精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

重庆一中高2026届高二上期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时、必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂需，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式结合韦达定理可求得的最小值. 【详解】易知抛物线焦点为， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，则，所以，， 由抛物线焦点弦长公式可得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得. 故选：A. 3. 将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 111 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法结合等差数列前n项和公式求出拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是， 第11个“拐角数”是， 第12个“拐角数”是.故C对； 故选：C 4. 数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 8或9 D. 7或8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，当数列的前n项和取得最小值时，可得，，结合解得即可. 【详解】∵，∴，公差，且数列单调递增， ∴若数列的前n项和取得最小值，则 得 ，即，解得. ∵，则 ∴数列的前n项和的最小值为 故选：B. 5. 在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 6. 已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨取，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】不妨取，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， 所以，， 整理可得，解得. 故选：C. 7. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为直线与圆有交点，建立关于的不等式，再根据，即可求离心率的范围. 【详解】直线的方程为，即，圆的方程为， 由题意知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切， 所以，即，解得：，所以， 又，所以离心率，又， 所以. 故选：C 8. 已知数列满足：对任意的成立，令是数列的前n项和，若对任意的恒成立，则整数t的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】数列满足，变形为：，利用等差数列的通项公式可得：，再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出． 【详解】数列满足：，， 数列是等差数列，公差为4，首项为1． ，． ． 数列的前项和， 又，则数列单调递增， ， 若对任意恒成立，，即， 则整数的最小值为8． 故选：D 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若，则C是椭圆，其离心率为 C. 若，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D. 若，则C是双曲线，其离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的位置特征及离心率求解判断得解. 【详解】对于A，，方程是椭圆，其焦点在y轴上，A正确； 对于B，，方程是椭圆，其离心率，B错误； 对于C，，方程是双曲线，其焦点在x轴上，C错误； 对于D，，方程是双曲线，其离心率为，D正确. 故选：AD 10. 已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. D. 存在实数，使得为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据等比数列的定义，判断A，再求通项公式，判断C，再代入B选项，判断B，最后假设存在，设，则，求出后，再验证，判断D. 【详解】，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； ，所以，故C正确； ， ，，所以数列是等比数列，故B错误； 因为，所以， 设， ，，， 若是等比数列，则， 即 解得：， 所以， ，，所以数列不是等比数列， 即不存在实数，使数列是等比数列，故D错误. 故选：AC 11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ） A. B. 平面上点的最小值为 C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D. 过点作，垂足为H，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线的方程，即可求得，从而利用求解，判断A项；利用双曲线定义将转化为可得解，即可判断B项；求出点的坐标，研究的大小，即可判断C项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断D项. 【详解】解：对于A项，设直线的方程为，， 联立方程组，消去整理得， ， ，即， 又因为，所以上式可化简整理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则， 所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线， 因为且，所以， 若，则， 所以直线直线； 同理可知当也可判断直线直线， 所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图， 为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛： D项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求得正实数的值. 【详解】因为圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为， 则圆心到直线的距离为，则， 因为，解得. 故答案为：. 13. 设等比数列的前项和为，，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，① ，② ②①得，整理可得，解得， 故. 故答案为：. 14. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程可得，，然后得到，再根据为定值列方程，解方程即可. 【详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立得， 设、，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． （1）求公差和； （2）记，证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 所以，， 因此， . 【解析】 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. 【小问2详解】 略 16. 如图，点D在平面内的射影点H在线段上，E为中点，F为中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 在中，由，得，则， 由点D在平面内的射影点H在线段上，得平面，平面， 则，而平面，，于是平面， 又平面，则，由E为中点，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，由勾股定理证得，再利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过作，由（1）知，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，，， 则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角大小为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是. 17. 已知数列的前项和满足：,． （1）求； （2）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得. 【小问1详解】 因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. 【小问2详解】 因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 18. 已知的周长为定值，、、，的最大值为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，设，利用余弦定理结合基本不等式、余弦函数的单调性可知当时，角取最大值，结合余弦定理求出的值，分析可知，曲线为椭圆，求出的值，即可得出曲线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点的横坐标以及，考虑即可，结合基本不等式可求得的最大值. 【小问1详解】 设，，设，即，且， 由三角形的三边关系可得，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因为余弦函数在上为减函数，且， 故当取最大值时，取最小值，所以，，解得， 所以，， 因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为， 所以，， 因此，动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 易知点，根据题意，设直线的方程为，其中， 设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 则， 故点，所以，， 线段的中点为，， 所以，线段的中垂线方程为， 同理可得，线段的中垂线方程为， 其中，， 联立，可得， 所以，， 要求的最大值，只需考虑即可， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点，过作直线垂直于轴，交曲线的另外一个点为，过作平行于的直线交曲线的另外一个点为，以此类推，直线垂直于轴，直线平行于，得到点列；记点的坐标为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若过双曲线的右焦点，证明直线过定点； （3）若且为双曲线右顶点，，记，求的值． 【答案】（1） （2） 由（1）可得，则， 若直线与轴重合，则与双曲线的右支只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由题意可知，， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 由对称性知，直线过轴上的定点， ，直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 所以， ， 因此，直线过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点到渐近线的距离求出的值，结合离心率可得出的值，由此可得出该双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为，由题意可知，，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知，直线过轴上的定点，求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可证得结论成立； （3）将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理可得出，再结合，可得，推导出数列为等比数列，确定该舒蕾的首项和公比，即可求得的值. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即， 则该双曲线的焦点到渐近线的距离为， 又因为，可得， 因此，双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，、、， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得， 由题意可知，、为方程的两根， 所以，，可得， 由题意可得，可得， 因为点，记，则， 则 ， 易知点，则， 所以数列为等比数列，且首项为，公比为， 因此，. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高二上期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时、必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂需，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 3. 将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 111 D. 135 4. 数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 8或9 D. 7或8 5. 在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：对任意的成立，令是数列的前n项和，若对任意的恒成立，则整数t的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若，则C是椭圆，其离心率为 C. 若，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D. 若，则C是双曲线，其离心率为 10. 已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. D. 存在实数，使得为等比数列 11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ） A. B. 平面上点的最小值为 C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D. 过点作，垂足为H，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为_______． 13. 设等比数列的前项和为，，，则_______ 14. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． （1）求公差和； （2）记，证明：． 16. 如图，点D在平面内的射影点H在线段上，E为中点，F为中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17. 已知数列的前项和满足：,． （1）求； （2）若，求的前项和． 18. 已知的周长为定值，、、，的最大值为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 19. 双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点，过作直线垂直于轴，交曲线的另外一个点为，过作平行于的直线交曲线的另外一个点为，以此类推，直线垂直于轴，直线平行于，得到点列；记点的坐标为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若过双曲线的右焦点，证明直线过定点； （3）若且为双曲线右顶点，，记，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $