专题04 二次函数期末复习（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（内蒙古专用）

专题02 二次函数 二次函数图象的性质以及二次函数图象的画法 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）由二次函数，可知（　 　） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大 2.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）下列对二次函数的图象描述不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．与y轴交于点 D．当时，函数值y随x的增大而减小 3.（23-24内蒙古通辽九上期末）下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（     ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．在此函数图象上 4.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图所示的抛物线y=x2+bx+b2﹣4的图象，那么b的值是　 　． 5.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）二次函数，若，则它的图象一定过点（　　 ） A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 6.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）若函数的图象上有两点，，若，则（    ） A． B． C． D．，的大小不确定 7.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）已知二次函数的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二次函数的平移 1.（23-24内蒙古通辽九上期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式 ． 3.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（    ） A．24 B． C． D．12 二次函数与一元二次方程及不等式的关系 1.（23-24内蒙古通辽九上期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是 ．    二次函数的图象特征于、、及判别式的符号之间的关系 1.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ） A．B． C． D． 3.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图，二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，给出四个结论： ①；②；③；④若点为函数图象上的两点，则． 其中正确结论是 ．（写上你认为正确的所有序号）    4.（23-24内蒙古通辽九上期末）如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2 .正确结论的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 6.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）二次函数图像如图，①；②；③；④；⑤方程：无解．正确项的序号（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①⑤ 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 9.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 实际问题与二次函数 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 m． 3.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：． (1)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 4.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 5.（23-24内蒙古通辽九上期末）某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元． (1)求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式； (2)每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 6.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶20元，经市场调查，每天洗手液的销售量（瓶）与销售单价（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如下表： （元/瓶） 22 24 26 27 （瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出与之间的函数关系式；（不需要写自变量的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利375元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的30%，设这种消毒洗手液每天的总利润为（元），那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 7.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）某水果批发商销售每箱进价为40元的柑橘，物价部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105箱；每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱．假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系式． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量件与每件的销售价元件之间有如下关系： 请写出该超市销售这种产品每天的销售利润元与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元． 若超市想获取1500元的利润求每件的销售价． 若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X的范围？ 9.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）寒冬来临，豆丝飘香，豆丝是鄂州民间传统美食；某企业接到一批豆丝生产任务，约定这批豆丝的出厂价为每千克5元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，新工人李明第1天生产90千克豆丝，由于不断熟练，以后每天都比前一天多生产10千克豆丝；设李明第x天（，且x为整数）生产y千克豆丝，解答下列问题： (1)求y与x的关系式，并求出李明第几天生产豆丝280千克？ (2)设第x天生产的每千克豆丝的成本是p元，p与x之间满足如图所示的函数关系；若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润出厂价成本） 10.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形盒子． （1）要使折成的长方体形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由． 11.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠着长为25米的墙，另外三边用木栏围成，木栏长40米． (1)求养鸡场的最大面积； (2)养鸡场的面积能达到220平方米吗？如果能，请说明设计方案，如果不能请说明理由． 二次函数几何综合 1.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则的最小值为多少？ 