专题07 平行线的证明全章期末复习（3大考点11种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节期末综合复习（北师大版）

专题07 平行线的证明全章复习 目录 【题型一 为什么要证明】 1 【题型二 命题的判断】 3 【题型三 定理与逆定理】 5 【题型四 逻辑推理与论证】 6 【题型五 平行线的判定】 7 【题型六 平行线中的拐点问题】 9 【题型七 平行线的性质和判定的综合应用】 14 【题型八 三角形内角和定理的证明】 16 【题型九 与平行线有关的三角形内角和问题】 20 【题型十 与角平分线有关的三角形内角和问题】 23 【题型十一 三角形折叠中的角度问题】 25 【题型一 为什么要证明】 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）下列结论不一定正确的是（   ） A．邻补角的平分线互相垂直 B．平行于同一直线的两条直线互相平行 C．相等的角是对顶角 D．能被4整除的数就能被2整除 【变式训练】 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【题型二 命题的判断】 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法是真命题的是（　　） A．若，则点一定在第一象限 B．若两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，则称是的一次函数 C．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 D．立方根等于本身的数是和 2．（24-25八年级上·全国·期末）把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为： ． 【题型三 定理与逆定理】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 【题型四 逻辑推理与论证】 例题：（2024·浙江·中考真题）有编号分别为的8个球，其中6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次比重，第二次比轻，第三次和一样重，则两个轻球的编号应该是（   ） A．④⑤ B．③⑥ C．③⑤ D．③④ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024八年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙三个人在一起聊天，每星期从星期一到星期日每人连续两天说谎（包括星期日和星期一），其余五天必说真话，且任意两人不会在同一天说谎．已知星期一时，乙说：“我昨天说谎了．”星期二时，丙说：“太巧了，我昨天也说谎了．”这三个人都没说谎是在星期 ． 【题型五 平行线的判定】 例题：（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，，．求证：．    【题型六 平行线中的拐点问题】 例题：（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： (1)如图1， 若 求证： ； (2)如图2， 若点C在下方时， 求 的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，，若，，求的度数． 【题型七 平行线的性质和判定的综合应用】 例题：（23-24七年级下·湖北黄石·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【题型八 三角形内角和定理的证明】 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【题型九 与平行线有关的三角形内角和问题】 例题：（2024·四川眉山·一模）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，， ， ， 平分， 平分，若， 且，则 ． 【题型十 与角平分线有关的三角形内角和问题】 例题：（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，是的平分线，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在和的平分线交于点，已知，求的度数为 ． 【题型十一 三角形折叠中的角度问题】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将沿翻折交于点D，又将沿翻折，点C落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若， ． 一、单选题 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，点在的边上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 7．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，若，，则的大小为 °． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D为上的一点，，，若，则 ． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，，则 ． 10．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，且，则 °．    三、解答题 11．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，．填空： ， ． ． ． ． 12．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[探究]如图，求证：； [应用] （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图，，，求的度数． 14．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，E、F是线段上两点，，，，求证：． 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图（1），在中，，分别是边上的中线和高，是的平分线． (1)若的面积为，，求的长． (2)若，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行线的证明全章复习 目录 【题型一 为什么要证明】 1 【题型二 命题的判断】 3 【题型三 定理与逆定理】 5 【题型四 逻辑推理与论证】 6 【题型五 平行线的判定】 7 【题型六 平行线中的拐点问题】 9 【题型七 平行线的性质和判定的综合应用】 14 【题型八 三角形内角和定理的证明】 16 【题型九 与平行线有关的三角形内角和问题】 20 【题型十 与角平分线有关的三角形内角和问题】 23 【题型十一 三角形折叠中的角度问题】 25 【题型一 为什么要证明】 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）下列结论不一定正确的是（   ） A．邻补角的平分线互相垂直 B．平行于同一直线的两条直线互相平行 C．相等的角是对顶角 D．能被4整除的数就能被2整除 【答案】C 【分析】本题考查了整除的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识． 利用整除的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、邻补角的平分线互相垂直，故选项正确，不符合题意； B、平行于同一条直线的两直线互相平行，故选项正确，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故选项错误，符合题意； D、能被4整除的数就能被2整除，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 【题型二 命题的判断】 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意； B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意； C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意； D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法是真命题的是（　　） A．若，则点一定在第一象限 B．若两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，则称是的一次函数 C．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 D．立方根等于本身的数是和 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题和定理，熟练掌握相关的性质和知识点是解答本题的关键． 根据真命题的概念以及三角形外角的性质，立方根的性质，平面直角坐标系点的坐标特点、一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则或，点在第一或三象限，故A选项不符合题意； B．若两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，则称是的一次函数，故B选项符合题意； C．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故C选项不符合题意； D．立方根等于本身的数是和，故D选项不符合题意； 故答案为：B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为： ． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等 【分析】本题考查逆命题及命题的扩充改写．先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充． 【详解】解：命题“等边对等角”的逆命题改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等； 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等． 【题型三 定理与逆定理】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答． 【详解】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 【答案】与相交 【分析】本题考查了用反证法证明命题．用反证法证明命题的第一步就是设原结论不成立，原结论是，则要设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 【详解】解：用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时， 应假设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 故答案为：直线与直线相交． 【题型四 逻辑推理与论证】 例题：（2024·浙江·中考真题）有编号分别为的8个球，其中6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次比重，第二次比轻，第三次和一样重，则两个轻球的编号应该是（   ） A．④⑤ B．③⑥ C．③⑤ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是推理与论证，灵活应用等式性质的性质是解题关键． 由比重可知③与④中至少有一个轻球，由比轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，和一样重可知两个轻球的编号是④⑤． 【详解】解：∵比重， ∴③与④中至少有一个轻球， ∵比轻， ∴⑤与⑥至少有一个轻球， ∵和一样重， ∴从第三次称量看，①、③、⑤三个球中有一个轻的，②、④、⑧三个球中有一个轻的． ∴两个轻球的编号是④⑤． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查推理与论证，利用假设法解决逻辑问题，得出结论是解答的关键．根据题意，利用假设法逐一判断即可． 【详解】解：假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项A错误； 假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项B错误； 假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙2人说了谎，与已知不相符，故选项C错误； 假设是丁打碎玻璃窗，则丙1人说了谎，与已知相符，故选项D正确； 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙三个人在一起聊天，每星期从星期一到星期日每人连续两天说谎（包括星期日和星期一），其余五天必说真话，且任意两人不会在同一天说谎．已知星期一时，乙说：“我昨天说谎了．”星期二时，丙说：“太巧了，我昨天也说谎了．”这三个人都没说谎是在星期 ． 【答案】一 【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论． 分乙丙均说真话，乙说真话，丙说谎，乙说谎，丙说真话；乙丙均说慌四类分析得答案． 【详解】解：如果乙丙均说真话，则乙星期六和星期天说谎，丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾； 如果乙说真话，丙说谎，则乙星期六和星期天说谎丙星期二和星期三说谎，此时甲星期四和星期五说谎，符合题意，则三个人都没说谎的是星期一； 如果乙说谎，丙说真话，则乙星期一和星期二说谎丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾； 如果乙丙均说慌，则乙星期一和星期二说谎，丙星期二和星期三说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾； 综上所述，三个人都没说谎的是星期一， 故答案为：一． 【题型五 平行线的判定】 例题：（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 和是同位角，根据内错角相等，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； B. 和是内错角，根据内错角相等，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； C. 和是同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； D.根据，可判定，不能判断，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 【答案】 内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理结合图形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行） 故答案为：；内错角相等两直线平行（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据线段的和差求出，根据定理推出，得出，根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明： 在和中，， 【题型六 平行线中的拐点问题】 例题：（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可． 【详解】解：补全的证明过程如下： 证明：∵ （已知） ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解； （2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证； （3）连接，由，，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，   ，， ， ， ， 故答案为；； （2）解： ， ， ， ； （3）证明：，证明： 连接并延长，   ，， ， ． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： (1)如图1， 若 求证： ； (2)如图2， 若点C在下方时， 求 的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，，若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）根据题意得出，即可得，，即可证明． （2）根据三角形外角的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． （3）由（2）知，设，得出，设，根据，得出．根据三角形外角的性质得出，即可得出，再根据，，得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ∴． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：由（2）知， 设， ∵，平分， ∴， 设， ∵， ． 即． ∵是的一个外角， ∴． ∴， ∴． ， ∵， ， ∵， ， ，即， 即， ， ， ． 【题型七 平行线的性质和判定的综合应用】 例题：（23-24七年级下·湖北黄石·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理， 根据垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵ ∴，， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分、， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∵无法说明， ∴无法说明，故④错误； ∵， ∴， ∵平分、， ∴，故⑤正确； 综上所述，①②③⑤正确，共4个， 故选D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示． 根据题意可知， ∵， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型八 三角形内角和定理的证明】 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 【变式训练】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定与性质，三角形内角和定理． （1）根据平行线的性质和平角定义即可完成填空； （2）过A作，根据平行线的性质和平角定义即可完成证明． 【详解】（1）证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（平角定义）， 所以（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等； （2）证明：如图②，过A作， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 【题型九 与平行线有关的三角形内角和问题】 例题：（2024·四川眉山·一模）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和、角平分线的定义及平行线性质，解题关键是熟记相关概念与性质．