清单01 二次函数（考点清单，13考点&16题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

清单01 二次函数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数的定义 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 【清单02】待定系数法求二次函数的解析式 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 【清单03】二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 【清单04】二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 【清单05】y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【清单06】y=ax²+c的图象的性质 总结：y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. 【清单07】y=a（x-h）²的图象的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 总结： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【清单07】二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 总结：一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 【清单08】二次函数 y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的性质 对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a ≠ 0）,我们通过变形,可以将其转化为 y=a(x+)2+（a ≠ 0）.由此可见,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象与函数y=ax2（a ≠ 0）的图象的形状、开口方向均相同,只是位置不同,可以通过平移y=ax2（a ≠ 0）的图象得到. 一般地,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=－,顶点坐标是（－，)当a>0时,抛物线的开4C口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点. 【清单09】列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 【清单10】实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 【清单11】利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 【清单12】求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 【清单13】利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 【考点题型一】二次函数的基本概念 【例1】下列函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数叫做二次函数，解决本题的关键是根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：自变量的指数是， 不是二次函数，故A选项不符合题意； B选项：自变量的指数是， 是一次函数不是二次函数，故B选项不符合题意； C选项：自变量的指数是， 是二次函数，故C选项符合题意； D选项：的自变量在分母的位置， 不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 故选：A． 【变式1-2】下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，把函数式整理成一般形式，根据二次函数的定义：一般地，把形如（，是常数）的函数叫做二次函数，即可判断求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是二次函数，该选项不合题意； 、，是二次函数，该选项不合题意； 、，不是二次函数，该选项符合题意； 、是二次函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-3】若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴． 【考点题型二】二次函数的图像与性质 【例2】已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、求一个数的立方根，利用待定系数法求解a值即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴，即， ∴， 故选：B． 【变式2-1】已知抛物线的顶点在x轴上，则a的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】把函数解析式整理出顶点式形式，然后根据顶点在x轴上，纵坐标等于0列方程求解即可．本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理成顶点式形式求解是解题的关键． 【详解】解： ， ∵抛物线顶点在x轴上， ∴， 解得． 故选：B． 【变式2-2】抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得出顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， 故选：D． 【变式2-3】若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 【变式2-4】对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减少 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线的图象和性质．根据抛物线的图象和性质依次进行判断即可． 【详解】解： ， ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减少，选项D符合题意． 故选：D． 【考点题型三】二次函数图像的平移 【例3】将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的函数图象的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的函数图象的表达式为：，即． 故答案为：． 【变式3-1】把二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的图象对应的二次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．二次函数的顶点式解析式为，首先根据解析式可得二次函数的顶点坐标为，平移后的顶点坐标为，把平移后的顶点坐标代入即可得平移后的二次函数表达式． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 把二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 平移后的顶点坐标为， 平移后的解析式为， 整理得． 故选：D． 【变式3-2】已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象的平移，先根据对称轴方程求得该二次函数的解析式，再根据函数图象平移规则“上加下减”得到平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 将二次函数的图象向上平移6个单位，得， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，，此时y有最小值3， 当时，由解得，， ∵当时，函数有最小值为12， ∴或， 解得或． 故答案为：7或． 【变式3-3】将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律求解即可得． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数的表达式为，即为， 故答案为：． 【考点题型四】二次函数与一次函数/反比例函数图像判断 【例4】若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 【变式4-1】如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式4-2】一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 【变式4-3】若正比例函数满足y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，根据正比例函数的增减性得到，据此可得正比例函数图象经过第二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数满足y随x的增大而减小， ∴， ∴该正比例函数图象经过第二、四象限， ∴二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式4-4】抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 【考点题型五】求二次函数的解析式 【例5】已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 【变式5-1】下表给出了代数式与x的一些对应值： x …… 0 1 2 3 …… …… 5 n c 2 …… (1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值． (2)设，直接写出当时y的最大值． 