专题01 三角形期末汇编（6题型88题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题01 三角形 题型01三角形的概念辨析 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）以下四个图片中的物品，没有利用到三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A、B、C中均利用三角形的稳定性，故不符合要求； D中没有利用三角形的稳定性，故符合要求； 故选：D． 2．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（    ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】根据三角形的分类进行判断． 【详解】解：等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 【点睛】考查了三角形的分类，解题关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形，注：等腰三角形包括等边三角形． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的（    ） 已知：如图，．    求证：． 证明：延长交 ※ 于点， 则 ◎ （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又， ∴ ▲ ，故（ @ 相等，两直线平行）． A．◎代表 B．@代表内错角 C．▲代表 D．※代表 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质，根据题意进行证明求解即可． 【详解】解：证明：延长交于点， 则（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又， ∴，故（内错角相等，两直线平行）． ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意， 故选B． 4．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两定确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 题型02 三角形内角和与外角和的应用 5．（23-24八年级上·河北保定·期末）如果一个三角形中最小的一个内角为，那么这个三角形一定为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，根据三角形内角和推理最大角的度数范围是解题的关键． 根据最小角为，设的最大角为，最小角为，结合三角形的内角和可推得最大角为锐角． 【详解】不妨设中的最小角，最大角为，则 ∵ ∴ ∵ ∴ 即：三角形最大角为锐角． 故三角形一定为锐角三角形． 故选：B． 6．（22-23八年级上·河北保定·期末）下列各图中能说明的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用对顶角、平行线的性质，直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系等分析． 【详解】解：A、根据对顶角相等，得，故本选项错误； B、根据两直线平行同位角相等，得，故本选项错误； C、由于三角形的任何一个外角大于和它不相邻的内角，所以，故本选项正确； D、∵，， ∴，故本选项错误．    故选：C． 【点睛】本题主要考查了对顶角、直角三角形的性质、直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系，比较基础，难度不大． 7．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的倍，那么这个外角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外角的定义，可设内角为，则外角为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知，可设内角为，则外角为， ∴ 解得： ∴ 故选：D． 8．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，直线，一副三角板放置在之间，一三角板直角边在上，三角板斜边在同一直线上．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图， ∵， ∴， ∴． 故选B． 9．（21-22八年级上·河北唐山·期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是的外角，求证：． 证法1：如图． ∵（三角形内角和定理） 又∵（平角定义） ∴（等量代换） ∴（等式性质） 证法2：如图， ∵，， 且（量角器测量所得） 又∵（计算所得） ∴（等量代换） 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【分析】根据定理证明的一般步骤进行分析判断即可解答． 【详解】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， ∴A的说法不正确，不符合题意； B的说法正确，符合题意； C、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， ∴C的说法不正确，不符合题意； D、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关， ∴D的说法不正确，不符合题意， 综上，B的说法正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证明的一般步骤分析解答是解题的关键． 10．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，C岛在A岛的南偏东方向，从C岛看A、B两岛的视角是（    ）度．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据方向角的概念，得出，；，再由两直线平行，内错角相等，，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：    ∵A岛在B岛的北偏东方向，即， ∵C岛在B岛的北偏东方向，即， ∴， ∵C岛在A岛南偏东方向，即， ∵， ∴， ∴， 在中， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角的定义，平行线的性质和三角形内角和定理，比较简单．正确理解方向角的定义是解题的关键． 11．（22-23八年级上·河北邢台·期末）在中，，则中最大的内角度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，然后根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】∵在中，， ∴设，，， ∴， ∴解得， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据三角形内角和定理列出方程求解． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是理解并掌握直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形中两个锐角互余，即可进行求解． 【详解】解：∵， 解得： 故答案为：． 13．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边、上），点A落在点的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角定理，折叠的性质；根据折叠知，，，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】如图，由折叠知，，， ，， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，从而得出，即可得证． 【详解】证明：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵． ∴． 15．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，.    (1)试判断与的位置关系，并说明理由. (2)若，平分，求的度数. 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）先求出的度数，即为，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即得答案. 【详解】（1）；理由是： ∵是高，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键. 题型03 三角形三边关系的应用 16．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可． 【详解】、，不能组成三角形； 、，能组成三角形； 、不能组成三角形； 、不能组成三角形；． 故选： 17．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴三条长分别为的线段不能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； 故选；C． 