微专题02 三角函数实际应用常见考法通关专练-2024-2025学年九年级数学上学期重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 三角函数实际应用通关专练 一、单选题 1．如图，河坝横断面迎水坡的坡比（即），则（   ） A． B． C． D． 2．已知：在的北偏西方向上，在南偏西方向上．现小明家在处，到公路甲的最短路径为米，到公路乙的最短路径为米，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两条路径互相垂直 B．，两点之间的距离为米 C．，两点之间的距离为米 D．甲、乙两条路径互相平行 3．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i ＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB 的长约为（    ）（参考数据：sin40°≈ 0.64，cos40° ≈ 0.77，tan40°≈ 0.84） A．10.4 米 B．12.4 米 C．27.4 米 D．22.4 米 4．如图，小华站在水库的堤坝上的点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角，若小华的眼睛与底面的距离米，米．平行于所在的直线，迎水坡的坡度：，坡长为米，点、、、、、在同一平面内，则此时小船到岸边的距离的长为（   ）米，结果精确到米 A． B． C． D． 5．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（　　） A．16m B．32m C．32m D．64m 6．如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面的距离为29，，，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面，则（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 7．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β. 则较低建筑物CD的高度为（     ）. A．a米 B． C． D．a(tanβ- tanα) 8．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线，与地面的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（    ） （参考数据：，，，） A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米 9．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东55°方向的处，已知海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离的长是（    ） A．6海里 B．海里 C．海里 D．海里 10．在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 12．如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点D处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 13．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（　　） A．19m B．19m C．12m D．12m 14．如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、．以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ 　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是(   )(精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73) A．125米 B．105米 C．85米 D．65米 二、填空题 16．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度B 米．（结果精确到米，参考数据：） 17．如图，为了求出湖两岸、两点之间的距离，观测者在湖边找到一点，并分别测，，又量得，则、两点之间距离为 （结果保留根号）． 18．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆的高度AB，小组内一成员站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端点A的仰角为37°，已知测角仪架高CD为1.5米，则旗杆的高度为 米．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 19．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为 米． 20．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：），，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点的位置，气簧活塞杆随之伸长到．已知直线，垂足为，，那么的长为 ，的长为 ．    21．如图，一个斜坡长，其坡度为，则坡顶到水平地面的距离为 ． 22．如图是某游乐场一个直径为的圆形摩天轮，最高点距离地面，其旋转一周需要12分钟．圆周上座舱P距离地面处，逆时针旋转5分钟后，距离地面的高度是 m（结果根据“四舍五入”法精确到0.1）．（参考数据：） 23．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了 米． 24．图1是某路灯的实物图，图2是其示意图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q-P-M的顶部到地面的距离MN的长，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如下： 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部M的仰角 测角仪到地面的距离 米 路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离 米 根据以上测量结果，计算路灯顶部到地面的距离约为 米． （参考数据：，结果精确到米．）    25．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CDAB．壶嘴EF=80cm，∠FED=70°．     （1）FE与水平桌面l的夹角为 °． （2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EFl，此时点F下落的高度为 cm．