【答案】(1) (2)y的最大值是5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据时，代数式的值可得一个关于b，c的二元一次方程组，解方程组可得b，c的值，再将代入代数式即可得n的值； （2）先将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得， 解得：， ， 当时，， ； （2）解：由（1）可知：， ， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y最大． 【变式5-2】已知二次函数的图象经过点，且顶点的坐标为． (1)求这个函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出它的图象． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据二次函数解析式分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标，再利用对称性求出轴的交点的对称点，据此画图即可； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴， 即； （2）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴画图如下所示：    【变式5-31】已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的表达式及图象的对称轴、顶点坐标． (2)直接写出当为何值时，随的增大而减小． 【答案】(1)二次函数的表达式为；对称轴为、顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解出二次函数解析式；将二次函数转化为顶点式即可得图象的对称轴、顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得： ∴二次函数的表达式为； ∵， ∴二次函数的对称轴为、顶点坐标为； （2）解：由（1）知二次函数的对称轴为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，随的增大而减小． 【变式5-4】二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式． （1）根据二次函数的对称轴是直线即可求解； （2）①将代入，即可求出此时二次函数的表达式； ②利用配方法即可把化为的形式，再根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线，即直线， 二次函数的对称轴是直线； （2）解：①二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 此时二次函数的表达式为； ②∵， 顶点坐标为． 【考点题型六】二次函数与x轴的交点 【例6】二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别令，求出的值，令，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴令时，则， ∴二次函数经过， ∴令时，则， ∴， 解得 ∴二次函数经过， 则二次函数与坐标轴的交点个数是有两个交点， 故选：B． 【变式6-1】二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：二次函数的图象与x轴有交点，且， 且， 故选：A 【变式6-2】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向，与轴交点的判定方法是解题的关键． 根据抛物线在轴的下方，则开口向下，抛物线与无交点，即，由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线在轴的下方， ∴抛物线的开口向下，且与无交点， ∴， 故选：A ． 【变式6-31】抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，．根据抛物线与x轴分别交于A、B两点，令求得点A、B的坐标，从而可以求得的长． 【详解】解：∵， ∴时，， 解得，，． ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴的长为：． 故答案为：6． 【变式6-41】已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， （1）把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出k的值； （2）先确定抛物线解析式为，然后解方程可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标； 熟练掌握将求二次函数（是常数， 0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）根据题意得，， ∴； （2）∵， ∴抛物线解析式为， ， 解得， 抛物线与轴的另一个交点坐标． 【考点题型七】二次函数与二次方程的关系 【例7】对于一元二次方程，下列四个结论中错误的是（   ） A．若，当时，没有实数根 B．若4是方程的一个根，那么是方程的另一个根 C．若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同 D．若没有实数根，则二次函数与直线没有交点 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 若，则，当时，则，例如时， ∴此时有实数根，故该选项不正确，符合题意； B. 若4是方程的一个根，则即， ∴那么是方程的另一个根，故该选项正确，不符合题意； C. 若方程的两根符号相同，又，则同号，那么方程的两根,符号也相同，故该选项正确，不符合题意； D. 若没有实数根，则二次函数与直线没有交点，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式7-1】抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解； 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点， ∵方程在的范围内有实数根， 当时，， 当时，， 函数在时有最小值2， 当关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个实数根时， ∴， 故选：D． 【变式7-2】二次函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根的情况，根据图象信息可解答． 【详解】解：由图知二次函数的图象顶点的纵坐标是2，即二次函数的最大值是2． 方程，即，可以看成抛物线与直线的交点， 由图象可得直线在顶点上方， ∴使函数的值为5的x值不存在， ∴关于x的方程没有实数根． 故选：C． 【变式7-3】如图，若的部分图像如图所示，则关于的方程的另一个解为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键利用数形结合的思想分析问题．首先根据二次函数的对称性，通过对称轴得出二次函数与轴的交点坐标，结合二次函数与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，即可获得答案． 【详解】解：∵根据图像知，抛物线与轴的一个交点是，且对称轴为， ∴根据对称性，抛物线与轴的另一交点为， ∴令，即， ∴方程的解是，， 即方程的另一解为． 故选：D． 【变式7-4】已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 【变式7-5】已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，可以得到该函数的对称轴为轴，从而可以得到的值，然后即可求得该函数与轴的交点，即可得到一元二次方程的两根，再将这两个根相乘，即可解答本题． 【详解】解：二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等， ∴该函数的对称轴为直线， 解得， ∴二次函数， ∴当时，，解得，， ∴一元二次方程的两根是，， ∴一元二次方程的两根之积是， 故答案为：． 【考点题型八】二次函数与不等式的关系 【例8】如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故选：A． 【变式8-1】如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用了数形结合的思想，首先根据与的图象关于轴对称，所以点、与点、关于轴对称，根据点、的坐标得到点、的坐标，再根据函数图像的位置关系得到不等式的解集． 【详解】 解：与的图象关于轴对称， 直线与抛物线的交点、与点、也关于轴对称， 如下图所示： ，， ，， 从函数图象上可得：不等式的解集是， 故答案为：． 【变式8-2】已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．根据抛物线的顶点式即可求得点的坐标，利用抛物线的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线与轴交于，两点在的左侧，其中点的横坐标为， ， 如图， 由图可得：，则的取值范围是． 