18．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理逐一对选项进行判定即可．掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 故A选项不符合题意； ∵， 设， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形， 故B选项不符合题意； 当时， ∴， ∴是直角三角形， 故C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴不能构成三角形， 故D选项符合题意； 故选：D． 19．（23-24八年级上·河北保定·期末）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，无法做成三角形，故A不符合题意； B、，无法做成三角形，故B不符合题意； C、，可以做成三角形，故C符合题意； D、，无法做成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 20．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差 ， 故选：C． 21．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是利用三角形的三边关系进行解题．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，进而可判断与的大小关系． 【详解】解：如下图， 根据题意，， ， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 22．（23-24八年级上·河北保定·期末）的边长如图所示，写出一个符合条件的的整数值： ．    【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三边的取值范围，然后再写出一个符合条件的的整数值即可． 【详解】解：∵，即， ∴m的整数值可以是4、5、6． 故答案为：4．（答案不唯一） 23．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ∵的周长为10， ， ， ， ∴的周长． 24．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）根据三角形外角性质，五边形内角和定理，解答即可． （2）利用同旁内角互补，两直线平行判定解答即可． 本题考查了三角形外角性质，五边形内角和定理，平行线的判定定理，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解法1：∵，， ∴． ∵， ∴． 由多边形的内角和公式可知：， ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解法1∵，， ∴． ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴． 题型04 多边形内外角和的应用 25．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据n边形的内角和为进行求解即可． 【详解】解：， ∴正十二边形的内角和为， 故选：A． 26．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列选项中不可能是多边形内角和的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，根据多边形内角和公式计算即可判断求解，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：、，是的倍数，故可能是多边形的内角和； 、，是的倍数，故可能是多边形的内角和； 、，不是的倍数，故不可能是多边形的内角和； 、，是的倍数，故可能是多边形的内角和； 故选：． 27．（22-23八年级上·河北沧州·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （    ）． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握n边形的内角和为、外角和是是解题的关键． 根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得： ， 解得：， ∴这个多边形是四边形． 故选：B． 28．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用．掌握边形的内角和为，外角和为是解题关键．设该多边形为边形，则根据多边形的内角和公式与外角和为，可列出关于的等式，解出的值即可． 【详解】解：设该多边形为边形， 则， 解得：， 该多边形为八边形． 故选：C． 29．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）下列命题：①多边形的外角和小于内角和；②三角形的内角和等于外角和；③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和；④四边形的内角和等于它的外角和．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的正误，涉及多边形的内角和与外角和，根据n多边形的外角和是以及内角和为逐个求解判断即可． 【详解】解：①由于三角形的外角和为，内角和为，故多边形的外角和小于内角和不正确； ②由于三角形的外角和为，内角和为，故三角形的内角和等于外角和不正确； ③由于多边形的每个顶点处有两个外角，取每个顶点处的一个外角，它们的和为这个多边形的外角和，故多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和不正确； ④由于四边形的内角和为，它的外角和为，故四边形的内角和等于它的外角和正确， 故选：B． 30．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意多边形外角和都等于，进行计算即可解答． 本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握“任意多边形外角和都等于”是解题的关键． 【详解】由题意得， ∵， ∴， 故选：C． 31．（23-24七年级上·河北张家口·期末）一个边形从一个顶点可引3条对角线．则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解答本题的关键．根据对角线公式计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴． 故选C． 32．（23-24七年级上·河北保定·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，这条对角线把多边形分成个三角形．掌握这些规律是解题的关键．利用规律从而可求出答案． 【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对角线，它们将六边形分成4个三角形． ∴，， 则， 故选C． 33．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉琪从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此一直走下去，他第一次回到出发点时，走的路程一共为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算，第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是的正多边形是关键． 【详解】解：， 则走的路程一共为， 故选B． 34．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）将正六边形和正五边形如图摆放，公共顶点为，且正六边形的边和正五边形的边在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正多边形的性质求出，，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 35．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，将四边形纸片剪掉一角得五边形，则所得新图形的外角和与原图形的外角和之间的关系是（    ）    A．增加了180° B．增加了90° C．没有变化 D．不能判断 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和为360°，即可求解． 【详解】∵多边形的外角和为360°， ∴将四边形纸片剪掉一角得五边形，则所得新图形的外角和与原图形的外角和之间的关系是没有变化． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°． 36．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，将五边形沿对角线所在的直线剪开，得到四边形和，设四边形内角和为，三角形内角和为，则与的关系式（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据三角形内角和公式与三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 37．