微专题01 求三角函数值的常见题型通关专练-2024-2025学年九年级数学上学期重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 求三角函数值常见题型通关专练 一、单选题 1．在中，，，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正切值求边长、求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义及应用、勾股定理，设，则，由勾股定理得出，再由正弦的定义即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理及逆定理 【详解】试题分析：过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果． 解：过B点作BD⊥AC，如图， 由勾股定理得， AB==， AD==2 cosA===， 故选D． 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理． 3．如图，在四边形中，，则的值为（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】延长AD，BC交于点E，解直角三角形求出BE，求出CE，根据勾股定理求出AE，求出，根据相似三角形的性质得出，代入求出即可． 【详解】如图，延长AD，BC交于点E， ∵在Rt△ABE中，，AB=3， ∴， ∴BE=4， ∵BC=2，∴CE=BE-BC=4-2=2， 在Rt△ABE中，AB=3，BE=4, 根据勾股定理，可得， ∵∠ADC=90°， ∴∠CDE=90°，∴∠B=∠CDE， 又∵∠E=∠E，∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是能正确作出辅助线（构造出直角三角形）． 4．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：在中，，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，在直角三角形中，锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边． 5．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、等边三角形的判定、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据非负数的性质求出，，则∠A=60°，∠B=60°，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴∠A=60°，∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，特殊角三角函数值求度数，等边三角形的判定，熟知非负数的性质是解题的关键． 6．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】tan30°=，代入式子即可． 【详解】tan30°=， 则=， 故选B． 【点睛】本体考查了锐角三角函数值相关计算，比较简单，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 7．如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC=（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正弦值 【详解】试题解析：如图，连接BD， 由正方形的性质可知，∠CDB=90°，BD=，BC=， 则sinC=， 故选B． 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列结论：（1）sinA＜1；（2）若A＞60°，则cosA＞；（3）若A＞45°，则sinA＞cosA．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和定理可知∠A与∠B都是锐角，再根据特殊角的三角函数值及锐角三角函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A与∠B都是锐角， ∴sinA＜1，（1）正确； ∵cos60°=，锐角余弦值随着角度的增大而减小， ∴若A＞60°，则cosA＜，（2）错误； ∵cos（90°-A）=sinA，锐角正弦值随着角度的增大而增大， ∴若A＞45°，则sinA＞cosA，（3）正确． 故选C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，是基础题，比较简单． 9．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】如图，作CH⊥BA4于H，利用勾股定理可求出BA4=，A4C＝BA3=，根据正方形的性质可得BC=A3A4，即可证明四边形BCA4A3是平行四边形，根据平行四边形的性质可求出△BA4C的面积，即可求出CH的长，利用勾股定理求出A4H的长，根据正切的定义可得出tan∠BA4C＝，进而可得tan∠BAnC＝，根据tan∠BA7C＝求出n值即可得答案． 【详解】作CH⊥BA4于H， 由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝BA3==， ∵把n个边长为1的正方形拼接成一排， ∴BC=A3A4， ∴四边形BCA4A3是平行四边形， ∴△BA4C的面积＝×（1×1）=， ∴× CH＝， 解得：CH＝， ∴A4H＝＝， ∴tan∠BA4C＝＝， ∵1＝12﹣1+1， 3＝22﹣2+1， 7＝32﹣3+1， 13=42-4+1， …… ∴tan∠BAnC＝， ∴tan∠BA7C＝=， ∴n＝43． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质，熟记锐角三角函数的概念是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出． 【详解】设AD=x． ∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BC，∴CD=x﹣3．在直角△ACD中，由勾股定理得：（x﹣3）2+=x2，解得：x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD==． 故选A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用，求一个角的正弦值，可将其转化到直角三角形中解答． 11．在中，已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正切值、求角的余弦值、求角的正弦值、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理求得是直角三角形，且，然后求正弦、余弦、正切，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且，如图， ∴，，，， ∴A、C、D错误，故不符合要求；B正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，正弦、余弦、正切．熟练掌握勾股定理的逆定理，正弦、余弦、正切是解题的关键． 12．如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的正弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：直接利用网格构建直角三角形，再利用勾股定理得出AC，CB的长，利用三角形的面积求出高AD的长，进而利用正弦的定义得出答案． 详解：如图所示，作AD⊥BC于D．