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、.点的坐标是，抛物线经过、两点且交轴于点.点为轴上一点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，连结，设点的横坐标为. （1）求点的坐标. （2）求抛物线的表达式. （3）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值. 4.（23-24内蒙古通辽九上期末）如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方． (1)求与的值． (2)求线段的最大值． (3)作点关于直线的对称点，连结，．若，求的坐标． 5.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)填空：________，_________； (2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，过点D作于点F，过点F作轴于点G，求出的最大值及此时点D的坐标． 6.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）如下图所示，已知抛物线与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当取得最大值时，求点M的坐标； (3)在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标． 9.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是． (1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标． (2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由． (3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 10.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值； （3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资FF源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 二次函数图象的性质以及二次函数图象的画法 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）由二次函数，可知（　 　） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】由二次函数，可知： A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误； B．∵其图象的对称轴为直线x＝3，故此选项错误； C．其最小值为1，故此选项正确； D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 2.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）下列对二次函数的图象描述不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．与y轴交于点 D．当时，函数值y随x的增大而减小 【答案】C 【详解】解：A、，开口向下，故A选项正确，不符合题意； B、二次函数的顶点坐标是，故B选项正确，不符合题意； C、当时，，与y轴交于点，故C选项不正确，符合题意； D、二次函数的对称轴为，函数开口向下，当时，函数值y随x的增大而减小，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 3.（23-24内蒙古通辽九上期末）下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（     ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．在此函数图象上 【答案】D 【详解】解：根据题意得： 、，图像开口向下，本选项说法不正确，故不符合题意； 、，对称轴是直线，本选项说法不正确，故不符合题意； 、，，顶点坐标为，本选项说法不正确，故不符合题意； 、当时，，在此函数图象上，本选项说法正确，故符合题意． 故选：． 4.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图所示的抛物线y=x2+bx+b2﹣4的图象，那么b的值是　 　． 【答案】﹣2 【详解】把（0,0）代入y=x2+bx+b2﹣4得 解得b=±2, ∵抛物线的对称轴在y轴的右边, ∴ , ∵a=1>0, ∴b<0, ∴b=-2 故答案为:-2. 5.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）二次函数，若，则它的图象一定过点（　　 ） A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【答案】D 【详解】解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x-1）， 则它的图象一定过点（1，1）． 故选D． 6.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）若函数的图象上有两点，，若，则（    ） A． B． C． D．，的大小不确定 【答案】A 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线，开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴． 故选：A． 7.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）已知二次函数的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 8.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为， ①当0<m<时，恒成立； ②当时，恒不成立； ③当时，使恒成立， ∴m， ∴m， ， ④当时，恒不成立； 综上可得：， 故选：A． 二次函数的平移 1.（23-24内蒙古通辽九上期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得： 先将抛物线先向右平移个单位长度， 得到抛物线的函数解析式为：， 再将抛物线向上平移个单位长度， 最终得到的新抛物线的函数解析式为：， 故选：． 2.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式 ． 【答案】． 【详解】抛物线y＝2（x﹣1）2+1顶点坐标为（1，1），点（1，1）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为（0，3），所以平移后的抛物线的解析式为． 故答案是:． 3.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（    ） A．24 B． C． D．12 【答案】D 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为， 把看成了， 所画图象的对称轴为， 两条对称轴关于y轴对称， 所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象， ，即． 故选D． 二次函数与一元二次方程及不等式的关系 1.（23-24内蒙古通辽九上期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解答】解：一次函数与二次函数的图象相交于，两点， 根据图象可得关于的不等式的解集是：． 故选：． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是 ．    【答案】或 【详解】∵由函数图象可知，当或时，二次函数图象在一次函数图象的上方， ∴能使成立的的取值范围是： 或， 故答案为：或． 二次函数的图象特征于、、及判别式的符号之间的关系 1.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 2.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0，∴b＞0, 一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限, ∴由函数y=ax+b的a＜0，，故它的图象经过第一、二、四象限,故选C. 3.