微专题03 三角函数中考新考法通关专练-2024-2025学年九年级数学上学期重难考点强化训练（北师大版）

微专题03 三角函数新考法通关专练 1． 探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积 素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米． 素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上． 问题解决 任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度． 任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积． 2．“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些矗立在高山、草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线．周日，某校组织项目学习小组的同学来到郊外的山脚下，测量一座风力发电机组的塔筒的高度，并设计了如下测量方案： 课题 测量风力发电机组的塔筒的高度 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 说明 点A，B，C，D，E 均在同一竖直平面内，表示风力发电机组的塔筒的高度，点C表示坡底，所在直线表示斜坡，与垂直，点C，D，B 在同一条直线上． 测量数据 ，小颖同学在坡底C处测得塔筒顶端A的仰角为，小颖沿坡面CB前行到达D处，此时测得塔筒顶端A的仰角为． 参考数据 ，，， 任务 求风力发电机组的塔筒的高度．(结果保留整数) 3．为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：______． 任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比； 任务3：应用实践 若在图形余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______． 4．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂． 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离． 【素材3】参考数据：，，，． 【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到） 【任务2】求长． 5．【项目式学习】 探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系 背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系． 实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系． 资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）． 如图1，建筑高度． 2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度/半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造． 模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，为等腰三角形， ，假定米，米．                 图3 模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为． 补充模型 从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线． 如图5所示，折线为宋代常见的一种屋顶建筑．是中边上的四等分点，过作交于，将降低米得到，连接；重复上述步骤，过作交于，将降低米得到，连接；过作交于，将降低米得到，连接； “举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．               图5 问题解决 任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度； 任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，）； 任务3 补充模型 （3）若，求出屋脊与檐口竖直高度． 6．根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 （1）图3是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图4是其侧面示意图． （2）已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线． （3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．   图3                       图4 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得AD＝0.8米， ①DF＝______；______②请求出此时影子GH的长度； 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由； 任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00—15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出BQ的取值范围：______ 7．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 8．鹤壁市玄天洞石塔，原名玲珑塔，始建于元朝，重建于明代，是河南省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地区保存最完整的大型青石塔．此塔坐东朝西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身自下而上逐层收敛．在综合实践活动中，某数学课外活动小组开展了“测量玄天洞石塔的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量玄天洞石塔的高度 测量方案 说明：如图，代表玄天洞石塔，利用测角仪在C处测得玄天洞石塔顶端A的仰角为，在D处测得玄天洞石塔顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为，，点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点C，D，E在同一水平直线上，点B，N，M在同一水平地面上．    测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 m 参考数据 ，， 任务一：表中__________． 任务二：求玄天洞石塔AB的高度（结果精确至）． 9．九年级某班数学学习小组开展了测量南宁二中八大景之一“仰止亭”的高度实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．他们在“仰止亭”底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了仰止亭顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 测量“仰止亭”的高度 工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案 线段表示仰止亭的高度，测量角度的仪器的高度m，点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上（其中：，，，），测量示意图如图所示： 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 ，之间的距离 任务一：____________，____________ 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该小组求出学校仰止亭的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 10．根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 11．项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系 调研图示    调研数据 话筒旋转支点A到水平地面的高度，支架可绕支点A在竖直平面内上下转动，在转动的过程中需满足， 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： (1)支架可绕点A旋转的最大角度为______． (2)求点E距地面的最大高度，（结果保留整数，参考数据：，，，．） 12．根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳篷的学问 素材1 为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳篷，便于社区居民休憩．图1侧面示意图中，墙记为，遮阳棚记为，直线为太阳光线，为太阳光的阴影．据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端到地面的距离小于时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头． 素材2 如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米． 素材3 如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得米，米，，，． 示意图 问题解决 任务1 如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感，请你写出一条增强安全感的建议． 任务2 如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）． 任务3 如图3，求墙的长，阴影的长． 13．我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼，极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣《登鹳雀楼》“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践”小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）：    课题 测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：线段表示鹳雀楼，测角仪的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 的度数 的度数 A，B之间的距离 (1)任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是________m． (2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 14．遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，团时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化．“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆．C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到，． 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． (1)如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为__________m． (2)如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意；任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 15．综合与实践 泉州开元寺的东西石塔是泉州古城的标志性建筑之一，是中国古代石构建筑瑰宝．在五一假期，某“综合与实践”小组相约到开元寺开展测量石塔高度的实践活动，他们选择测量东塔镇国塔的高度，并制订了测量方案，在镇国塔底部所在的平地前，选取两个不同测点，分别测量了该塔顶端的伸角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量镇国塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段GH表示镇国塔，测量角度的仪器的高度，测点A，B与点H在同一条水平直线上，点A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 点A，B之间的距离 任务一：两次测量点A，B之间的距离的平均值是________m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出镇国塔的高度．（参考数据：，，，，，） 16．根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思． 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）． 素材2：阳信某小区一期有若干幢楼，每幢最底层窗台到地面高度均为．其中有南北两幢大楼，位于南侧的大楼共有12层，每层高为，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大楼最小楼间距为． 素材3：小明住在一期某大楼，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大楼，她在自家离地面高的窗台C处测得大楼顶部E的仰角为和大楼底部A的俯角为（如图所示）． （参考数据：，） 【任务探究】 （1）任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值． （2）任务2：该小区二期约为多少m？（结果精确到） 【成果与反思】 （3）二期新建的大楼共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计． 17．如图1所示是某初中校园内一标志建筑，它的上面是类似凤凰的图形，下面是实心底座（底部不可以到达），如图2，是凤凰的高度，梯形是底座的截面图，（E，F，I，J在同一直线上）．数学兴趣小组的同学想测量类似凤凰图形的竖直高度． 任务一：他们分别在地面的点E，F处放一个高度为的测角仪，利用测角仪及皮尺测得如下数据：，，，，，请根据以上数据求出凤凰的高度的长？（结果精确到）（参考数据：，，，，，，） 任务二：数学兴趣小组的同学想利用上面的测量方法得到一般性的结论，若，，，其他数据不变，求出凤凰的高度的长？（用含α，β，n表示） 18．完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度． 若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为． (1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，． (2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是 米（精确到米）参考数据：，，． 19．项目学习 主题：设计遮阳篷 紊材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为． 任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长： ______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长： ___． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长： _________． 任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，． 任务 3 在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度 约是___________．（精确到 米）参考数据：，，． 20．根据以下素材，探索完成任务： 测算雷锋塔的高度 素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为      素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）    素材3 查阅锐角三角函数表 ，， 任务1 获取数据 计算斜坡的高度 任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数） 21．某校数学活动小组要测量济源市延庆寺舍利塔的高度，李梅同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 综合实践活动报告 填表人：李梅 2024年3月16日 活动任务：测量舍利塔高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图1所示的测量草图，确定需测的几何量．    【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图2所示，准备皮尺．    【步骤三】实地测量并记录数据 如图3，李梅同学站在离舍利塔一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达舍利塔的最高点．如图4，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到舍利塔底部的距离．     __________，． 【步骤四】求舍利塔高度．（结果精确到，参考数据：） 请结合图1、图4和相关数据写出α的度数并完成步骤四． 22．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度． 【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度． 【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块地砖． 【素材2】在点A处测得仰角，俯角；在点B处直立一面镜子，光线反射至斜坡的点N处，测得点B的仰角；测量杆上，斜坡上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线． 【讨论】只需要在中选择两个角，再通过计算，可得的坡度． 任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“”，“”或“”） 求的值． 任务2 推理计算 求坡度的值． 23．阅读与思考 请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 圭表是度量日影长度的一种天文仪器.古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动.如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．    工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图，图中，点为夏至线所在的位置，点为冬至线所在的位置，，点，，，P在同一竖直平面内，点，，在同一直线上.据调查该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为.（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）…… 任务 (1)填空：_______°，_______°． (2)求和的长． (3)已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长度． （结果保留一位小数.参考数据：，，，，，，） 24． 注意用车安全 素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角．    素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，，，．高． 素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）． 提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：．．． 任务一 求【素材一】中的长． 任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？ 任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？ 25．某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2． 　　　　 【步骤二】准备测量工具 筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下： 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点C处，然后看若镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． 法线，， ①______， ． ，即． ②______（）．故旗杆的高度为③______． 方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角．量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． (1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容； (2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 26．仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度 课题 估算仁皇阁高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等 组别 测量方案示意图 测量方案说明 组1 图1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为，然后从C处向阁楼底部前进到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为． 组2 图2 如图2，身高的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度为，量得仁皇阁图上高度为． 任务一 问题解决 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据） 任务二 分析表达 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可） 27．