专题05 概率初步（3种经典基础练+2种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题05 概率初步（3种经典基础练+2种优选提升练） 随机事件与概率（共14题） 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•宁江区期末）下列事件中属于随机事件的是　　 A．今天是星期一，明天是星期二 B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．抛出的篮球会下落 2．（2022秋•舒兰市期末）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是　　 A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 3．（2023秋•梅河口市期末）下列事件中，是必然事件的是　　 A．今年冬季兴城的最低气温为 B．下午考试，小明会考满分 C．乘坐公共汽车恰好有空座 D．四边形的内角和是 4．（2023秋•龙山区期末）有4条线段，分别为：，，，，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•蛟河市期末）从，，，0，，五个数中任选一个数作为的值，能使得是关于的完全平方式的概率是　　) A． B． C． D． 6．（2023秋•扶余市期末）在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值为　　 A．10 B．8 C．5 D．3 二．填空题（共8小题） 7．（2023秋•双辽市期末）“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是　　事件（选填“随机”，“必然”或“不可能” ． 8．（2023秋•船营区校级期末）“垂直于弦的直径平分这条弦”是 　　事件．（填“确定”或“不确定” 9．（2023秋•宁江区期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　　． 10．（2023秋•抚松县期末）如图，为直径，为的弦，，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 　 　． 11．（2023秋•蛟河市期末）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 　 　． 12．（2023秋•扶余市期末）有甲、乙两把不同的锁和、、三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是 　 　． 13．（2023秋•抚松县期末）某市民政部门举行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这些彩票中，设置如下奖项： 奖金（元 10000 5000 1000 500 100 50 数量（个 1 4 20 40 100 200 如果花2元钱购买1张彩票，那么所得奖金不多于100元的概率是 　 　． 14．（2023秋•浑江区期末）一个小球在如图所示的地面上自有滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 　　． 用列举法求概率（共15题） 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•南关区校级期末）图示的两个圆盘中，指针落在每一个数字所在的扇形区域上的机会是相等的，那么两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•浑江区期末）某口袋中有20个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当　　时，游戏对甲乙双方公平． A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共2小题） 3．（2023秋•浑江区期末）袋中有红、黄、蓝3球，从中摸出一个，放回，再摸一次，摸到一黄一蓝的概率是 　　． 4．（2023秋•梨树县期末）若是从、0、1中随机取的一个数，是从0、2022中随机取的一个数，则点在坐标轴上的概率是 　　． 三．解答题（共11小题） 5．（2023秋•丰满区期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州召开，现将写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片，这四张卡片除汉字不同外，其它完全相同．先洗匀卡片，再正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，并记录结果． （1）若从中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为 　 　； （2）从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表法，求随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的概率． 6．（2023秋•榆树市校级期末）2023年9月26日，杭州亚运会女子自行车团体竞速赛决赛中，吉林省运动员苑丽颖携手鲍珊菊、郭裕芳，发挥出色，以46秒376的成绩，战胜韩国队夺冠摘金，并打破亚洲纪录．某校为举办以三名运动员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定．现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着苑丽颖、鲍珊菊、郭裕芳三位运动员的姓名，依次记作，，，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录运动员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物不同的概率． 7．（2023秋•梅河口市期末）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的值为　　，统计图中的值为　　，类对应扇形的圆心角为　　度； （2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率． 8．（2023秋•龙山区期末）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率． 9．（2023秋•绿园区期末）甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译（记为、导游（记为、礼仪（记为三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率． 10．（2023秋•宁江区期末）小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着（楼梯）、（客厅）、（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况． （1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？ （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明． 11．（2023秋•南关区校级期末）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至3层的任意一层出电梯． 3 2 1 车库 （1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 　　； （2）请你用画树状图（或列表法）求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率． 12．（2023秋•朝阳区校级期末）为纪念杭州第19届亚运会成功举办，小东收集了如图所示的四张小卡片（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小东从中随机抽取一张卡片是“亚运会会徽”的概率是 　 　； （2）小东从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用适当的方法求抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率．（这四张卡片依次分别用字母，，，表示） 13．（2023秋•二道区期末）为了进一步培养青少年对冰雪运动的兴趣，长春市多家滑雪场面向青少年优惠开放，有净月潭滑雪场、天定山滑雪场、庙香山滑雪场三个雪场可供学生选择．现有三张正面印有这三个滑雪场图案的不透明卡片，依次记为、、，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后小亮再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小张和小亮抽到同一雪场的概率． 14．（2023秋•吉林期末）有3张卡片，正面分别印有“祖”（用字母代替）、“国”（用字母代替）、“强”（用字母代替）的字样，卡片的形状、大小、质地等都相同，放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．