（结果保留一位小数）． 三、解答题 26．如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． (1)　　　，　　　； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 27．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点测得一小车从点A到点B行驶了6秒，已知，，米，问此车是否超速？请说明理由．（参考数据：，．） 28．如图所示，开封市铁塔公园内的开宝寺塔，被誉为“天下第一塔”，贺贺同学想利用自己学习的知识测量一下开宝寺塔的高度，他在地面处测得塔顶的仰角为在处用高为的测角仪测得塔顶的仰角为已知三点共线，求开宝寺塔的高度．(结果保留整数，参考数据: ) 29．一艘船从A点以速度行驶，行驶方向垂直于河岸．已知水流速度为，船的实际行驶速度是（如图），其速度大小和行驶方向为以，为边的平行四边形的对角线的大小和方向．若，船能否到达正对岸的B点?若不能，怎样调整小船的方向，才能使小船到达B点?    30．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm． （1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，sin30°=0.5，cos30°=0.87，tan30°=0.58．）    31．某过街天桥的设计图是梯形（如图所示），桥面与地面平行，米，米．左斜面与地面的夹角为，右斜面与地面的夹角为，立柱于点E，立柱于点F，求桥面与地面之间的距离．（精确到0.1米，参考数据：，．） 32．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 33．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，是A到l的小路，现新修一条路到公路，小明测量出．请你帮他计算出他家到公路l的距离的长度（结果保留根号）． 34．如图是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图，现测得支撑板，，求手机底端E到底座的距离．（精确到0.1，参考数据：，，，，，，） 35．衢州——一座行作揖礼的城市，平辈行礼，上半身前弯15°，晚辈行礼，上半身前弯45°．芳芳同学路遇余老师，面向余老师行了一个45°的作揖礼，余老师面向芳芳回了一个15°的作揖礼（如图示意）．已知余老师身高AD＝170cm，上半身身高BC＝80cm，芳芳身高EG＝150cm，上半身身高FH＝70cm．（参考数据，，）求： (1)余老师回礼时，头部距地面的高度． (2)疫情期间，人与人之间必须保持100cm以上的安全距离（指头与头之间的水平距离）．行礼前，芳芳距余老师180cm，请问行礼时，余老师与芳芳之间的距离是否安全． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 三角函数实际应用通关专练 一、单选题 1．如图，河坝横断面迎水坡的坡比（即），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比是解题的关键． 先根据坡度定义设，则，再由勾股定理求出，然后根据三角函数定义求解即可． 【详解】解：∵河坝横断面迎水坡的坡比（即）， ∴设，则， 由勾股定理，得， ∴， 故选：D． 2．已知：在的北偏西方向上，在南偏西方向上．现小明家在处，到公路甲的最短路径为米，到公路乙的最短路径为米，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两条路径互相垂直 B．，两点之间的距离为米 C．，两点之间的距离为米 D．甲、乙两条路径互相平行 【答案】A 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】首先由题意画出、、三点，连接，设甲乙两条路交点为，由题意可求得，的距离为米，即可判断出最后结论． 【详解】解：如图，首先由题意画出、、三点，连接，设甲乙两条路交点为， 如图，， 且甲、乙分别垂直于，， ， 故正确，错误； 的距离为米，故、错误． 故选：． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用，勾股定理，由题意画出图，把实际问题转化为解直角三角形的问题是解答本题的关键． 3．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i ＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB 的长约为（    ）（参考数据：sin40°≈ 0.64，cos40° ≈ 0.77，tan40°≈ 0.84） A．10.4 米 B．12.4 米 C．27.4 米 D．22.4 米 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】延长交延长线于点，作，可得、，由坡度，可设、，根据求得的值，即可知，由的长以及可得答案． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，作于点， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 设、， 由可得，， 解得：或（舍去）， 则，， ， 在中，， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了俯角与坡度的知识．构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 4．如图，小华站在水库的堤坝上的点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角，若小华的眼睛与底面的距离米，米．平行于所在的直线，迎水坡的坡度：，坡长为米，点、、、、、在同一平面内，则此时小船到岸边的距离的长为（   ）米，结果精确到米 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．根据可求AC长度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，得和矩形． ，米，设BE=4x，AE=3x， 由勾股定理可得：， 解得：， 米，米． 米，米， 米， 米． 在中， ，米，， 米． 又， 即， 米． 故选：D． 【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 5．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（　　） A．16m B．32m C．32m D．64m 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据时间，算出斜坡的长度，再根据坡比和三角函数的关系，算出人的下降高度即可. 【详解】设斜坡的坡角为α， 当t＝4时，s＝8×4+2×42＝64， ∵斜坡的坡比1：， ∴tanα＝， ∴α＝30°， ∴此人下降的高度＝×64＝32， 故选：B． 【点睛】本题考查坡比和三角函数中正切的关系，属基础题. 6．如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面的距离为29，，，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面，则（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、点到直线的距离 【分析】本题主要考查点到直线的距离，解直角三角形，解题的关键是熟练运用三角函数解决问题． 解与即可求解． 【详解】解：如图， 点到地面的距离为29， ， ，， ，， 在中， 又到地面的距离为22， ， 在中， ， ， ． 故选：C． 7．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β. 则较低建筑物CD的高度为（     ）. A．a米 B． C． D．a(tanβ- tanα) 【答案】D 【分析】作AE∥BD交DC的延长线于点E，构造直角三角形．用含BD的式子表示出DE、CE，即可得出答案． 【详解】作AE∥BD交DC的延长线于点E， ∴ ∵，， ∴DE=atanα，CE=atanβ， ∴CD=DE−CE=a(tanα−tanβ). 故选D. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.在图形中利用辅助线构建直角三角形是解题的关键. 8．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线，与地面的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（    ） （参考数据：，，，） A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点A作AD⊥MN于点D，由锐角三角函数的定义得出BD≈7AD，CD≈AD，再由BD−CD=BC，得7AD−AD＝3.5，即可得出答案． 【详解】解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示： 在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD= ＝tan8°≈， tan∠ACD＝＝tan10°≈， ∴BD≈7AD，CD≈AD， ∵BD−CD＝BC， ∴7AD−AD＝3.5， 解得：AD＝2.5， 即该大灯距地面的高度2.5米， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 9．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东55°方向的处，已知海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离的长是（    ） A．6海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝55°．然后解Rt△ABP，得出AB＝AP•cos∠A＝6cos55°海里． 【详解】由题意可知∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°． ∵AB∥NP， ∴∠A＝∠NPA＝55°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，PA＝6海里， ∴AB＝AP•cos∠A＝6cos55°海里． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键． 10．在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 11．如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、已知正切值求边长、根据等角对等边求边长 【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 12．如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点D处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】根据题意可得米，，根据，即可求解． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴（米）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题意找出已知边和已知角． 13．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（　　） A．19m B．19m C．12m D．12m 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出答案． 【详解】∵∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m， ∴设AB＝x，则BC＝2x， ∴AC2+AB2＝BC2， 即362+x2＝（2x）2， 解得：x＝12． 故选C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 14．如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、．以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ 　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案． 【详解】解：①∵，E为的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③过点E作于点M，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故③正确； ④， 故④正确； 综上共有4个正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 15．如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是(   )(精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73) A．125米 B．105米 C．85米 D．65米 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】首先证明四边形BGEH是矩形，由题意BG：AG=1：2.4．在Rt△ABG中，根据AB=52米，由勾股定理可得BG=20米，AG=48米．在Rt△BHF中，可知tan77°=，推出≈4.33，推出FH=4.33BH．在Rt△AEF中，由∠CAF=60°，可知EF=AE，可得（48+BH）=20+4.33BH，解方程求出BH即可解决问题． 