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图，二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，给出四个结论： ①；②；③；④若点为函数图象上的两点，则． 其中正确结论是 ．（写上你认为正确的所有序号）    【答案】①和③ 【详解】解：二次函数与x轴有两个交点，则，即，故①正确； 根据函数的对称轴可知：，则，即，故②错误； 根据函数的对称性可得：当时，，即，故③正确； 对于开口向下的函数，离对称轴越远，则函数值越小，则，故④错误． 本题中正确的有①和③． 故答案为：①和③． 4.（23-24内蒙古通辽九上期末）如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不同的根， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间， ∴与x轴的另一交点在点和之间， ∴时，，故②错误； ∵抛物线的顶点为， ∴，即，故③正确； 当时，， 故④正确； 故选：B． 5.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2 .正确结论的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 ∴b2－4ac＞0 ∴4ac－b2＜0，故①正确； ②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1 ∴ 解得： ∴2a－b＝0，故②正确； ③∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间， ∴此抛物线与x轴的另一个交点在(0，0)和(1，0)之间 ∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小 ∴当x=1时，y＜0， ∴将x=1代入解析式中，得：y＝a＋b＋c＜0 故③正确； ④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时， 函数y随x增大而减小 即若x1＜x2，则y1＞y2 故④错误； 故选C. 6.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）二次函数图像如图，①；②；③；④；⑤方程：无解．正确项的序号（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①⑤ 【答案】D 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于正半轴， ∴，故①正确； ∵， ∴；故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴；故④错误； 由图象可知，函数的最大值为3， ∴图象与直线没有交点， ∴方程：无解；故⑤正确； 故选D． 7.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】 抛物线开口向下， ， 对称轴为， ， 抛物线与轴的交点为， ， ，故错误； 当时，， 当时，， ， ， 即，故正确； 函数图象与轴有两个不同的交点， ， ，故正确； 对称轴为， 即， ， 二次函数可改写为， 当时，， ， ，故正确； 当时，， 当时，， 当时，， ， 即， 同理时，，， ，故正确； 故正确的有，共个． 故选：D． 8.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 当时，，即， ∵， ∴，故②正确； 当时，，即，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴， ∴，故④正确． 综上，结论正确的个数是3个， 故选：C． 9.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴， ∴，即， ∴，故（1）（3）正确； 由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误； ∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上， ∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大， ∴，故（4）错误； 由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为， ∴当x=m时，（m为常数），则有， ∴，即为，故（5）正确； 综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个； 故选C． 实际问题与二次函数 1.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米， ∴点C的横坐标为-5， 当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25， ∴C（-5，-2.25）， ∴桥面离水面的高度AC为2.25米． 故选：C． 2.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 m． 【答案】9 【详解】 ，，， 足球距离地面的最大高度为抛物线的顶点坐标的纵坐标， 函数的对称轴为：， 当时，h最大， 将代入中得， 故答案为：9 3.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：． (1)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：依题意得：，         解得：，，         每本纪念册的销售单价为25元或35元， （2）由题意得： ，         ，即开口向下， 当时，w有最大值，最大值为200，         当该纪念册销售单价定为30元时，才能使该纪念册所获利润最大，最大利润为200元． 4.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由题意得：， 整理得， 解得， 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克； （3）设当天的销售利润为w元，则： ， ∵﹣2＜0， ∴当时，w最大值=800． 答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 5.（23-24内蒙古通辽九上期末）某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元． (1)求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式； (2)每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由（1）得 ， ∵， ∴当时，y最大，最大值为1960， ∴每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元． 6.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶20元，经市场调查，每天洗手液的销售量（瓶）与销售单价（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如下表： （元/瓶） 22 24 26 27 （瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出与之间的函数关系式；（不需要写自变量的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利375元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的30%，设这种消毒洗手液每天的总利润为（元），那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将时，和时代入得， ，解得：， ∴与之间的函数关系式为． （2）由（1）可知，每瓶售价为x元，每天销售量为y瓶， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵尽量给顾客实惠， ∴． 答：这批消毒洗手液每瓶的售价为25元． （3） ， ∵每瓶利润不允许高于进价的30%， ∴，解得：， ∴当时，总利润为最大，此时（元）． ∴售价定为26元时该药店可获得的利润最大，最大利润是420元． 7.