先从盒子中随机取出一张卡片，记录后不放回，再从剩余的卡片中随机取出一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率． 15．（2023秋•长春期末）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽（卡片分别记为，，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”（卡片记为，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率． 用频率估计概率（共7题） 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•柳河县期末）在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为　　 A．3 B．6 C．7 D．14 2．（2023秋•梅河口市期末）在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•浑江区期末）做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为　　 A．0.22 B．0.44 C．0.50 D．0.56 二．填空题（共3小题） 4．（2023秋•二道区期末）在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个，这些小球除了颜色不同外其它特质均相同．欣欣同学进行了摸球试验，每次摸出一个小球记下颜色，然后放回袋中搅拌均匀，再从中摸出一个如此重复，经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在0.60左右，由此可以估计袋中红球的个数为 　　个． 5．（2023秋•临江市期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 　　． 6．（2023秋•靖宇县期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 　　个． 三．解答题（共1小题） 7．（2023秋•丰满区期末）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的种子粒数 471 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953 （1）求表中，的值； （2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到； （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育． 列表法与树状图法（共13题） 1．（2023秋•船营区校级期末）吉雪滑雪场、五家山滑雪场、万科松花湖滑雪场是吉林市著名的三个滑雪场．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的滑雪场．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上吉雪、五家山、万科松花湖．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去吉雪滑雪场的概率． 2．（2023秋•伊通县期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　 　； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 3．（2023秋•船营区校级期末）有三张正面分别标有数字，3，4的不透明卡片，它们除数字外都相同；现将它们背面朝上，洗匀后，从三张卡片中随机地抽出一张，记住数字将卡片放回，洗匀后，再从这三张卡片中随机抽出一张，记住数字．用列表或树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字符号不同的概率． 4．（2023秋•舒兰市期末）现有一副扑克牌中的三张牌，牌面数字分别为6，8，8，将这三张牌背面朝上洗匀后，先从中随机抽取一张牌，记下数字后放回洗匀，再随机抽取一张牌，记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌牌面数字相同的概率． 5．（2023秋•梨树县期末）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个，超市在某天提供的早餐食品为菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品． （1）按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是　 　事件（填“随机”“必然”或“不可能” ； （2）请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率． 6．（2023秋•抚松县期末）现有四张正面分别标有数，1，2，3的不透明卡片，它们除数外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀，并随机抽取一张． （1）抽到偶数的概率为 　　； （2）若将卡片背面朝上洗匀，第一次抽取的卡片不放回，再随机抽取一张，前后两次抽取的数分别记为，请用列表或画树状图的方法求点在第二象限的概率． 7．（2023秋•靖宇县期末）为了做好防控甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位医生和、两名护士中选取一位医生和一名护士指导某乡镇预防甲型流感工作． （1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果． （2）求恰好选中医生甲和护士的概率． 8．（2023秋•临江市期末）四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题： （1）求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率； （2）在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 9．（2023秋•浑江区期末）有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率． 10．（2023秋•九台区期末）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率． 11．（2023秋•磐石市期末）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 12．（2023秋•扶余市期末）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了书法、阅读，足球，器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等． （1）学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法； （2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？ 13．（2023秋•东辽县期末）如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同． （1）一只自由飞行的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率． （2）现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？（请用列举法或画树状图法说明） 游戏公平性（共6题） 14．（2023秋•双辽市期末）小明和小亮进行“转盘”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘转出的颜色相同，则小明胜；如果转出的颜色可以配成紫色（一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色），则小亮胜，这个游戏对两人公平吗？请说明理由． 15．（2023秋•南关区校级期末）小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平． 16．（2023秋•临江市期末）如图，把带有指针的圆形转盘、分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘） （1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由． 17．（2024•宁江区校级三模）如图，小妍同学做了一个可以自由转动的均匀转盘，转盘均分为三等份，分别标有1，2，3三个数字，她邀请小嘉同学一起玩游戏，规则如下：转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字所在的扇形得到对应的数字（若指针恰好指在分隔线上，则重转一次，直到指针指向某一个数字为止）． （1）求小妍转动一次转盘转到数字2的概率； （2）小妍同学先转动一次，然后小嘉同学同样转动转盘，再将两人转动的数字相加，如果两个数字的和是奇数，则小妍同学胜，否则小嘉同学胜．