下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 10月30日  星期一  晴 今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论． 我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下，小丽的方法：如图（1），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则． 小丽的理由：．（依据1） 小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点、的点，连接，，在、上分别取点、，使，连接，测出的长，则． 小强的理由：是的中位线，．（依据2） 小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 我的方法：在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决． 我要会用“数学的眼光观察现实世界，数学的思维思考现实世界，数学的语言表达现实世界．” 任务： (1)填空：依据1指的是________________________；依据2指的是________________________； (2)若按照小亮的方法测出，请你求出池塘的宽度． (3)小颖同学的方法如下图，若测得，的长度为米，求池塘的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 28．中岳庙，位于河南省登封市嵩山南麓，是五岳中现存规模最大，保存较完整的古建筑群，同时也是河南省规模最为巨大、最完整的古代建筑群，中岳庙的中轴线是条由青石板铺成的大甭道，沿中轴线从南向北，由低而高，依次为中华门、遥参亭、天中阁、配天作镇坊、祟圣门、化三门、峻极门、嵩高峻极坊、峻极殿、中岳寝殿、御书楼．某数学兴趣小组通过所学知识测量中岳庙中轴线的长．他们把测量中岳庙中轴线的长作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在中岳庙正后方山上点A处用测角仪测得点（中华门的俯角为，测得点（御书楼）的俯角为．已知点的高度．为了减小测量误差，小组在测量两个俯角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量中岳庙中轴线的长 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图    说明：线段表示中岳庙中轴线的长，点、、在同一条直线上，且点、、、都在同竖直平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 … 任务一：表中__________，__________； 任务二：请你帮小组的同学求出中岳庙中轴线的长（结果精确到，参考数据，，，）； 任务三：已知中岳庙的中轴线的实际长度为．试分析数学兴趣小组测量数据不准确的原因（写出一条即可）． 29．综合与实践 【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高． (1)【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端的仰角为，点到点的距离米，即可得出塔高__________米（请你用所给数据和表示）． (2)【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的点向前走米到达点处后，在处测得塔顶端的仰角为，即可通过计算求得塔高AB．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 30．根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思． 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）． 素材2：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢最底层窗台到地面高度均为1.2m．其中有南北两幢大厦，位于南侧的大厦共有15层，每层高为2.8m，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为51m． 素材3：小明住在一期某大厦，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她在自家离地面32m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为30°（如图所示）．    （参考数据：，） 【任务探究】 (1)任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值． (2)任务2：该小区二期新建的大厦高度约为多少m？（结果精确到0.1m） 【成果与反思】 (3)二期新建的大厦共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计． 31．根据以下素材，探索完成任务： 素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整.如图2，，米．    素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 2 1 素材 3：小明身高（头顶到地面的距离）约为 1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（）为 1.2 米. 问题解决 任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离（）的长. 任务2 判断是否碰到蓬面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，B的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？ 任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离（）的范围． 32．小颖“综合与实践”小组学习了三角函数后，开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，如表是不完整测量数据． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：小颖，组员：小明，小刚，小英 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明： 线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.62m，测点A，B与H在同一水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 ∠GCE的度数 30.6° 31.4° 31° ∠GDE的度数 36.8° 37.2° 37° A，B之间的距离 10.1m 10.5m 　 　m … … （1）任务一：完成表格中两次测点A，B之间的距离的平均值． （2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．（精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.51，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 33．阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，， 表示，角度用，， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 34．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 35．【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 三角函数新考法通关专练 1． 探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积 素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米． 素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上． 问题解决 任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度． 任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积． 【答案】任务一：米，米 任务二：1平方米，平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，涉及平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形和三角形的面积计算公式，解题的关键是正确作出辅助线，理解坡比的概念． 任务一：①根据坡比的概念和勾股定理即可求解；②作于点，根据坡比的概念和勾股定理即可求解； 任务二：过作于点，于点，交延长线于点，交于点，求出等腰梯形的上底即可得出结论；将土撑梯形转化为即可． 【详解】[任务一] ①由题意得，，， ， （米）； ②如图，作于点， 由题意得，， ， （米）． [任务二] 如图，过作于点，过E作于点M，于点，交延长线于点，交于点， 由题意得，，，， 点落在BC上， ， ，， ， （）， 在梯形中，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， （）． 2．“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些矗立在高山、草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线．周日，某校组织项目学习小组的同学来到郊外的山脚下，测量一座风力发电机组的塔筒的高度，并设计了如下测量方案： 课题 测量风力发电机组的塔筒的高度 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 说明 点A，B，C，D，E 均在同一竖直平面内，表示风力发电机组的塔筒的高度，点C表示坡底，所在直线表示斜坡，与垂直，点C，D，B 在同一条直线上． 测量数据 ，小颖同学在坡底C处测得塔筒顶端A的仰角为，小颖沿坡面CB前行到达D处，此时测得塔筒顶端A的仰角为． 参考数据 ，，， 任务 求风力发电机组的塔筒的高度．(结果保留整数) 【答案】风力发电机组的塔筒的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形解答． 延长交于点F，过点D作于点M．根据题意，得．通过证明，得出．在根据在中，，求出，．再根据，求出，最后根据即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点F，过点D作于点M， 根据题意，得， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ，， 在中，， ， ， 答：风力发电机组的塔筒的高度约为． 3．为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：______． 任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比； 任务3：应用实践 若在图形余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______． 【答案】任务1：15；任务2：；任务3： 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务1：作于H，利用勾股定理求解即可； 任务2：分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解； 任务3：同理任务2，分两种情况求解即可． 