AC=，BC==5， S△ABC=S梯形AEFB－S△AEC－S△CBF=(4+6)×6－×6×3－×3×4=15， 而S△ABC=BC×AD，∴×5×AD=15，∴AD=6，∴sin∠ACB==．     故选B．      点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题的关键． 13．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正弦值 【分析】求出AC，根据三角函数定义求即可． 【详解】解：∵， ∴, ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求三角函数值，解题关键是理解三角函数的意义，分清是直角三角形中哪两条边的比． 14．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】连接CE，可得，根据勾股定理求出，在中，根据锐角三角函数求出即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∵根据图形可知：， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意直角． 15．如图，在中，，则的长为（    ）    A．4.5 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】已知余弦求边长、用勾股定理解三角形 【分析】根据，可得，再把的长代入可以计算出的长，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 二、填空题 16．等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD= ． 【答案】或或 【分析】分两种情形分别求解. 【详解】①如图1中，当△ABC是锐角三角形，CB=CA时， 在Rt△CDB中，BC=， ∴AD=AC-CD=-5， ∴tan∠ABD== ． ②如图2中，当△ABC是钝角三角形，CB=CA时， 在Rt△CDB中，BC=AC=， ∴tan∠ABD==， ③如图3中，当△ABC是钝角三角形，AB=AC时，设AB=AC=x， 在Rt△ADB中，x2=32+（5-x）2， ∴x=， ∴tan∠ABD==, 所以tan∠ABD的值为：或或. 故答案是：或或. 【点睛】考查解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想思考问题. 17．如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，点坐标为，且，反比例函数经过点C，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长、反比例函数与几何综合 【分析】作于点．由可设，，根据勾股定理即可求出和的值，利用面积法求出的值，再利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，然后可求出的值． 【详解】如图，作于点． ∵，为斜边的中点， ∴， ∴，． ∵ ， 可设，，由勾股定理得 ， （负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ，． 反比例函数经过点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解答本题的关键． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是 ． 【答案】． 【知识点】重心的有关性质、已知正切值求边长 【分析】延长BG交AC于E．易知AH＝2，根据三角函数计算AB的长，由勾股定理可得BH的长，由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍，可得结论． 【详解】解：延长BG交AC于H． ∵G是△ABC的重心， ∴AH＝AC＝×4＝2， ∵∠BAC＝90°，tan∠ABG＝， ∴， ∴AB＝6， 由勾股定理得：BH＝＝2， ∵∵G是△ABC的重心， ∴BG＝2GH， ∴BG＝＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的定义，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19． ． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠B=60°，再利用特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠B=60°， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质以及特殊角的三角函数值，熟记性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 21．菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，点E在对角线BD上，∠AED=45°，P是菱形上一点，若△AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tan∠APE的值为 ． 【答案】1或或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题、求角的正切值 【分析】本题以菱形为题目背景，综合考查菱形的性质，并以动点问题丰富题干，考查分类讨论方式，结合题干信息特殊角度，可通过做辅助线构造特殊直角三角形以满足求解三角函数正切值的前提，继而通过图形性质求解边长比例． 【详解】∵菱形ABCD，∠ABC=30°，AC⊥BD ∴∠BAC=75° 连接CE，并延长CE交AB于点P1，如下图所示 当∠AED=45°时，∠BAE=30°，△AEC与△AEP1为直角三角形 在△AEP1中，tan∠AP1E=tan60°= 在△AEC（即△AEP2，此时点P2与点C重合）中，tan∠AP2E=tan45°=1 在△AEP3中，∠EAP3=90°，此时CP1∥AP3 设OA=，那么EC=AE=，EP1= 所以AP3=CP1=+，tan∠AP3E==÷(+)=． 综上，tan∠APE的值为1或或． 【点睛】本题考点极其丰富，利用分类讨论分析题干要保证不重不漏，出现特殊角度时需要辅助线构造特殊三角形，巧妙利用特殊三边比例关系解答本题． 22．在中，若，则 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】利用勾股定理求出，再利用正切公式计算可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求角的正切值：角的对边与邻边的比，也考查了勾股定理，熟记各定理是解题的关键． 23．如图，在中，分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与，若点是的重心，则 ． 【答案】/ 【知识点】求角的正切值、重心的有关性质、重心的概念 【分析】连接并延长交于，由重心可得，是等腰直角三角形，再过作，即可根据，求出的值． 【详解】连接并延长交于，过作， ∵点是的重心， ∴，， 设，则， ∵分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与， ∴、是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查重心的性质，求正切，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是熟记重心的定义及性质． 24．若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 25．