九年级数学上学期第二次月考卷-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

2024-2025学年九年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：沪科版上册第21章~第23章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接写出特殊角的三角函数值即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 3．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段成比例，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．理解并掌握线段成比例的计算是解题的关键． 根据成比例线段的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，故A选项不符合题意． ∵，故B选项不符合题意． ∵，故C选项符合题意． ∵，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 5．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证出，由相似三角形的判定方法即可得出结果． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合； D、添加，无法判定，故本选项符合． 故选：D． 6．如下图，，若，则的长度是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 7．点在抛物线上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，进而可得离对称轴越远，函数值越大，再求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 8．如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，取格点E，连接．利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题． 【详解】解：如图，取格点E，连接， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，抛物线与轴交点为，，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则的取值范围为．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数上点的坐标特征等内容，根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的点的坐标特征逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线对称轴在轴左侧， ∴， ∴，故结论①正确； 对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 解得， 故结论②错误； ∵二次函数经过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③正确； ∵开口向下，当时，总有， ∴两点均在对称轴左侧， 由②知，， ∴， 故结论④错误， 综上，①③正确，共有2个； 故选：B． 10．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．据此即可求解； 【详解】解： 故答案为： 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质，由，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 13．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 【答案】 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 14．如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握几何面积计算反比例系数的方法是解题的关键． 根据题意，连接，过点作于点，过点作于点，可得，可证，得到，设，则，点，根据，可得，则有，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，且点三点共线， ∴点三点的横坐标都相同， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点在反比函数图象上， ∴，即， ∵点三点的横坐标都相同， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∴ ， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【详解】解： 16．如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证： (2)若，，求线段的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【详解】（1），， ； （2）， ， 得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． 17．如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质 （1）根据与的坐标可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式是； （2）首先求出、两点坐标，计算出的长，再设，，根据的面积为可以计算出的值，然后再利用二次函数解析式计算出的值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵与在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， 设函数的解析式为， 将代入得， ∴ 解得， ∴函数的解析式，即； （2）解：当时，， 解得：； ，， ． 设， 的面积为， ， 解得：， 当时，， 解得：或， 或； 当时，， 方程无解，舍去． 故或． 18．如图，鞍钢博物馆广场边，有两个高炉模型，小明同学用自制的直角三角形纸板量高炉的高度．他调整自己的位置，设法使斜边持水平，的延长线交于C，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边．测得边离地面的高度，．求高炉的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明，得到，求出，再根据即可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴高炉的高为． 19．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y (2)8 (3)x＜﹣3或0＜x＜1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可； （3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2）， ∴m＝﹣3×2＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b，则， 解得k＝﹣2，b＝﹣4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y； （2）解：如图，设直线AB交y轴于C， 则C（0，﹣4）， ∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8； （3）解：观察函数图象知， 不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可． 20．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； （2）解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 21．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，与之间有如下关系： /厘米 /米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是______； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3)两腿迈出的步长之差最多是厘米 【分析】（1）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，设反比例函数的解析式为，并将表格中的数据代入即可求解； （2）某人两腿迈出的步长之差为厘米代入反比例函数解析式即可求解； （3）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设反比例函数解析式为，当时，， ∴，即， ∴与之间的函数表达式是． （2）解：某人两腿迈出的步长之差为厘米，即， ∴， ∴某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． （3）解：某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，将代入反比例函数， ∴，解方程得，， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴两腿迈出的步长之差最多是厘米． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际的综合应用，理解反比例函数的定义，及图像的特点是解题的关键． 22．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在和中，，且，所以称和为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接，则称为“关联比”．请阅读小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请解答下列问题： 【特例感知】 （1）和为“关联等腰三角形”，且时， ①在图1中，若点E落在上，则“关联比” ； ②在图2中，探究和的关系，并求出“关联比”的值． 【类比探究】 （2）如图3，当和为“关联等腰三角形”，且时，“关联比” ． 【答案】（1）①；②，；（2） 【分析】（1）①由时，和为等腰直角三角形，斜边，而，代入计算即可； ②证得，得即可； （2）过点E作于点F，证得，即可得出结论． 本题考查了新定义的理解和应用，等腰三角形的性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． 【详解】解：（1）①∵当时，和都为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴； 故答案为：； ②，理由如下： ∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①过点E作于点F，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理：，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：． 23．如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为： (2)最大值为，的坐标为 (3)点坐标为，，， 【分析】（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可得出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和点，点， 代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； ∵， ∴； （2）解：由（1）知抛物线的顶点为， 设直线的解析式为令，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为：直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ， ， ①当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，； ③当时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：沪科版上册第21章~第23章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（   ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（  ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 6．如下图，，若，则的长度是（   ） A．6 B． C． D． 7．点在抛物线上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与轴交点为，，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则的取值范围为．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．计算： ． 12．若，则 ． 13．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 14．如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算： 16．如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证： (2)若，，求线段的长 17．如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 18．如图，鞍钢博物馆广场边，有两个高炉模型，小明同学用自制的直角三角形纸板量高炉的高度．他调整自己的位置，设法使斜边持水平，的延长线交于C，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边．测得边离地面的高度，．求高炉的高． 19．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 20．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 21．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，与之间有如下关系： /厘米 /米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是______； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 22．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在和中，，且，所以称和为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接，则称为“关联比”．请阅读小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请解答下列问题： 【特例感知】 （1）和为“关联等腰三角形”，且时， ①在图1中，若点E落在上，则“关联比” ； ②在图2中，探究和的关系，并求出“关联比”的值． 【类比探究】 （2）如图3，当和为“关联等腰三角形”，且时，“关联比” ． 23．如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标． 2 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