期末复习重要考点02《有理数的运算》十四大考点题型-2024-2025学年七年级数学上册期末复习【重要考点】专练（苏科版2024)

（苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点02《有理数的运算》十四大考点题型 ▲知识点1. 有理数的加法 1、有理数的加法法则： （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）互为相反数的两个数相加得0． （4）一个数与0相加，仍得这个数. 2、有理数的加法运算律: 加法交换律：a+b=b+a. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). ▲知识点2. 有理数的减法 1、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数． 2、数轴上表示两点间的距离 数轴上两点A，B的距离| AB | 与这两点所对应的数a，b的关系为：| AB | ＝ | a－b |. ▲知识点3. 有理数的乘法 1、有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. （2）任何数与0相乘，都得0. 2、有理数的乘法运算律: 乘法交换律：ab=b a; 乘法结合律：(ab)c=a(b c); 分配律：a(b+c)=ab+ac. 3、多个有理数相乘的积的符号法则： 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. ▲知识点4. 有理数的除法 有理数除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. ▲知识点5. 有理数加减乘除混合运算 有理数加减乘除混合运算顺序： 1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律. ▲知识点6. 乘方 1、乘方：一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”，求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2、根据有理数的乘法法则可以得出： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0. ▲知识点7. 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. ▲知识点8. 科学记数法 1、科学记数法：把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记法是科学记数法. 2、用科学记数法表示一个n位整数(n≥2)，其中10的指数是n－1. 【题型1 有理数的加减法】 1．把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）写成省略括号的形式，结果正确的是（　　） A．﹣5﹣4+7﹣2 B．5+4﹣7﹣2 C．﹣5+4﹣7+2 D．﹣5+4+7﹣2 2．下列说法正确的是（　　） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．﹣a一定是负数 C．当a≠0时，|a|总是大于0 D．两个有理数的和一定大于每一个加数 3．（2024秋•顺德区校级月考）已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹣y＞0，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣5或﹣1 C．﹣1 D．以上都不对 4．已知|a|＝1，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　 　． 5．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，e分别表示其中的一个数，则a+b+c﹣d﹣e的值为 　 　． a b 0 ﹣2 3 c d e 1 6．计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）； （2）； （3）； （4）． 【题型2 有理数的乘除法】 1．下列互为倒数的是（　　） A．﹣3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 2．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 3．计算的结果是 　 ． 4．计算：　 ． 5．（2024秋•南关区校级期中）计算： （1） （2） 6．（2024秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最小值为 　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，商的最小值为 　 　． 【题型3 有理数的简便计算】 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 2．若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（　　） A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1 3．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 4．计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣5+6（第三步） ＝1（第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： （1）小敏在进行第二步计算时，运用了加法的 　 律、　 　律； （2）请指出她从第 　 　步开始出现错误； （3）请你写出正确的解题过程． 5．简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 【题型4 有理数的乘方】 1．（2023秋•环翠区期末）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2024与﹣|﹣2024| B．﹣110与（﹣1）9 C．（﹣2）3与（﹣3）2 D．a与﹣a 2．下列各数（﹣3）2，0，，，（﹣1）2020，﹣22，﹣（﹣8），中，负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（　　） A．（﹣3）3与﹣33 B．|﹣33|与|33| C．（﹣3）4与﹣34 D．（﹣3）2与32 4．（2024秋•吴中区校级月考）下列各数中，数值相等的有（　　） ①23与（﹣2）3；②﹣（﹣3）与﹣|﹣3|；③﹣1365与（﹣1）365；④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．（2023秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 【题型5 利用有理数的乘方解决实际实际问题】 1．兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如图所示．请问这样第（　　）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2023秋•高明区期末）把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到（　　）条折痕． A．14 B．31 C．63 D．127 3．（2023秋•东港市期中）1m长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，截完第7次后，截去的木棒总长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2023春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 5．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍， 每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度 是（　　） A． B． C． D． 6．如图是一张长20cm、宽10cm的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（　　） A．200cm2 B．200×（1）cm2 C．200cm2 D．200×（1）3cm2 【题型6 有理数的混合运算】 1．（2023秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（　　） A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28 2．给出下列算式：①﹣1﹣1＝0；②3﹣|﹣5|＝﹣2；③（﹣3）2＝﹣6；④12；⑤1515．其中正确的算式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 4．（2023秋•海南期末）计算： （1）； （2）． 5．（2023秋•浚县期末）计算： （1）； （2）． 【题型7 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合】 1．（2024秋•南关区校级期中）已知对|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．2或﹣2 B．8或﹣8 C．2或8 D．﹣2或﹣8 2．（2023秋•岚山区期末）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则（a+b）2023＝　 ． 3．已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值． 4．若|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16，且ab＞0，求a+b的值． 5．（2023秋•西峰区期末）已知|m|＝1，a和b互为倒数，c和d互为相反数，求（﹣ab）2024+50（c+d）﹣m的值． 【题型8 科学记数法】 1．（2023秋•利辛县校级期末）据中国银行研究院发布的《2024年经济金融展望报告》显示，2023年中国经济呈现出明显的M形增长态势．其中四季度增长预期为5.6%，整体年度增长率达到5.3%，预示着国内生产总值（GDP）有望攀升至126.7万亿元人民币．将126.7万亿用科学记数法表示为（　　） A．12.67×1013 B．1.267×1013 C．0.1267×1014 D．