点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、特殊三角形的三角函数 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 三、解答题 26．计算： (1)sin245°+tan30°×cos60°； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】（1）根据sin45°，tan30°，cos60°代入求解即可； （2）根据sin30°，sin60°，cos45°，tan60°，tan45°=1，代入求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式， ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，以及相关运算，能够牢记特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 27．如图，小红在A处用测量仪测得某矩形广告牌顶端C的仰角为30°，然后前进10m到达B点，此时测得D处的仰角为60°，已知小红的身高AE=1.5m，广告牌CD的高度为2m,请你根据以上数据计算GH的长. 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、特殊三角形的三角函数 【分析】延长CD分别交AB、EF于M、N.这样就形成了Rt△BDM和Rt△CAM. Rt△BDM中，假设BM=x，根据=tan60°，能够得出DM、CM、AM的字母表达式，再根据Rt△CAM中，∠CAM=30° ，能够得出=，从而得出CM= AM，将上面所得AM，CM的字母表达式代入即可得x，从而得到DM的值，最后得出CN的值. 【详解】.解：延长CD分别交AB、EF于M、N. ∴AB=10m、 AE=MN=1.5m、CD=2m、∠CAM=30° 、∠DBM=60°， 在Rt△BDM中,∠DBM=60°,设BM=x， ∴=tan60°=. ∴DM=x，CM=2+  AM=10+x，                           在Rt△CAM中, ∠CAM=30°   ， 则cot30°=， ∴CM= AM， ∴，                             ，       ∴DM =5-3， ∴CN=2+5-3+1.5=（5）m. 【点睛】本题主要考查解直角三角形，利用勾股定理解决实际问题，找准各长度的关系是解决本题的关键. 28．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P． (1)求证：FG＝EH； (2)若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF，求PF的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，得到AF＝BE，再根据垂直的定义进而得出∠AFG＝∠BEH，即可根据ASA证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据正方形的性质及解直角三角形得出AF＝3，AG＝4，EG＝2，根据勾股定理得出FG＝5，再根据相似三角形的性质得出PG，根据线段的和差即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°， ∴∠AGF+∠AFG＝90°， ∵FG⊥EH， ∴∠AGF+∠GEP＝90°， ∴∠AFG＝∠GEP＝∠BEH， ∵AE＝DF， ∴AD﹣DF＝AB﹣AE， 即AF＝BE， 在△AFG和△BEH中， ， ∴（ASA）， ∴FG＝EH； （2）∵AD＝5，AE＝DF＝2， ∴AF＝5﹣2＝3， 在Rt△AFG中，tan∠AGF， 即， ∴AG＝4， ∴EG＝2， 在Rt△AFG中，FG5， ∵∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE， ∴， ∴， 即， ∴PG， ∴PF＝FG﹣PG＝5． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟记正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 29．【问题提出】探究的正切函数值．    【解决问题】 如图，构造，其中为，在边上取一点D，使得．设，则______， ______ 所以的值为______ 【类比应用】 类比上述方法，计算的正切值为______ 【答案】解决问题：，2，；结论应用： 【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值、等腰三角形的性质和判定 【分析】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，特殊三角函数值． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，解直角三角形求出，即可求出，根据正切的定义即可求解； （2）同（1）求解即可． 【详解】解：解决问题：在中， ， ， ， ， ， 在中， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，2，； 结论应用：如图，构造，其中为，在边上取一点D，使得．设，    ， ， ， ， ， 在中， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 30．如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上 (1)_______； (2)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分； （画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） (3)求的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【知识点】格点作图题、求角的正切值、根据菱形的性质与判定求角度、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据勾股定理即可求得； （2）以为一边构造边长为5的菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可得到解答； （3）由平分得到，利用网格特点即可得到答案． 【详解】（1）解：由勾股定理可得， 故答案为：5 （2）如图所示，即为所求， ∵ ∴ ∴四边形是菱形， ∴平分， 即即为所求； （3）∵平分， ∴， 在中，， ∴， 即的值为． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，构造菱形是解题的关键． 31．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、解非直角三角形 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 32．如图，在中，，AD是BC边上的高，若，，求AC的长． 【答案】 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、已知正弦值求边长 【分析】由题意，根据等角的余角相等得到，则，即可求出AC的长度． 【详解】解：根据题意， ∵，AD是BC边上的高， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角函数，等角的余角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确的得到，从而进行解题． 33．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值（结果保留根号）． 