山东省名校考试联盟2025届高三上学期12月阶段性检测数学

山东名校考试联盟 2024 年 12 月高三年级阶段性检测 数学试题 本试卷共 4 页, 19 题, 全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分;共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 若集合 ,则 A. B. C. D. 2. 若 ,则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数 在 上的最小值为 A. 0 B. 1 C. D. 4. 函数 的图象大致为 5. 已知数列 满足: 为正整数, 若 ,则 所有可能的取值的集合为 A. B. C. D. 6. 已知 ,则 的最小值为 A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知 ,若函数 在 上有且只有两个极值点,则 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 祖暅,字景烁,祖冲之之子,南北朝时代的伟大科学家. 祖暅在数学上有突出的贡献,他在实践的基础上,提出了祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等. 已知双曲线 ,若直线 与 在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形,则该图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每个小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 设 ,若 ,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 10. 设 为复数,则下列结论中正确的是 A. 若 为虚数,则 也为虚数 B. C. 若 ,则 的最大值为 D. 11. 已知函数 的定义域为 的图象关于 对称,且 为奇函数,则 A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 若 ,则 _. 13. 在等腰直角 中,已知 ,若 满足 与 交于点 ,则 在 上的投影向量的模为_. 14. 已知函数 ,若对任意的 ,且 ,都有 成立,则正实数 的取值范围是_. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知正项数列 满足 ,且 . (1)证明: 数列 为等差数列,并求数列 的通项公式; (2) 证明: . 16. (15 分) 记 的内角 所对的边分别为 ,已知 . (1) 求 ; (2) 是 上的点, 平分 ,且 ,求 的面积. 17. (15 分) 如图,已知等腰梯形 分别为 的中点,沿线段 将四边形 翻折到四边形 的位置,点 为线段 上一点,且满足 . (1)证明: 平面 ; (2) 设二面角 的平面角为 ,在四边形 翻折过程中,是否存在 ,使得 与平面 所成角的正弦值为 ,若存在,请说明理由. 18. (17 分) 已知函数 . (1) 若曲线 在点 处的切线与 轴平行,求 的值; (2) 设函数 ,给出 的定义域,并证明: 曲线 是轴对称图形; (3) 证明: . 19. (17 分) 对于一个 元正整数集 ,如果它能划分成 个不相交的二元子集 的并集,即 ,且存在 ,使得 ,则称这个偶数 为可分数. 例如,由于二元子集 满足 ,则称 2 为可分数. (1)判断 4 和 6 是否为可分数,并说明理由; (2)求小于 81 的最大可分数; (3) 记小于 的可分数的个数为 ,令 ,记 为数列 的前 项和,证明: . 学科网(北京)股份有限公司 $$机密★启用前 试卷类型A 山东名校考试联盟 2024年12月高三年级阶段性检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分；共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1若集合A=(-2,-1,01,2,B=-号<x<2,则AnB= A.{-1,0,1) B.{-2,-1,0,1 C.-1,0,1,2} D.{-2,-1,0,1,2 2.若a=(x,1),b=(2,x-1),则“x=2"是“a∥b"的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数f(x)=e-x在[-1,1]上的最小值为 A.0 B.1 c+1 D.e-1 高三数学试题第1页（共4页） 4函数y=e一1 。+iosx的图象大致为 5.已知数列(an}满足：a1=m,m为正整数，a+= 侣z当a,为偶数时， 若a4=2,则 3a.十1，当am为奇数时， m所有可能的取值的集合为 A.(2) B.(16} C.{2,16} D.{2,4,16} 6.已知x∈R,则+3 的最小值为 √x2+2 A.1 B.√E C.2 D32 2 7.已知w>0,若函数f(x)=sin(ax+)在(0，)上有且只有两个极值点，则m的取值范围是 A停子 B哈 c号 D 8.祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出的贡献，他在实 践的基础上，提出了祖啦原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面 的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体 的体积相等.已知双曲线C:2-芳=-1，若直线y=0与x=2在第一象 限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周 所得几何体的体积为 A.3π B.4π C.5x D.6元 高三数学试题第2页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设a,b∈R,若a一bI>0,则下列结论正确的是 A.6-a>0 B.6+a>0 C.a2-b2>0 D.a3+b3>0 10.设x1,:为复数，则下列结论中正确的是 A若】为虚数，则1也为虚数 B.|1x2|=1z经 C.若|z1+i=1,则1x1|的最大值为√2 D.|1一名2|≤|1+Hz红1 11.已知函数f(z)的定义域为R,f(x)的图象关于y=x对称，且f(x十1)为奇函数，则 A.f(1)+f(0)=2 B.f(x)+f(-x)=2 C.f(f(x))=x D.f(2024)=-2024 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若na+骨》-写，则cos(后-e)=一 13.在等腰直角△ABC中，已知AB=AC=6,若D,E满足AD=2D克，AE式，CD与BE 交于点P,则A户在AB上的投影向量的模为 14.已知函数fx)=1-e-a(受+x-1),若对任意的x1x,∈0，+∞)，且 1<4,都有f红)二f红>0成立，则正实数a的取值范围是 x1一x: 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知正项数列(an》满足a一a=2a+1a.(n∈N”),且a1=1. (1)证明：数列 为等差数列，并求数列(a.》的通项公式； (2)证明：a1a2十azag十…十ana+1< 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知一b=si(A-B) sinC (1)求A; (2)D是BC上的点，AD平分∠BAC,且AD=2,BC=3,求△ABC的面积. 高三数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，已知等腰梯形ABCD,AB=4,CD=6,AD=√5，E,F分别为AB,CD的中点，沿线 段EF将四边形AEFD翻折到四边形EFNM的位置，点P为线段NC上一点，且满足 =子N花. (1)证明：BP∥平面EFM； (2)设二面角M-EF-B的平面角为(0<8<π)，在四边形AEFD翻折过程中，是香存 在0，使得MF与平面EBP所成角的正弦值为3V四 10 ,若存在，请说明理由。 18.(17分) 已知函数fx)=ax+xh1+)-(1+xn(1+z). (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，求a的值； (2)设函数g(红)=f(宁），给出g(x)的定义域，并证明：曲线y=gx)是轴对称图形， 3)证明：1+'<1-十meN). 19.(17分) 对于一个n元正整数集S=1,2,,},如果它能划分成个不相交的二元子集 a,b}(i=1,2,登)的并集，即s=a16)Uab:)U…Ua:b:,且存在 k∈N”,使得a:十b:=3,则称这个偶数n为可分数.例如，由于二元子集{1,2}满足 1十2=3，则称2为可分数 (1)判断4和6是否为可分数，并说明理由： (2)求小于81的最大可分数； (3)记小于3rn∈N)的可分数的个数为a,令6，=号记S,为数列6，)的前n项 和，证明：5.< 高三数学试题第4页（共4页） 山东名校考试联置 高三阶段性测试数学参考答案12.9 一，选择影：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小起给出的四个选填中，只有一项是符合 题目要求的， 题号1234子678 8【解析】直线y角与双曲战交点的横坐标为x■， ,则用高为南的平面截该 几何体发面的面积为红一宁，由超有是理可以将几何体约体织等价子高为。 底面半径为、√5的圆柱中间挖去一个等高等底的圆惟的体积。拉 nm-子3k3=6 答案为：D 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共1语分。在每小题给出的四个透项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号9 1011 答案BCD ABD BC L.【解析】方法一因为任+)为奇函数，所以了仰=0， 又f)的图象类于y=x对称，从而了O)=1,所以f仰)+(0=1，故A精： 因为fx+1)为奇函数，所以x+)+f-x+)=0, 则f2-f0+ffx》=0,f2-》=-x. 