1.267×1014 2．（2023秋•金乡县期末）2022年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”，在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为1920000000公里，数字192000000用科学记数法表示为（　　） A．19.2×107 B．19.2×108 C．1.92×108 D．1.92×109 3．（2023秋•平定县期末）我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（　　） A．5.8×109 B．5.8×1010 C．58×109 D．0.58×1010 4．（2023秋•岱岳区期末）2023年末，泰安市常住人口540.1万人，常住人口城镇化率为65.45%，540.1万人用科学记数法表示为 　 人． 5．（2023秋•亭湖区校级期末）2022年全年国内生产总值约为1200000亿元，数据1200000用科学记数法可以表示为 　 　． 【题型9 有理数的实际应用】 1．某校七年级六个班组织举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5千克为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，一班到五班收集的废纸质量分别是+1，+2，﹣1.5，0，﹣1（单位：千克），六个班共收集了33千克的废纸． （1）求六班收集的废纸的质量； （2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量． 2．小明连续记录了他家电动汽车7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣11 ﹣14 10 ﹣16 +31 +8 （1）请求出这七天一共行驶多少千米？ （2）若行驶100km需用电11度，电动汽车充电平均1.6元/度，请按照这七天平均每天行驶的千米数计算小明家一个月（30天）的电动汽车充电费用是多少元？ 3．某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从A地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位/千米）： +5，﹣2，+7，﹣3，+8，﹣3，﹣1，+11，+4，﹣6，﹣2，+5，﹣3． （1）收工时，快递员在A地的哪个方向？求此时快递员与A地的距离； （2）若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 4．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +6 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）若每送一单能获得4.2元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 5．最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣10 ﹣14 0 +24 +31 +35 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一多走 　 　km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.4元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【题型10有理数乘除法规律探究题】 1．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 2．阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 3．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 【题型11 含乘方的探究规律题】 1．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ② ，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③ （1）请直接写出第①行数的第100项：　 　，第n项：　 　； （2）第②行数的第2012项： ； （3）第③行数与第①行数有什么关系？ （4）取每行数第10个数，计算这三个数的和． 2．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 3．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 【题型12 有理数的材料阅读问题】 1．阅读下面解题过程： 计算：5÷（22）÷6 解：5÷（22）×6 ＝5÷（）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 步，错因是　 　，第二处是　 　，错因是　 　． （2）正确结果应是　 　． 2．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 3．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【题型13有理数的程序图运算题】 1．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 2．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 3．（2023秋•隆昌市校级期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 　 　． 4．（2024秋•黔东南州期末）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果n＝ 　　 ． 5．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【题型14 有理数的新定义运算问题】 1．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 2．（2024秋•洪山区校级月考）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1 3．（2023秋•开江县校级期末）规定：对任意有理数对【a，b】，都有【a，b】＝a2+2b+1．例如：有理数对【﹣5，﹣2】＝（﹣5）2+2×（﹣2）+1＝22．若有理数对【﹣2，1】＝n，则有理数对【n，﹣1】＝ 　 　． 4．（2023秋•敦化市期末）若规定“※”的运算法则为：a※b＝ab﹣1，例如：2※3＝2×3﹣1＝5，则（﹣1）※4＝ 　 ． 5．【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 22，读作“2的圈3次方”，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）记作 （4）④，读作“﹣4的圈4次方”．一般的，我们把记作a①，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果2③＝　 　，（﹣4）④＝　 　，　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 3⑤＝　 　，（﹣5）⑧＝　 ，⑩＝　 ． （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 ． 1．（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（　　） A．2的倒数是﹣2 B．3的相反数是 C．绝对值最小的数是1 D．0的相反数是0 2．珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，某日测得山脚气温为19℃，山顶气温为﹣31℃，则山脚与山顶的温度差为（　　） A．24℃ B．26℃ C．50℃ D．75℃ 3．若|x|＝3，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　） A．﹣5或﹣1 B．5或1 C．±1 D．±5 4．（2024秋•霍邱县月考）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣1 B．（﹣7）﹣（+4）＝﹣3 C． D．（+3）+（﹣5）＝2 5．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 6．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 8．（2023秋•儋州校级期末）2023年海南省报名中考学生数为116369人，约为116400人．其中116400可用科学记数法表示为　 　． 9．（2023秋•宿城区期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　 　． 10．（2024秋•玄武区校级月考）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数，其中错误的有 　　（请填序号）． 11．已知有理数a，b，c满足等式|a|1﹣c，|b﹣1|＝c，且c是整数，则式子2a+3b﹣4c的值等于 　． 12．计算下列各题： （1）（﹣1）2021﹣|﹣6|×（）+（﹣2）2； （2）﹣7（﹣8）﹣（﹣7.8）×（﹣4）； （3）（﹣2）3×（﹣1）4﹣|﹣12|÷[﹣（）2]； （4）﹣22﹣（﹣2）2﹣（﹣3）2×（）﹣42÷|﹣4|． 13．已知|x|＝6，，且xy＞0，x+y＜0． （1）求x、y的值； （2）求x2﹣4y的值． 14．若，照此规律． （1） 　 　． （2）计算 （3）的值为 　 　． 15．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 +21 +22 +30 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　 　km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ （苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点02《有理数的运算》十四大考点题型 ▲知识点1. 有理数的加法 1、有理数的加法法则： （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）互为相反数的两个数相加得0． （4）一个数与0相加，仍得这个数. 