第03讲 圆周角 （3个知识点+3种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第03讲 圆周角 （3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型强化 题型一．圆周角定理 1．（2023•雨山区一模）如图，点是中优弧的中点，，为劣弧上一点，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到，根据等边对等角求出，再根据圆内接四边形对角互补得到． 【解答】解：点是中优弧的中点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆内接四边形的性质． 2．（2024春•金安区校级月考）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为 　　． 【分析】连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数． 【解答】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．（2024•安徽一模）如图1，为的直径，弦于点，且为弧的中点，交于点，若，． （1）求的长； （2）如图2，连接，，求证：． 【分析】（1）根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系进行计算即可； （2）利用圆周角定理得出，由等腰三角形的判定可知，再根据全等三角形的判定得出，进而得到，由等腰三角形的性质进行判断即可． 【解答】解：（1）如图1，连接， 为的直径，弦于点， ，， 为弧的中点， ，， ， 即， ， ； （2）如图2，连接，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形，掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键． 题型二．圆内接四边形的性质 4．（2023•阜阳模拟）如图，四边形是的内接四边形，连接、，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由圆周角定理可求解的度数，再利用平行线的性质可求解． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解的度数是解题的关键． 5．（2023•谯城区校级开学）如图，，，，四点都在上，，，，则的长为 　　． 【分析】连接，根据圆周角定理求出，再根据正切的定义计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 6．（2024•金寨县模拟）如图，四边形内接于，平分，交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若经过圆心，且，，求的长． 【分析】（1）由角平分线的定义可得，即可得出，结合圆周角定理推出，由相似三角形的性质可得，即可得证； （2）由圆周角定理结合角平分线的定义得出，从而得出，推出，由勾股定理得出，结合等腰直角三角形的性质得出，作于，求出、的长，即可得解． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：为直径， ， 平分， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 作于， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型三．相交弦定理 7．（芜湖模拟）如图，已知为的直径，为上一点，于，，，以为圆心，为半径的圆与相交于，两点，弦交于，则的值是　　 A．24 B．9 C．6 D．27 【分析】延长交于，延长交于．在中，由射影定理得．在、中，由相交弦定理可知，设，列方程求解得．所以，，即可求得． 【解答】解：延长交于，延长交于． ，，， ． 在、中，由相交弦定理可知，， 设，则， 则， 解得． 所以，，，． 所以． 故选：． 【点评】此题综合运用了相交弦定理、垂径定理． 8．（芜湖校级自主招生）如图，在与中，，交于点，，且．则　　． 【分析】可证明点、、在以点为圆心，为半径的圆上，再根据相交弦定理，求得的值即可． 【解答】解：，， ， ， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上， 根据相交弦定理，得， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了相交弦定理和圆周角定理，是基础知识要熟练掌握． 9．（2024春•淮南月考）如图，是直径，弦与交于． （1）若，，则　　； （2）如图，若，求证：． 【分析】（1）根据，，可以求得，，圆周角定理的推论得，可得，得到，即可求得答案； （2）连接，在中，，由（1）可得，，即可证得结论． 【解答】（1）解：，， 设，， ， 解得， ，， 由圆周角定理的推论得， ， ， ， ， 故答案为：24； （2）证明：连接， 是圆的直径， ，， 又，， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，能正确运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，点A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，根据此性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选：B． 2．如图，是的弦，点在上，已知，则等于（    ） A．40° B．50 C．60° D．80° 【答案】A 【分析】直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵， ∴=． 故选A． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．在以下所给的命题中：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑤长度相等的弧是等弧．正确的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】根据弧，弦的定义，垂径定理进行逐一判断即可． 【详解】解：①直径是弦，原命题是真命题； ②弦不一定是直径，原命题是假命题； ③半圆不是弧，但弧不一定是半圆，原命题是真命题； ④平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题； ⑤同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原命题是假命题； 故选B． 【点睛】本题主要考查了弧，弦的定义，垂径定理，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 4．如图，内接于，连结，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半解答即可． 【详解】解：∵内接于，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理． 5．在平面直角坐标系中，已知点A（4,0）、B（-6,0），点C是y轴正半轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为（    ） A．（0，6 ） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12） 【答案】D 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的 P，则 P与y轴正半轴的交点即为所求的点C． 【详解】设线段BA的中点为E， ∵点A(4,0)、B(−6,0),∴AB=10,E(−1,0). 