请利用画树状图或者列表格的方法判断这个游戏对两人公平么？ 18．（2023•雁塔区校级模拟）当当和叮叮玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的4张黑桃牌的正面，将这4张牌洗匀后正面朝下放在桌上，当当先从中抽出一张，叮叮从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由． 19．（2023秋•蛟河市期末）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘、分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜． （1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率初步（3种经典基础练+2种优选提升练） 随机事件与概率（共14题） 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•宁江区期末）下列事件中属于随机事件的是　　 A．今天是星期一，明天是星期二 B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．抛出的篮球会下落 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答， 【解答】解：、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本选项不符合题意； 、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意； 、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故本选项符合题意； 、抛出的篮球会下落是必然事件，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 2．（2022秋•舒兰市期末）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是　　 A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可． 【解答】解：．“黄河入海流”是必然事件，因此选项 不符合题意； ．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项不符合题意； ．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项 符合题意； ．“红豆生南国”是必然事件，因此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 3．（2023秋•梅河口市期末）下列事件中，是必然事件的是　　 A．今年冬季兴城的最低气温为 B．下午考试，小明会考满分 C．乘坐公共汽车恰好有空座 D．四边形的内角和是 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、今年冬季兴城的最低气温为，是不可能事件，不符合题意； 、下午考试，小明会考满分，是随机事件，不符合题意； 、乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件，不符合题意； 、四边形的内角和是，是必然事件，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2023秋•龙山区期末）有4条线段，分别为：，，，，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】列举出所有情况，看直角三角形的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：4条线段的全部组合有：3，4，5和3，4，6和3，5，6和4，5，6．能构成直角三角形的是3，4，5一组， （构成三角三角形）． 故选：． 【点评】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 5．（2023秋•蛟河市期末）从，，，0，，五个数中任选一个数作为的值，能使得是关于的完全平方式的概率是　　) A． B． C． D． 【分析】共有5种等可能出现的结果情况，其中能构成完全平方式的有2种，从而得到相应的概率． 【解答】解：共有5种等可能出现的结果情况，其中能构成完全平方式的有2种，分别是2和， 所以能使得是关于的完全平方式的概率是． 故选：． 【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为（A）且（A）． 6．（2023秋•扶余市期末）在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值为　　 A．10 B．8 C．5 D．3 【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 二．填空题（共8小题） 7．（2023秋•双辽市期末）“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是　随机　事件（选填“随机”，“必然”或“不可能” ． 【分析】根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案． 【解答】解：任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是 随机事件， 故答案为：随机． 【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8．（2023秋•船营区校级期末）“垂直于弦的直径平分这条弦”是 　确定　事件．（填“确定”或“不确定” 【分析】根据事件的可能性得到相应事件的类型即可． 【解答】解：“垂直于弦的直径平分这条弦”是必然事件，属于确定事件， 故答案为：确定． 【点评】本题考查了确定事件的定义．熟练掌握：必然事件即在一定条件下一定发生的事件；不可能事件即在一定条件下，一定不发生的事件；统称为确定事件是解题的关键． 9．（2023秋•宁江区期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　　． 【分析】先设每个小正方形的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【解答】解：先设每个小正方形的面积为， 则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 10．（2023秋•抚松县期末）如图，为直径，为的弦，，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 　　． 【分析】根据圆周角定理计算圆心角度数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：， ． 小球落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了几何概率问题，正确计算圆心角是解题的关键． 11．（2023秋•蛟河市期末）小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是 　　． 【分析】用黑色方砖的面积除以方砖的总面积即可． 【解答】解：由题意知，它最终停留在黑砖上的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 12．（2023秋•扶余市期末）有甲、乙两把不同的锁和、、三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是 　　． 【分析】直接利用概率公式求出答案． 【解答】解：因为三把钥匙中只有1把能打开甲锁， 所以随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，注意概率所求情况数与总情况数之比． 13．（2023秋•抚松县期末）某市民政部门举行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这些彩票中，设置如下奖项： 奖金（元 10000 5000 1000 500 100 50 数量（个 1 4 20 40 100 200 如果花2元钱购买1张彩票，那么所得奖金不多于100元的概率是 　　． 【分析】先计算出奖金不多于100元的数量，然后根据概率公式计算奖金不多于100元的概率． 【解答】解：所得的奖金不多于100元的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 14．（2023秋•浑江区期末）一个小球在如图所示的地面上自有滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 　　． 【分析】若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为16，其中阴影部分的面积为4，再根据概率公式求解可得． 