【详解】∵BG⊥AC，BH⊥EF，∴四边形BGEH是矩形，∴HB=EG，BG=HE，由题意得：BG：AG=1：2.4．在Rt△ABG中，∵AB=52米，由勾股定理可得：BG=20米，AG=48米．在Rt△BHF中，∵∠DBF=77°，∴tan77°=，∴≈4.33，∴FH=4.33BH．在△Rt△AEF中，∵∠CAF=60°，∴EF=AE，∴（48+BH）=20+4.33BH，解得：BH≈24.25，∴EF=（48+BH）≈125米． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角、坡度问题、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 16．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度B 米．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．如图，过点P作于H，过点C作于点Q，而，则四边形是矩形，可得，，求得，长，据此求解即可． 【详解】如图，过点P作于H，过点C作于点Q． ， 则四边形是矩形， ，， 由题意可得：，，，， ，， ， ， ， 答：大楼的高度为米． 故答案为：． 17．如图，为了求出湖两岸、两点之间的距离，观测者在湖边找到一点，并分别测，，又量得，则、两点之间距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】在直角三角形中，直接利用余弦函数定义解答． 【详解】解：连接AB，如图所示： ∵∠ABC=30°，BC=160， ∴AB=BC•cos30°=160×=80（m）． 【点睛】考查学生对解直角三角形及三角函数的运用能力． 18．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆的高度AB，小组内一成员站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端点A的仰角为37°，已知测角仪架高CD为1.5米，则旗杆的高度为 米．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 【答案】10.5 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意得：DE=BC=12米，BE=CD=1.5米，∠ADE=37°，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：DE=BC=12米，BE=CD=1.5米，∠ADE=37°， 在中，， ∴米， ∴米． 故答案为：10.5 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确得到直角三角形是解题的关键． 19．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为 米． 【答案】3.2 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据三角函数定义可知，可得的长，再根据，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得 故答案为3.2 【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得的长． 20．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：），，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点的位置，气簧活塞杆随之伸长到．已知直线，垂足为，，那么的长为 ，的长为 ．    【答案】 56 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】过A作延长线交于点P，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点H，分别表示出的长，即可得出的长，设，则，利用勾股定理可得，最后代入解答即可． 【详解】解：过A作延长线交于点P，    ∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为， 过作，交于点H， ∵， ∴， ∴ ∴； 设，则 ，， ， ∵， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴． 故答案为：56，． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、三角函数表示边长、旋转的性质以及勾股定理等知识点，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键． 21．如图，一个斜坡长，其坡度为，则坡顶到水平地面的距离为 ． 【答案】50 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是掌握正切的定义．根据正切的定义设， ，利用勾股定理列方程求出x，从而可得． 【详解】解：由题意可得：，， ∴设， ， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：50． 22．如图是某游乐场一个直径为的圆形摩天轮，最高点距离地面，其旋转一周需要12分钟．圆周上座舱P距离地面处，逆时针旋转5分钟后，距离地面的高度是 m（结果根据“四舍五入”法精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】21.1 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．设登舱P逆时针旋转5分钟后到达点G，点D为最高点，点O为摩天轮的圆心，为旋转前的高度，为摩天轮的直径，为摩天轮离地面的垂直距离，为旋转后离地面的高度，过点作，垂足H，过点G作，垂足E，延长交于点Q，过点Q作，垂足为M，过点P作，垂足为D， 根据旋转角，得到，设，利用利用解直角三角形求出，由，得到，即，求出即可． 【详解】解：如图，设登舱P逆时针旋转5分钟后到达点G，点D为最高点，点O为摩天轮的圆心，为旋转前的高度，为摩天轮的直径，为摩天轮离地面的垂直距离，为旋转后离地面的高度，过点作，垂足H，过点G作，垂足E，延长交于点Q，过点Q作，垂足为M，过点P作，垂足为D， 旋转一周需要12分钟， 摩天轮每分钟旋转，每分钟旋转， 摩天轮逆时针旋转5分钟后，旋转了 ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：21.1． 23．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了 米． 【答案】2 【知识点】三角函数综合、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、线段的和与差 【分析】标字母C、D、E如图，根据AB= 10米，，可求EB=ABsin=10×=6，根据CD=10米，，可求DE=CD，在Rt△CDE中，CE=，求出BC=CE-BE=8-6=2即可． 