专题06 反比例函数（2种经典基础练+4种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题06 反比例函数（2种经典基础练+4种优选提升练） 反比例函数（共16题） 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•吉林期末）下列各项中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•临江市期末）函数和，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•蛟河市期末）如图，反比例函数的图象经过点，则的值为　　 A． B． C．6 D．5 4．（2023秋•南关区校级期末）已知反比例函数的图象上有两点，，，，且，则的值是　　 A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 5．（2023秋•浑江区期末）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 6．（2023秋•长岭县期末）反比例函数关于轴对称的函数的解析式为 　 　． 7．（2023秋•吉林期末）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则的取值范围是 　 　． 8．（2023秋•通榆县期末）反比例函数的图象过点，则的值为 　　． 9．（2023秋•浑江区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上，则的值为 　 　． 10．（2023秋•宁江区期末）如图，直线与双曲线交于，两点，若的面积为4，则的值为 　　． 三．解答题（共6小题） 11．（2023秋•磐石市期末）已知一次函数平行于直线，且与双曲线的一个交点为，求此一次此函数的解析式． 12．（2023秋•吉林期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，点是反比例函数上的点，当时，直接写出点的坐标． 13．（2023秋•九台区期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 14．（2023秋•吉林期末）如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，点坐标为． （1）求的值和点的坐标； （2）若是的中点，求的长． 15．（2023秋•宁江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴上一点，且，求点坐标． 16．（2023秋•宁江区期末）如图的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点为反比例函数图象第一象限上点下方一个动点，过点作轴交线段于点，连接，求的面积的最大值． 实际问题与反比例函数（共7题） 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•龙山区期末）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•扶余市期末）已知近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数解析式为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•梨树县期末）已知甲、乙两地相距（单位：，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（单位：关于行驶速度（单位：的函数图象是　　 A． B． C． D． 二．解答题（共4小题） 4．（2023秋•船营区校级期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（A）与电阻成反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 5．（2023秋•丰满区期末）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（A）是电阻的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若一个用电器通过的电流超过，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？ 6．（2023秋•船营区校级期末）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求密度关于体积的函数解析式． （2）当时，求该气体的密度． 7．（2023秋•扶余市期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　 　，自变量的取值范围为 　　；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 反比例函数系数k的几何意义（共5题） 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点．若，的面积是4.5，则的值为　　 A．2 B．3 C．6 D．9 二．填空题（共2小题） 2．（2023秋•永吉县期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 　　． 3．（2023秋•双辽市期末）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点和点，点、在轴上，的面积为6，则　　． 三．解答题（共2小题） 4．（2023秋•蛟河市期末）如图，，是双曲线上任意两点，点在内，且轴，轴，若的面积为4． （1）求的面积； （2）求的面积． 5．（2023秋•东丰县期末）如图，已知点在正比例函数图象上，过点作轴于点，四边形是正方形，点是反比例函数图象上． （1）若点的横坐标为，求的值； （2）若设正方形的面积为，试用含的代数式表示值． 反比例函数与一次函数交点（共6题） 一．填空题（共2小题） 1．（2023秋•丰满区期末）如图，正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点为，交轴于点，若的面积为4，则的值是 　　． 2．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，则关于的不等式的解集为 　 ． 二．解答题（共4小题） 3．（2023秋•磐石市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线在另一象限交于点，与轴交于点． （1）求双曲线所对应的函数表达式； （2）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标． 4．（2023秋•通榆县期末）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 5．（2023秋•东辽县期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）在轴上求一点，使的值最大，并求出其最大值和点坐标． 6．（2023秋•南关区校级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求△的面积； （3）若，、，是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系． 反比例函数的应用（共8题） 1．（2024•吉林二模）某款亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求台灯的电流（A）关于电阻的函数解析式． （2）当时，求的取值范围． 