【详解】解：任务1：探寻边角， 作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴在，． 故答案为：15 任务2：比较面积， 设与相交于点I，正方形的边长为a， ∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， 解得； 设正方形边长为b， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， 在中，，则， ∵ ∴， 解得， 正方形和正方形边长之比为； 任务3：应用实践， 如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，即正方形的边长为； 如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n， 同理 在中，，则， 在中，，则， ∴， 解得，即正方形的边长为； ∵， ∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ． 故答案为：． 4．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂． 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离． 【素材3】参考数据：，，，． 【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到） 【任务2】求长． 【答案】【任务1】A、C两点之间的距离约为；【任务2】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解． （1）连接，过点A作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题； （2）过点A作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：【任务1】如图2，连接，过点A作，交的延长线于． 在中，， ， ∴， ， ∴， 在中，m，m， 根据勾股定理得：， 答：A、两点之间的距离约． 【任务2】 如图2，过点A作，垂足为， 则四边形为矩形，，， 所以， 在中，，， 根据勾股定理得， ． 答：的长为． 5．【项目式学习】 探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系 背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系． 实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系． 资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）． 如图1，建筑高度． 2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度/半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造． 模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，为等腰三角形， ，假定米，米．                 图3 模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为． 补充模型 从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线． 如图5所示，折线为宋代常见的一种屋顶建筑．是中边上的四等分点，过作交于，将降低米得到，连接；重复上述步骤，过作交于，将降低米得到，连接；过作交于，将降低米得到，连接； “举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．               图5 问题解决 任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度； 任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，）； 任务3 补充模型 （3）若，求出屋脊与檐口竖直高度． 【答案】（1）建筑高度为11；（2）（米）；（3）竖直高度是6米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于H,则,然后利用勾股定理求出,解题即可； （2）在上找到一点M，使得，得到△是等边三角形，即可得到，过A作上的高，可知，利用勾股定理得到，代入数值计算即可； （3）根据题意得到，进而得到，求出，同理可以得到和的值即可求出的长． 【详解】（1）过A作于H, 由知，, 在中，, ∴， 由勾股定理得，， ∴, 根据资料信息可得：建筑高度（米） 答：建筑高度为11米； （2）的值为4米；H的高度为17米 在上找到一点M，使得 所以 ∵， ∴△是等边三角形， 所以可得 在△中，， 过A作上的高，可知， 则 在中，， ∴ 由资料可得，檐口B与屋脊A的竖直高度/檐口B与屋脊A的水平宽度， 所以，即 所以建筑高度（米） （3）由题知 则 又因为是公共角 那么， 所以， 同理可得， ∴，， 因为是线段的四等分点，所以 可得， 则， 同理可得， 则， 同理可得， 则， 解得：， 答：竖直高度是6米． 6．根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 （1）图3是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图4是其侧面示意图． （2）已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线． （3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．   图3                       图4 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得AD＝0.8米， ①DF＝______；______②请求出此时影子GH的长度； 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由； 任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00—15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出BQ的取值范围：______ 【答案】任务1：①米，；②米；任务2：小明会被照到；任务3： 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1 ：①作于，作于，根据等腰三角形的性质并结合题意得出米，米，求出的长度，最后由正切的定义即可得出答案；②证明四边形为矩形，得出米，，，证明，得出，求出米，再由勾股定理计算即可得出答案； 任务2：作交于，由（1）得：，米，解直角三角形得出的长，从而即可得出答案； 任务3：当、，分别解直角三角形，求出的长，即可得出答案． 【详解】解：任务1：①如图，作于，作于， ， ∵米，米，伞面直径是的4倍， ∴米，米， ∴（米）， ∴； ②∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 任务2：如图，作交于， ， 由（1）得：，米， ∵， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， ∴小明刚好被照射到时离的距离为， ∴小明会被照到； 任务3：由任务2得：当时，米， 当时，，米， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， 此时，米， ∴． 7．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键． 任务一，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再求出的长即可； 任务二，延长交的延长线于点，延长交于点，米，则米，利用三角函数求出和，即可求出； 任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， ，两点的垂直高度差为10米； 任务 延长交的延长线于点，延长交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， ．（米， 顶点到水平地面的垂直高度为38.7米； 任务 若选择小组一的方案： 在中，，米， （米， （米， 旗杆的高度为30.1米； 若选择小组二的方案： 在中，，（米， （米， 在中，， （米， （米， 旗杆的高度为31.16米． 8．鹤壁市玄天洞石塔，原名玲珑塔，始建于元朝，重建于明代，是河南省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地区保存最完整的大型青石塔．此塔坐东朝西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身自下而上逐层收敛．在综合实践活动中，某数学课外活动小组开展了“测量玄天洞石塔的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量玄天洞石塔的高度 测量方案 说明：如图，代表玄天洞石塔，利用测角仪在C处测得玄天洞石塔顶端A的仰角为，在D处测得玄天洞石塔顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为，，点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点C，D，E在同一水平直线上，点B，N，M在同一水平地面上．    测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 m 参考数据 ，， 任务一：表中__________． 任务二：求玄天洞石塔AB的高度（结果精确至）． 【答案】任务一：；任务二：玄天洞石塔的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形—仰角俯角的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：求两个数的平均值即可； 任务二：过点D作于点F，得到，利用列方程即可解答． 【详解】解：任务一：． 故答案为：； 任务二：如图，过点D作于点F．    由题意，可知，． 易知四边形为矩形，则． 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：玄天洞石塔AB的高度约为． 9．九年级某班数学学习小组开展了测量南宁二中八大景之一“仰止亭”的高度实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．他们在“仰止亭”底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了仰止亭顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 测量“仰止亭”的高度 工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案 线段表示仰止亭的高度，测量角度的仪器的高度m，点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上（其中：，，，），测量示意图如图所示： 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 ，之间的距离 任务一：____________，____________ 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该小组求出学校仰止亭的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1），0.9；（2）仰止亭的高度约为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、求一组数据的平均数、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平均数，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由平均数的定义进行求解即可； （2）先证明四边形与四边形为矩形，得到，，，设，然后在和中，利用和表示出，求出，从而算出的长度． 