2、有理数的加法运算律: 加法交换律：a+b=b+a. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). ▲知识点2. 有理数的减法 1、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数． 2、数轴上表示两点间的距离 数轴上两点A，B的距离| AB | 与这两点所对应的数a，b的关系为：| AB | ＝ | a－b |. ▲知识点3. 有理数的乘法 1、有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. （2）任何数与0相乘，都得0. 2、有理数的乘法运算律: 乘法交换律：ab=b a; 乘法结合律：(ab)c=a(b c); 分配律：a(b+c)=ab+ac. 3、多个有理数相乘的积的符号法则： 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. ▲知识点4. 有理数的除法 有理数除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. ▲知识点5. 有理数加减乘除混合运算 有理数加减乘除混合运算顺序： 1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律. ▲知识点6. 乘方 1、乘方：一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”，求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2、根据有理数的乘法法则可以得出： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0. ▲知识点7. 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. ▲知识点8. 科学记数法 1、科学记数法：把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记法是科学记数法. 2、用科学记数法表示一个n位整数(n≥2)，其中10的指数是n－1. 【题型1 有理数的加减法】 1．把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）写成省略括号的形式，结果正确的是（　　） A．﹣5﹣4+7﹣2 B．5+4﹣7﹣2 C．﹣5+4﹣7+2 D．﹣5+4+7﹣2 【分析】先将原式统一成加法，然后写成省略加号的形式即可． 【解答】解：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）＝﹣5+4﹣7+2， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握省略加号的方法是解题的关键． 2．下列说法正确的是（　　） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．﹣a一定是负数 C．当a≠0时，|a|总是大于0 D．两个有理数的和一定大于每一个加数 【分析】根据有理数的加法的运算法则，正数和负数的定义，绝对值的定义进行判断． 【解答】解：A．有理数包括正有理数、0和负有理数，故此选项不符合题意； B．当a＝﹣1时，﹣a＝1＞0，则﹣a不一定是负数，故此选项不符合题意； C．当a≠0时，|a|总是大于0，故此选项符合题意； D．如2+0＝2，则两个有理数的和不一定大于每一个加数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加法，正数和负数，绝对值，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•顺德区校级月考）已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹣y＞0，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣5或﹣1 C．﹣1 D．以上都不对 【分析】根据绝对值的性质得到x＝±2，y＝±3，然后结合x﹣y＞0得到x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3，然后分情况代入x+y求解即可． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3， ∵x﹣y＞0， 故x＞y， ∴x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3， 当x＝2，y＝﹣3时， x+y＝2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1； x＝﹣2，y＝﹣3时， x+y＝﹣2+（﹣3）＝﹣2﹣3＝﹣5． 综上可得x+y的值为﹣1或﹣5． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的加法和减法、绝对值，掌握有理数的加减法运算法则是关键． 4．已知|a|＝1，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　 　． 【分析】根据绝对值的意义求出a，b的值，再根据|a+b|＝a+b进一步确定a、b的值，然后代入a﹣b计算即可． 【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝6， ∴a＝±1，b＝±6， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝1，b＝6或a＝﹣1，b＝6， 当a＝1，b＝6时，a﹣b＝1﹣6＝﹣5； 当a＝﹣1，b＝6时，a﹣b＝﹣1﹣6＝﹣7； 综上，a﹣b的值为﹣5或﹣7， 故答案为：﹣5或﹣7． 【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减法，熟知：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 5．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，e分别表示其中的一个数，则a+b+c﹣d﹣e的值为 　 　． a b 0 ﹣2 3 c d e 1 【分析】先根据题意列方程组，求得a，b，c，d，e的值，然后代入式子计算即可． 【解答】解：由题意解答：a+3+1＝a﹣2+d，即d＝6； ∴a+3+1＝d+3＝9，即：a+3+1＝9，解得：a＝5； a+b+0＝9，即5+b+0＝9，解得：b＝4； 1+c+0＝9，解得：c＝8； d+e+1＝9，即6+e+1＝9，解得：e＝2； 所以a+b+c﹣d﹣e＝5+4+8﹣6﹣2＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 6．计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）（2）（3）小题均利用有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再进行简便计算即可； （4）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后进行简便计算即可． 【解答】解：（1）原式＝12+18﹣7 ＝30﹣7 ＝23； （2）原式 ＝0﹣1 ＝﹣1； （3）原式 ＝10﹣10 ＝0； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和绝对值的性质． 【题型2 有理数的乘除法】 1．下列互为倒数的是（　　） A．﹣3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可． 【解答】解：A．因为，所以﹣3和是互为倒数，因此选项符合题意； B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意； C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意； D．因为，所以﹣2和不是互为倒数，因此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”． 2．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误； B、，故计算错误； C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 3．计算的结果是 　 ． 【分析】根据除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，把除法运算转化为乘法运算，再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法则是解题的关键． 4．计算：　 ． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，再计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2024秋•南关区校级期中）计算： （1） （2） 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 6．（2024秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最小值为 　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，商的最小值为 　 　． 【分析】（1）根据绝对值最大的两个有理数的乘积为最大即可得出答案； （2）根据有理数的乘法运算的法则即可得出答案； （3）根据有理数除法的运算法则即可得出答案． 【解答】解：∵﹣8＜﹣5＜0＜+3＜+4，|﹣8|＞|﹣5|＞|+4|＞|+3|＞0， （1）当抽取﹣8，﹣5两张卡片时，这两张卡片上数字的乘积最大，最大值是40， 所列的算式是：（﹣8）×（﹣5），乘积的最大值为40， 故答案为：（﹣8）×（﹣5）；40； （2）当抽取﹣8，+4，+3三张卡片时，这三张卡片上数字的乘积最小，最大值是﹣96， 所列的算式是：（﹣8）×（+4）×（+3），乘积的最小值为﹣96， 故答案为：（﹣8）×（+4）×（+3）；﹣96； （3）当抽取﹣8，+4两张卡片时，商最小，最小值是， 所列的算式是：（﹣8）÷（+3），乘积的最小值为， 故答案为：（﹣8）÷（+3）；． 【点评】此题主要考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解决问题的关键． 【题型3 有理数的简便计算】 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案． 