2．（2024•前郭县一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：之间的函数关系式为，如图． （1）求蓄电池的电压是多少； （2）如果电流不超过，求电阻应控制的范围． 3．（2024•永吉县二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压（单位：是气体体积（单位：的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）求当气球的体积是时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 　　立方米． 4．（2024•铁东区校级模拟）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； （3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 5．（2024•吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当电阻为时，求此时的电流． 6．（2024•前郭县二模）某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为小时，平均速度为千米时（汽车行驶速度不超过110千米时）．根据经验，，的部分对应值如表： （千米时） 75 80 90 时 4.80 4.50 4.00 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米时）关于行驶时间（时的反比例函数表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）汽车上午出发，能否在上午之前到达邻市市场？请说明理由． 7．（2024•船营区一模）王吉同学通过学习数学和物理知识，知道了根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物体离度不变时，像高（单位：是物距（小孔到物体的距离）（单位：的反比例函数．当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若物体的像高为，求小孔到物体的距离． 8．（2024•宁江区校级一模）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：会随着电磁波的频率（单位：的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 10 15 50 波长 30 20 6 （1）求波长关于频率的函数解析式． （2）当时，求此电磁波的波长． 反比例函数综合题（共5题） 9．（2024•松原三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿轴向右平移1个单位长度至处，交于点，交反比例函数的图象于点． ①求的长； ②直接写出图中阴影部分的面积． 10．（2024•四平一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，． （1）求的值； （2）点在这个反比例函数图象上，且，求的长． 11．（2024•松原二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． （1）求和的值； （2）以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 12．（2023秋•临江市期末）如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2023秋•永吉县期末）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求的值； （2）在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点坐标；如果不存在，请说明理由． （3）点是反比例函数图象上的点，在轴上有一点，使得最小，请求出点的坐标． 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【解答】解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．（2023秋•长岭县期末）反比例函数关于轴对称的函数的解析式为 　　． 【分析】根据“两反比例函数关于轴对称，比例系数互为相反数”即可求得关于轴对称的函数的解析式． 【解答】解：反比例函数关于轴对称的函数的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握． 7．（2023秋•吉林期末）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则的取值范围是 　　． 【分析】让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可． 【解答】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限， ， 解得． 故答案为：． 【点评】考查反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0． 8．（2023秋•通榆县期末）反比例函数的图象过点，则的值为 　2　． 【分析】把点的坐标代入函数表达式计算即可得解． 【解答】解：反比例函数的图象过点， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 9．（2023秋•浑江区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上，则的值为 　　． 【分析】过点作轴于，证明，可得点坐标，代入求解即可． 【解答】解：当时，， ， ； 当时，， ， ， ； 过点作轴于， 四边形是正方形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， 点坐标为， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用． 10．（2023秋•宁江区期末）如图，直线与双曲线交于，两点，若的面积为4，则的值为 　3　． 【分析】根据直线与双曲线的对称性求得，即可求得，利用三角形面积公式求得的横坐标，进而求得纵坐标，进一步求得反比例函数的解析式． 【解答】解：直线与双曲线关于直线对称， ， 直线与轴相交于点，与轴交于， ，， ， 的面积是4， ， ， 解得， 代入得，， ， 双曲线过点， ， 的值为3， 故答案为：3． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数的对称性，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得的坐标是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 11．（2023秋•磐石市期末）已知一次函数平行于直线，且与双曲线的一个交点为，求此一次此函数的解析式． 【分析】先求出点坐标，代入直线解析式可求解． 【解答】解：点在上， ， 点， 一次函数平行于直线，且过点， ，， ， 一次函数解析式为：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，是条基础题． 12．