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）由（1）可知，，如图： ，，，， 四边形与四边形都为矩形 ，，， 设， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， ， ， 仰止亭的高度约为． 10．根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 11．项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系 调研图示    调研数据 话筒旋转支点A到水平地面的高度，支架可绕支点A在竖直平面内上下转动，在转动的过程中需满足， 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： (1)支架可绕点A旋转的最大角度为______． (2)求点E距地面的最大高度，（结果保留整数，参考数据：，，，．） 【答案】(1)35 (2)点E距地面的最大高度约为 【知识点】根据旋转的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据已知，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，当最大时，点距地面的高度最大，此时，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴支架可绕点旋转的最大角度， 故答案为：35； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 当最大时，点距地面的高度最大，此时， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点距地面的最大高度约为． 12．根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳篷的学问 素材1 为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳篷，便于社区居民休憩．图1侧面示意图中，墙记为，遮阳棚记为，直线为太阳光线，为太阳光的阴影．据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端到地面的距离小于时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头． 素材2 如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米． 素材3 如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得米，米，，，． 示意图 问题解决 任务1 如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感，请你写出一条增强安全感的建议． 任务2 如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）． 任务3 如图3，求墙的长，阴影的长． 【答案】任务1：遮阳棚外端到地面的距离小于米，人进出时没有安全感．增强安全感的建议如下：适当扩大的度数使；任务2：阴影的长为米；任务3： 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务1：过点B作于点G，于点F，在中，算出，从而得出，根据米米，即可解答； 任务2：在中，算出，从而得出； 任务3：过点B作于点E，作于点F，证明四边形为矩形，算出，，在中，表示出，，在中，表示出，从而表示出，根据即可解答． 【详解】解： 任务1：如图所示，过点B作于点G，于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，，，， ∴． ∴， ∴， ∴米米， ∴遮阳棚外端到地面的距离小于米，人进出时没有安全感． 增强安全感的建议如下：适当扩大的度数使． 任务2：如图所示，在中，， ∴， ∴阴影的长为米． 任务3：解：如图所示，过点B作于点E，作于点F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∴． 13．我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼，极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣《登鹳雀楼》“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践”小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）：    课题 测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：线段表示鹳雀楼，测角仪的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 的度数 的度数 A，B之间的距离 (1)任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是________m． (2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）由平均数的计算方法可求解； （2）由锐角三角函数可求，，由列出方程并解方程即可求解． 【详解】（1）任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是， 故答案为：； （2）由题意可得四边形和四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 同理：， ∵， ∴， 又∵，，，，， ∴， ∴， ∴（m）， 答：鹳雀楼的高度约为． 14．遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，团时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化．“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆．C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到，． 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． (1)如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为__________m． (2)如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意；任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查矩形的判定与性质和等腰三角形的性质，以及利用三角函数求线段长，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先证明四边形是矩形和三角形是等腰三角形，再根据三角函数求解即可； （2）过点K作于点H，先证明四边形是矩形，再根据三角函数求解即可． 【详解】（1）解：垂直于地面，当中午太阳光线与地面垂直， 四边形是矩形， ， ， 三角形是等腰三角形， ，， ； （2）解：如图，过点K作于点H， 根据题意可知，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳， 四边形是矩形， ，， 由(1)得， ， 在中，， 下午时的伞体在地面上留下的影子的长约为． 15．综合与实践 泉州开元寺的东西石塔是泉州古城的标志性建筑之一，是中国古代石构建筑瑰宝．在五一假期，某“综合与实践”小组相约到开元寺开展测量石塔高度的实践活动，他们选择测量东塔镇国塔的高度，并制订了测量方案，在镇国塔底部所在的平地前，选取两个不同测点，分别测量了该塔顶端的伸角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量镇国塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段GH表示镇国塔，测量角度的仪器的高度，测点A，B与点H在同一条水平直线上，点A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 点A，B之间的距离 任务一：两次测量点A，B之间的距离的平均值是________m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出镇国塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】任务一：15；任务二：镇国塔的高度． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题等知识，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务一：由两次测量结果直接求平均值即可； 任务二：设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：任务一： ， 两次测量、之间距离的平均值是， 故答案为：15； 任务二：由题意得：，，， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 答：镇国塔的高度． 16．根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思． 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）． 素材2：阳信某小区一期有若干幢楼，每幢最底层窗台到地面高度均为．其中有南北两幢大楼，位于南侧的大楼共有12层，每层高为，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大楼最小楼间距为． 素材3：小明住在一期某大楼，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大楼，她在自家离地面高的窗台C处测得大楼顶部E的仰角为和大楼底部A的俯角为（如图所示）． （参考数据：，） 【任务探究】 （1）任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值． （2）任务2：该小区二期约为多少m？（结果精确到） 【成果与反思】 （3）二期新建的大楼共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计． 【答案】（1）；（2）；（3）二期房屋存在违规建设，至少要拆除5个楼层 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、利用矩形的性质证明、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意直接解题即可； （2）根据题意可得，根据锐角三角函数可求得的值，从而求得的值，即可得到新建的大楼高度的长； （3）根据题意求得最小楼间距即可判断二期房屋存在违规建设，设应拆除x个楼层，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由公式得， ∴ （2）解：由题意得， ∴， ∴， ∴大楼高． （3）解：由最小楼间距， ∴二期房屋存在违规建设． 