【解答】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为16，其中阴影部分的面积为4， 所以该小球停在黑色区域的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 用列举法求概率（共15题） 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•南关区校级期末）图示的两个圆盘中，指针落在每一个数字所在的扇形区域上的机会是相等的，那么两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的情况，然后根据概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：列表得： 一共有25中等可能的结果，两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的有6种情况， 两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是． 故选：． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率． 此题难度不大，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 2．（2023秋•浑江区期末）某口袋中有20个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当　　时，游戏对甲乙双方公平． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出的值即可． 【解答】解：根据题意得：，即， 解得：． 故选：． 【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 二．填空题（共2小题） 3．（2023秋•浑江区期末）袋中有红、黄、蓝3球，从中摸出一个，放回，再摸一次，摸到一黄一蓝的概率是 　　． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及摸到一黄一蓝的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中摸到一黄一蓝的结果有2种， 摸到一黄一蓝的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4．（2023秋•梨树县期末）若是从、0、1中随机取的一个数，是从0、2022中随机取的一个数，则点在坐标轴上的概率是 　　． 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：列表如下： 0 1 0 2022 由表知，共有6种等可能结果，其中点在坐标轴上的有4种结果， 所以点在坐标轴上的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 三．解答题（共11小题） 5．（2023秋•丰满区期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州召开，现将写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片，这四张卡片除汉字不同外，其它完全相同．先洗匀卡片，再正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，并记录结果． （1）若从中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为 　　； （2）从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表法，求随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）从写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为． 故答案为：； （2）把写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片分别记为、、、， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”的， 则两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的概率是． 【点评】此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 6．（2023秋•榆树市校级期末）2023年9月26日，杭州亚运会女子自行车团体竞速赛决赛中，吉林省运动员苑丽颖携手鲍珊菊、郭裕芳，发挥出色，以46秒376的成绩，战胜韩国队夺冠摘金，并打破亚洲纪录．某校为举办以三名运动员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定．现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着苑丽颖、鲍珊菊、郭裕芳三位运动员的姓名，依次记作，，，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录运动员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物不同的概率． 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出甲、乙两位选手演讲的主题人物不同的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物不同的结果数为6种， 所以甲、乙两位选手演讲的主题人物不同的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 7．（2023秋•梅河口市期末）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的值为　25　，统计图中的值为　　，类对应扇形的圆心角为　　度； （2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率． 【分析】（1）先根据类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出，继而由百分比概念得出的值，用乘以类别人数所占比例即可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得， （3）利用树状图可求概率． 【解答】解：（1）样本容量为， ，，类对应扇形的圆心角为， 故答案为：25、25、39.6． （2）（人 答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人； （3）画树状图如下： 共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果， 所以所选2名同学中有男生的概率为． 【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键． 8．（2023秋•龙山区期末）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况， 两次摸出的球都是红球的概率为：． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 9．（2023秋•绿园区期末）甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译（记为、导游（记为、礼仪（记为三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的结果数为5种， 甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率为． 【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 10．（2023秋•宁江区期末）小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着（楼梯）、（客厅）、（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况． （1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？ （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明． 【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：； （2）画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 11．（2023秋•南关区校级期末）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至3层的任意一层出电梯． 3 2 1 车库 （1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 　　； （2）请你用画树状图（或列表法）求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率． 