第01章 勾股定理 章节汇总练习 （10个知识点+36题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01章 勾股定理 章节汇总练习 （10个知识点+36题练习） 知识点合集 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点5．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点6．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 试题练习 1． 勾股定理 1．（2024春•道外区期末）直角三角形两边长分别为5和6，则第三边长为　　 A． B． C．6 D．或 2．（2024春•同安区校级期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是　　 A．12.5 B．13 C．14 D．15 3．（2024春•铁西区校级月考）如图，在四边形中，，，，，，则的长为 　　． 4．（2024春•谷城县期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 　　． 5．（2024春•武昌区期末）在中，，． （1）已知，求的取值范围； （2）若，且为整数，求长的最小值． 6．（2024春•藁城区期末）如图，每个小正方形的边长都是1． （1）　　； （2）求四边形的面积与周长． 二．勾股定理的证明 7．（2024•营山县一模）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为　　 A．2 B． C．3 D． 8．（2024春•思明区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是 　　． 9．（2024•金凤区校级二模）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则空白部分的面积为 　　． 10．（2023秋•二道区校级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． （1）请用文字语言叙述勾股定理的内容：　　； （2）请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件） 11．（2023秋•鼓楼区校级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若，则的值是　　 A．567 B．666 C．777 D．675 12．（2023秋•紫金县期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． （1）判断线段，，的数量关系，并说明理由； （2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 三．勾股定理的逆定理 13．（2024春•古蔺县期中）如图：四边形中，，，，且于．试求：四边形的面积． 14．（2024春•和平区校级期末）已知，，是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 15．（2024春•江南区期末）一个三角形的三边分别为5，12，13，则此三角形为　　三角形． 16．（2024春•椒江区期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 17．（2023秋•五华县期末）如图所示，在四边形中，，，，．（1）求的长； （2）四边形的面积． 18．（2024春•南昌县期末）一个三角形的三边长之比是，且周长是60，则它的面积是 　　． 四．勾股数 19．（2024春•九龙坡区校级期末）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 20．（2024春•武昌区期末）下列是勾股数的一组是　　 A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1， 21．（2023秋•泗洪县期中）请你任意写出一组勾股数　　． 22．（2022秋•漳州期末）小明在学习勾股数组知识后发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个分别可以写成，，如，，． （1）请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数组； （2）判断：满足这个规律的数组都是勾股数组吗？说明理由． 23．（2022秋•耒阳市期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　　； （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别表示为　　和　　． 24．（2023秋•宿城区校级期中）寻求某些股数的规律． （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是和，若把它扩大11倍，就得到 　　，若把它扩大若把它扩大倍为正整数），就得到 　　； （2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为； 若勾股数为5，12，13，则有； ①若勾股数为7，24，25，则有 　　； ②若勾股数为17，，，根据以上的规律，求、的值． 五．勾股定理的应用 25．（2024春•长寿区期末）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是　　 A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 26．（2024•泗阳县三模）有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中，，，则的长为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•郫都区期末）如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在、间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么建好桥后从村到村比原来减少的路程为 　　． 28．（2024春•武汉期末）有两棵树，一棵高为5米，另一棵高为2米，两棵树相隔4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞行 　　米． 29．（2024春•路桥区期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为2.4米，为0.7米． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端下滑0.9米时，求梯子的底端到点的距离． 30．（2023秋•宿迁期末）如图是一块地，已知，，，，，求这块地的面积． 六．平面展开-最短路径问题 31．（2024春•丰台区期中）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是　　 A． B． C． D．2 32．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从处到处觅食，要爬行的最短路程为 　　． 33．（2023春•广水市期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是多少？ 34．（2023秋•叙州区期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•偃师市期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程是多少？ 36．（2024春•涪城区校级月考）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是 　　米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 勾股定理 章节汇总练习 （10个知识点+36题练习） 知识点合集 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点5．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点6．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 试题练习 1． 勾股定理 1．（2024春•道外区期末）直角三角形两边长分别为5和6，则第三边长为　　 A． B． C．6 D．或 【分析】分6为直角边或斜边两种情况分别求解即可． 【解答】解：当6为斜边时，第三边长； 当6为直角边时，第三边长， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，主意分类讨论是解题的关键． 2．（2024春•同安区校级期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是　　 A．12.5 B．13 C．14 D．15 【分析】根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 3．（2024春•铁西区校级月考）如图，在四边形中，，，，，，则的长为 　2　． 【分析】延长、交于点，利用等角对等边得，再利用含角的直角三角形的性质可得答案． 【解答】解：延长、交于点， ，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键． 