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）某水果批发商销售每箱进价为40元的柑橘，物价部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105箱；每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱．假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系式． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【详解】（1）设y=k x+b， 把已知（45，105），（50，90）代入得， ， 解得：， 故平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：y=-3x+240； （2）∵水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，销售价x元/箱， ∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为： W=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600． （3）W=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200， ∵a=-3＜0，∴抛物线开口向下． 又∵对称轴为x=60，∴当x＜60，W随x的增大而增大， 由于50≤x≤55，∴当x=55时，W的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元． 8.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量件与每件的销售价元件之间有如下关系： 请写出该超市销售这种产品每天的销售利润元与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元． 若超市想获取1500元的利润求每件的销售价． 若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X的范围？ 【详解】(1)由已知 当时， 当 解得， 所以每件的销售价为35元和25元． 由结合函数图象可知超市想获取的利润不低于1500元，x的取值范围为: 25<x<35. 9.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）寒冬来临，豆丝飘香，豆丝是鄂州民间传统美食；某企业接到一批豆丝生产任务，约定这批豆丝的出厂价为每千克5元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，新工人李明第1天生产90千克豆丝，由于不断熟练，以后每天都比前一天多生产10千克豆丝；设李明第x天（，且x为整数）生产y千克豆丝，解答下列问题： (1)求y与x的关系式，并求出李明第几天生产豆丝280千克？ (2)设第x天生产的每千克豆丝的成本是p元，p与x之间满足如图所示的函数关系；若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润出厂价成本） 【详解】（1）， 令，则， 解得， 答：第20天生产豆丝280千克； （2）由图象得，当时，； 当时，设 把点代入得， ， 解得 ∴， ①时，， ∵x是整数， ∴当时，（元）； ②时， =， =， ∵， ∴当时，（元）， 综上，当时，w有最大值，最大值为576元． 10.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形盒子． （1）要使折成的长方体形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由． 【详解】解：（1）设剪掉的正方形的边长为． 则， 即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴剪掉的正方形的边长为9cm． （2）侧面积有最大值． 设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则y与x的函数关系为：， 即， 即， ∴时，． 即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800． 11.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠着长为25米的墙，另外三边用木栏围成，木栏长40米． (1)求养鸡场的最大面积； (2)养鸡场的面积能达到220平方米吗？如果能，请说明设计方案，如果不能请说明理由． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，养鸡场的面积为S平方米，则平行于墙的边长为米，根据题意得： ， ∴当时，S的值最大，最大值为200， 答：养鸡场的最大面积为200平方米； （2）解：不能，理由如下： 由（1）得：养鸡场的最大面积为200平方米平方米， ∴养鸡场的面积不能达到220平方米． 二次函数几何综合 1.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标． 【详解】试题分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可． 试题解析：（1）由已知条件得， 解得， 所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x； （2）∵点A的坐标为（﹣4，0）， ∴AO=4， 设点P到x轴的距离为h， 则S△AOP=×4h=8， 解得h=4， ①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4， 解得x=﹣2， 所以，点P的坐标为（﹣2，4）， ②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4， 解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2， 所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4）， 综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）． 2.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则的最小值为多少？ 【详解】解：如图，连接， 抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长， ∵抛物线过点， ∴，解得：， 把代入，解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， 即的最小值为． 3.（23-24内蒙古巴彦淖尔九上期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、.点的坐标是，抛物线经过、两点且交轴于点.点为轴上一点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，连结，设点的横坐标为. （1）求点的坐标. （2）求抛物线的表达式. （3）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值. 【详解】（1）令y=0，代入直线可得，x=4，故； （2）代入A和C点坐标至抛物线解析式，联立可得： 解得 即，. （3）点的横坐标为，则可得，， 则可得，. 令x=0，代入直线可得y=2，即B（0,2）， 令x=0，代入抛物线可得y=-2，即D（0,-2）， 则BD=4， 由平行四边形的性质可知BD=MQ，则： ， 当时，解得：（舍），； 当=4时，解得：，. 故，，. 4.（23-24内蒙古通辽九上期末）如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方． (1)求与的值． (2)求线段的最大值． (3)作点关于直线的对称点，连结，．若，求的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为，直线的解析式为， 设点P横坐标为m，则点E的坐标为，点F的坐标为， 点在线段的下方， ， 若是线段上一点，且点在线段的下方， ， 当时，取最大值，最大值为； （3）解：如图，设与y轴的交点为M，则，， 由题意知，， ， ； 点与点关于直线对称，点F的坐标为， ， 点G坐标为，即， 若，则或， 当时，， 解得或， 由（2）得， ， 点G的坐标为； 当时，， 解得或，均不合题意， 综上可知，点G的坐标为． 5.