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是， 故答案为：； （甲、乙在同一楼层出电梯）． 【点评】本题主要考查了列表法以及树状图法求概率，列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． 12．（2023秋•朝阳区校级期末）为纪念杭州第19届亚运会成功举办，小东收集了如图所示的四张小卡片（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小东从中随机抽取一张卡片是“亚运会会徽”的概率是 　　； （2）小东从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用适当的方法求抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率．（这四张卡片依次分别用字母，，，表示） 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，小东从中随机抽取一张卡片是“亚运会会徽”的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的结果有：，，共2种， 抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13．（2023秋•二道区期末）为了进一步培养青少年对冰雪运动的兴趣，长春市多家滑雪场面向青少年优惠开放，有净月潭滑雪场、天定山滑雪场、庙香山滑雪场三个雪场可供学生选择．现有三张正面印有这三个滑雪场图案的不透明卡片，依次记为、、，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后小亮再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小张和小亮抽到同一雪场的概率． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小张和小亮抽到同一雪场的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小张和小亮抽到同一雪场的结果有3种， 小张和小亮抽到同一雪场的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14．（2023秋•吉林期末）有3张卡片，正面分别印有“祖”（用字母代替）、“国”（用字母代替）、“强”（用字母代替）的字样，卡片的形状、大小、质地等都相同，放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．先从盒子中随机取出一张卡片，记录后不放回，再从剩余的卡片中随机取出一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片恰好组成“祖国”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的两张卡片恰好组成“祖国”的结果有：，，共有2种， 取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 15．（2023秋•长春期末）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽（卡片分别记为，，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”（卡片记为，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率． 【分析】用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行解答即可． 【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有9种等可能出现的结果，其中两张卡片上的图案都是“蓉宝”的只有1种， 所以两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率为． 【点评】本题考查列表法活树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 用频率估计概率（共7题） 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•柳河县期末）在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为　　 A．3 B．6 C．7 D．14 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：由题意可得：， 解得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 2．（2023秋•梅河口市期末）在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为　　 A． B． C． D． 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【解答】解：因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2， 所以摸到白球的概率为0.2， 所以摸出黑球的概率约为． 故选：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 3．（2023秋•浑江区期末）做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为　　 A．0.22 B．0.44 C．0.50 D．0.56 【分析】根据对立事件的概率和为1计算． 【解答】解：瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为0.44， 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为． 故选：． 【点评】解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面． 二．填空题（共3小题） 4．（2023秋•二道区期末）在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个，这些小球除了颜色不同外其它特质均相同．欣欣同学进行了摸球试验，每次摸出一个小球记下颜色，然后放回袋中搅拌均匀，再从中摸出一个如此重复，经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在0.60左右，由此可以估计袋中红球的个数为 　12　个． 【分析】直接利用红球个数总数，进而得出答案． 【解答】解：设红球个，根据题意可得： ， 解得：． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键． 5．（2023秋•临江市期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 　　． 【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率． 【解答】解：捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右， 设鲫鱼的条数为，可得：； 解得：， 捞到草鱼的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 6．（2023秋•靖宇县期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 　2　个． 【分析】设袋中白球有个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数． 【解答】解：设袋中白球有个，根据题意，得 ， 解得． 所以袋中白球有2个． 故答案为：2． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 三．解答题（共1小题） 7．（2023秋•丰满区期末）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的种子粒数 471 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953 （1）求表中，的值； （2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到； （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【分析】（1）用发芽种子数除以试验的种子数即可得出、的值； （2）根据频率估计概率求解即可； （3）用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率可得答案． 【解答】解：（1），， 故答案为：0.95，0.951； （2）任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是0.95， 故答案为：0.95； （3）， 答：估算至少需要准备8000粒种子进行发芽培育． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 列表法与树状图法（共13题） 1．（2023秋•船营区校级期末）吉雪滑雪场、五家山滑雪场、万科松花湖滑雪场是吉林市著名的三个滑雪场．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的滑雪场．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上吉雪、五家山、万科松花湖．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去吉雪滑雪场的概率． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人都决定去吉雪滑雪场的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把吉雪、五家山、万科松花湖三张卡片分别记为、、， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人都决定去吉雪滑雪场的结果有1种， 两人都决定去吉雪滑雪场的概率为． 【点评】此题考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 2．（2023秋•伊通县期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　　； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 3．（2023秋•船营区校级期末）有三张正面分别标有数字，3，4的不透明卡片，它们除数字外都相同；现将它们背面朝上，洗匀后，从三张卡片中随机地抽出一张，记住数字将卡片放回，洗匀后，再从这三张卡片中随机抽出一张，记住数字．用列表或树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字符号不同的概率． 【分析】列表得出有放回的所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：列表如下 3 4 ， 3， 4， 3 ，3 3，3 4，3 4 ，4 3，4 4，4 因为有9种等可能的结果，其中数字为一正数，一负数的情况有4种， 所以两次抽取的卡片上的数字符号不同的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：列表法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 4．（2023秋•舒兰市期末）现有一副扑克牌中的三张牌，牌面数字分别为6，8，8，将这三张牌背面朝上洗匀后，先从中随机抽取一张牌，记下数字后放回洗匀，再随机抽取一张牌，记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌牌面数字相同的概率． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字相同的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字相同的结果有5种， 抽取的两张牌的牌面数字相同的概率． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 5．（2023秋•梨树县期末）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个，超市在某天提供的早餐食品为菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品． （1）按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是　不可能　事件（填“随机”“必然”或“不可能” ； （2）请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率． 【分析】（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断； （2）画树状图（菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品分别用、、、表示）展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件； 故答案为不可能； （2）画树状图：（菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品分别用、、、表示） 共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2， 所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 6．（2023秋•抚松县期末）现有四张正面分别标有数，1，2，3的不透明卡片，它们除数外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀，并随机抽取一张． （1）抽到偶数的概率为 　　； （2）若将卡片背面朝上洗匀，第一次抽取的卡片不放回，再随机抽取一张，前后两次抽取的数分别记为，请用列表或画树状图的方法求点在第二象限的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，由树状图可知，所有等可能的情况共有12种，其中位于第二象限（记为事件的情况有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽到偶数的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如图所示： 由树状图可知，所有等可能的情况共有12种，其中位于第二象限（记为事件的情况有3种， （A）． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及点的坐标．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 7．（2023秋•靖宇县期末）为了做好防控甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位医生和、两名护士中选取一位医生和一名护士指导某乡镇预防甲型流感工作． （1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果． （2）求恰好选中医生甲和护士的概率． 【分析】用树状图法列举出医生可能的情况数是3，护士可能的情况数是2的所有情况，看恰好选中医生甲和护士的情况数占所有情况数的多少即可． 【解答】解：（1）用列表法表示所有可能结果如下： （2）共有6种等可能情形，恰好选中医生甲和护士只有一种情形， （恰好选中医生甲和护士， 恰好选中医生甲和护士的概率是． 【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到恰好选中医生甲和护士的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 8．（2023秋•临江市期末）四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题： （1）求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率； （2）在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字同时为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字同时为偶数的结果有4种， 两次摸到的球上数字同时为偶数的概率为； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种， 两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为． 【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 9．（2023秋•浑江区期末）有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率． 【分析】（1）设两盏节能灯分别记为灯1，灯2，通过列表即可得到所有可能情况； （2）由（1）可知所有可能的结果，即可求出至少有一盏灯可以发亮的概率． 【解答】解：（1）列表如下： 灯1 灯2 亮 不亮 亮 （亮，亮） （亮，不亮） 不亮 （亮，不亮） （不亮，不亮） （2）由（1）可知：所有可能出现的情况共有4种，它们出现的可能性相等，至少有一盏灯可以发亮的情况有3种，所有（至少有一盏灯可以发亮）． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 10．（2023秋•九台区期末）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种， 某同学获一等奖的概率为． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 11．