（12-13七年级下·全国·课后作业）如图， 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，由此即可求解． 【详解】解：如图： 由三角形内角和定理可得： ， ， , ， 又∵，，， ∴， ∵， ， , ∴ 故答案为：． 38．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图所示，小华从点出发，沿直线前进8米后左转，再沿直线前进8米后又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和．多边形的外角和为，每一个外角都为，依此可求边数，再求多边形的周长． 【详解】解：多边形的外角和为，而每一个外角为， 多边形的边数为， 小华一共走的路程：米． 故答案是：． 39．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．    【答案】 【分析】根据四边形的内角和定理即可求解；剪去后变成五边形，根据五边形的内角和定理，结合的答案即可求解． 【详解】解：四边形中， ∴内角和的度数为， ∵， ∴； 剪去，则变为五边形， ∴五边形的内角和为， ∵， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理的运用是解题的关键． 40．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，，，，，试求∠F的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，平行线的性质，垂直的定义，先由垂直的定义得到，再由四边形内角和定理得到；由平行线的性质得到，进而证明，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵∠C=120°，在四边形中，， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 在四边形中，， ∴． 又∵， ∴． 41．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边，两线交于点F，设，则x的值为（    ）． A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】延长交于，根据正多边形的外角为，结合三角形的外角性质可求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：如图，延长交于，则， ∴， ∵， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的外角、三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键． 42．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知正五边形，，交的延长线于点F，求的度数 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角． 根据平行线的性质得出，再由正五边形得出，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ． 又∵五边形是正五边形 ∴ ∴． 43．（22-23八年级上·河北邢台·期末）已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 【答案】(1)n的值为12； (2)n的值为5． 【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答； （2）先求得这个正多边形的每个外角为，根据多边形外角和定理解答即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得，即n的值为12； （2）解：∵正多边形的一个内角为， ∴这个正多边形的外角为． ∵多边形的外角和为， ∴，即n的值为5． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于360°． 44．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：，，是的三个内角． 对进行说理 小明给出如下说理过程，请补全证明过程．    证明：过点A作 ∵ ∴ ______=______（__________________） ∵（__________________） ∴ 听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．    【答案】；；两直线平行，内错角相等；平角定义；作图以及证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明；根据平行线的性质与平角的定义可得出推理的依据，如图，作，交于点，利用平行线的性质即可求解结论． 【详解】证明：过点作， ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， ， 故答案为： ；；两直线平行，内错角相等；平角定义 证明：作，交于点 ，如图所示：   ， ，， ， ， 即． 45．（22-23八年级上·河北·期末）如图，阅读嘉嘉和琪琪的对话，解决下列问题： (1)嘉嘉说的“多边形内角和为2020°”可能吗？______；（选填“可能”或“不可能”） (2)嘉嘉求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)不可能 (2)13边形或14边形 【分析】（1）根据多边形内角和公式可得多边形内角和都是180的倍数，进而判断即可； （2）设应加的内角为，多加的外角为，依题意可列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵多边形内角和公式为， ∴多边形内角和都是180的倍数， ∴余40， ∴多边形内角和不可能为2020°． 故答案为：不可能． （2）设应加的内角为，多加的外角为， 依题意可列方程：， ∵， ∴， 解得， 又∵为正整数， ∴，． 故嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 46．（21-22八年级下·河北秦皇岛·期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边． (1)你知道这个多边形是几边形吗?你是怎么知道的? (2)这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？ 【答案】(1)六边形，理由见解析 (2)这个多边形的内角和是外角和的2倍 【分析】（1）根据多边形的内角和公式（n-2）•180°，进而可以算出这个多边形的边数； （2）根据多边形的内角和公式（n-2）•180°，求得六边形的内角和，据此即可得到这个多边形的内角和与外角的关系． 【详解】（1）解：这个多边形是六边形， 理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°， 解得：n=7， 由题意得：n-1=6． 所以这个多边形是六边形； （2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个多边形的内角和是外角和的2倍． 【点睛】本题考查多边形内角和公式和多边形的外角和的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系． 题型05 三角形的重要线段 47．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵是的边上的中线，的面积为， ∴， ∵是的边上的中线， ∴． 故选C． 48．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故选B． 49．（21-22八年级上·河北保定·期末）如图所示，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，根据三角形高线的定义，过点作交的延长线于点，则为边上的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的画法． 【详解】解：由题意可知，的边上的高是线段， 故选：． 50．（23-24八年级上·河北承德·期末）在中，高．则边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 51．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在 中，，，平分，则 的度数是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴（三角形内角和定义）． ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 52．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 53．（21-22八年级上·河北保定·期末）如图，在中，是的平分线，为上一点，且于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵EF⊥BC，∠DEF=15°， ∴∠ADB=90°-15°=75°． ∵∠C=35°， ∴∠CAD=75°-35°=40°． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠CAD=80°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°． 故选：A． 【点睛】考查了三角形内角和定理及外角的性质，解题关键是熟知三角形内角和是180°． 54．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，是边的中线 ，E、F分别是的中点，若的面积为6，则的面积等于 ． 【答案】48 【分析】由于是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的2倍；同理，由于是的中点，得出的面积等于面积的2倍；由于是边上的中线，得出的面积等于面积的2倍，代入求解即可．本题考查了三角形的面积公式，难度中等．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ， ， 又， ． 同理，． 故答案为：48 55．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点是的中点得出，，进而得到，再根据为的中点，得到，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键． 【详解】解：点是的中点， ，， ， ， 为的中点， ， 故答案为：3． 56．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为F． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线等知识．熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵是角平分线， ∴， ∴； （2）解：是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 57．（23-24七年级上·河北邯郸·开学考试）如图，的面积是180平方厘米，D是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍，那么的面积是多少平方厘米？    【答案】的面积是平方厘米 【分析】根据三角形的面积公式将三角形面积的比转化为三角形边长的比，联立起来进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：到的距离是边上的高和边上的高，到的距离是边上的高和边上的高，到的距离是边和边的高 ∵D是的中点 ∴ 又∵边上的高和边上的高相等 ∴（平方厘米） ∵的长是长的3倍 ∴ 又∵边上的高和边的高相等 ∴（平方厘米） ∵的长是长的3倍 ∴ 又∵边上的高和边上的高相等 ∴（平方厘米） 答：的面积是平方厘米 【点睛】本题考查了三角形面积的计算，解题的关键是掌握三角形的面积公式以及正确求得相应线段的比值关系． 58．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，延长至点D，平分，F为延长线上一点，交于点G，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质， 三角形外角的性质等知识，根据角平分线定义可求出的度数，根据平行线的性质可求出的度数，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ∴在中，． 59．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，平分，，，求的度数．    【答案】 【分析】由三角形内角和等于180度求得的度数，即可计算的度数，根据角平分线的性质可解得，最后根据三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：，    ， ， ， 平分， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线性质等知识，是常见基础考点，熟练掌握相关知识、学会几何推理过程是解题关键． 60．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，，且平分，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的定义求得的度数，再根据是的外角，求得的度数，最后根据三角形内角和定理，求得的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 61．（21-22八年级上·河北承德·期末）如图，中，，于点D，为的中线，，，．求：    (1)的长 (2)的面积 (3)和 的周长的差 【答案】(1)4.8 (2)12 (3)2 【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）与的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．据此即可得到答案； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，易求其值． 【详解】（1），是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ， ，即， ． 的面积是． （3）为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了三角形的面积、三角形中线、三角形的高等知识，（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 题型01 三角形有关性质的综合应用 62．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）如图，，，分别是三边延长线上的点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内和定理，外角的性质处理； 【详解】解：如图，; ∴． 故选：C 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定理；由定理得角之间的数量关系是解题的关键． 63．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角变为四边形，下列说法正确的是（    ） A．内角和变大 B．内角和变小 C．外角和变大 D．外角和变小 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，根据多边形的内角与外角、三角形的内角和定理及三角形的外角性质，即可得出答案． 【详解】解：由三角形变成四边形，内角和变大了，外角和不变． 故选：A． 64．（2024·河北邢台·一模）平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设，    在中，，即， 在中，，即， 所以 观察四个选项可知，只有选项C符合． 故选：C． 65．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）解：如图3，连接 ， 则， ∴， 根据“8字形”数量关系，， ∴， 即图2中． 66．（23-24八年级下·河北保定·期末）淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（   ） A．变成四边形后内角和增加了 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，四边形的内角和为360度，多边形的外角和为360度． 【详解】解：∵三角形内角和为，四边形内角和为， ∴变成四边形后内角和增加了，故A不正确，符合题意；B正确，不符合题意； ∵三角形外角和为，四边形外角和为， ∴外角和没有发生变化，故C正确，不符合题意； ∵剪掉的角的度数是， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：A． 67．（23-24八年级上·河北邢台·期末）为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，点到直线的距离，先找出点的位置，画出所有情况即可得到答案． 【详解】解：过点作于， 点B到射线的距离为d， ①当点和点重合时，，此时是一个直角三角形； ②当时，此时点的位置有两个，即有两个； ③当时，此时形状、大小是唯一确定， 所以x的取值范围是或． 故选A． 68．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心，解题的关键是熟练掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点，分别连接三角形两个顶点与各个点并延长与各边相交，用刻度尺测出交点是否为各边的中点，即可作出判断． 【详解】解：A．如图，连接并延长交于点P，显然不是的中点，因此不是重心，故A错误；    B．如图，连接并延长交于点Q，显然不是的中点，因此F不是重心，故B错误；    C．如图，连接并延长交于点N，连接并延长交于点M，显然M、N分别是、的中点，因此G是重心，故C正确；    D．如图，连接并延长交于点K，显然不是的中点，因此H不是重心，故D错误．    故选：C． 69．