故答案为： 【变式8-3】如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)___________，___________； (2)当时，x的取值范围是___________ (3)当时，的取值范围是___________． (4)当时，x的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，从而可知，．再将代入，即可求出a的值； （2）由（1）知函数解析式，令，求出x的值，得到函数图象与x轴的另一个交点，再根据函数图象即可解答； （3）由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，从而得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，进而得出的最大值为．求出当时，的值和当时，的值，再比较，即可得出当时，的取值范围； （4）根据求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围，再结合图象即可得解． 【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为， ∴． 将代入，得：， 解得：． ∴，，； （2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线开口向下， 令，则，即， 解得：， 则改抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，； （3）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，的最大值为． ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （4）解：对于，令，则， ∴． 求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围． 由图象可知当或时，函数的图象在的图象下方， ∴当时，x的取值范围是或． 【考点题型九】二次函数的图像与系数的关系 【例9】如图，已知二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且经过点．以下结论：①；②；③；④若且时，则；⑤对于任意实数，总有中，错误的有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据该二次函数图像的顶点坐标及开口方向，易得，即可判断结论①；由二次函数图像的对称性，可知该二次函数图像经过点，可知当时，可有，可判断结论②；首先将点代入二次函数，整理可得，再将点代入二次函数，整理可得，结合，可得，可判断结论③；结合，可得，结合，可得，可判断结论④；根据该二次函数图像顶点为，且开口向下，可得对于任意实数，总有，整理可得，即可判断结论⑤． 【详解】解：∵二次函数的图像顶点为，且开口向下， ∴，且对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，可有，故结论②错误； 将点代入二次函数， 可得， ∵， ∴，整理可得， 将点代入二次函数， 可得， 将，代入， 可得， 由图像可知，， ∴，解得，故结论③错误； ∵， 则有， 整理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； 根据题意，二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且该函数图像开口向下， ∴对于任意实数，总有， 即，故结论⑤错误． 综上所述，结论正确的有①④，共计2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、平方差公式的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【变式9-1】二次函数的图象如图所示，有下列结论： ；；；；若点和点在抛物线上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上可得，由抛物线交轴于负半轴可得，由抛物线对称轴及可得，据此即可判断结论；由抛物线与轴有两个交点可知，一元二次方程有两个不相等的实数根，因而可得，据此即可判断结论；由抛物线图象可知，当时，，据此即可判断结论；由抛物线图象可知，抛物线对称轴为，即，据此即可判断结论；由抛物线图象可知，抛物线对称轴为，因而当时，随的增大而增大，据此即可判断结论；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线交轴于负半轴， ， ， ， ， 故结论正确； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故结论正确； 由抛物线图象可知，当时，， 当时，， 故结论正确； 抛物线的对称轴为， ， ， ， 故结论正确； 由抛物线图象可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 即：若，则， 故结论错误； 综上所述，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符号，一元二次方程根的判别式，的图象与性质，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【变式9-2】抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想求解；根据二次函数的图像和性质可判断①，根据二次函数的对称性可知过，即可判断②，根据对称轴是2可判断③，由数形结合和二次函数的对称性可判断④． 【详解】解：①抛物线的开口向下， ， 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为直线，即， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ， 故①正确，满足题意； ②抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， 将代入，得， 故②不正确，不满足题意； ③， ， 故③正确，满足题意； ④此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线， 此抛物线经过点， 抛物线与直线的交点的横坐标分别为和6， 不等式的解集是或， 不等式的解集是或， 故④不正确，不满足题意， 故答案为： ①③． 【变式9-3】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点， 对称轴为直线， 则， ，即，故②不正确； 抛物线开口向上， ∴， ， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点， 又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，， 当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则， 即，故⑤不正确； 若，且， ∴， ， 整理得， ∵， ∴， ∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥． 故答案为：①③⑥． 【变式9-4】如图，抛物线与轴交于，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③使是等腰三角形的值有2个；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，再由可知；分和两种情况求出，再代入，结合点求解即可；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】∵抛物线与轴交于， ∴对称轴为直线，即，得到， 故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ∴，， 又， ， 故，②正确，符合题意； 抛物线，由得 连接，则， 若，则，解得， 又过点， 代入得 解得：， 若，则，解得， 同理可得：， 又由图可知：， 使是等腰三角形的值有2个，③正确，符合题意； 将点代入， ∴， ∴， 过点Q作轴交于点P， 设直线:，过点，则 解得：， ∴直线: 又， ∴直线: ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，的面积最大， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③ 【考点题型十】二次函数的应用——构建二次函数解决实际问题 【例10】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 【变式10-1】如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为．与的重叠部分的面积为，则当 （）时最大；当 （s）时S的值为． 【答案】 / 或 【分析】根据题意得出，然后根据题意画出图形，找到临界点，分情况讨论，得出，根据二次函数的性质，求得最值，进而根据面积为，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，，则， 当点Q运动到与点重合时， ∴， 当点P运动到与点重合时， ∴，， ∴当时，， 当时，如图所示， ∵，则， 则是等边三角形， 则，， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 综上所述，， ∴当时，取得最大值， 当时， ，解得：（负值舍去）， 或， 解得：或（舍去）， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，二次函数的性质，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 【变式10-2】如图，小明用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．