（2023秋•吉林期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，点是反比例函数上的点，当时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）由反比例函数的性质可求解； （2）由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）由于为反比例函数的图象上一点， ， 又函数位于第二象限， ， 反比例函数的解析式为； （2）设点， ，， ， ， 点在第二象限， 点． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 13．（2023秋•九台区期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【分析】（1）用待定系数法可求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）设交轴于，求出，故，，即可得的面积为3． 【解答】解：（1）把代入得： ， 解得， 反比例函数的解析式为； 把代入得： ； ， 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）设交轴于，如图： 在中，令得， ， ，， ， 的面积为3． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，求出反比例函数和一次函数的解析式． 14．（2023秋•吉林期末）如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，点坐标为． （1）求的值和点的坐标； （2）若是的中点，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可得到，代入即可求得的值，从而求得的坐标； （2）根据、的坐标求得的坐标，然后根据勾股定理求解求得． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ， 点坐标为， ， 反比例函数在第一象限的图象经过点， ， ； （2）， ， ， ， 是的中点， ， ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得点的坐标是解题的关键． 15．（2023秋•宁江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴上一点，且，求点坐标． 【分析】（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得的坐标． 【解答】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为， 将代入，得， ． 将，代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）由可知， ， ， 或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． 16．（2023秋•宁江区期末）如图的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点为反比例函数图象第一象限上点下方一个动点，过点作轴交线段于点，连接，求的面积的最大值． 【分析】（1）把代入，求出，得到直线解析式，再求出的值，得到点坐标，然后将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）由题意可知轴，设，则，．根据三角形的面积公式得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）把代入， 得，解得， 直线解析式为， 当时，， ． 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）设，则，． ， ， 当时，的面积有最大值． 【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质．正确求出两个函数的解析式是解题的关键． 实际问题与反比例函数（共7题） 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•龙山区期末）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角形面积公式得出，进而得出答案． 【解答】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与的函数关系式为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据已知得出是解题关键． 2．（2023秋•扶余市期末）已知近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】由于近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米成反比例，可设，由于点在此函数解析式上，故可先求得的值． 【解答】解：根据题意近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米成反比例，设， 由于点在此函数解析式上， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 3．（2023秋•梨树县期末）已知甲、乙两地相距（单位：，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（单位：关于行驶速度（单位：的函数图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【解答】解：根据题意有：， 故与之间是反比例函数，其图象在第一象限． 故选：． 【点评】本题考查函数的图象，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 二．解答题（共4小题） 4．（2023秋•船营区校级期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（A）与电阻成反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【解答】解：（1）由于电流是电阻的反比例函数，设， 图象经过， ， 解得：， ， 这个反比例函数的解析式为； （2）， ， ， ， 即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数的关系式，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合是解决问题的关键． 5．（2023秋•丰满区期末）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（A）是电阻的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若一个用电器通过的电流超过，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？ 【分析】（1）先由点的坐标求得电压的值，再根据等量关系“电流电压电阻”可列出关系式； （2）将电流的值代入求得的函数关系式后即可确定电阻的取值范围． 【解答】解：（1）电流是电阻的反比例函数． 设， 图象经过， ， ， （2）当时，， 随的增大而减小， 用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 6．（2023秋•船营区校级期末）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求密度关于体积的函数解析式． （2）当时，求该气体的密度． 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）将代入函数解析式求解． 