如答图所示,过点E在第二象限作EP⊥BA,且EP=AB=5,则易知△PBA为等腰直角三角形,∠BPA=90°,PA=PB=5； 以点P为圆心,PA(或PB)长为半径作P，与y轴的正半轴交于点C， ∵∠BCA为P的圆周角， ∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求； 过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1， 在Rt△PFC中,PF=1,PC=5,由勾股定理得：CF2=PC2−PF2,CF=7， ∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴点C坐标为(0,12); 【点睛】本题考查的是动点问题，正确构造圆是解题的关键. 6．如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得，根据三角形的内角和可得，利用角的和差运算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、三角形的内角和、等边对等角，熟练应用几何知识是解题的关键． 7．如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数． 【详解】如图，连接BD， ∵AB为⊙O直径 ∴∠ADB=90° ∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25° ∴∠B=25° ∴∠BAD=90°-∠B=65°． 故选C． 【点睛】考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一． 8．如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若．，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】在上截取，由题意可得，进一步得和为等边三角形，由圆周角定理可得，证得，则有，得到等边的边长为5，即可求得面积． 【详解】解：在上截取，如图， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 则， 在和中 ∴ ∴， 则， 即等边的边长为5， 那么， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是找到辅助线，并熟练等边三角形相关知识． 9．如图，四边形内接于半径为的中，连接，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥BC于点M，易得∠AOB=∠COD=90°，∠DAC=∠ACB=45°，从而得∠OAD=∠CAB，进而得∠OAD=∠AOD，可得∠AOD=60°，∠BOC=120°，进而即可求解． 【详解】连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥BC于点M， ∵在四边形内接于半径为的中，， ∴∠AOB=∠COD=2∠ACB=90°，∠DAC=∠ACB=45°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=45°， ∴∠OAD=∠DAC+∠CAO=∠OAB+∠CAO=∠CAB， 又∵∠ACD=∠AOD，， ∴∠AOD=∠BAC， ∴∠OAD=∠AOD， ∴AD=OD， ∵OD=OA， ∴∆AOD是等边三角形， ∴∠AOD=60°， ∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°， ∵OC=OC=6， ∴∠OCM=30°， ∴CM=OC=3， ∴BC=2 CM==6． 故选A． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆周角定理以及推论，圆心角定理，垂径定理，等腰三角形的性质定理，是解题的关键． 10．某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、米．在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（ ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 （参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、四点共圆、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】设两竖直墙面的交线为，点E被太阳照射在地面上的影子为点B，点A、C分别是点B在两条墙角线上的射影，连接、、，过点C作于点F，由题意可知就是太阳的高度角，解直角三角形求出（米），（米），根据勾股定理求出（米），证明A、B、C、D四点共圆，且为中点，取的中点O，过点O作于点G，连接，，解直角三角形得出（米），求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，设两竖直墙面的交线为，点E被太阳照射在地面上的影子为点B，点A、C分别是点B在两条墙角线上的射影，连接、、，过点C作于点F，由题意可知就是太阳的高度角， ∵在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆，且为中点， 取的中点O，过点O作于点G，连接，， 则，米，， ∵，， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴， ∵， ∴， 根据表格中的数据可知：时刻t最可能为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，四点共圆，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义和圆的性质． 二、填空题 11．的半径为4，弦，为上异于点，的一动点，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、利用垂径定理求值、等边对等角 【分析】本题主要考查了垂径定理、解直角三角形、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．作于点，连接，，首先根据垂径定理可得，利用三角形函数解得，进而解得，然后分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，分别求解即可． 【详解】解：如下图，作于点，连接，， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在优弧上时，； 当点在劣弧上时，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 12．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ． 【答案】30°． 【知识点】圆周角定理 【详解】由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°． 故答案是：30° 13．如图，AB=BC=2，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，则BE的长为 ． 【答案】-1 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】先根据已知和勾股定理得出CD的长，再根据直径所对的圆周角为直角和等腰三角形的性质证得∠CDE=∠CBD，然后根据两角对应相等两三角形相似得出△CDE∽△CBD，可得比例式，从而得到CD2=CE•CB，求得CE即可解决问题． 