请你帮助小明解决下列问题 (1)求S与x之间的函数关系式； (2)x的取值范围是   (3)该矩形菜园的面积为时，的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的解法； （1）设这个菜园垂直于墙的一边的长为，由矩形面积公式建立函数关系式即可； （2）由，矩形长不能超过墙的长度，再建立不等式组解题即可； （3）把代入（1）中解析式，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为， 则， 则， ∴； （2）解：由， 解①得：， 解②得：， ∴x的取值范围为：， （3）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ∴不符合题意，取， 即的长为； 【变式10-3】某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，y有最大值，最大值为， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）知， 化成顶点式：， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为， 【变式10-4】某商场购进一批台灯，经市场调研：若进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题： (1)用表达式表示台灯销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系 (2)为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，商场获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)16元 (3)当售价定为20元时，获得利润最大，最大利润是1000元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用若售价每提高1元，销售量就会减少10个得出y与x之间的关系式； （2）根据销量每件利润，进而解方程得出答案； （3）利用配方法求出二次函数最值即可． 【详解】（1）解：设台灯售价为x元时，销售量为y个， 根据题意可知∶． （2）解：设获得的利润为W，则 令，则， 解得： 答：为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元． （3）解：， ， ∴当时，W取最大值，最大值为1000． 答：当售价定为20元时，获得利润最大，最大利润是1000元． 【变式10-5】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 【考点题型十一】二次函数的应用——抛物线类问题 【例11】如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形中，长为长为，隧道最高点P位于的中央且距地面，以为x轴，为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若一辆货车高，宽，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？ 【答案】(1) (2)该货车能通过，原因见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，求出两点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，求出两点间的距离与货车的宽进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，点，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， ∵点在抛物线上， ， 解得， ； （2）这辆货车能从这条隧道通过． 根据题意得，令，则， ， ， ∴该货车能通过． 【变式11-1】某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 【答案】(1) (2)花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的应用，理解题意是关键． （1）根据题意可设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）令，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线最高点坐标为， ∴设抛物线解析式为． ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中． 【变式11-2】2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这次投篮训练能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数解析等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，然后点代入求得即可解答； （2）令，求y的值，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：抛物线过点，顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线的函数表达式． （2）解：这次投篮训练能成功，理由如下： 令，则， ∵， ∴这次投篮训练能成功． 【变式11-3】图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙． (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【答案】(1) (2)不能 (3)米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∵ ，， 石块不能飞越防御墙． （3）解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， 在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 【变式11-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较，的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令得：； 解得或， ， ， ， ． 【变式11-5】护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为； (3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【考点题型十二】二次函数与几何综合——线段周长问题 【例12】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．    (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键. （1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程组即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次和二次函数解析式设出M点坐标和N的坐标，再表示出，然后根据解方程可得答案． 【详解】（1）解：抛物线过点和， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）一次函数经过点和点， ， 解得， 一次函数解析式为， 轴， 设，，其中， 当M在N点的上方时，如图： ， 解得： ，（舍去）， ， 当M在N点下方时， ， 解得：，， ，， 综上，满足条件的点M的坐标有三个或或． 【变式12-2】已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法求函数表达式、点的对称性等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． （1）①将点代入抛物线表达式即可求解； ②点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点，进而求解； （2）当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，当时，，则，即可求解，当时，同理可解． 【详解】（1）①将点代入抛物线表达式得：，解得； ②由①知，抛物线的表达式为，对称轴为， 设抛物线与x轴的另外一个交点为A， 令，解得， 故点A、B的坐标分别为， 令，解得，， 由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，即点P在函数的对称轴上， ∵点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点， 即为最小， 故的最小值； （2）抛物线的对称轴为直线， 则比距离对称轴更远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在时取得最小值，在时取得最大值， 当时，最小值为， 当时，最大值为， ∵该函数的最大值与最小值之差为12， ∴，解得 当时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在时取得最小值， ∵该函数的最大值与最小值之差为12， ∴，解得； 故． 