4．（2024春•谷城县期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 　13　． 【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可． 【解答】解：一直角三角形的两直角边长分别为5和12， 该直角三角形的斜边长为， 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 5．（2024春•武昌区期末）在中，，． （1）已知，求的取值范围； （2）若，且为整数，求长的最小值． 【分析】（1）由，得到，解不等式即可； （2）根据直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：（1），即，， ； （2），，， ， 解得， 为整数， 或， 当时，，， ， 当时，，， ， 长的最小值为． 【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 6．（2024春•藁城区期末）如图，每个小正方形的边长都是1． （1）　90　； （2）求四边形的面积与周长． 【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）利用分割法求出四边形的面积，利用勾股定理求出各条边长即可求出周长． 【解答】解：（1）如图：连接， ，，， ， ； 故答案为：90； （2）四边形的面积为， ， 周长为． 【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 二．勾股定理的证明 7．（2024•营山县一模）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为　　 A．2 B． C．3 D． 【分析】由题知，再根据，证明出，即可得出答案． 【解答】解：，四边形为正方形， ． 四边形为正方形， ． 由题可知：． ， ， 是中点， 即， ． ． 即． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题关键在于根据题意证明全等． 8．（2024春•思明区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是 　7　． 【分析】由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出，，进而得出，再由完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：由题意得：，， ， ， ， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，掌握四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系及完全平方公式是解决问题的关键． 9．（2024•金凤区校级二模）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则空白部分的面积为 　60　． 【分析】延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，延长交于点，延长交于点， 所以，四边形是正方形， ，，， ， ，， 因此，矩形的面积为， 空白部分的面积为， 故答案为：60． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键． 10．（2023秋•二道区校级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． （1）请用文字语言叙述勾股定理的内容：　在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，　； （2）请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件） 【分析】（1）直接写出勾股定理的内容即可； （2）根据图形的面积不同表示方法得出等式整理即可得出结论． 【解答】解：（1）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方， 故答案为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）如图1，由图形可知，， 整理得，； 如图2，由图形可知，， 整理得，； 如图3，由图形可知，， 整理得，． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，根据图形的面积不同表示方法得出等式是解题的关键． 11．（2023秋•鼓楼区校级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若，则的值是　　 A．567 B．666 C．777 D．675 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可． 【解答】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 12．（2023秋•紫金县期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． （1）判断线段，，的数量关系，并说明理由； （2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【分析】（1）根据证明，可得答案； （2）根据，可得答案． 【解答】解：（1）． 理由如下： ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ． （2）， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明， 三．勾股定理的逆定理 13．（2024春•古蔺县期中）如图：四边形中，，，，且于．试求：四边形的面积． 【分析】连接，则在直角中，已知，可以求，根据勾股定理逆定理可以判定为直角三角形，根据四边形的面积为和的面积之和可以解题． 【解答】解：连接， 于， ， ， 又， ， ，， ，，， ， 由勾股定理的逆定理得：， 于， ，， ，，， ，， ， ． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证是直角三角形是解题的关键． 14．（2024春•和平区校级期末）已知，，是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论． 【解答】解：．由，，可得，能判定是直角三角形，不合题意； ．由可得，能判定是直角三角形，不合题意； ．由可得，能判定是直角三角形，不合题意； ．由可得，不能判定是直角三角形，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 15．（2024春•江南区期末）一个三角形的三边分别为5，12，13，则此三角形为　直角　三角形． 【分析】根据勾股定理的逆定理可判断出该三角形是直角三角形． 【解答】解：，三角形是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，是基础知识比较简单． 16．（2024春•椒江区期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 17．（2023秋•五华县期末）如图所示，在四边形中，，，，．（1）求的长； （2）四边形的面积． 【分析】（1）根据勾股定理直接求出的长即可； （2）先证明是直角三角形，再根据求出结果即可． 【解答】解：（1），，， 在中，； （2），， ， 是直角三角形， ． 【点评】本题主要考查了勾股定理和逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 18．（2024春•南昌县期末）一个三角形的三边长之比是，且周长是60，则它的面积是 　120　． 【分析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：三角形的三边长分别为，，． ， 三角形为直角三角形． 三角形的面积． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，证得三角形为直角三角形是解题的关键． 四．勾股数 19．（2024春•九龙坡区校级期末）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形． 【解答】解：、不能，因为：； 、不能，因为：； 、能，因为：； 、不能，因为：； 故选：． 【点评】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足：时，则三角形是直角三角形． 20．（2024春•武昌区期末）下列是勾股数的一组是　　 A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1， 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【解答】解：，不是勾股数，不符合题意； ，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； ，且5，12，13都是正整数，是勾股数，符合题意； ，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股数的定义，关键是根据勾股数的定义解答． 21．（2023秋•泗洪县期中）请你任意写出一组勾股数　12，16，20　． 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数． 