【详解】解：连接BD． ∵∠CBO=90°，BC=2，OB=1， ∴OC=， ∴CD=OC-OD=-1， ∵AB是直径， ∴∠ADB=∠EDB=90°， ∴∠CDE+∠ODB=90°， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠CBD+∠OBD=90°， ∴∠CDE=∠CBD， ∵∠DCE=∠BCD， ∴△CDE∽△CBD， ∴CD2=CE•CB， ∴CE=3-， ∴BE=BC-CE=-1． 故答案为-1． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 14．如图，在正方形ABCD中，AB＝15，点E是以AB为直径的圆上一动点，当时，DE的长度为 ． 【答案】或/或 【知识点】已知正切值求边长、半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】分点E在AB上方和下方两种情形求解，过点E向AB，AD作垂线，运用锐角三角函数计算即可． 【详解】∵点E是以AB为直径的圆上一动点， ∴∠AEB=90°， ∵， 不妨设AE=4k，BE=3k， 则AB==5k=15， ∴k=3， ∴AE=12，BE=9， 过点E作EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AD，垂足为G， ∴四边形AFEG是矩形， ∴EF=AG，AF=GE， 在Rt△AEF中， EF=AEsin∠EAF=12×=，AF=AEcos∠EAF=12×=， 当点E在AB的上方半圆上时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=15， ∴DG=AD-AG=15-=， ∴DE==； 当点E在AB的下方半圆上时， 过点E作EM⊥AB，垂足为M，EN⊥AD，垂足为N， ∴四边形ANEM是矩形， ∴EM=AN，AM=NE， 在Rt△AEM中， EM=AEsin∠BAE=12×=，AM=AEcos∠BAE=12×=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=15， ∴DN=AD+AN=15+=， ∴DE==； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，锐角三角函数，矩形判定和性质，正方形的性质，分类思想，熟练掌握圆的基本性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键． 三、解答题 15．如图，是的内接三角形，是的直径，． (1)求的度数． (2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求其他不规则图形的面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，扇形面积，三角形内角和定理， （1）由圆周角定理得，根据得，根据得，根据三角形内角和定理即可得； （2）连结，根据得，根据的半径为1得，根据阴影部分面积等于扇形面积减去三角形的面积即可得； 掌握圆周角定理，扇形面积，添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：连结， ∵是直径， ， ∵， ， ∵， ， ． （2）解：如图所示，连结， ∵， ， ∵的半径为1， ， ． 16．如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1)见解析 (2)塑像的高约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 17．山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，其主拱的结构近似为圆弧形，某校“综合与实践”小组的同学为测量景德桥的主拱所在圆的半径，撰写了如下不完整的实践报告： 测量对象 景德桥的主拱所在圆的半径 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案 将主桥拱记为，弦为水平面，设主拱所在圆的半径为，在实地勘测拱桥后，“综合与实践”小组在上取了一点 测量示意图 测量数据 ，求半径（结果精确到0.1，参考数据，，，，，， 反思 …… 【答案】 【知识点】已知正弦值求边长、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】设主拱所在的圆为，作直径，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角、圆周角定理得到，在中，根据正弦函数值定义列式求解即可得到答案． 【详解】解：设主拱所在的圆为，作直径，连接，如图所示： 则， 在中，， ， ， ， 答：景德桥的主拱所在圆的半径约为． 【点睛】本题考查三角函数解应用题，涉及圆的性质、直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、正弦函数值求线段长等知识，熟练掌握圆周角定理及三角函数定义是解决问题的关键． 18．下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在直线l上任取两点A，B，连接，； ②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆； ④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q； ⑤作直线，所以直线就是所求作的直线． 根据小青设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：连接， ∵点A，B，P，Q都在上，， ∴___________， ∴，（___________）（填推理的依据） ∴． 【答案】(1)作图见解析； (2)，在同圆中，等弧所对的圆周角相等 【知识点】圆周角定理、线段垂直平分线的性质、根据平行线判定与性质证明、用直尺、三角板画平行线 【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可； （2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案． 【详解】（1）（1）如图，直线就是所求作的直线， （2）证明：连接， ∵点A，B，C，D在上，， ∴， ∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）， ∴． 故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等． 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，平行线的作图，圆周角定理的应用以及平行线的判定，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键． 19．（1）如图①， 点P 为上一点，， 垂足分别为点A与点H， 若，则的最大值为 ； (2) 如图②， 在中，， D 是边上一点， 且， 点E 是边上一点， 将沿折叠， 则点C落在 F 处， 连接， 求周长的最小值； （3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，， 弧为上的一段优弧， 点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？ 【答案】（1）8；（2）；（3）元 【知识点】圆周角定理、求一点到圆上点距离的最值、勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）过点 O作于E，则四边形是矩形，据此得到，再由，即可得到； （2）如图所示，连接，由折叠的性质可得，则的周长，根据题意可得点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，故当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小，利用勾股定理求出，则的周长最小值为； （3）如图所示，过点A作于G，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则，由圆周角定理得到，则；如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M，由，deed点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动，由（1）可知，即，证明四边形是正方形，进而证明四边形是矩形，得到，则，再由，得到当最小时，最小，则最小值为，可得种植牡丹花所需费用至少为元． 