【解答】解：∵﹣100（﹣100）， ∴根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为24×（﹣100）＝ ﹣24×100+24，可以简便运算． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键． 2．若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（　　） A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1 【分析】根据乘法分配律将（﹣2022）×63进行变形，从而分析求解． 【解答】解：（﹣2022）×63 ＝（﹣2022）×（62+1） ＝（﹣2022）×62+（﹣2022）×1 ＝（﹣2022）×62﹣2022， 又∵（﹣2022）×63＝p， ∴（﹣2022）×62﹣2022＝p， ∴（﹣2022）×62＝p+2022， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法运算，掌握乘法分配律（a+b）c=ac+bc是解题关键． 3．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 【分析】（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【解答】解：（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433） ＝[（﹣248）+（﹣752）]+[（﹣433）+433] ＝﹣1000； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5 ＝[（﹣0.8）+0.8]+（1.2+3.5）+[（﹣0.7）+（﹣2.1）] ＝0+4.7+（﹣2.8） ＝1.9． 【点评】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． 4．计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣5+6（第三步） ＝1（第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： （1）小敏在进行第二步计算时，运用了加法的 　 律、　 　律； （2）请指出她从第 　 　步开始出现错误； （3）请你写出正确的解题过程． 【分析】（1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律． 故答案为：交换；结合； （2）小敏在计算过程中，从第三步开始出现错误． 故答案为：三； （3） ＝﹣6+6 ＝0． 【点评】本题主要查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 5．简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； （2）运用乘法分配律进行计算即可． （3）根据乘法分配律逆用简便计算． （4）根据乘法分配律逆用简便计算． 【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8） ＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3） ＝10×（﹣15） ＝﹣150； （2）（）×（﹣12） 121212 ＝﹣5﹣8+9 ＝﹣4； （3）（﹣19） ＝（）×19 19 ＝9． （4）（﹣48）×0.125+48 ＝48×（） ＝0； 【点评】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【题型4 有理数的乘方】 1．（2023秋•环翠区期末）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2024与﹣|﹣2024| B．﹣110与（﹣1）9 C．（﹣2）3与（﹣3）2 D．a与﹣a 【分析】根据绝对值，乘方运算，相反数的概念，逐一判断各选项，可得到结果． 【解答】解：A．﹣|﹣2024|＝﹣2024，故﹣2024与﹣|﹣2024|不是互为相反数，该选项不符合题意； B．﹣110＝﹣1，（﹣1）9＝﹣1，故﹣110与（﹣1）9不是互为相反数，该选项不符合题意； C．（﹣2）3＝﹣8，（﹣3）2＝9，故（﹣2）3与（﹣3）2不是互为相反数，该选项不符合题意； D．a与﹣a是互为相反数，该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的概念，涉及到绝对值，乘方运算，熟练掌握相关运算法则，以及相反数的概念是解题的关键． 2．下列各数（﹣3）2，0，，，（﹣1）2020，﹣22，﹣（﹣8），中，负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：（﹣3）2＝9＞0，是正数； 0既不是正数，也不是负数； 0，是负数； 0，是正数； （﹣1）2020＝1＞0，是正数； ﹣22＝﹣4＜0，是负数； ﹣（﹣8）＝8＞0，是正数； 0，是负数； ∴负数有，﹣22，，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 3．（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（　　） A．（﹣3）3与﹣33 B．|﹣33|与|33| C．（﹣3）4与﹣34 D．（﹣3）2与32 【分析】根据乘方的法则及绝对值的性质计算． 【解答】解：A、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴不符合题意； B、|﹣33|＝27，|33|＝27，∴不符合题意； C、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，∴符合题意； D、（﹣3）2＝9，32＝9，∴不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查有理数乘方，掌握乘方的法则及绝对值的性质是解题关键． 4．（2024秋•吴中区校级月考）下列各数中，数值相等的有（　　） ①23与（﹣2）3；②﹣（﹣3）与﹣|﹣3|；③﹣1365与（﹣1）365；④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】根据各组中的数据可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：①∵23＝8，（﹣2）3＝﹣8，∴23≠（﹣2）3，故①数值不相等，不符合题意； ②∵﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，∴﹣（﹣3）≠﹣|﹣3|，故②数值不相等，不符合题意； ③∵﹣1365＝﹣1，（﹣1）365＝﹣1，∴﹣1365＝（﹣1）365，故③数值相等，符合题意； ④∵，，∴，故④数值不相等，不符合题意； ∴数值相等的有③共1组， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘方，绝对值意义，相反数意义，解答本题的关键是明确有理数乘方的计算方法． 5．（2023秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 【分析】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可． 【解答】解：（a+1）2≥0，A错误； a2+1＞0，B正确； ﹣（a+1）2，≤0，C错误； a2+1的值中，最小值是1，D错误， 故选：B． 【点评】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键． 【题型5 利用有理数的乘方解决实际实际问题】 1．兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如图所示．请问这样第（　　）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据题意可知，第一次捏合后可拉出21根面条，第二次捏合后可拉出22根面条，第三次捏合后可拉出23根面条，以此类推，即可得出答案． 【解答】解：第一次捏合后可拉出21根面条， 第二次捏合后可拉出22根面条， 第三次捏合后可拉出23根面条， ……， 第n次捏合可拉出2n根面条， ∴2n＝128＝27， ∴需要捏合7次，可拉出128根面条． 故选：C． 【点评】本题考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算法则，读懂题意，找出规律是解题的关键． 2．（2023秋•高明区期末）把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到（　　）条折痕． A．14 B．31 C．63 D．127 【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可，再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数． 【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕， 所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕， …， 以此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕． 当n＝6时，26﹣1＝63， 故选：C． 【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 3．（2023秋•东港市期中）1m长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，截完第7次后，截去的木棒总长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】根据有理数的乘方解决此题． 【解答】解：第一次截去一半，剩余的木棒的长度为1； 第二次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为1； 第三次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为1； … 以此类推，截完第七次，剩余的木棒的长度为． ∴截完第7次后，截去的木棒总长度为1（米）． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键． 4．