设应拆除x个楼层，而每个楼层高为， 则，化简得， 解得， 为正整数， 至少为5，所以至少要拆除5个楼层． 17．如图1所示是某初中校园内一标志建筑，它的上面是类似凤凰的图形，下面是实心底座（底部不可以到达），如图2，是凤凰的高度，梯形是底座的截面图，（E，F，I，J在同一直线上）．数学兴趣小组的同学想测量类似凤凰图形的竖直高度． 任务一：他们分别在地面的点E，F处放一个高度为的测角仪，利用测角仪及皮尺测得如下数据：，，，，，请根据以上数据求出凤凰的高度的长？（结果精确到）（参考数据：，，，，，，） 任务二：数学兴趣小组的同学想利用上面的测量方法得到一般性的结论，若，，，其他数据不变，求出凤凰的高度的长？（用含α，β，n表示） 【答案】任务一：；任务二： 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形的应用、解直角三角形的有关计算，任务一：延长，交于点K，过G作于点M，交于点N，则四边形为矩形，四边形为矩形，求得，在和中，利用锐角三角函数可得，求得，即可求解； 任务二：由任务一可知，即，再代入求解即可． 【详解】解：任务一：延长，交于点K，过G作于点M，交于点N， 则四边形为矩形，四边形为矩形． ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， 在中， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 答：凤凰的高度的长约为． 任务二：由任务一可知， ∴． ∴， ． 答：风凰的高度长为． 18．完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度． 若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为． (1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，． (2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是 米（精确到米）参考数据：，，． 【答案】(1)米 (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的计算是解题的关键，本题解法不唯一． （1）过点作于点，利用三角函数得出，的值即可． （2）过点作于点，利用三角函数得出的值即可． 【详解】（1）解：由图2可知，，, 在中，, 设，则． 如下图，过点作于点， 在中,， ， , 得： 解得： 遮阳篷的长为米． （2）过点作于点， 则：． 在中， ， 故答案为：． 19．项目学习 主题：设计遮阳篷 紊材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为． 任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长： ______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长： ___． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长： _________． 任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，． 任务 3 在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度 约是___________．（精确到 米）参考数据：，，． 【答案】任务1：（1），（2），（3）；任务2：；任务3： 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 任务1：利用三角函数解，可得答案； 任务2：过点F作于点H，利用三角函数解，得出，再利用三角函数解，得出，进而得出，列出等式，求出m即可； 任务3：作于点C，结合（2）中结论，利用三角函数解即可． 【详解】解：任务1： 由题意知，，， （1）在中，，即， ； （2）在中，，即， ， ； （3）由（1）（2）可得， ， 即， 故答案为：（1），（2），（3）； 任务2： 由题意知，，设米， 在中，， ， 如图，过点F作于点H，可得， 在中，， ， ， 解得， 即遮阳篷的长为． 任务3： 如图，作于点C，则， 由任务2可得， 在中，，即， ， 故答案为：． 20．根据以下素材，探索完成任务： 测算雷锋塔的高度 素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为      素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）    素材3 查阅锐角三角函数表 ，， 任务1 获取数据 计算斜坡的高度 任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数） 【答案】任务一：斜坡的高为6．任务二：雷峰塔的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的知识点是坡度坡比问题，仰角俯角问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长，解题关键是熟练掌握坡度坡比问题的解法． （1）根据坡度可得，再根据勾股定理即可求解； （2）如图，过作于，设，根据正切值求边长得，，再根据可求得的值，最后由即可求解． 【详解】任务一： 解：斜坡的坡度是， ，设，则， 又在中，， ， ∴， 解得：， ∴， 斜坡的高为6． 任务二： 如图，过作于，结合题意可得： 四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ， ∴，， 在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为， ∴， ∴， 解得：， 米， 米， 故雷峰塔的高度为米． 21．某校数学活动小组要测量济源市延庆寺舍利塔的高度，李梅同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 综合实践活动报告 填表人：李梅 2024年3月16日 活动任务：测量舍利塔高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图1所示的测量草图，确定需测的几何量．    【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图2所示，准备皮尺．    【步骤三】实地测量并记录数据 如图3，李梅同学站在离舍利塔一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达舍利塔的最高点．如图4，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到舍利塔底部的距离．     __________，． 【步骤四】求舍利塔高度．（结果精确到，参考数据：） 请结合图1、图4和相关数据写出α的度数并完成步骤四． 【答案】，舍利塔的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．根据已知易得：，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵测角仪显示的度数为， ． ， ∴四边形是矩形， ． 在中， 答：舍利塔的高度约为． 22．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度． 【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度． 【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块地砖． 【素材2】在点A处测得仰角，俯角；在点B处直立一面镜子，光线反射至斜坡的点N处，测得点B的仰角；测量杆上，斜坡上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线． 【讨论】只需要在中选择两个角，再通过计算，可得的坡度． 任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“”，“”或“”） 求的值． 任务2 推理计算 求坡度的值． 【答案】任务1，和；；任务2，． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、相似三角形的判定与性质综合、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质和解直角三角形． 任务1，选择和；由，，可求得； 任务2，过点和作的垂线，垂足分别为点和，延长交于点G，则四边形为矩形，设，求得，和，以及， 由题意可知和，则有和，解得，以及，，即，即可求得． 【详解】解：任务1，选择两个测量角的正切值：和； ∵，， ∴， ∴； 任务2，过点和作的垂线，垂足分别为点和，延长交于点G，如图2， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 则， 即， 那么，． 23．阅读与思考 请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 圭表是度量日影长度的一种天文仪器.古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动.如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．    工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图，图中，点为夏至线所在的位置，点为冬至线所在的位置，，点，，，P在同一竖直平面内，点，，在同一直线上.据调查该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为.（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）…… 任务 (1)填空：_______°，_______°． (2)求和的长． (3)已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长度． （结果保留一位小数.参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)， (2)的长约为，的长约为 (3)的长度约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． （1）根据题中太阳高度角的定义即可求解； （2）设，则，由可得，是直角三角形，根据，，列方程即可求解； （3）连接，由题意得：，是直角三角形，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题中太阳高度角的定义可知：，， 故答案为：，； （2） ， ， ，是直角三角形， 设，则， ，， 则， 解得：， 即， ；    （3）如图，连接，由题意得：， ， 是直角三角形， ， 的长度是．    24． 注意用车安全 素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角．    素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，，，．高． 素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）． 提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：．．． 