【解答】解：，且12，16，20都是正整数， 一组勾股数可以是12，16，20． 故答案为12，16，20． 【点评】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一． 22．（2022秋•漳州期末）小明在学习勾股数组知识后发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个分别可以写成，，如，，． （1）请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数组； （2）判断：满足这个规律的数组都是勾股数组吗？说明理由． 【分析】（1）确定一组正整数且满足勾股定理的逆定理，并且满足，，的形式即可； （2）证明即可得到结论． 【解答】解：（1）， 且，，， ，12，13是符合规律的一组勾股数； （2）满足这个规律的数组都是勾股数组． 理由：， ， ． ，，是勾股数． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的含义，勾股数的含义，熟记勾股定理的逆定理以及勾股数的含义是解本题的关键． 23．（2022秋•耒阳市期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　11，60，61　； （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别表示为　　和　　． 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组勾股数：11，60，61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【解答】解：（1）11，60，61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ，， ． 又，且为奇数， 由，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：，． 【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 24．（2023秋•宿城区校级期中）寻求某些股数的规律． （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是和，若把它扩大11倍，就得到 　　，若把它扩大若把它扩大倍为正整数），就得到 　　； （2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为； 若勾股数为5，12，13，则有； ①若勾股数为7，24，25，则有 　　； ②若勾股数为17，，，根据以上的规律，求、的值． 【分析】（1）先分别求出3，4，（5分）别扩大11倍和扩大倍后的数，再根据勾股数的定义可得答案； （2）①仿照题意可得答案；②根据题意找到规律，、都为正整数），则，，据此求解即可． 【解答】解：（1），4，（5分）别扩大11倍得到33，44，55， ， 3，4，5别扩大11倍得到，，， ， 故答案为：，； （2）解：①由题意得，， 故答案为：； ②，， ，， ，， ， 以此类推，，、都为正整数）， ，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 五．勾股定理的应用 25．（2024春•长寿区期末）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是　　 A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【分析】根据题意设旗杆的高为米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【解答】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ， 解得：， ， 即旗杆的高是． 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般． 26．（2024•泗阳县三模）有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理即可求得． 【解答】解：，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握和运用勾股定理是解决本题的关键． 27．（2024春•郫都区期末）如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在、间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么建好桥后从村到村比原来减少的路程为 　4　． 【分析】根据勾股定理求出的长，再和以前的距离作比较即可得出答案． 【解答】解：由勾股定理得： ， 建好桥后从村到村比原来减少的路程为， 故答案为4． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 28．（2024春•武汉期末）有两棵树，一棵高为5米，另一棵高为2米，两棵树相隔4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞行 　5　米． 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：如图，根据题意知，米，米，米，，， 过点作于，则四边形是矩形， 米，米， 米， 在中， （米． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 29．（2024春•路桥区期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为2.4米，为0.7米． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端下滑0.9米时，求梯子的底端到点的距离． 【分析】（1）由题意得米，米，根据勾股定理可求出梯子的长； （2）由题意得此时米，米，米，由勾股定理可得出，进而得出的长，即可得出答案． 【解答】解：（1）米，米，， 根据勾股定理可得：（米． 梯子的长为2.5米； （2）如图，由题意可知：米． 米， 米 米，米，， 根据勾股定理可得：（米． 米， （米． 梯子底端向外移1.3米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 30．（2023秋•宿迁期末）如图是一块地，已知，，，，，求这块地的面积． 【分析】根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积． 【解答】解：如图，连接． ，，， ． ，，．即， 为直角三角形，． 四边形的面积． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积． 六．平面展开-最短路径问题 31．（2024春•丰台区期中）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是　　 A． B． C． D．2 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得． 【解答】解：展开后由勾股定理得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 32．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从处到处觅食，要爬行的最短路程为 　17　． 【分析】将圆柱侧面展开如图所示，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：将圆柱侧面展开如图所示， 则， 即要爬行的最短路程为， 故答案为：17． 【点评】本题主要考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键． 33．（2023春•广水市期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是多少？ 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 34．（2023秋•叙州区期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是　　 A． B． C． D． 【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：． 【点评】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力． 35．（2022秋•偃师市期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程是多少？ 【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ． 它需要爬行的最短路程是． 【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 36．（2024春•涪城区校级月考）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是 　　米． 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接、，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面， 过作于，连接， 米，米， 米， 米， （米． 故这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$