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和定理、补角的性质，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．延长至点，延长至点，利用多边形的外角和是得，利用求得和，即可解决． 【详解】解：如图，延长至点，延长至点， 根据多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 70．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 71．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．由，得，再由折叠的性质得，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， 把沿对折， ， 故选：D． 72．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得，，再根据三角形的内角和定理即可求解．明确折叠前后对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵将三角形纸片沿BD折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 73．（23-24八年级上·河北沧州·期中）若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A．①②都可以 B．①②都不可以 C．只有①可以 D．只有②可以 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将的直铁丝分为两段， 即只有①可以，②不可以， 故选：C． 74．（22-23八年级上·河北承德·期末）平面内，将长分别为1，1，5，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项C符合，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键． 75．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，点、在边上，点在边上，与、相交于、两点，若，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，对顶角相等，根据四边形内角和为求出的度数即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了邻补角，对顶角的知识，四边形内角和的运用，熟练掌握并运用这些知识是解答本题的关键． 76．（23-24八年级上·河北沧州·期末）把正八边形沿对角线折叠，使点、落在正八边形内部的点、处，经过探究，嘉嘉说：；娜娜说：；玲玲说：若连接,则，则下列说法正确的是（    ）    A．只有嘉嘉和娜娜正确 B．只有嘉嘉说的正确 C．三个同学说的都正确 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据多边形内角和公式，求出八边形内角和，再由正八边形每个内角都相等，求出单个内角的度数，由正八边形的对称性，及四边形内角和为，可求出的度数，由折叠的性质，可求的度数，得证，根据正八边形的对称性，可得，得证，由前两个结论，根据平行公理，即可得出、、三点共线，得证，本题考查了多边形内角和，正多边形的对称性，折叠的对称性，平行线的性质和判定和平行公理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，并灵活应用． 【详解】解：正八边形内角和为：， 每个内角的度数为：， 由正八边形的对称性，及四边形内角和为，可得： ， 由折叠的性质可得：， ， ，嘉嘉说的正确， ， ， （同旁内角互补，两直线平行），娜娜说的正确， 又， 、、三点共线， ，玲玲说的正确， 三个同学说的都正确，选项符合题意， 故选：． 77．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，正六边形的一个内角为，根据周角的定义有，，得，再讨论即可得n的值． 【详解】解：正六边形的一个内角为， ， 为正n边形的一个内角的度数， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 故n的值为3或4或5或6．故选C． 78．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）有一道题目：“如图，，点M，N分别在上运动（不与点O重合），平分，的反向延长线与的平分线交于点F，在点M，N的运动过程中，求的度数．”甲的解答：的度数不能确定，它随着点M，N的运动而变化，且随的增大而减小；乙的解答：始终等于，下列判断正确的是（    ） A．甲说的对 B．乙说的对 C．乙求的结果不对，始终等于 D．两人说的都不对，凭已知条件无法确定的值或变化趋势 【答案】C 【分析】由是的外角，是的外角，得到，，再由角平分线，得到，，从而得到． 【详解】解：是的外角， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ． ∴甲的说法错误，而乙求的结果不对，始终等于； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是的定理的综合运用．属于常考题． 79．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 【分析】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识，解题的关键是理解题意，找出图形中各角之间的关系．延长，交于点，根据三角形的内角和求出，从而得到，根据内外角关系得到，求出，由，可得，求出即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ， ，， ， 而图中， 应减少， 故答案为：减少，． 80．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 81．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线．    (1)若，求的度数； (2)若，，则＝ （用含，的式子表示，＞）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是边上的高，得，欲求，可求，已知，进而转化为求，已知是的平分线，求转化为求，已知，根据三角形内角和定理，可求得； （2）与（1）同理，注意，． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， （2）解：由（1）知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线以及三角形外角的定义，熟练掌握三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线以及三角形外角的定义是解决本题的关键． 82．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 83．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是角平分线（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）首先由是中线得，再分别求出和的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据是的高得，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的外角定理可得的度数； （3）先利用三角形的内角和定理求出，由此可根据据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：是中线， ， ，， 的周长，的周长为， ． 故答案为：1． （2）解：是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （3）解：， ， 是的角平分线， ，， ， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键． 84．（21-22八年级上·河北沧州·期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F． (1)在△BEF中，请指出边EF上的高； (2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积； (3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长． 【答案】(1)边EF上的高是BF； (2)S△ACD=10； (3)△ABD的周长为m+a-n． 【分析】（1）根据三角形高的定义即可得出边EF上的高是BF； （2）先求得△BDE的面积，然后根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△ABE=S△BDE=5，进一步得到S△ACD=S△ABD=10； （3）利用三角形周长公式即可求得． 【详解】（1）解：∵EF⊥BC于点F， ∴边EF上的高是BF； （2）解：∵BD=5，EF=2， ∴S△BDE=BD•EF=5． ∵BE是△ABD的中线， ∴S△ABE=S△BDE=5， ∴S△ABD=10． 