任务一 求【素材一】中的长． 任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？ 任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？ 【答案】任务一：；任务二：该越野车的轮胎所在圆的半径是；任务三：的长为时，后备箱能完全打开 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形： 任务一：过点B作交于点D，根据求出，根据求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； 任务二：设轮胎的圆心为H，过点M作，过点N作，过点M作，根据题意得到，，设的半径，则，然后在中利用勾股定理求解即可； 任务三：在中，求出作保证越野车的后备箱可以完全打开，则求得求出由可求出，从而可得结论 【详解】任务一：如图所示，过点B作交于点D， ∵， ∴，即， 解得 ∴，即 解得 ∵ ∴ ∴； 任务二：如图所示，设轮胎的圆心为H，过点M作，过点N作，过点M作， ∴四边形是矩形， ∵挡车器高，轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为， ∴，， ∴设的半径，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴该越野车的轮胎所在圆的半径是； 任务三：由素材一知，即， ∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角， 在中，如图1，， ∴ ∴ 如图2中，作 ∵．，， ∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则 ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴，即的长为时，后备箱能完全打开 25．某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2． 　　　　 【步骤二】准备测量工具 筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下： 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点C处，然后看若镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． 法线，， ①______， ． ，即． ②______（）．故旗杆的高度为③______． 方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角．量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． (1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容； (2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)①（或）；②；③ (2)旗杆的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意证明，再利用相似三角形对应边成比例，建立等式求解，即可解题． （2）本题考查解直角三角形，根据题意得出、，利用，求得，再根据，即可解题． 【详解】（1）解：由测量知，，，， 法线，， ， ， ， ，即， （）， 故旗杆的高度为 ． 故答案为：（或）；；； （2）解：由题知，，，，， ，， ， ，即，解得（）， （）， ， 旗杆的高度约为． 26．仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度 课题 估算仁皇阁高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等 组别 测量方案示意图 测量方案说明 组1 图1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为，然后从C处向阁楼底部前进到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为． 组2 图2 如图2，身高的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度为，量得仁皇阁图上高度为． 任务一 问题解决 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据） 任务二 分析表达 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可） 【答案】任务一：组1，阁楼高度约为；组2，阁楼高度约为 任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一） 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．任务一：组1，根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论；组2，设阁楼高度为，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；任务二：根据题意写出产生误差的原因即可． 【详解】解：任务一：组1， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 解得， 答：阁楼高度约为； 任务一：组2，设阁楼高度为， 根据题意得， 解得， 答：阁楼高度约为； 任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）． 27．下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 10月30日  星期一  晴 今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论． 我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下，小丽的方法：如图（1），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则． 小丽的理由：．（依据1） 小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点、的点，连接，，在、上分别取点、，使，连接，测出的长，则． 小强的理由：是的中位线，．（依据2） 小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 我的方法：在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决． 我要会用“数学的眼光观察现实世界，数学的思维思考现实世界，数学的语言表达现实世界．” 任务： (1)填空：依据1指的是________________________；依据2指的是________________________； (2)若按照小亮的方法测出，请你求出池塘的宽度． (3)小颖同学的方法如下图，若测得，的长度为米，求池塘的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1)等腰三角形的三线合一；三角形中位线定理 (2)池塘的宽度为米 (3)池塘的宽度约为米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题、根据三线合一证明 【分析】（1）依据1指的是等腰三角形的三线合一的性质，依据2指的是三角形中位线的性质； （2）根据相似三角形的预备定理得到，再根据相似三角形的性质列式计算即可； （3）根据含30°角三角形的性质得到，间的关系，再利用勾股定理列方程可求出池塘的宽度． 【详解】（1）解：依据1指的是等腰三角形的三线合一的性质，依据2指的是三角形中位线定理； 故答案为：等腰三角形三线合一；三角形中位线定理； （2）解： ， ，                        ， 解得                               答：池塘的宽度为米． （3）在中， ．                       答：池塘AB的宽度约为20米． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形相似的性质与判定，解直角三角形，能综合运用与三角形有关的性质是解题的关键， 28．中岳庙，位于河南省登封市嵩山南麓，是五岳中现存规模最大，保存较完整的古建筑群，同时也是河南省规模最为巨大、最完整的古代建筑群，中岳庙的中轴线是条由青石板铺成的大甭道，沿中轴线从南向北，由低而高，依次为中华门、遥参亭、天中阁、配天作镇坊、祟圣门、化三门、峻极门、嵩高峻极坊、峻极殿、中岳寝殿、御书楼．某数学兴趣小组通过所学知识测量中岳庙中轴线的长．他们把测量中岳庙中轴线的长作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在中岳庙正后方山上点A处用测角仪测得点（中华门的俯角为，测得点（御书楼）的俯角为．已知点的高度．为了减小测量误差，小组在测量两个俯角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量中岳庙中轴线的长 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图    说明：线段表示中岳庙中轴线的长，点、、在同一条直线上，且点、、、都在同竖直平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 … 任务一：表中__________，__________； 任务二：请你帮小组的同学求出中岳庙中轴线的长（结果精确到，参考数据，，，）； 任务三：已知中岳庙的中轴线的实际长度为．试分析数学兴趣小组测量数据不准确的原因（写出一条即可）． 【答案】任务一：；；任务二：；任务三：导致计算结果产生误差的原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、解直角三角形的相关计算 【分析】任务一：根据算术平均数的计算方法，进行计算即可解答； 任务二：根据题意可得：，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； 任务三：从测量步骤中需要注意的事项考虑，即可解答． 【详解】解：任务一：由题意得：，， 故答案为：，， 任务二：由题意可知米，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，∴， ∴，解得：， ∴中岳庙的中轴线的长度为． 任务三：导致计算结果产生误差的原因可能是：皮尺未拉直；测角仪摆放不平衡等． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 29．综合与实践 【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高． (1)【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端的仰角为，点到点的距离米，即可得出塔高__________米（请你用所给数据和表示）． (2)【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的点向前走米到达点处后，在处测得塔顶端的仰角为，即可通过计算求得塔高AB．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔高约52米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】 （1）在中，根据三角形函数直接求解即可； （2）设塔高的长为米，利用直角三角形的性质和锐角三角函数可求解． 