（23-24内蒙古乌兰察布九上期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)填空：________，_________； (2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，过点D作于点F，过点F作轴于点G，求出的最大值及此时点D的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入得： ， 解得： 故答案为：，； （2）解：延长交x轴于点K，延长交于点H，如图1， 令，则， ， 设直线的解析式为， 将点，代入可得：， 解得：，所以， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， 此时． 6.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）如下图所示，已知抛物线与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当取得最大值时，求点M的坐标； (3)在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将 代入抛物线解析式得： ， 解得： ， ； （2）过点M作轴交BC于D，交OB于E，过C作于F， 为矩形， ， 设直线BC的解析式为： ， 将点（0，4）、（4，0）代入得： ， 解得： ， 则直线BC的解析式为： ， 设 ，则 ， ， ， ， ∵点M在直线BC的上方， ， ∴当 时，最大，此时， ∴ ； （3）由（2）得：， 点M在直线BC的上方， ， ， 四边形ABMC的面积= ， 则由题意得：， 解得： 或 ， 当时，， 当时，， 或 ． 7.（23-24内蒙古呼伦贝尔九上期末）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1所示，过点作，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （3）存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 8.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标． 【详解】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3， 令x=0时，y=-3， 则C(0,-3)， 令y=0时，x=3， 则B(3,0)， 把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入，得 ，解得：， ∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3； （2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3， 令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3, ∴A(1,0)，B(3,0)， ∴OA=1，OB=3，AB=2， 过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图， ∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)， ∴OB=OC=3，AB=2， ∴∠ABC=∠OCB=45°， ∴AN=， ∵， ∴PM=， 过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F， 则EF= PM=， ∴CE=1 ∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4， ∵B(3,0)，C(0,-3)， ∴直线BC解析式为：y=x-3， ∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4, 联立直线与抛物线解析式，得 或， 解得：，，，， ∴P点的坐标为(,)或(,)或（,）或(,)． （3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E， ∵∠ADC=90°， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴CD=AD， ∵∠E=∠AFD=90°， ∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE， ∴△CDE≌△DAD（AAS）， ∴DE=AF，CE=DF， ∵∠COF=∠E=∠AFD=90°， ∴四边形OCEF是矩形， ∴OF=CE，EF=OC=3， 设DE=AF=n， ∵OA=1， ∴CE=DF=OF=n+1 ∴DF=3-n， ∴n+1=3-n 解得：n=1， ∴DE=AF=1， ∴CE=DF=OF=2， ∴D(2,-2), 设直线CQ解析式为y=px-3， 把D(2,-2)代入，得p=, ∴直线CQ解析式为y=x-3， 联立直线与抛物线解析式，得 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点Q坐标为(,). 9.（22-23内蒙古呼和浩特九上期末）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是． (1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标． (2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由． (3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 【详解】（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2， ,A点的坐标为（-2，1）， 设直线的函数关系式为y=kx+b， 将（0，4），（-2，1）代入得 解得 ∴y＝x＋4 ∵直线与抛物线相交， 解得：x=-2或x=8， 当x=8时，y=16， ∴点B的坐标为（8，16）； （2）存在． ∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325 .设点C(m，0)， 同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5， BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320， ①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－； ②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6； ③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32， ∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　 （3）设M(a，a2)， 则MN＝， 又∵点P与点M纵坐标相同， ∴x＋4＝a2， ∴x= ， ∴点P的横坐标为， ∴MP＝a－， ∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18， ∵－2≤6≤8， ∴当a＝6时，取最大值18， ∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是18 10.（22-23内蒙古巴彦淖尔九上期末）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值； （3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题； （3）分三种情形分别求解①当由 列出方程即可解决．②当时，由 列出方程即可解决．③当 时，由列出方程即可； 试题解析：(1)把A(−5,0),B(1,0)两点坐标代入 得到 解得 ∴抛物线的函数表达式为 (2)如图1中， ∵抛物线的对称轴x=−2,   ∴ ∴矩形EFDH的周长 ∵−2<0， ∴时,矩形EHDF的周长最大,最大值为 (3)如图2中,设P(−2,m) ①当 ∵ ∴ 解得m=7， ∴P1(−2,7). ②当时,∵ ∴ 解得m=−3， ∴P2(−2,−3). ③当时,∵ ∴ 解得m=6或−1， ∴P3(−2,6),P4(−2,−1)， 综上所述,满足条件的点P坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1). 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