【考点题型十三】二次函数与几何综合——面积问题 【例13】已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)3 (3)存在； 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把二次函数一般式化为顶点式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据∴，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线，顶点为点， ∴， ∴顶点坐标； （2）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 【变式13-1】如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)连接，，求； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)；顶点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把原点坐标代入中求出的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到点坐标； （2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求解； （3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入得， 抛物线解析式为， ， 顶点的坐标为； （2）解：当时，， 解，， ， ； （3）解：设点坐标为， ， ， 即或， 解方程得，， 点坐标为，或， 方程无实数解， 综上所述，点坐标为，或． 【考点题型十四】二次函数与几何综合——角度问题 【例14】如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得，点的横坐标为或 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； （3）解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 【变式14-1】综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，将，代入得，，可求，进而可得； （2）如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点，则，当时，，可求或，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，计算可求； （3）由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等，则，同理（1），直线的解析式为，设，其中，由平移可得，直线的解析式为，同理，直线的解析式为，联立，可求，则，，可求满足要求的解为，则，，，，，，当时，，即，，根据与重叠部分的面积为，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点， ∴， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴， ∴存在，； （3）解：由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等， ∴， 同理（1），直线的解析式为， 设，其中， 由平移可得，设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得，， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴，，，，，， ∵， ∴轴， 当时，，即， ∴， ∴与重叠部分的面积为， ∴与重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合是解题的关键． 【考点题型十五】二次函数与几何综合——特殊三角形问题 【例15】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线，将、代入得，解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在， 当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示： 设， 、 ， 当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或， 、； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝ (2) (3)存在，P点的坐标为：，，，, 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求出直线解析式为，设，则，根据转化成顶点式即可得到结果． （3）分两种情况进行讨论①为等腰三角形，且以为底边，②为等腰三角形，且以为底边，③为等腰三角形，且以为底边，得到点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图1，作轴于点G，交于点F，    设，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ①为等腰三角形，且以为底边，    ∴， ∴ ∴， 解得，， ∴或． ②为等腰三角形，且以为底边， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ③为等腰三角形，且以为底边， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，P点的坐标为，，，,． 【考点题型十六】二次函数与几何综合——四边形问题 【例16】已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【变式16-1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； （2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可； （3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点， ， 设点， ， ， 或， ∴点或或或； （3）解：若为边，且四边形是平行四边形， ， ∴点F与点C纵坐标相等， ， ，， ∴点， 若为边，且四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， ∴点F的纵坐标为， ， ， ∴点或； 若为对角线，则四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为3， ∴点， 综上所述，点F坐标或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式16-2】已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． (1)分别求出点，的坐标（用表示）； (2)证明：函数与的图象相交于，两点； (3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点． （1）由顶点坐标公式即可求解； （2）证明：令，得或，即可求解； （3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1），对称轴， 当时，， ∴， ，对称轴， 当时，， ∴； （2）令，得：， 化简得：，即， 解得：，， 将，分别代入二次函数中，得：，， ∴交点坐标为和， 即：函数与相交于、两点． （3）当时，，顶点；，顶点， ∴直线解析式为：， 设，则 ∴， 则，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 1．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：3． 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得， ；；； ∴． 故选：C． 3．关于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与y轴交点坐标是 D．当时，y随着x增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而增大， ∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 当时，，即抛物线与y轴交点坐标是， ∴C错误，故不符合要求； 故选：D． 4．某商店购进某种商品，该商品的进价为40元/件．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每降低1元，每天的销量增加20件．现商店决定降价销售，设每天的销量为件，销售单价为元，商店每天销售该商品获得的利润为元，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来．根据“销售单价每降低1元，每天的销量增加20件”结合“当销售单价定为元时，每天可售出件”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售该商品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解． 【详解】解：由题可得： ， ． 故选：B． 5．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 6．如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 7．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ； ； ；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（  ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：由题意，由图象可得，，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故错误，正确； 又由图象知，当时，， ∴，故错误； ∵二次函数与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确， 综上，正确的有：． 