（2023春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 【分析】根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可． 【解答】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1； …… n个小时后细胞存活的个数是2n+1， 当n＝8时，存活个数是28+1＝257． 故选：C． 【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析，归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 5．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍， 每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度 是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度． 【解答】解：由题意，第一次截取后剩余长度为1×（1）， 第二次截取后剩余长度为（1）， 第三次截取后剩余长度为， …， 第n次截取后剩余长度为， ∴第五次截取后剩余长度为， 故选：C． 【点评】本题考查分数乘法的应用及乘方的意义，理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，掌握有理数乘方的意义是解题关键． 6．如图是一张长20cm、宽10cm的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（　　） A．200cm2 B．200×（1）cm2 C．200cm2 D．200×（1）3cm2 【分析】根据乘方的定义解决此题． 【解答】解：长方形的最初的面积为S＝20×10＝200（cm2）． 第一次剪裁后剩余的面积为． 第二次剪裁后剩余的面积为． 第三次剪裁后剩余的面积为． … 经分析，第六次剪裁后剩余的面积为（cm2）． 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键． 【题型6 有理数的混合运算】 1．（2023秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（　　） A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28 【分析】原式先算乘方，再算加减即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣4+（﹣8）﹣16 ＝﹣4﹣8﹣16 ＝﹣12﹣16 ＝﹣28． 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行． 2．给出下列算式：①﹣1﹣1＝0；②3﹣|﹣5|＝﹣2；③（﹣3）2＝﹣6；④12；⑤1515．其中正确的算式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】用有理数的运算逐个判断即可． 【解答】解：①﹣1﹣1＝﹣2，故不正确； ②3﹣|﹣5|＝3﹣5＝﹣2，故正确； ③（﹣3）2＝9，故不正确； ④4÷（）＝4×（﹣3）＝﹣12，故正确； ⑤15÷（﹣5）×（）＝﹣3×（），故不正确； ∴正确的有②④， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的加减、乘除、乘方运算的法则． 3．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 【分析】（1）根据幂的运算即可判断； （2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（）＝636， ∴原式＝1﹣（﹣8）+6， ∴开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）原式＝1﹣（﹣8）+6 ＝1+8+6×6 ＝1+8+36 ＝45． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序． 4．（2023秋•海南期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先将除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解； （2）先计算括号内的，有理数的乘方，然后计算乘除，最后计算加减即可求解． 【解答】解：（1）原式 ＝5； （2）原式＝﹣1+（﹣10）×2×2﹣（2+27） ＝﹣1﹣20×2﹣29 ＝﹣1﹣40﹣29 ＝﹣41﹣29 ＝﹣70． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 5．（2023秋•浚县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算律进行简便计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：（1） ＝﹣8×（）×6 ＝﹣48×（） ＝﹣48×（）﹣4848×（） ＝8﹣36+4 ＝﹣24； （2） ＝﹣1﹣[2﹣（﹣8）]×（） ＝﹣1﹣10×（） ＝﹣1 ． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【题型7 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合】 1．（2024秋•南关区校级期中）已知对|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．2或﹣2 B．8或﹣8 C．2或8 D．﹣2或﹣8 【分析】结合有理数乘法的符号法则，同号为正，确定x，y的值，再进行加法运算即可． 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3， ∴x＝±5，y＝±3， ∵xy＞0， ∴x，y同号， 则x＝5，y＝3或x＝﹣5，y＝﹣3， 当x＝5，y＝3时， x﹣y＝5﹣3＝2； 当x＝﹣5，y＝﹣3时， x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键． 2．（2023秋•岚山区期末）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则（a+b）2023＝　 ． 【分析】根据非负数的性质求出a，b，再代入代数式求值即可． 【解答】解：∵|a+3|+|b﹣2|＝0， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， ∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键． 3．已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值． 【分析】根据有理数与倒数的定义及乘方的运算法则得出a，b，c的值，再分情况求解可得． 【解答】解：根据题意知a＝0，b＝1或b＝﹣1，c＝2或c＝﹣2， 当a＝0，b＝1，c＝2时，原式＝0+1+2＝3； 当a＝0，b＝1，c＝﹣2时，原式＝0+1﹣2＝﹣1； 当a＝0，b＝﹣1，c＝2时，原式＝0﹣1+2＝1； 当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，原式＝0﹣1﹣2＝﹣3； 综上，a+b+c的值为±1或±3． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数与倒数的定义及乘方的运算法则，有理数的混合运算顺序和运算法则． 4．若|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16，且ab＞0，求a+b的值． 【分析】先计算乘方和绝对值，得到a＝±3，b＝±4，再由ab＞0得到a＝﹣3，b＝﹣4或a＝3，b＝4，据此代值计算即可． 【解答】解：∵|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16， ∴a＝±3，b＝±4， ∵ab＞0， ∴a、b同号． ∴a＝﹣3，b＝﹣4或a＝3，b＝4， 当a＝﹣3，b＝﹣4时， a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7 当a＝3，b＝4时， a+b＝3+4＝7， ∴a+b的值为±7． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，绝对值，有理数的加法计算，正确确定a，b的值是关键． 5．（2023秋•西峰区期末）已知|m|＝1，a和b互为倒数，c和d互为相反数，求（﹣ab）2024+50（c+d）﹣m的值． 【分析】根据倒数的定义可得ab＝1，根据相反数的定义可得c+d＝0，根据绝对值的定义可得m＝±1，代入求值即可． 【解答】解：由题意知，ab＝1，c+d＝0，m＝±1， 当m＝1时， 原式＝（﹣1）2024+50×0﹣1＝1+0﹣1＝0； 当m＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2024+50×0﹣（﹣1）＝1+0+1＝2； 综上可知，（﹣ab）2024+50（c+d）﹣m的值为0或2． 【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值的意义，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型8 科学记数法】 1．（2023秋•利辛县校级期末）据中国银行研究院发布的《2024年经济金融展望报告》显示，2023年中国经济呈现出明显的M形增长态势．其中四季度增长预期为5.6%，整体年度增长率达到5.3%，预示着国内生产总值（GDP）有望攀升至126.7万亿元人民币．将126.7万亿用科学记数法表示为（　　） A．12.67×1013 B．1.267×1013 C．0.1267×1014 D．1.267×1014 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：126.7万亿＝126700000000000＝1.267×1014． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2023秋•金乡县期末）2022年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”，在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为1920000000公里，数字192000000用科学记数法表示为（　　） A．