【解答】解：（1）设， 将代入得， 解得， ． （2）将代入得． 该气体的密度为． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系． 7．（2023秋•扶余市期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　　，自变量的取值范围为 　　；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）药物燃烧时，设出与之间的解析式，把点代入即可，从图上读出的取值范围；药物燃烧后，设出与之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的，两数之差与10进行比较，等于10就有效． 【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为 设药物燃烧后关于的函数关系式为代入为 药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为 （2）结合实际，令中得 即从消毒开始，至少需要经过 30分钟后，员工才能回到办公室． （3）把代入，得： 把代入，得： 所以这次消毒是有效的． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 反比例函数系数k的几何意义（共5题） 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点．若，的面积是4.5，则的值为　　 A．2 B．3 C．6 D．9 【分析】过点作轴点，轴于点，证明，得到，即，求出点，则，点，利用由的面积即可求解． 【解答】解：过点作轴点，轴于点， 设点，， 则，则， 则，即， 即， 则，则， 则点，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点，则， 的面积， 则， 故选：． 【点评】本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想． 二．填空题（共2小题） 2．（2023秋•永吉县期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 　2　． 【分析】根据反比例函数的系数的几何性质作答即可． 【解答】解：如图，过点作轴，垂足为， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， 点在双曲线上，且轴， 四边形的面积为3， 矩形的面积为， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数系数的几何性质，做题关键是掌握这些性质． 3．（2023秋•双辽市期末）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点和点，点、在轴上，的面积为6，则　8　． 【分析】先设点，，进而得出点的坐标，再由点在反比例函数图象上，得出，最后由的面积为6，建立方程求出的值． 【解答】解：如图，过点作于， 设点，， 点是矩形的对角线的交点， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 的面积为6， ， ， 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出是解本题的关键． 三．解答题（共2小题） 4．（2023秋•蛟河市期末）如图，，是双曲线上任意两点，点在内，且轴，轴，若的面积为4． （1）求的面积； （2）求的面积． 【分析】（1）根据反比例函数系数的几何意义可得，进而得出即可； （2）利用各个三角形面积之间的关系，得出，，由，得出． 【解答】解：（1）如图，延长交轴于点，延长交轴于点， 轴，轴，点，是双曲线上， ， 又的面积为4． ， ； （2），， ， ，， ， 又， ． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键． 5．（2023秋•东丰县期末）如图，已知点在正比例函数图象上，过点作轴于点，四边形是正方形，点是反比例函数图象上． （1）若点的横坐标为，求的值； （2）若设正方形的面积为，试用含的代数式表示值． 【分析】（1）先求的横坐标，就可以得到的坐标，即可求的值； （2）由正方形的面积为，得边长为，可表示出和的纵坐标为，进而求出的坐标，代入反比例函数即可． 【解答】解：（1）当时，， 的坐标为， ，， 的坐标为， 点是反比例函数图象上， ， ； （2）正方形的面积为， ， 和的纵坐标为， 的坐标为，， ， 的坐标为，， 代入得 ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键． 反比例函数与一次函数交点（共6题） 一．填空题（共2小题） 1．（2023秋•丰满区期末）如图，正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点为，交轴于点，若的面积为4，则的值是 　4　． 【分析】由在上可知为等腰直角三角形，过作于点，则可知，可求得的值． 【解答】解：点在上， ， 为等腰直角三角形， 过作于， 则， ， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查反比例函数的几何意义，由条件得出是解题的关键． 2．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，则关于的不等式的解集为 　或　． 【分析】根据点坐标得到反比例函数解析式，再由解析式得到点的坐标，由、两点坐标和图象位置可写出不等式的解集． 【解答】解：在双曲线图象上， ， 反比例函数解析式为：， 在双曲线图象上， ，． 由图象可知： 不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 二．解答题（共4小题） 3．（2023秋•磐石市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线在另一象限交于点，与轴交于点． （1）求双曲线所对应的函数表达式； （2）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标． 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式求出，再用待定系数法即可解决问题． （2）求出直线与轴的交点坐标，再用点的坐标表示出的面积即可解决问题． 【解答】解：（1）将点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以点坐标为， 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以双曲线对应的函数表达式为． （2）将代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以点坐标为． 令点坐标为， 则， 由的面积为3得， ， 解得或． 所以点的坐标为或． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知一次函数及反比例函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2023秋•通榆县期末）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）通过直线解析式求得点的坐标，由反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积． 【解答】解：（1）直线与反比例函数的图象交于点， ，， ，， 直线为，反比例函数为； （2）令，则， ， 把代入，解得， ， ， 的面积． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2023秋•东辽县期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）在轴上求一点，使的值最大，并求出其最大值和点坐标． 【分析】（1）由面积为1可得反比例函数系数，进而求解． （2）当点为直线与轴交点时满足题意，联立直线与曲线方程，求出点，坐标，进而求解． 【解答】解：（1）设点坐标为， 点在反比例函数图象上， ， ， ， 反比例函数解析式为有． （2）如图，当点为直线与轴交点时满足题意， 把代入得， 解得， 点坐标为， 令， 得，， 把代入得， 把代入得， 点坐标为，点坐标为， ， 为最大值． 【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是掌握反比例函数系数的几何意义，掌握函数与方程的关系． 6．（2023秋•南关区校级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求△的面积； （3）若，、，是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题． （2）根据对称性求出点坐标，发现轴，利用三角形的面积公式计算即可． （3）利用反比例函数的增减性解决问题即可． 【解答】解：（1）反比例函数经过点， ， 点在上， ， ， 把，坐标代入，则有， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， 轴， ． （3），、，是反比例函数上的两点，且， ． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小． 反比例函数的应用（共8题） 1．（2024•吉林二模）某款亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求台灯的电流（A）关于电阻的函数解析式． （2）当时，求的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）分别把和4400代入（1）中解析式求出的值，再根据函数的性质求出的取值范围． 【解答】解：（1）设与的函数关系式是， 图象经过点， ， ， 与的函数关系式是； （2）当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键． 2．（2024•前郭县一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：之间的函数关系式为，如图． （1）求蓄电池的电压是多少； （2）如果电流不超过，求电阻应控制的范围． 【分析】（1）根据点的坐标确定的值即可确定电压； （2）根据确定的电压的值确定函数关系式，再根据增减性结合电流的值确定电阻的取值范围即可． 【解答】解：（1）把点代入得： ，解得：， 即这个蓄电池的电压是； （2）由（1）得：电流（单位：关于电阻（单位：的函数关系式为， 当时，， 解得：， ，， 随的增大而减小， 电流不超过， 电阻应控制的范围为． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，能列出代数式是解题的关键． 3．（2024•永吉县二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压（单位：是气体体积（单位：的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）求当气球的体积是时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 　0.6　立方米． 【分析】（1）根据温度气体的气压气体体积，求温度，再确定与的函数关系式； （2）把代入（1）中的函数关系式求即可； （3）将代入求出的最小值． 【解答】解：（1）设函数表达式为， 把代入表达式得：， 解得：． 故函数关系式为，其中； （2）当时，， 故当气体的体积为时，气压是． 答：气球内的气压是； （3）当时，． 故气球的体积应不小于． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 4．（2024•铁东区校级模拟）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； （3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【分析】（1）根据题意可设，然后把，代入中得：，从而进行计算即可解答； （2）把代入中，进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设， 把，代入中得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）把代入中得：， 火焰的像高为； （3）由（2）可得：当火焰的像高为，小孔到蜡烛的距离为， 火焰的像高不得超过，小孔到蜡烛的距离至少是． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 5．（2024•吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当电阻为时，求此时的电流． 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）把代入（1）中的解析式求解． 【解答】解：（1）设， 由题意得：， 这个反比例函数的解析式为； （2）电阻为时，． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 6．（2024•前郭县二模）某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为小时，平均速度为千米时（汽车行驶速度不超过110千米时）．根据经验，，的部分对应值如表： （千米时） 75 80 90 时 4.80 4.50 4.00 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米时）关于行驶时间（时的反比例函数表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）汽车上午出发，能否在上午之前到达邻市市场？请说明理由． 【分析】（1）设．根据时，，得到，即得反比例函数表达式． （2）根据汽车上午出发，要在上午之前到达邻市市场，得到行驶时间为3小时，求得速度，判定汽车不能在上午之前到达邻市市场． 【解答】解：（1）根据表格中数据，可设． 时，， ， ． （2）汽车不能在上午之前到达邻市市场，理由： ， 当时，． 汽车不能在上午之前到达邻市市场． 【点评】本题主要考查了反比例函数．解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据自变量值求出函数值，与函数值限制范围比较作判断． 7．（2024•船营区一模）王吉同学通过学习数学和物理知识，知道了根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物体离度不变时，像高（单位：是物距（小孔到物体的距离）（单位：的反比例函数．当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若物体的像高为，求小孔到物体的距离． 【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可； （2）根据解析式代入数值解答即可． 【解答】解：（1）根据题意，设， 把，代入，得： ， 关于的函数解析式为：； （2）把代入，得，， 即当物体的像高为时，小孔到物体的距离为． 【点评】此题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答． 8．（2024•宁江区校级一模）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：会随着电磁波的频率（单位：的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 10 15 50 波长 30 20 6 （1）求波长关于频率的函数解析式． （2）当时，求此电磁波的波长． 【分析】（1）设解析式为 ，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【解答】解：（1）设波长关于频率的函数解析式为 ， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 【点评】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 反比例函数综合题（共5题） 9．（2024•松原三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿轴向右平移1个单位长度至处，交于点，交反比例函数的图象于点． ①求的长； ②直接写出图中阴影部分的面积． 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，可得结论； （2）①根据平移的性质得：，点的横坐标为3，根据函数图象上点的坐标特征可得的坐标，即可得解； ②由平移的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）点的坐标为，轴， ，，， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）①将沿轴向右平移1个单位长度至处， ，点的横坐标为3， 把代入，得， ， ， ； ②将沿轴向右平移1个单位长度至处， ，， ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，平移的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 10．（2024•四平一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，． （1）求的值； （2）点在这个反比例函数图象上，且，求的长． 【分析】（1）根据锐角三角函数求出，进而求出点坐标，最后用待定系数法即可求出； （2）延长交轴于，求出点坐标，进而求出直线的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点的坐标，即可求出． 【解答】解：（1）轴， ， 在中，，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ； （2）如图，延长交轴于， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 点，在直线上， ， ， 直线的解析式为①， 由（1）知，， 反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ， ， 即的长为． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线的解析式是解（2）的关键． 11．（2024•松原二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． （1）求和的值； （2）以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 【分析】（1）将点代入可求，进而求出，将点代入可求； （2）根据平行四边形的性质知点的纵坐标为1，可求得点的坐标，从而得求出，进而得出点的坐标，可得答案． 【解答】解：（1）点、点在直线上， ， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ； （2）①由（1）知，， 当时，， ， 四边形是平行四边形，， ， ，即， 当时，， ，， ． 【点评】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 12．（2023秋•临江市期末）如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作垂直于轴，垂足为点，求出点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两函数的解析式得出点的坐标，然后根据得出的面积即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）作垂直于轴，垂足为点， ，， ， ，， ， ， 点， 设一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 将点和代入， 得，， 一次函数的解析式为． 将点代入， 得， 反比例函数的解析式为， 即一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）将两个函数联立得， 整理得， 解得，， ，， 点， ， 即的面积为； （3）存在， ①以为对角线时， ，，，， 将点向右平移个单位，向上平移2个单位得到点的坐标， 即，， ②以为对角线时， ，，，， 将点向右平移1个单位，向上平移1个单位得到点的坐标， 即，， ③以为对角线时， ，，，， 将点向左平移1个单位，向下平移1个单位得到点的坐标， 即，， 综上所述，点的坐标为，，． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的知识，熟练掌握反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 13．（2023秋•永吉县期末）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求的值； （2）在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点坐标；如果不存在，请说明理由． （3）点是反比例函数图象上的点，在轴上有一点，使得最小，请求出点的坐标． 【分析】（1）对于，令求出的值，确定出的坐标，得到的长，根据的值，利用锐角三角函数定义求出的长，根据垂直于轴，确定出横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，确定出的坐标，代入反比例解析式求出的值即可； （2）存在，理由为：如图所示，分两种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质确定出的坐标即可； （3）把坐标代入反比例解析式求出的值，确定出坐标，过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，此时最小，利用待定系数法确定出直线的解析式，即可确定出的坐标． 【解答】解：（1）由可知，即， ， ， 轴， 点的横坐标为1， 点在直线上， 点的纵坐标为4，即， 点在上， ； （2）存在，如图所示： 当四边形为平行四边形时，， ，即； 当四边形为平行四边形时，， ，此时， 综上，点坐标为或； （3）点在反比例函数上， ，即点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，此时最小， 与关于轴的对称，点坐标为， 的坐标为， 设直线的解析式为， 由，解得：， 直线的解析式为， 令，得， 点坐标为，． 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，坐标与图形性质，对称性质，待定系数法确定一次函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$