同理可得，S△ACD=S△ABD=10； （3）解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD． ∵△ACD的周长为a， ∴a=AD+CD+AC=AD+CD+n， ∴AD+CD=a-n， ∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=m+a-n． 【点睛】本题涉及到三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，难度适中． 85．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的倍，我们称这样的三角形为“黄金三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“黄金三角形”． 【简单应用】 图1                     图2 （1）若一个“黄金三角形”有一个内角为，那么这个三角形的最小内角的度数为______； （2）如图1，，在射线上找一点，过点作，边交于点． ①______，______（填“是”或“不是”）“黄金三角形”； ②以为边在射线的右侧作，边交线段于点（点不与、重合），当______时，是“黄金三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，的平分线交于点，且，若是“黄金三角形”，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；是；②或或；（3）或 【分析】（1）根据“黄金三角形”的概念和三角形内角和定理进行分类讨论即可； （2）①根据三角形内角和定理求得，再根据“黄金三角形”的概念进行判断即可；②根据“黄金三角形”的概念分情况讨论即可； （3）根据角平分线的定义可得，根据平行线性质可得，，继而得到，再根据 “黄金三角形”的概率分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵一个“黄金三角形”有一个内角为， 则：， 分两种情况： ①设另外两个角为：和， ∴， 解得：； ②设另外两个角为：和， ∴， 解得： 综上所述，这个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：； （2）①∵在中，，， ∴， ∵， ∴是“黄金三角形”， 故答案为：；是； ②∵，， ∴， 若是“黄金三角形”，可分以下几种情况： 第一种情况：当时， 则， ∴； 第二种情况：当时， 则， 则点与重合，不符合题意； 第三种情况：当时， ∵， ∴， 则， ∴； 第四种情况：当时， ∵， ∴， 则， ∴； 综上所述，当为或或时，是“黄金三角形” 故答案为：或或； （3）∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是“黄金三角形”， ∴或， 设，则， ①当时，得：， 解得：； ②当时，得：， 解得：； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，“黄金三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 86．（22-23八年级上·河北保定·期末）当三角形中的一个内角是另一个内角的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”． （1）若一个“特征三角形”的“特征角”为，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ； （2）若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 ； （3）一个“特征三角形”的“特征角”的度数的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据特征角求出三角形的另一个内角，再根据三角形内角和即可得到答案； （2）分直角为特征角或其中一个锐角为特征角两类讨论即可得到答案； （3）根据特征角表示出另外两个角，根据三角形内角在列不等式计算即可得到答案； 【详解】解：（1）∵“特征三角形”的“特征角”为， ∴其中一个内角为， 根据三角形内角和定理可得， 另一个内角为：， 故答空1答案为：； （2）①当直角为“特征角”时，另外两个内角为， ②当直角不是“特征角”时，设特征角为x度，则另一个内角为度， ∴，解得， 故答空2答案为：或； （3）设特征角为m度，则与特征角相关的角为度，另一个内角为度，由题意可得， ， 解得， 故答空3答案为：； 【点睛】本题考查三角形内角和定理及特征三角形定义，解题的关键是读懂题干中的特征三角形结合三角形内角和进行计算． 87．（21-22八年级上·河北邢台·期末）如图，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”试解答下列问题： (1)在图中，写出、、、之间关系； (2)如图，在（1）的结论下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、． 仔细观察，在图中有______个以线段为边的“字形”； 若，，试求的度数； 和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系，不需说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据图像，即可得到答案； ②根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ③根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：，， 而， ； （2）解：①由图可知，以为交点的“字形”有个，以为交点的“字形”有个； ②，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ， 故答案为：； ③根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 88．（22-23八年级上·河北保定·期末）（问题背景） ，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． （问题思考） (1)如图①，，分别是和的平分线，随着点A，点B的运动，______； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D． ①若则_________； ②随着点A、B的运动的大小会变吗?如果改变求的度数；如果不变，请说明理由； （问题拓展） (3)在图②的基础上，射线的反向延长线上有一点P，如果，其余条件不变，围随着点A、B的运动（如图③），则：______．用含的代数式表示）_________．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①，②的度数不随A、B的移动而发生变化，见详解 (3)， 【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，将求出，即可求解． （2）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出，即可求解；②设，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出，即可求解． （3）设，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出，即可求解． 【详解】（1）解： ， 、分别是和角的平分线， ，， ， ； 故答案为：． （2）解：①， ， 是的平分线， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． ②的度数不随A、B的移动而发生变化，设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 故的度数不随A、B的移动而发生变化． （3）解：设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了根据角平分线的定义及三角形内角和定理应用，掌握角平分线的定义及三角形内角和定理，并会灵活运用是解题的关键． 试卷第2页，共67页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 题型01三角形的概念辨析 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）以下四个图片中的物品，没有利用到三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（    ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的（    ） 已知：如图，．    求证：． 证明：延长交 ※ 于点， 则 ◎ （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又， ∴ ▲ ，故（ @ 相等，两直线平行）． A．◎代表 B．@代表内错角 C．▲代表 D．※代表 4．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两定确定一条直线 D．三角形具有稳定性 题型02 三角形内角和与外角和的应用 5．（23-24八年级上·河北保定·期末）如果一个三角形中最小的一个内角为，那么这个三角形一定为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．