19.2×107 B．19.2×108 C．1.92×108 D．1.92×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：192000000＝1.92×108． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2023秋•平定县期末）我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（　　） A．5.8×109 B．5.8×1010 C．58×109 D．0.58×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：580亿＝58000000000＝5.8×1010． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（2023秋•岱岳区期末）2023年末，泰安市常住人口540.1万人，常住人口城镇化率为65.45%，540.1万人用科学记数法表示为 　 人． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：540.1万＝5401000＝5.401×106． 故答案为：5.401×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（2023秋•亭湖区校级期末）2022年全年国内生产总值约为1200000亿元，数据1200000用科学记数法可以表示为 　 　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1200000＝1.2×106． 故答案为：1.2×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【题型9 有理数的实际应用】 1．某校七年级六个班组织举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5千克为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，一班到五班收集的废纸质量分别是+1，+2，﹣1.5，0，﹣1（单位：千克），六个班共收集了33千克的废纸． （1）求六班收集的废纸的质量； （2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量． 【分析】（1）由题意得，5个班收集废纸和为：5×5+1+2﹣1.5+0﹣1，即可求解； （2）由题意得，一、二、六班为前3名，可获得荣誉称号，进而求解． 【解答】解：（1）由题意得，5个班收集废纸和为：5×5+1+2﹣1.5+0﹣1＝25.5（千克）， 则六班收集的废纸的质量为33﹣25.5＝7.5（千克）； （2）由题意得，一、二、六班为前3名，可获得荣誉称号， 则获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：7.5+（5+1）+（5+2）＝20.5（千克）． 【点评】本题主要考查正负数表示的意义、有理数的加法，熟练掌握正负数表示的意义、有理数的加法运算法则是解决本题的关键． 2．小明连续记录了他家电动汽车7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣11 ﹣14 10 ﹣16 +31 +8 （1）请求出这七天一共行驶多少千米？ （2）若行驶100km需用电11度，电动汽车充电平均1.6元/度，请按照这七天平均每天行驶的千米数计算小明家一个月（30天）的电动汽车充电费用是多少元？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【解答】解：（1）7×50﹣8﹣11﹣14+10﹣16+31+8＝350（km）， 即这七天一共行驶350千米； （2）11×1.6264（元）， 即小明家一个月（30天）的电动汽车充电费用是264元． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 3．某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从A地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位/千米）： +5，﹣2，+7，﹣3，+8，﹣3，﹣1，+11，+4，﹣6，﹣2，+5，﹣3． （1）收工时，快递员在A地的哪个方向？求此时快递员与A地的距离； （2）若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 【分析】（1）求出他行驶路程的代数和即可； （2）先求得各数的绝对值的和，再乘以0.02即可． 【解答】解：（1）5﹣2+7﹣3+8﹣3﹣1+11+4﹣6﹣2+5﹣3＝20（千米）， 答：收工时，快递员在A地的东边，距离A地20千米； （2）|5|+|﹣2|+|7|+|﹣3|+|8|+|﹣3|+|﹣1|+|11|+|4|+|﹣6|+|﹣2|+|5|+|﹣3|＝5+2+7+3+8+3+1+11+4+6+2+5+3＝60（千米）， 60×0.02＝1.2（度）， 答：该天共耗电1.2度． 【点评】本题主要考查正负数的意义和有理数的加减法，需要注意的是行走的路程是各数的绝对值之和． 4．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +6 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）若每送一单能获得4.2元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：（1）14﹣（﹣8）＝14+8＝22（单）， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单； （2）50×7+（﹣3+4﹣5+14﹣8+6+12） ＝350+20 ＝370（单）， 答：该外卖小哥这一周一共送餐370单； （3）由（2）可知，他一周共送外卖370单， 所以370×4.2＝1554（元）， 答：外卖小哥这一周的收入为1554元． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 5．最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣10 ﹣14 0 +24 +31 +35 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一多走 　 　km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.4元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【解答】解：（1）35﹣（﹣14）＝35+14＝49（km）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一多走49km， 故答案为：49； （2）50×7+（﹣8﹣10﹣14+0+24+31+35） ＝350+58 ＝408（千米）， 即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了408千米； （3）408÷100×15×0.4＝24.48（元）， 即小明家这7天的行驶费用是24.48元． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【题型10有理数乘除法规律探究题】 1．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）与（1）一样得到1，然后进行合并； （3）把原式变形为（2）中的形式得到[（1）+（）+（）+…+（）]，然后利用（2）中的方法计算． 【解答】解：（1）通过观察可得：； （2））①⋯ ＝1••• ＝1 ． ②根据规律可得：原式＝1． 故答案为：1． （3）原式[（1）+（）+（）+…+（）]（1）． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括号是解题关键． 3．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 【分析】（1）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （2）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （3）先去绝对值，再抵消法计算即可求解； （4）利用计算的规律，两次拆分计算即可． 【解答】解：（1） ＝1 ＝1 ； （2） （1） （1） ； （3） ＝1 ＝1 ； （4） （） （） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【题型11 含乘方的探究规律题】 1．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ② ，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③ （1）请直接写出第①行数的第100项：　 　，第n项：　 　； （2）第②行数的第2012项： ； （3）第③行数与第①行数有什么关系？ （4）取每行数第10个数，计算这三个数的和． 【分析】（1）根据观察，可发现规律：第n个数是（﹣1）n•2n； （2）第①行的每一项都加2，可得第②行； （3）第①行的每一项都乘以（），可得第③行； （4）根据每行的规律，可得第10个数，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：（1）请直接写出第①行数的第100项：200，第n项：（﹣1）n•2n； （2）第②行数的第2012项是（﹣1）2012×22012+2＝22012+2 （3）第一行的每一项都乘以（）等于第三行的项； （4）取每行数第10个数，计算这三个数的和 [（﹣1）10×210]+[（﹣1）10×210+2]+[（﹣1）10×210×（）] ＝1024+1026﹣256 ＝1794． 故答案为：2100，（﹣1）n•2n；22012+2． 【点评】本题考查了规律型，观察发现每行的规律是解题关键，利用（﹣1）的乘方得出每项的符号是解（1）的关键． 2．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 【分析】仿照题目中的例子，可以设S＝1+5+52+53+…+52017，然后得到5S，再作差，整理即可得到所求式子的值． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52017， 则5S＝5+52+53+…+52018， 5S﹣S＝52018﹣1， 4S＝52018﹣1， 则S， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 3．