由图像可知，，此时，解得，故A对； 因为关于对称，所以，又， ，故B对； 由，得 ，由，得 ， 由，得 ，故C错； ，故D对.故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间为___________. 【答案】 【详解】由题知：，解得或. 令，则为减函数. 所以，为减函数，为增函数， ，为增函数，为减函数. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 13. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】命题“，”的否定是：，， 依题意，命题“，”为真命题， 当时，成立，则， 当时，不等式恒成立，则，解得， 综上得：，所以实数的取值范围是.故答案为： 14. 已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由得或，，只有一个根，因此方程要有两个非零解，作出的图象和直线，由图象可知当时，方程有两个非零解． ∴的范围是． 故答案为：． 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，且是第二象限角． （1）求的值； （2）求的值． 解：【小问1详解】 由，则， 又是第二象限角，则，且， 所以，则， 综上，. 【小问2详解】 原式. 16. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若存在，使成立，求的取值范围. 解：【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，所以， 又因为，所以，将代入，解得， 经检验符合题意，所以，，. 【小问2详解】 由（1）知：函数， 函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， ， 因为，所以，所以， 即，所以函数在上是减函数. 【小问3详解】 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数，所以， 所以，令， 由题意可知：问题等价转化为， 又因为，所以. 故的取值范围为. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 解：【小问1详解】 因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米， 所以屋子的前面墙的长度均为米（）， 设甲工程队报价为元， 所以（元）， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元. 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为，， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功. 18. 已知函数，其中，图象上对称中心到相邻最近对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值. 解：【小问1详解】 由题意可知，，， 所以，所以， 由得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， 再将的图象向左平移个单位，得到函数， 所以， ， 因，所以， 所以，所以， 当时，； 当时，. 19. 已知函数的图象经过点和点，. （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上有实数根，求的取值范围； （3）设，若对于任意，都有，求的取值范围. 解：【小问1详解】 依题意可得，解得，所以. 【小问2详解】 因为关于的方程在区间上有实数根， 所以令，则区间上有零点. 因为，所以， 又在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增， 又函数在区间上有零点， 则，即， 所以，解得，所以的取值范围. 【小问3详解】 因为且，所以且， 因为，所以最大值可能是或， 因为 ，所以， 只需，即恒成立， 设， 因为在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以，所以的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$