又八对的图案关于y■对称，所以2-八)=-，故B正确 点任，了：》关于y=x的对称点是U对。)， 因为该点在话数厂)的图象上，所以几x》=苯，故C正确。 由志项B得f（2024=f(2022)-2=了(2020)-4=+=f0)-2024=-2023，故D错. 方法二：依恶意，令)=-+1，依次验证选项即可。 三、填空是：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.5, 13.3 14. 1- 4【w折1◆e-e-宁hs-动， 由题意得，g()在0，+)上单调通增，所以g气)0。 所以xe-ax+■P0在伯，+回)上恒成立 即r+nxe'在Q,上恒成这， 当+自0时，上式但成立， 当+h0时，≤在风树上拖成立，特化为 x+Ix 品品10则0-片p学. 当1后间，)时，(0<0，风0在a,)上单调递减。 当1s0.知)时，0>0，到0在0，+上单调递增。 所以是)=食闭=e0=e, 镶上，正实数a的取值慧围是(0，， 四、解答题：共刀分，解客应写出文字说明，证明过程域演算步服 5【销附周为故，所以之-文2，一 2分 < 综上，正实数a的取值范围是0， 四、解答题：共刀分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 2. 5。【解折1（因为气--2血，拟文 4442分 所以酸列宁为以1为首项。2为公差的等差数列， 443分 所以-l-2-，5分 所以4，“2可 n6分 1111 2油)得：“2n-W2+2n-2+ 8分 所以+4时甘 16.【解折1()图为=·_血4- C 由正独定理可得：血C-血8_m(4-剧 悟C 所铁snC-sn8=(A-), 在△ABC中，抽C=n(d+),所以血B=倒A+-siA-到 msin Acos+cos Asin B-(sin Acos B-cos Asin B)=2cos Asin B 4444分 …24 因为8a@司，所以8：0，所以o4- 5分 又4@，所以4- (2)由图意得，S。4m+54g。=34M区， 10分 所时0g+,40含e向时·有s+e-马】 nt2分 2 图为a-3.=的+-2o于9，所以+-张=9， 即ky-4bc-12=0,所以k=6. 4444444分 所烈5✉4当 4l5分 17,【解斩】(1)证明： 方法：如国，在线段F取一点0，使得NQ子，。 因为师-元，所以P01c,且0-PC。 图为e-cD-B-a-231e 所以8-PC,所以EB1PQ,且E8-Pe, 所以四边形EB四为平行四边形，小分 所以P11E0, 4分 又因为8Pg平面EFM,Qc平面EFM,所以BP/平面EFM. 【桂：此处禁少战在面外这条件，扣1分】 方整二如图，在线段PC取一点T,使得T:子PC, 又遇为丽=花，所以PT1FN, 又国为PTg平面EFNM,FNc平面EFNM,所以PT/平面EFNM,2分 围为c-c0=B-片8=2B1c. 所以FT=2,所以EBI1FT,且EB=FT 0 < 又因为Pe平面EFM,EQC平面EFM,所以即/平面EFM。6分 【往此处峡少线在面外这条件，相1分】 方楼二如，在线段PC取一点T,使得T-号如 又因为师：死，所以PT1FN, 又因为PTg平面EFNM,FWC平面EFNM,所以PTI/平面EFNM, 2分 因为c-cD-1B--2a1c, 所以FT=2,所以EB/FT,且EB=FT, 所以四边形E8TF为平行西边形，所以EF1/BT, 又因为Tg平面EFNM,EFc平面EFNM,所以T/I平围EFNM, 4分 因为PT/平面EFNM,PTnT=T,所以平面PTI/平围EFNM, 45分 因为即c平面PT,所以即/平面EFM 【性第(1)间，如果采用空标法：第二间中的造原旅不输分】 (2)方法因为等腰梯形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点， 所以EF⊥FN.EF⊥FC,FN nFC=F,所以EF⊥平面NFC, 以F为坐标原点，FN,FE所在直线分别为x输，：轴建立如图坐标系， 7分 由器意知，EF=EB=EM=2,FC=FN=1∠NFC=8, 所以F0,00%.E00,2hM(2.02.N0,0,0,2ccs&2im8,2C(3eos83血8,0 设代红 因为师-c,所以e-动-6co0-A抽80-2co0-22血0。 [x=2cos0+1 解特y=2n8,所以2cos8+1,2扇成.0)， z=0 所以丽=亿，0,2.E丽=(2cos民2n民.E于=(2ces8+12偏8-2)，410分 设平面EP的法向量为府=(：共)： 所似-西4 [2c0s@x+2sin By 0. .P=0. {2c0+0x+2编y-2z=0 小则8分 所-a密 【在：也可通过6(0,02,2cs成2i血民2).0Q0)三点求面E8P的法向量，评分标准同上】 设MF与平面EP所成角为a, 4 0 < 则喻aeo<成丽为 12+11 3v0 5mg*方 10.4分 解得面0a1,图为0<0<，所以0-月 方楼二：困为等题棉形A8CD,E,F分别为AB,CD的中点， 所以EF⊥PN,EF⊥FC,FN nFC=F,所以EF⊥平面NFC, 以F为坐标原点。