（22-23八年级上·河北保定·期末）下列各图中能说明的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的倍，那么这个外角是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，直线，一副三角板放置在之间，一三角板直角边在上，三角板斜边在同一直线上．则（    ） A． B． C． D． 9．（21-22八年级上·河北唐山·期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是的外角，求证：． 证法1：如图． ∵（三角形内角和定理） 又∵（平角定义） ∴（等量代换） ∴（等式性质） 证法2：如图， ∵，， 且（量角器测量所得） 又∵（计算所得） ∴（等量代换） 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 10．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，C岛在A岛的南偏东方向，从C岛看A、B两岛的视角是（    ）度．    A． B． C． D． 11．（22-23八年级上·河北邢台·期末）在中，，则中最大的内角度数为（    ）． A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在则 °． 13．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边、上），点A落在点的位置，若，则 ． 14．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    15．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，.    (1)试判断与的位置关系，并说明理由. (2)若，平分，求的度数. 题型03 三角形三边关系的应用 16．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 17．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·河北保定·期末）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 20．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 21．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·河北保定·期末）的边长如图所示，写出一个符合条件的的整数值： ．    23．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 24．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 题型04 多边形内外角和的应用 25．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列选项中不可能是多边形内角和的是（  ） A． B． C． D． 27．（22-23八年级上·河北沧州·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （    ）． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 28．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A．六 B．七 C．八 D．九 29．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）下列命题：①多边形的外角和小于内角和；②三角形的内角和等于外角和；③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和；④四边形的内角和等于它的外角和．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 30．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·河北张家口·期末）一个边形从一个顶点可引3条对角线．则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 32．（23-24七年级上·河北保定·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 33．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉琪从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此一直走下去，他第一次回到出发点时，走的路程一共为（    ）    A． B． C． D． 34．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）将正六边形和正五边形如图摆放，公共顶点为，且正六边形的边和正五边形的边在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 35．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，将四边形纸片剪掉一角得五边形，则所得新图形的外角和与原图形的外角和之间的关系是（    ）    A．增加了180° B．增加了90° C．没有变化 D．不能判断 36．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，将五边形沿对角线所在的直线剪开，得到四边形和，设四边形内角和为，三角形内角和为，则与的关系式（    ）    A． B． C． D．无法确定 37．（12-13七年级下·全国·课后作业）如图， 度． 38．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图所示，小华从点出发，沿直线前进8米后左转，再沿直线前进8米后又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 39．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．    40．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，，，，，试求∠F的度数． 41．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边，两线交于点F，设，则x的值为（    ）． A．15 B．18 C．21 D．24 42．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知正五边形，，交的延长线于点F，求的度数 43．（22-23八年级上·河北邢台·期末）已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 44．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：，，是的三个内角． 对进行说理 小明给出如下说理过程，请补全证明过程．    证明：过点A作 ∵ ∴ ______=______（__________________） ∵（__________________） ∴ 听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．    45．（22-23八年级上·河北·期末）如图，阅读嘉嘉和琪琪的对话，解决下列问题： (1)嘉嘉说的“多边形内角和为2020°”可能吗？______；（选填“可能”或“不可能”） (2)嘉嘉求的是几边形的内角和？ 46．（21-22八年级下·河北秦皇岛·期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边． (1)你知道这个多边形是几边形吗?你是怎么知道的? (2)这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？ 题型05 三角形的重要线段 47．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 48．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 49．（21-22八年级上·河北保定·期末）如图所示，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 50．（23-24八年级上·河北承德·期末）在中，高．则边是（    ） A． B． C． D． 51．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在 中，，，平分，则 的度数是（　） A． B． C． D． 52．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 53．（21-22八年级上·河北保定·期末）如图，在中，是的平分线，为上一点，且于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 54．