先根据三角形内角和求出， 再根据角平分线定义及平行线性质可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，且，， ， 平分， ， ， ． 故选：． 【变式训练】 1．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，， ， ， 平分， 平分，若， 且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和判定、垂线的性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 如图中， 作，得出，即可得出，根据，得出，结合，得出，设．得出，，，，，即可得出，再根据，得出，求出，即可求解． 【详解】解：如图中， 作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， 设． 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即， ，即， ， ． ， 故答案为：． 【题型十 与角平分线有关的三角形内角和问题】 例题：（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，首先根据三角形内角和与得出，然后根据角平分线的性质得出和的外角和，进而得出，即可得解． 【详解】 、是的外角角平分线 （） 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，是的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据，，求出，再根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 是的平分线， ， ，是的外角， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在和的平分线交于点，已知，求的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理．熟练掌握角平分线有关的三角形内角和定理是解题的关键．由题意知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型十一 三角形折叠中的角度问题】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将沿翻折交于点D，又将沿翻折，点C落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，正确掌握翻折的性质是解题的关键． 由翻折得，，设，根据三角形内角和得到，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由翻折得，，， 设， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若， ． 【答案】/60度 【分析】本题主要是考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 根据已知条件求出，根据三角形内角和定理表示出，然后根据折叠的性质及平角的定义得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 纸片的沿折叠， ，， ， ， ∴． 一、单选题 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴, 故选：C． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，点在的边上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．在中应用三角形内角和定理有，结合可得，同理有，完成计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 同理，， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：，，平分，平分， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和为即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，三角形内角和定理可得，可判定A选项；由此可得，可证，得到，，可判定B选项；根据题意可得，得到，无法判定，可判定C选项；根据，得到，得到，结合可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据已知条件无法判定，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题 6．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是”等知识点是解决本题的关键先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和走理求出． 【详解】解∶ ， ． 沿翻折得到， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，若，，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为是的角平分线，所以，由得，则，在中，，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D为上的一点，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，知道根据三角形的内角和列方程是解题的关键．设，根据外角的性质得到，于是得到，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】设， 则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．利用三角形的内角和等于180度即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：110． 10．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，且，则 °．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 先求出，再证明，得到，从而求出，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 故答案为： ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，．填空： ， ． ． ． ． 【答案】，，， 【分析】本题考查平行线性质定理以及三角形内角和定理，牢记相关定理内容并能灵活应用是解题的重点． 根据两直线平行的性质定理，结合三角形内角和定理推理即可得到正确结果． 【详解】， ． ． ． ． 12．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】（1）80，110，；（2），见解析；（3）117 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，同理求解即可； （2）由三角形外角的定义及性质得出，，整理即可得解； （3）由（2）可得，再由角平分线的定义并结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ∴，， ∴，． 在中，， ， 整理，得． 同理可得：若，则． 若，则． （2）．理由： ∵，是的两个外角， ∴，， ， ，即． （3）， 由（2），得， ． 平分，平分， ， ． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[探究]如图，求证：； [应用] （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图，，，求的度数． 【答案】[探究]证明见解析；[应用]（）；（）． 【分析】[探究]连接，利用三角形的外角性质得出，，即可求解； [应用] （）利用[探究]的结论即可求解； （）连接，由[探究]可知，，即可求解； 本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：[探究]证明：连接，并延长，如图所示， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ，得， 即； [应用]解：（）∵，， ∴， ∴， 由[探究]可知， （）连接，如图所示， 由[探究]可知， ， ，得， ∴． 14．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，E、F是线段上两点，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 证，可得，进一步即可得证． 【详解】证明：∵， ∴, 在和中， ， ， ， ． 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图（1），在中，，分别是边上的中线和高，是的平分线． (1)若的面积为，，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质及三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形中线的性质求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据三角形角平分线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解： 是的中线，， ， ，， ， ． （2）解：在中，为的外角， ， ∵是的平分线 在中， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$