℃，FE所在直线分期为y轴，t轴建立如图坐标系，了分 由恩意知，EF=EB=EMm2FC=FN=美NFC=B, 所以F(0.0,0E(0,02M(2se民2cosR2队N3血民3eosa,08(02.2C(0,30). 设P4,因为师=死，所以 g-30nRy-36s8,a-2-3n民3-36os民0j-(-2向风2-20s80y, 解得， y=2+eos8,所以P R2+cosA.0 E=0 所以F丽=248,20m8,2,西=0,2m,币=(n8,2+6os成-，10分 设平面E8即的法向量为年=无，头，)： 所u巨五=a-a ,E乎-06mx+(2+c0wy-2:=0, 令x1,则y=Q:=9,所以i-a血马 2 m2分 【挂：也可以鉴过002认50工2玖Qies8.0三点求平面EP的法向量，评分标准同上】 设MF与平面EBP所减角为a, 5 g血a叶co<成丽水2sh8+neL 、13n3石 V,0示 V8+24m810, 4分 解得m201,因为0<0<，所似0-月 ……5分 方法三当-时，MF与平围E8P所成角的正独值为西 0 7分 【此处只喻出存在，敏没给曲的大小，不输分】 证明如下：国为等服梯形ACD,E,F分别为AB,CD的中点， 所以EF⊥FN,EF⊥FC,FN nFC=F,所以EF⊥平面NFC 以F为坐标原点，FN,FC,FE所在直线分别为x轴，y轴，：轴建 立如知图坐标系。a8分 由题意知，EF=EB=EM=2FC=FN=3, 所以F(00叭.E0,02M(2,0,2hNBa0%80,2,2Ca,3,0的 设，因为师=死，所以-3=-13.0)=（←220， 解得， {y=2,所以P,20 t=0 0 解。y=2,所以P0200 z▣0 所以m-2.0,2,丽-0,20乎-12-2刘 444分 设平面E即的法向量为-动，所过面：8即：a 0.乎=01x+2y-2a=0 令1，则r=a=分，所以i=a宁 a3分 【在：也可似通过E0.02从02,2.1Q)三点求平面EP的法向盘，评分标液间上】 设MF与平面EBP所成角为a, 则物ao<成丽为 12+13o 0符合意45分 方性国：当0-时。F与平面B即所成角的正弦值为 10 n47分 【此处只龄出存在，但没龄出®的大小，不始分】 证明知下：因为等腰标形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点，所以EF⊥FN,EF⊥F℃，因为二面角 M--B的平面角为0，所以∠NPC:0-克 +6✉ 所以FN⊥FC,又因为EF⊥FC,EFNFN=F,所以FC⊥平面EM,9分 由(I)知，PQ/IFC,所以PQ⊥平围EFNM, 连核AMF,交EQ于点H,过点M作EQ的垂线。垂足为G, 因为PQ⊥平面EFMN,AMGc平面EFMN,所以PQ⊥MG, 又圆为EQ⊥AMG,EonPO,所以MG⊥平面E8rQ, 所以∠MHE为MF与平面EBP所成角。记为a, 过点F作Q的瀑线，垂足为5，如所示 因为E/IFQ.ME=2P2=l,所秋FH=FM, 因为ME=EF=20=1,所以m-2正F25 3 25 所以曲a=sin ZFHS SF 10 5分 3 8.【1轩r本号-. 由悲意可知o)=a-1=0,则a=1, 4n443分 a◆a+}+m 则的定义域为-，-U(0+), 5分 故该定义城关于直线不=一三对称。 n6分 -a+动}+h高 =a+(2a+)-(在+1小h2+xlhr-xne+1) ah-()(olpax-zk(1) com(G()-s(k 1 0 < 放线一可付)关于直线：对标，是独对带图形。 【桂：此处只要出痕-一)=)咳与1+■)等价的式子，即可海1分1如果再有化葡 过报，即可海精分】 )当a1时，-*n+引+h+功。 则r左品 ◆点器由于- 当≥0时，)20，此时)≥ho)=0 42分 故当x>0时，了)>0，则f)>f0)=0 取》》 an14分 手.门] 4446分 整理ew .17分 9。【解折】(1)由于4+5-，组5m化2天利，则4不是可分数：2分 由于1+2=3,3+6=护，4+5=3，则6是可分数， 444分 (2)可将集合1,2…，80划分成以下40个二元子集：L80,2,7明，中，0,4。 且1+80=2+79=：■40+41=，故80是可分数。 447分 因此小于别的最大可分数是8和， 分 【往：此处写出0为谦大可分量即得1分】 (3)设绸数"为可分数，附存在keN使得<m心3。 由+(a-)<2<可知二元子集中两元素和的最大植为。 于是袋合S中所有大于等于寸的整数所在二元子集中两元素之和均为，9分 于是m必定与州一：在羽一个二元子集中， -必定与-（一0在同一个二元子集中，…， ”-1多定与”山在同一个二元子集中。 2 著：学，由+1写知-，不层于臭台5，做无桂对进行分组，光时不程可分 数： 若兰n<2,子，则分组之后还利下大于停于少的整数一-小，此时知不是可分数： 2 若2写#<3-1，则分组之后还剩下1,2,3：“，3-m-1,因为34-m-1<<期：则 是可分数等价于一角-1也是可分数 ,12分 者小葛可特指分减以下各福“小，3或，一，代学丹有中 再元素之和均为，因此此时是可分数。 由于小于3的可分数的个数为品，则0=2a,+1, 又小于3的可分数只能为2，则4=1，于是+1=2以风，+0，故和，+)是首项为马+1=2，公比为2 的等比数列。则，+1=。于是g=2-1, 5分 又6学-国此 分子； 0 <