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，是边的中线 ，E、F分别是的中点，若的面积为6，则的面积等于 ． 55．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且，则 ．    56．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为F． (1)求的度数； (2)求的度数． 57．（23-24七年级上·河北邯郸·开学考试）如图，的面积是180平方厘米，D是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍，那么的面积是多少平方厘米？    58．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，延长至点D，平分，F为延长线上一点，交于点G，，求的度数． 59．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，平分，，，求的度数．    60．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，，且平分，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 61．（21-22八年级上·河北承德·期末）如图，中，，于点D，为的中线，，，．求：    (1)的长 (2)的面积 (3)和 的周长的差 题型01 三角形有关性质的综合应用 62．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）如图，，，分别是三边延长线上的点，则（    ）    A． B． C． D． 63．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角变为四边形，下列说法正确的是（    ） A．内角和变大 B．内角和变小 C．外角和变大 D．外角和变小 64．（2024·河北邢台·一模）平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 65．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 66．（23-24八年级下·河北保定·期末）淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（   ） A．变成四边形后内角和增加了 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 67．（23-24八年级上·河北邢台·期末）为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 68．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 69．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 70．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 71．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 72．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 73．（23-24八年级上·河北沧州·期中）若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A．①②都可以 B．①②都不可以 C．只有①可以 D．只有②可以 74．（22-23八年级上·河北承德·期末）平面内，将长分别为1，1，5，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 75．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，点、在边上，点在边上，与、相交于、两点，若，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 76．（23-24八年级上·河北沧州·期末）把正八边形沿对角线折叠，使点、落在正八边形内部的点、处，经过探究，嘉嘉说：；娜娜说：；玲玲说：若连接,则，则下列说法正确的是（    ）    A．只有嘉嘉和娜娜正确 B．只有嘉嘉说的正确 C．三个同学说的都正确 D．无法判断 77．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 78．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）有一道题目：“如图，，点M，N分别在上运动（不与点O重合），平分，的反向延长线与的平分线交于点F，在点M，N的运动过程中，求的度数．”甲的解答：的度数不能确定，它随着点M，N的运动而变化，且随的增大而减小；乙的解答：始终等于，下列判断正确的是（    ） A．甲说的对 B．乙说的对 C．乙求的结果不对，始终等于 D．两人说的都不对，凭已知条件无法确定的值或变化趋势 79．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 80．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 81．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线．    (1)若，求的度数； (2)若，，则＝ （用含，的式子表示，＞）． 82．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 83．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是角平分线（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 84．（21-22八年级上·河北沧州·期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F． (1)在△BEF中，请指出边EF上的高； (2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积； (3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长． 85．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的倍，我们称这样的三角形为“黄金三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“黄金三角形”． 【简单应用】 图1                     图2 （1）若一个“黄金三角形”有一个内角为，那么这个三角形的最小内角的度数为______； （2）如图1，，在射线上找一点，过点作，边交于点． ①______，______（填“是”或“不是”）“黄金三角形”； ②以为边在射线的右侧作，边交线段于点（点不与、重合），当______时，是“黄金三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，的平分线交于点，且，若是“黄金三角形”，求的度数． 86．（22-23八年级上·河北保定·期末）当三角形中的一个内角是另一个内角的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”． （1）若一个“特征三角形”的“特征角”为，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ； （2）若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 ； （3）一个“特征三角形”的“特征角”的度数的取值范围为 ． 87．（21-22八年级上·河北邢台·期末）如图，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”试解答下列问题： (1)在图中，写出、、、之间关系； (2)如图，在（1）的结论下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、． 仔细观察，在图中有______个以线段为边的“字形”； 若，，试求的度数； 和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系，不需说明理由． 88．（22-23八年级上·河北保定·期末）（问题背景） ，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． （问题思考） (1)如图①，，分别是和的平分线，随着点A，点B的运动，______； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D． ①若则_________； ②随着点A、B的运动的大小会变吗?如果改变求的度数；如果不变，请说明理由； （问题拓展） (3)在图②的基础上，射线的反向延长线上有一点P，如果，其余条件不变，围随着点A、B的运动（如图③），则：______．用含的代数式表示）_________．（用含的代数式表示） 试卷第2页，共67页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$