【答案】tan15°＝2﹣． 【知识点】求角的正切值 【分析】设BC＝x，求得BD=2x,DC=，得出AC=（2+）x，再根据正切的定义即可求解. 【详解】解：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°， ∴∠ABD＝15°， ∴AD＝BD， 设BC＝x，在Rt△BDC中， ∵∠BDC＝30°， ∴BD＝2x， ∴DC＝x， ∴AD＝BD＝2x，AC＝AD+DC＝2x+x＝（2+）x， 在Rt△ABC中，tan15°＝＝2﹣． 【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知三角函数的定义. 34．如图，在四边形中，，，点E在对角线的延长线上，，交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，得到，即可得得证； （2）过点作，利用正切值和勾股定理求出的长，三线合一求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：过点作与点，      在中，， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质．熟练掌握矩形的判定方法，以及正切的定义，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 35．如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到，点B，C的对应点分别为点，，连接， （1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）求的长． 【答案】（1）见图 （2） 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、画旋转图形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）旋转图形，先确定旋转中心，旋转方向，后确定旋转角度。根据题意旋转中心点 ,顺时针旋转60°。将三角形各顶点与旋转中心点连接后，各连接线进行顺时针旋转60°，即顺时针旋转60°，得到旋转后的对应点,连接各对应点，便得到旋转后的. （2）将绕点顺时针旋转 可以得到 是等边三角形，由此得，即平分，将延长交 于，则是等边 的角平分线，利用“三线合一”也即垂直平分 ，后通过勾股定理便可解得 . 【详解】解（1） （2） ∵图形旋转后，对应各边相等，绕顺时针旋转，可得 ∴ 是等边三角形 又∵在 和 中 ∴，即平分 延长交 于 因为中，，所以 ∵ 是等边三角形， 平分 ∴根据等腰三角形“三线合一”得垂直平分 所以 由于 ，又是等腰直角三角形，垂直平分，则 所以 故答案为：  . 【点睛】本题旨在考查图形旋转的应用，图形旋转的性质以及等腰三角形“三线合一”，直角三角形勾股定理的运用是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 求三角函数值常见题型通关专练 一、单选题 1．在中，，，则的值为 （   ） A． B． C． D． 2．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，则的值为（　  ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D．2 5．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．的值等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC=（      ）    A． B． C． D． 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列结论：（1）sinA＜1；（2）若A＞60°，则cosA＞；（3）若A＞45°，则sinA＞cosA．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD＝（　　） A． B． C． D． 11．在中，已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的正弦值为（  ） A． B． C． D． 13．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，则的长为（    ）    A．4.5 B．5 C． D． 二、填空题 16．等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD= ． 17．如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，点坐标为，且，反比例函数经过点C，则k的值为 ． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是 ． 19． ． 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则 ． 21．菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，点E在对角线BD上，∠AED=45°，P是菱形上一点，若△AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tan∠APE的值为 ． 22．在中，若，则 23．如图，在中，分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与，若点是的重心，则 ． 24．若是锐角，，则应满足 ． 25．点关于原点对称的点的坐标是 ． 三、解答题 26．计算： (1)sin245°+tan30°×cos60°； (2) 27．如图，小红在A处用测量仪测得某矩形广告牌顶端C的仰角为30°，然后前进10m到达B点，此时测得D处的仰角为60°，已知小红的身高AE=1.5m，广告牌CD的高度为2m,请你根据以上数据计算GH的长. 28．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P． (1)求证：FG＝EH； (2)若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF，求PF的长度． 29．【问题提出】探究的正切函数值．    【解决问题】 如图，构造，其中为，在边上取一点D，使得．设，则______， ______ 所以的值为______ 【类比应用】 类比上述方法，计算的正切值为______ 30．如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上 (1)_______； (2)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分； （画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） (3)求的值． 31．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 32．如图，在中，，AD是BC边上的高，若，，求AC的长． 33．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值（结果保留根号）． 34．如图，在四边形中，，，点E在对角线的延长线上，，交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 35．如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到，点B，C的对应点分别为点，，连接， （1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$