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3n2×（n+1）2； （3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案． 【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝22552×62 （2）猜想：13+23+33+…+n3n2×（n+1）2 （3）利用（2）中的结论计算： 113+123+133+143+153+163+…+393+403． 解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103） 402×412102×112 ＝672400﹣3025 ＝669375 【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． 【题型12 有理数的材料阅读问题】 1．阅读下面解题过程： 计算：5÷（22）÷6 解：5÷（22）×6 ＝5÷（）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 步，错因是　 　，第二处是　 　，错因是　 　． （2）正确结果应是　 　． 【分析】（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，即可得出答案； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是②，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； 故答案为：①，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；②，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； （2）5÷（22）÷6 ＝5÷（） ＝5×（） ． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法则是本题的关键，是一道基础题． 2．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【分析】根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1+（﹣1） ＝0． 【点评】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． 3．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（）÷（）的结果，再算出原式结果即可． 【解答】解：原式的倒数是： （）÷（） ＝（）×（﹣42） ＝﹣（42424242） ＝﹣（7﹣9+28﹣12） ＝﹣14， 故原式． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 【题型13有理数的程序图运算题】 1．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 【分析】把a的值代入计算程序中计算即可得到结果． 【解答】解：把a＝﹣1代入得： [（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4 ＝（1+2）×（﹣3）+4 ＝3×（﹣3）+4 ＝﹣9+4 ＝﹣5， 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】把各选项中的数值代入按运算规则运算即可． 【解答】解：A．依题意有﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝1＜2， 1+4﹣（﹣3）﹣5＝3＞2，输出； B．依题意有﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝0＜2， 0+4﹣（﹣3）﹣5＝2； 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； C．依题意有0+4﹣（﹣3）﹣5＝2， 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； D.2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握图中程序运算是解本题的关键． 3．（2023秋•隆昌市校级期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 　 　． 【分析】根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值． 【解答】解：依据题中的计算程序列出算式：12×3﹣5＝﹣2＜0， ∴应该按照计算程序继续计算，（﹣2）2×3﹣5＝7， ∴y＝7． 故答案为：7． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 4．（2024秋•黔东南州期末）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果n＝ 　　 ． 【分析】根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【解答】解：由计算机程序可知，当输入的数为5时， ∵5＞﹣1， ∴5﹣2＝3， ∵3＞﹣1， ∴3﹣2＝1， ∵1＞﹣1， ∴1﹣2＝﹣1， ∴﹣1﹣2＝﹣3， ∵﹣3＜﹣1， ∴﹣（﹣3）＝3， ∴3+（﹣7）＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：把x＝﹣2代入可得：， 再把x＝1代入可得：， 所以y， 故答案为： 【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【题型14 有理数的新定义运算问题】 1．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： ﹣4※2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（2024秋•洪山区校级月考）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1 【分析】根据新定义可得，据此计算求解即可． 【解答】解：∵， ∴ ＝2×4﹣1×（﹣9） ＝8+9 ＝17， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 3．（2023秋•开江县校级期末）规定：对任意有理数对【a，b】，都有【a，b】＝a2+2b+1．例如：有理数对【﹣5，﹣2】＝（﹣5）2+2×（﹣2）+1＝22．若有理数对【﹣2，1】＝n，则有理数对【n，﹣1】＝ 　 　． 【分析】根据规定列式计算出n的值，然后再根据规定列式计算即可求得【n，﹣1】的值． 【解答】解：【﹣2，1】 ＝（﹣2）2+2×1+1 ＝4+2+1 ＝7， 即n＝7， 则【n，﹣1】 ＝【7，﹣1】 ＝72+2×（﹣1）+1 ＝49﹣2+1 ＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 4．（2023秋•敦化市期末）若规定“※”的运算法则为：a※b＝ab﹣1，例如：2※3＝2×3﹣1＝5，则（﹣1）※4＝ 　 ． 【分析】根据a※b＝ab﹣1，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a※b＝ab﹣1， ∴（﹣1）※4 ＝（﹣1）×4﹣1 ＝﹣4﹣1 ＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 5．【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 22，读作“2的圈3次方”，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）记作 （4）④，读作“﹣4的圈4次方”．一般的，我们把记作a①，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果2③＝　 　，（﹣4）④＝　 　，　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 3⑤＝　 　，（﹣5）⑧＝　 ，⑩＝　 ． （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 ． 【分析】依据题意，由a的圈n次方的意义：一般的，我们把（a≠0）记作aⓝ，进而逐个进行计算可以得解． 【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2；（﹣4）④＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）；（）÷（）÷（）÷（）＝4． 故答案为：；；4． （2）3⑤＝3÷3÷3÷3÷3；（﹣5）⑧＝（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）；⑩＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）（﹣2）8． 故答案为：；；（﹣2）8． （3）由题意，根据（2）中规律可得，aⓝ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算、正数和负数、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答本题． 1．（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（　　） A．2的倒数是﹣2 B．3的相反数是 C．绝对值最小的数是1 D．0的相反数是0 【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，有理数的绝对值都是非负数，由此即可得到答案． 【解答】解：A、2的倒数是，故A不符合题意； B、3的相反数是﹣3，故B不符合题意； C、绝对值最小的数是0，故C不符合题意； D、0的相反数是0，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查倒数，相反数，绝对值，关键是掌握倒数、相反数的定义，绝对值的意义． 2．珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，某日测得山脚气温为19℃，山顶气温为﹣31℃，则山脚与山顶的温度差为（　　） A．