【详解】（1）中，，， ， 故答案为：； （2）设塔高的长为米， 中， ， 米， 米， 在中， ， ， ，即米 答：塔高约52米． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，关键是利用锐角三角函数表示线段的数量关系． 30．根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思． 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）． 素材2：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢最底层窗台到地面高度均为1.2m．其中有南北两幢大厦，位于南侧的大厦共有15层，每层高为2.8m，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为51m． 素材3：小明住在一期某大厦，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她在自家离地面32m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为30°（如图所示）．    （参考数据：，） 【任务探究】 (1)任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值． (2)任务2：该小区二期新建的大厦高度约为多少m？（结果精确到0.1m） 【成果与反思】 (3)二期新建的大厦共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计． 【答案】(1) (2) (3)违规，至少要拆除一个楼层 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）根据公式最小楼间距进行计算即可求解； （2）由题意得，，进而求得，然后大厦高，即可求解； （3）由最小楼间距，可得二期房屋存在违规建设．设应拆除x个楼层，而每个楼层高为，根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：由公式得， ∴． （2）由题意得， ∴， ∴， ∴大厦高．    （3）解：由最小楼间距， ∴二期房屋存在违规建设． 设应拆除x个楼层，而每个楼层高为， 则，化简得， ∵x为正整数， ∴x至少为1，所以至少要拆除一个楼层． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，不等式的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 31．根据以下素材，探索完成任务： 素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整.如图2，，米．    素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 2 1 素材 3：小明身高（头顶到地面的距离）约为 1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（）为 1.2 米. 问题解决 任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离（）的长. 任务2 判断是否碰到蓬面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，B的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？ 任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离（）的范围． 【答案】米；他的头顶不会碰到遮阳蓬面；米， 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】任务1，作于M，解直角三角形即可；任务2，类比任务1的方法，求出的长，和小明身高比较即可；任务3，分别求出12点、14点时，小明所站位置离墙角距离（）即可． 【详解】解：任务1，作于M， 所以，四边形是矩形， 根据题意得，米， 因为米， 所以米， 12点太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值是4， 所以，解得米．   ； 任务2，作于F，，交于G，于H，    ∵米，米， ∴米，米， ∵米， ∴米， 由辅助线作法可知，四边形是矩形，   ∴米， ∴， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， ∵， ∴他的头顶不会碰到遮阳蓬面． 任务3，由任务2可得，米， ∴， ∴米， ∵， ∴米， ∵米，小于1米，   设小明在点位置时，头顶刚好碰到遮阳蓬面， 所以米， 米， ∵， ∴米， 米， 的求值范围是米，   ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题． 32．小颖“综合与实践”小组学习了三角函数后，开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，如表是不完整测量数据． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：小颖，组员：小明，小刚，小英 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明： 线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.62m，测点A，B与H在同一水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 ∠GCE的度数 30.6° 31.4° 31° ∠GDE的度数 36.8° 37.2° 37° A，B之间的距离 10.1m 10.5m 　 　m … … （1）任务一：完成表格中两次测点A，B之间的距离的平均值． （2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．（精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.51，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】（1）10.3；（2）32.5m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）由平均数的计算方法可求解； （2）由锐角三角函数可求DE＝，CE＝，由CD＝CE﹣DE，列出方程可求解． 【详解】解：（1）任务一：两次测点A，B之间的距离的平均值＝＝10.3m， 故答案为10.3； （2）由题意可得四边形EDBH和四边形CDBA是矩形， ∴CD＝AB＝10.3m，EH＝BD＝1.62m， 在Rt△GED中，tan∠GDE＝， ∴DE＝， 同理：CE＝， ∴CD＝CE﹣DE， ∴CD＝﹣， 又∵CD＝10.3m，∠GCE＝31°，∠GDE＝37°，tan31°≈0.60，tan37°≈0.75， ∴， ∴GE＝30.90， ∴GH＝GE+EH＝30.90+1.62≈32.5（m）， 答：学校旗杆GH的高度约为32.5m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 33．阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，， 表示，角度用，， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 【答案】(1)①；② (2)相似三角形的判定与性质 (3)最大宽度为，见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可； （3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得； 求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得． 【详解】（1）∵， ，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故小水池的最大宽度为 ． （2）根据相似三角形的判定和性质求得， 故答案为：相似三角形的判定与性质． （3）测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；    （ⅱ）用皮尺测得． 求解过程： 由测量知，在中，，，． 过点作，垂足为． 在中，， 即，所以． 同理，． 在中，， 即，所以． 所以． 故小水池的最大宽度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键． 34．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 【答案】任务1： ，；任务2：劣弧的弓高为米；任务3：遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】任务1：由题意得：，，，得到，，进而推出，在中，，得到，在中，，得到，结合，，即可求得，的长； 任务2：已知，得到是直径，取的中点，过点作交于点，即点是圆心，已知，，求得，根据是的中点，求得，已知，得到，结合，得到，进而得到，求得，，得到，结合是直径，点是圆心，得到，结合，，即可得到即为劣弧的弓高，根据，即可求得劣弧的弓高； 任务3：过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， 根据，得到，在中，结合，得到 ，进而得到，结合，可知点与点重合，连接，过点作，得到 ，在中，得到，设，则，根据，，得到，同理得到，，， 即可证明四边形是矩形，进一步得到，，， ，，结合是半径，得到， 在中，根据勾股定理求出的值，即可求得遮阳篷点上升高度的最小值． 【详解】任务1： 如图所示： 由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，，则， ∴， ∴， 即，； 任务2： 如图所示： ∵， ∴是直径， 取的中点，过点作交于点，即点是圆心， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意可知：是直径，点是圆心， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴即为劣弧的弓高， ∴， ∴劣弧的弓高为米； 任务3： 如图所示： 过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点重合， 连接，过点作， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， 又∵是半径， ∴， 在中， ∵，，， 则， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 35．【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 【答案】任务1：点离底板的距离约为；任务2：不符合陈老师的工作习惯，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形的外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1：过作于，过作于，过作于，在中，解直角三角形得出的长，在中，解直角三角形得出的长，从而得出的长，即可得出答案； 任务2：延长交于，过作于，利用正弦的定义得出的度数，结合平行线的性质以及三角形外角的定义及性质得出的度数，即可得解． 【详解】解：任务1：如图①，过作于，过作于，过作于， 在中，． 在中，， ， 即点离底板的距离约为． 任务2：如图②，延长交于，过作于， 在中，，． ， ， ， 不符合陈老师的工作习惯． 学科网（北京）股份有限公司 $$