【详解】解：（1）如图所示，过点 O作于E，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为8， 故答案为：8； （2）如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴的周长， ∵， ∴点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动， ∴当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为； （3）如图所示，过点A作于G，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M， ∵， ∴， ∴点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∴最小值为， ∴种植牡丹花所需费用至少为元． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最小值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质，圆周角定理，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线找到动点的估计是圆是解题的关键． 20．问题提出： （1）如图，在中，，⊙O半径为1，点是⊙O上的动点．则到的最小值为 ； 问题探究： （2）如图，在正方形中，找出所有的点，使得； （3）问题解决： 如图，有一个矩形水池，已知．设计者想把水池分为四部分，分别是三角形，三角形，三角形，三角形．满足，点在上，为上的任意一点．若三角形区域养鱼，其他区域养虾．已知养鱼每平方米1000元，养虾每平方米800元．请问花费的最少费用是多少？ 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）元 【知识点】解直角三角形的相关计算、同弧或等弧所对的圆周角相等、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】 （1）过点作于点，交圆于点，到的距离就是到的最小值，根据题意得到，由⊙O半径为1，求出即可； （2）由同弧所对的圆周角相等，以为边在边的上方作等边三角形，作该等边三角形的外接圆，则则该外接圆位于正方形内的所有点都满足题意； （3）由题意，三角形面积最小时，花费的费用最少，由，，作的外接圆，圆心为，易证明最短，在中，求出，进而得到的最短为，设三角形面积为，最少费用：，由的最小值为：则最少费用为 【详解】解：（1）如图，过点作于点，交圆于点， 即到的距离就是到的最小值， ，圆半径为1 故答案为：1； （2）如图，以为边在边的上方作等边三角形，作该等边三角形的外接圆，由同弧所对的圆周角相等，则该外接圆位于正方形内的所有点都为点，均符合题意； （3）养鱼每平方米1000元，养虾每平方米800元 三角形面积最小时，花费的费用最少 为定值， 如图，作的外接圆，圆心为 为等腰三角形 作交于点E 由图可得， 即 最短 在中， 最短为 设三角形面积为， 则：最少费用： 的最小值： 最少费用： 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形和圆的性质，解答关键是根据题意构造三角形的外接圆． 21．如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点． (1)连接，求； (2)点F在上，，交于点．若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度、利用垂径定理求值 【分析】（1）根据垂径定理可得垂直平分，再根据是的中点及圆的性质，得出是等边三角形即可得出答案； （2）根据题意得出，计算出，的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出，从而根据三角函数关系计算出的值即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 是的直径，于点， 垂直平分， 是的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：如图2，连接，， 于点， 点是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又交的延长线于点， ， ，． ， ， 由（1）可知，， ， 在中，． 【点睛】本题考查了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 22．已知四边形的四个顶点都在上，对角线和交于点． （1）若和的度数之比为，求的度数； （2）若，，，点为劣弧的中点，求弦的长． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，由和的度数之比为计算求值即可； （2）利用点为劣弧的中点，得到，，，将绕点逆时针旋转120°得，得、、三点共线，过点作于求得，，根据勾股定理，列得，计算即可． 【详解】（1）如图所示， ∵点、、、都在上， ∴， ∵和的度数之比为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点为劣弧的中点， ∴， ∴，． 将绕点逆时针旋转120°得， 如图所示． 则，，，， ∵， ∴、、三点共线． 过点作于， 则，． ∵中，， ∴， 解得． ． 【点睛】此题考查圆内接四边形对角互补的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各部分知识并综合运用是解题的关键． 23．如图，在中，连接，以为直径的交于点G，交于点E，交于点F，连接交于点H，连接，． (1)求证：． (2)若，求的值与的长． (3)在（2）的条件下，连接，若P，Q分别是四边形相邻两条边上的点，当P，Q，H，F四个点组成的四边形为平行四边形时（），求所有满足条件的的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)或或 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）连接，证明，从而，结合，从而命题得证； （2）连接，可证，从而得出，得出比例式，进而求得的值，从而得出，然后解：先求出和，进一步求得的值； （3）先在中求出，再根据得出，结合，从而解得的值，当P在上，Q点在上时，，从而求得，进而求得，当P在上，点Q在上时，证得；当P在上，Q在上，以为对角线时，证得，进一步求得结果． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 是的直径， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接， ∵四边形是平行四边形， ， 由（1）得，，， ， ∴， ， ∴， ， ， 设，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 是的直径， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：如图3，连接， 由（2）知：，， ，， ∴，， ∵， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 当P在上，Q点在上时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴ ， ∴， 如图4， 当P在上，点Q在上时， 由上知：， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 如图5 当P在上，Q在上，以为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述：的长为或或． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及平行四边形的性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 圆周角 （3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型强化 题型一．圆周角定理 1．（2023•雨山区一模）如图，点是中优弧的中点，，为劣弧上一点，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•金安区校级月考）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为 　　． 3．（2024•安徽一模）如图1，为的直径，弦于点，且为弧的中点，交于点，若，． （1）求的长； （2）如图2，连接，，求证：． 题型二．圆内接四边形的性质 4．（2023•阜阳模拟）如图，四边形是的内接四边形，连接、，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2023•谯城区校级开学）如图，，，，四点都在上，，，，则的长为 　　． 6．（2024•金寨县模拟）如图，四边形内接于，平分，交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若经过圆心，且，，求的长． 题型三．相交弦定理 7．（芜湖模拟）如图，已知为的直径，为上一点，于，，，以为圆心，为半径的圆与相交于，两点，弦交于，则的值是　　 A．24 B．9 C．6 D．27 8．（芜湖校级自主招生）如图，在与中，，交于点，，且．则　　． 9．（2024春•淮南月考）如图，是直径，弦与交于． （1）若，，则　　； （2）如图，若，求证：． 分层练习 一、单选题 1．如图，点A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，点在上，已知，则等于（    ） A．40° B．50 C．60° D．80° 3．在以下所给的命题中：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑤长度相等的弧是等弧．正确的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，内接于，连结，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点A（4,0）、B（-6,0），点C是y轴正半轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为（    ） A．（0，6 ） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12） 6．如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若．，则的面积为（） A． B． C． D． 9．如图，四边形内接于半径为的中，连接，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、米．在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（ ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 （参考数据：，，，，） A． B． C． D． 二、填空题 11．的半径为4，弦，为上异于点，的一动点，则的度数为 ． 12．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ． 13．如图，AB=BC=2，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，则BE的长为 ． 14．如图，在正方形ABCD中，AB＝15，点E是以AB为直径的圆上一动点，当时，DE的长度为 ． 三、解答题 15．如图，是的内接三角形，是的直径，． (1)求的度数． (2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 16．如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 17．山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，其主拱的结构近似为圆弧形，某校“综合与实践”小组的同学为测量景德桥的主拱所在圆的半径，撰写了如下不完整的实践报告： 测量对象 景德桥的主拱所在圆的半径 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案 将主桥拱记为，弦为水平面，设主拱所在圆的半径为，在实地勘测拱桥后，“综合与实践”小组在上取了一点 测量示意图 测量数据 ，求半径（结果精确到0.1，参考数据，，，，，， 反思 …… 18．下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在直线l上任取两点A，B，连接，； ②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆； ④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q； ⑤作直线，所以直线就是所求作的直线． 根据小青设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：连接， ∵点A，B，P，Q都在上，， ∴___________， ∴，（___________）（填推理的依据） ∴． 19．（1）如图①， 点P 为上一点，， 垂足分别为点A与点H， 若，则的最大值为 ； (2) 如图②， 在中，， D 是边上一点， 且， 点E 是边上一点， 将沿折叠， 则点C落在 F 处， 连接， 求周长的最小值； （3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，， 弧为上的一段优弧， 点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？ 20．问题提出： （1）如图，在中，，⊙O半径为1，点是⊙O上的动点．则到的最小值为 ； 问题探究： （2）如图，在正方形中，找出所有的点，使得； （3）问题解决： 如图，有一个矩形水池，已知．设计者想把水池分为四部分，分别是三角形，三角形，三角形，三角形．满足，点在上，为上的任意一点．若三角形区域养鱼，其他区域养虾．已知养鱼每平方米1000元，养虾每平方米800元．请问花费的最少费用是多少？ 21．如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点． (1)连接，求； (2)点F在上，，交于点．若，求的长． 22．已知四边形的四个顶点都在上，对角线和交于点． （1）若和的度数之比为，求的度数； （2）若，，，点为劣弧的中点，求弦的长． 23．如图，在中，连接，以为直径的交于点G，交于点E，交于点F，连接交于点H，连接，． (1)求证：． (2)若，求的值与的长． (3)在（2）的条件下，连接，若P，Q分别是四边形相邻两条边上的点，当P，Q，H，F四个点组成的四边形为平行四边形时（），求所有满足条件的的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$