24℃ B．26℃ C．50℃ D．75℃ 【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵山脚气温为19℃，山顶气温为﹣31℃， ∴山脚与山顶的温度相差为：19﹣（﹣31）＝19+31＝50（℃）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数的减法运算的应用，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．若|x|＝3，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　） A．﹣5或﹣1 B．5或1 C．±1 D．±5 【分析】根据绝对值的意义求得x＝±3，y＝±2，根据|x﹣y|＝y﹣x可得x﹣y＜0，进而分类讨论，代入进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝±3，y＝±2， ∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x﹣y＜0， ∴当x＝﹣3，y＝2时，当x＝﹣3，y＝﹣2时， 即x+y＝﹣3+2＝﹣1或x+y＝﹣3﹣2＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减法，绝对值，掌握有理数的加减法运算是关键． 4．（2024秋•霍邱县月考）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣1 B．（﹣7）﹣（+4）＝﹣3 C． D．（+3）+（﹣5）＝2 【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【解答】解：﹣（﹣4）+（﹣5）＝4+（﹣5）＝﹣1，则A符合题意； （﹣7）﹣（+4）＝（﹣7）+（﹣4）＝﹣11，则B不合题意； ，则C不合题意； （+3）+（﹣5）＝﹣2，则D不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 5．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可． 【解答】解：根据图形可知，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0， 所以a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A． 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的除法，有理数的加法，数轴，掌握有理数的运算法则是解本题的关键． 6．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可． 【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0， ∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0， ∴abc＞0或abc＜0，选项①错误； b+c＞0或b+c＜0，选项②错误； |a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确； |a﹣c|＞|a|，选项④错误， 其中一定成立的结论个数为1． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的乘法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【解答】解：∵xy＜0， ∴x，y异号． 当x＞0，y＜0时，则； 当x＜0，y＞0时，则； 综上，的值是﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法，绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 8．（2023秋•儋州校级期末）2023年海南省报名中考学生数为116369人，约为116400人．其中116400可用科学记数法表示为　 　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：116400＝1.164×105． 故答案为：1.164×105． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 9．（2023秋•宿城区期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　 　． 【分析】把1代入计算程序中计算即可得到结果． 【解答】解：把1代入得：12×2﹣4＝1×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0， 把﹣2代入得：（﹣2）2×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4＞0， 故输出的值应为4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握计算程序和运算法则是解本题的关键． 10．（2024秋•玄武区校级月考）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数，其中错误的有 　　（请填序号）． 【分析】根据有理数的加除法法则，相反数的定义，绝对值性质，倒数性质进行逐项判断即可． 【解答】解：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故该项不正确； ②若a、b互为倒数，则ab＝1，故该项不正确； ③|a|＝a，则a≥0，故该项不正确； ④若a+b＝0，则a、b互为相反数，故该项正确． 故错误的为①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查有理数的加除法，相反数，绝对值，倒数．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．已知有理数a，b，c满足等式|a|1﹣c，|b﹣1|＝c，且c是整数，则式子2a+3b﹣4c的值等于 　． 【分析】根据绝对值的非负性和c是整数可得c的值，进而求得a和b的值，然后代入求解即可． 【解答】解：∵|a|1﹣c， ∴|a|＝1﹣cc≥0， ∴c， 又∵|b﹣1|＝c≥0， ∴0≤c， 且c是整数， ∴c＝0， ∵|a|1﹣c，|b﹣1|＝c， ∴a或a，b＝1， 当a，b＝1时，2a+3b﹣4c＝23×1﹣0， 当a，b＝1时，2a+3b﹣4c＝2×（）+3×1﹣0， 故答案为：或． 【点评】本题考查绝对值的非负性，解题的关键是理解绝对值的非负性． 12．计算下列各题： （1）（﹣1）2021﹣|﹣6|×（）+（﹣2）2； （2）﹣7（﹣8）﹣（﹣7.8）×（﹣4）； （3）（﹣2）3×（﹣1）4﹣|﹣12|÷[﹣（）2]； （4）﹣22﹣（﹣2）2﹣（﹣3）2×（）﹣42÷|﹣4|． 【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值； （2）原式变形后，逆用乘法分配律计算即可求出值； （3）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值； （4）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣6×（）+4 ＝﹣1+2+4×2 ＝9； （2）原式＝﹣7.8×（﹣8）﹣（﹣7.8）×（﹣4）7.8 ＝7.8×（844） ＝7.8×（844） ＝7.8×0 ＝0； （3）原式＝（﹣8）×1﹣12÷（） ＝﹣8﹣12×（﹣4） ＝﹣8+48 ＝40； （4）原式＝﹣4﹣4﹣9×（）﹣16÷4 ＝﹣4﹣4+6﹣4 ＝﹣6． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键． 13．已知|x|＝6，，且xy＞0，x+y＜0． （1）求x、y的值； （2）求x2﹣4y的值． 【分析】（1）根据绝对值的定义得到x＝±6，，再根据已知条件即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【解答】解：（1）∵|x|＝6，， ∴x＝±6，， ∵xy＞0，x+y＜0， ∴； （2）∵， ∴． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，解题的关键是掌握相关法则计算． 14．若，照此规律． （1） 　 　． （2）计算 （3）的值为 　 　． 【分析】（1）根据已知条件，去绝对值即可； （2）先去绝对值，再进行计算即可； （3）先去绝对值，再进行计算即可． 【解答】（1）解：； 故答案为：； （2） ＝1+（）+（）+（） ； （3） ． 【点评】本题考查去绝对值，有理数的加减运算，正确利用运算律解答是解题的关键． 15．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 +21 +22 +30 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　 　km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少钱？ 【分析】（1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）50km的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求解； （3）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【解答】解：（1）由表格得：（+33）﹣（﹣16）＝49（km），即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； （2）（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）+（+21）+（+22）+（+30）+（+33）＝﹣36+106＝70（km）， 70÷7+50＝60（km）； 答：小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了60km． （3）用汽油的费用：60×30÷100×6×9＝972（元）， 用电的费用：60×30÷100×15×0.6＝162（元）， 972﹣162＝810（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后1个月的行驶费用比原来节省810元． 【点评】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$