【详解】解：标字母C、D、E如图 ∵AB= 10米， ∴EB=ABsin=10×=6， ∵CD=10米，， ∴DE=CD， 在Rt△CDE中，CE=， ∴BC=CE-BE=8-6=2， ∴梯子顶端上升了2米． 故答案为2． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，线段和差，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，线段和差是解题关键． 24．图1是某路灯的实物图，图2是其示意图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q-P-M的顶部到地面的距离MN的长，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如下： 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部M的仰角 测角仪到地面的距离 米 路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离 米 根据以上测量结果，计算路灯顶部到地面的距离约为 米． （参考数据：，结果精确到米．）    【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形，则，，解求出，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴路灯顶部到地面的距离约为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CDAB．壶嘴EF=80cm，∠FED=70°．     （1）FE与水平桌面l的夹角为 °． （2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EFl，此时点F下落的高度为 cm．（结果保留一位小数）． 【答案】 /30度 40.3 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）证明四边形A BCD是等腰梯形，求得AG=4(cm)，利用余弦函数求解即可； （2）点F下落的高度分为F下落的高度和点E下落的高度，利用解直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）过点C、D分别作AB的垂线，垂足分别为H、G，过点E作EM∥AB， ∵AD=BC，CDAB． ∴四边形A BCD是等腰梯形， ∵AD=BC=24cm，AB=30cm，CD=22cm，∴AG=BH=(AB-CD)=4(cm)， ∴cos∠DAB==≈0.17， ∵cos80°≈0.17， ∴∠DAB=80°， ∴∠MEA=∠DAB=80°， ∵∠FED=70°． ∴∠FEM=180°-80°-70°=30°． 故答案为：30°． （2）过点F作FN⊥EM于点N，过点E作EP⊥AB于点P，如图1所示 ∵∠FEM=30°，EF=80cm， ∴FN=EF=40(cm)， 在Rt△AEP中，∠EAP=80°，AE=×24=8(cm)， ∴EP= AEsin∠EAP≈8×0.98=7.84(cm)， 当绕点A转动壶身， EFl时，过点E作EQ⊥l于点Q，如图2所示 在Rt△AEQ中，∠EAQ=180°-80°-30°=70°，AE=×24=8(cm)， ∴EQ= AEsin∠EAQ≈8×0.94=7.52(cm)， 此时点E下落的高度为7.84-7.52≈0.3(cm)， ∴此时点F下落的高度为40.3 cm 故答案为：40.3． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题 26．如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． (1)　　　，　　　； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】(1)13，37 (2)信号塔的高度大约为米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据题意即可求出，作，垂足为S，根据题意，即可求得； （2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）解：信号塔底端Q到坡底A的距离为， ； 如图，作，垂足为S， 根据题意， ∴； （2）解：根据题意和作图可知四边形为矩形， ∴． 由，可得， 设米，则米， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴（米），（米）， ∴， ∵， 在中， ， 即， ∴（米）， ∴（米）， 答：信号塔的高度大约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 27．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点测得一小车从点A到点B行驶了6秒，已知，，米，问此车是否超速？请说明理由．（参考数据：，．） 【答案】此车没有超速，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出的长是解题关键． 根据题意结合锐角三角函数关系得出，的长进而求出汽车的速度，进而得出答案． 【详解】解：此车没有超速 理由：如图，过点C作于点H． ，米， 米， ， ， 米． 米． 千米/时米/秒， ． 此车没有超速． 28．如图所示，开封市铁塔公园内的开宝寺塔，被誉为“天下第一塔”，贺贺同学想利用自己学习的知识测量一下开宝寺塔的高度，他在地面处测得塔顶的仰角为在处用高为的测角仪测得塔顶的仰角为已知三点共线，求开宝寺塔的高度．(结果保留整数，参考数据: ) 【答案】开宝寺塔的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设AB＝x米，则AF＝（x﹣1.5）米，在Rt△ABC中，有＝tan60°，从而得到BC＝x，则EF＝BD＝x＋20，最后根据＝tan46°求出x即可． 【详解】解：如图，过点作于点 可知四边形为矩形， 由题意知， 设则 ∴， 在Rt△AEF中，tan∠AEF＝＝tan46°， ∴ 解得 答：开宝寺塔的高度约为56米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，构造直角三角形、运用勾股定理是解题的关键． 29．一艘船从A点以速度行驶，行驶方向垂直于河岸．已知水流速度为，船的实际行驶速度是（如图），其速度大小和行驶方向为以，为边的平行四边形的对角线的大小和方向．若，船能否到达正对岸的B点?若不能，怎样调整小船的方向，才能使小船到达B点?    【答案】不能，小船行驶的方向偏向于上游且与河边夹角为，才能到达正对岸的B点． 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用代数式表示式 【分析】本题主要考查了列代数式、特殊角的三角函数值等知识点，正确画出能到达正对岸的B点的示意图是解题的关键． 