（2023秋•磐石市期末）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：根据题意，列表如下： 1 2 7 1 2 3 8 2 3 4 9 7 8 9 14 所以（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）． 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 12．（2023秋•扶余市期末）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了书法、阅读，足球，器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等． （1）学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法； （2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？ 【分析】（1）利用直接列举得到所有6种等可能的结果数； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）共有6种等可能的结果数，它们是：、、、、、； （2）画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 13．（2023秋•东辽县期末）如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同． （1）一只自由飞行的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率． （2）现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？（请用列举法或画树状图法说明） 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可； （2）列表或树状图后利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）（小鸟落在草坪上）； （2）用树状图或列表格列出所有问题的可能的结果： 1 2 3 1 2 3 由树状图（列表）可知，共有6种等可能结果，编号为1、2的2个小方格空地种植草坪有2种， 所以（编号为1、2的2个小方格空地种植草坪）． 【点评】此题主要考查了概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．使用树状图分析时，一定要做到不重不漏． 游戏公平性（共6题） 14．（2023秋•双辽市期末）小明和小亮进行“转盘”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘转出的颜色相同，则小明胜；如果转出的颜色可以配成紫色（一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色），则小亮胜，这个游戏对两人公平吗？请说明理由． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【解答】解：这个游戏是的公平的，理由如下： 列表如下： 红色 蓝色 黄色 蓝色 （蓝色，红色） （蓝色，蓝色） （蓝色，黄色） 红色 （红色，红色） （红色，蓝色） （红色，黄色） 总共有六种结果，每种结果出现的可能性是相同的，转出的颜色相同的结果有2种， 小明获胜的概率是， 转出的颜色可以配成紫色的结果也有2种， 小亮获胜的概率是， ， 这个游戏是公平的． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 15．（2023秋•南关区校级期末）小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平． 【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【解答】解： 第二次 第一次 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （2分） 从表中可以得到：（小明获胜），（小亮获胜）． 小明的得分为，小亮的得分为． ， 游戏不公平．（4分） 修改规则不唯一．如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分．（6分） 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 16．（2023秋•临江市期末）如图，把带有指针的圆形转盘、分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘） （1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由． 【分析】（1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为3的倍数的情况占总情况的多少，即可求得小明胜的概率； （2）由（1）进而求得小乐胜的概率，比较两个概率即可得出游戏是否公平． 【解答】解：（1）根据题意画图如下： 共有12种情况，指针所指两区域的数字之积为3的倍数的有6种情况，则小明胜的概率是； （2）由（1）得小乐胜的概率为，两人获胜的概率相同，所以游戏公平． 【点评】此题考查了概率的公平性，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A），注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 17．（2024•宁江区校级三模）如图，小妍同学做了一个可以自由转动的均匀转盘，转盘均分为三等份，分别标有1，2，3三个数字，她邀请小嘉同学一起玩游戏，规则如下：转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字所在的扇形得到对应的数字（若指针恰好指在分隔线上，则重转一次，直到指针指向某一个数字为止）． （1）求小妍转动一次转盘转到数字2的概率； （2）小妍同学先转动一次，然后小嘉同学同样转动转盘，再将两人转动的数字相加，如果两个数字的和是奇数，则小妍同学胜，否则小嘉同学胜．请利用画树状图或者列表格的方法判断这个游戏对两人公平么？ 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，分别求出小妍同学胜和小嘉同学胜的概率，即可得出结论． 【解答】解：（1）自由转动的均匀转盘，转盘均分为三等份，分别标有1，2，3三个数字， 小妍转动一次转盘转到数字2的概率为：； （2）根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的情况数，两个数字和是奇数的有4种， 则小妍同学胜的概率是； 小嘉同学胜的概率是， ， 这个游戏对两人不公平． 【点评】本题考查了列表法与树状图法、游戏公平性的判断、概率公式等知识；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18．（2023•雁塔区校级模拟）当当和叮叮玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的4张黑桃牌的正面，将这4张牌洗匀后正面朝下放在桌上，当当先从中抽出一张，叮叮从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出当当抽出的牌面上的数字大的结果数和叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数，然后计算她们获胜的概率，再根据概率的大小判断该游戏是否公平． 【解答】公平． 理由如下： 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中当当抽出的牌面上的数字大的结果数为6，叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数为6， 所以当当获胜的概率叮叮获胜的概率， 所以该游戏公平． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 19．（2023秋•蛟河市期末）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘、分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜． （1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由． 【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【解答】解：方法一画树状图 （5分） 由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种．（和为奇数）（7分） 方法二列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种．（和为奇数）（7分）； （2）（和为奇数）， （和为偶数）（9分）， 这个游戏规则对双方是公平的．（10分） 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$