设水流方向与河边平行，则的方向与水流方向垂直，行船时间为t，则，,然后根据平行四边形的性质和余弦的定义得到，最后根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：小船不能到达正对岸的B点． 若使小船到达B点，则小船的实际行驶方向应垂直于河边（如图），即的方向； 设水流方向与河边平行，则的方向与水流方向垂直，行船时间为t，则，, 由题意可知：四边形是平行四边形，则， ∵的方向与水流方向垂直， ∴，即 ∴小船行驶的方向偏向于上游且与河边夹角为，才能到达正对岸的B点．    30．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm． （1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，sin30°=0.5，cos30°=0.87，tan30°=0.58．）    【答案】（1）15°；（2）45.5cm． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）直接作出平行线和垂线进而得出∠EDF的值； （2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M， 由题意可得，四边形DNMF是矩形， 则∠NDF=90°， ∵∠A=60°，∠AND=90°， ∴∠ADN=30°， ∴∠EDF=135°﹣90°﹣30°=15°， 即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°； （2）如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm， ∴∠ABC=30°，则AC=AB=8cm， ∵灯杆CD长为40cm， ∴AD=48cm， ∴DN=AD•sin60°=24cm， 则FM=24cm， ∵灯管DE长为15cm， ∴sin15°==0.26， 解得：EF=3.9， 故台灯的高为：3.9+24≈45.5（cm）．    【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 31．某过街天桥的设计图是梯形（如图所示），桥面与地面平行，米，米．左斜面与地面的夹角为，右斜面与地面的夹角为，立柱于点E，立柱于点F，求桥面与地面之间的距离．（精确到0.1米，参考数据：，．） 【答案】6.3米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】通过建立等量关系，求解即可． 【详解】解：设桥面与地面之间的距离为x米，即． ，． ， ． 解得． 答：桥面与地面之间的距离约为6.3米． 【点睛】本题考查三角函数在求长度中的应用，找到并建立等量关系是本题关键． 32．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截. 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可； （2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】（1）在中，. 在中，，所以（海里）. 答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里. （2）过点作，垂足为，由题意易知，在一条直线上. 在中，，. 在中，， 所以. 所以. 设缉私艇的速度为海里/小时，则有，解得. 经检验，是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截. 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 33．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，是A到l的小路，现新修一条路到公路，小明测量出．请你帮他计算出他家到公路l的距离的长度（结果保留根号）． 【答案】AC的长度为m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、已知正切值求边长 【分析】由题意可得，由正切三角函数定义可得， 进而求得BD与CD， 由，列方程得即求出AC的值即可． 【详解】解：由题意得∠ACD＝90°， ∴，， ∴ ∵BD＝CD﹣BC＝40，∠ADC＝30°，∠ABC＝45°， ∴即， ∴． 答：AC的长度为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义与性质以及利用CD-BD=40构造方程是解答本题关键． 34．如图是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图，现测得支撑板，，求手机底端E到底座的距离．（精确到0.1，参考数据：，，，，，，） 【答案】2.9cm 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用三角形的边角关系，求出CM、CN，即可求出E到底座的距离． 【详解】如图，过C点作CM⊥AB，过E点作EN⊥CM， ∵，， ∴CM=ACsin60°=10×=5 ，∠ACM=90°- ∵ ∴ ∵ ∴CN=CEcos35°7×0.82=5.74cm ∴E到底座的距离等于CM-CN=2.91≈2.9cm． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义． 35．衢州——一座行作揖礼的城市，平辈行礼，上半身前弯15°，晚辈行礼，上半身前弯45°．芳芳同学路遇余老师，面向余老师行了一个45°的作揖礼，余老师面向芳芳回了一个15°的作揖礼（如图示意）．已知余老师身高AD＝170cm，上半身身高BC＝80cm，芳芳身高EG＝150cm，上半身身高FH＝70cm．（参考数据，，）求： (1)余老师回礼时，头部距地面的高度． (2)疫情期间，人与人之间必须保持100cm以上的安全距离（指头与头之间的水平距离）．行礼前，芳芳距余老师180cm，请问行礼时，余老师与芳芳之间的距离是否安全． 【答案】(1)余老师回礼时，头部距地面的高度为167.6cm； (2)安全，解答见解析． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）作于点O，作于点P，根据作图和题意即得出，，，．再在中，利用锐角三角函数即可求出CP的长，再根据，求出OC即可； （2）在（1）基础上作作于点M，作于点N，根据（1）可求出．再根据作图可知，，，即判断为等腰直角三角形，由此可求出．最后求出和100cm作比较即可． 【详解】（1）解：如图，作于点O，作于点P， 根据题意可知． 根据作图可知，，． ∵，即， 解得：， ∴． 答：余老师回礼时，头部距地面的高度为167.6cm； （2）解：如图，在（1）基础上作作于点M，作于点N， 根据（1）可求． 根据作图可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 根据题意可知， ∴． ∵， ∴安全． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$