故选：． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 9．在体育训练中嘉淇掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球飞行的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是，则嘉淇此次掷球的初始高度和掷球的成绩（即的长度）分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 分别令，，再解方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） ∴掷球的成绩为， 令，此时， ∴初始高度为， 故选：B． 10．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可． 【详解】解：根据二次函数解析式 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是 故答案为：． 11．若二次函数有最小值，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到且，由可得，再根据可得． 【详解】解：二次函数有最小值， 抛物线开口向上，二次项系数为正数， ， 解得：， 故答案为： ． 12．将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：上加下减，左减右加，结合将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，则，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位， ∴新抛物线是， ∴新抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13．已知二次函数的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的的面积是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了二次函数的性质及于轴交点坐标特点，解题关键是各类函数图象的图象特征需注意在做题过程中加以理解应用．由于二次函数的图象关于轴对称，由此得到，解方程即可求出，然后利用顶点公式和轴的两个交点坐标特点即可求出A、、的坐标，接着根据坐标求出面积． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 对称轴为：， ， ， 顶点坐标为， 令，得，解得， 与轴的两个交点、坐标为， 的面积为． 故答案为：1． 14．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键． 由题意知，，，则该抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线．点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求值，根据t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线． ∴点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内． ①当该抛物线经过点和时，如图1． 将代入得，， 解得， ∴此时抛物线解析式为． 当时，， 解得，， ∴x轴上的点，，符合题意． ∴当时，恰好有 ，，，、，，，共7个整点符合题意． ∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大， ∴． ②当该抛物线经过点和点时，如图2． 此时x轴上的点 ，，符合题意． 将代入得，， 解得． ∴此时抛物线解析式为． 当时，． ∴符合题意． 当时，得． ∴符合题意． 综上可知：当时，点，，，，，，，，，都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴不符合题． ∴． 综上所述，当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点， 故答案为：． 15．掷实心球是广州市中考体育考试的选考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据广州市中考体育考试掷实心球项目（男生）评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．（参考数值：，，） 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得满分 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，比较即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， 设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数表达式为：； （2）解：令，即， 解得（不合题意，舍去）， ∵， ∴该男生在此项考试中得满分． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式． (2)当时，求二次函数的最大值和最小值． (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________． ②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）由，当时，取最小值为，根据，得当时，取最大值． （3）①根据求出取值范围，②通过数形结合求解． 【详解】（1）解：将点，点代入 得 解得      此二次函数的解析式为． （2）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线．      当时，取最小值为．      ， 当时，取最大值． （3）解：①∵点横坐标为，点的横坐标为．      ∴． 当时，，的长度随的增大而增大． 当时，，的长度随增大而减小． 满足题意，解得． 故答案为：； ② ， ， 解得． 如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点． 如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点． 17．如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为： (2)最大值为，的坐标为 (3)点坐标为，，， 【分析】（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可得出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和点，点， 代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； ∵， ∴； （2）解：由（1）知抛物线的顶点为， 设直线的解析式为令，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为：直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ， ， ①当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，； ③当时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论． 18．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程． ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！） 【友情提示：图2已给出函数的图象】 【答案】(1)， (2) (3)①有1个实数根；②1.2 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由图象可得出该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得出与x轴的另一个交点为，即得出其相关一元二次方程的解； （2）根据二次函数解析式可得出其对称轴为直线，根据该方程的两个实数根为m，n，且，，画出其大致图象，即可的解； （3）①由，得出，令，，画出大致图象，即得出方程有1个实数根； ②由图象法确定方程的近似根即可． 【详解】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， ∴关于x的方程的解为，； （2）解：设，则此抛物线的对称轴为直线， ∵关于x的方程有两个实数根m，n，且， 的图象与x轴有两个不同交点，如图： ∵， ∴时，；时，，     ∴且， ∴； （3）解：①∵， ∴， 令，，画出大致图象如下， ∴的图象与的图象有一个交点， ∴方程有1个实数根； ②由图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标t就是方程的解， 由图象可知：当时，当时． 当时，，，，当时，，，， ∴．     当时，，，，当时，，，， ∴． 当时，，，， ∴．     当时，，，， ∴， ∴，故方程的近似解为1.2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次函数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数的定义1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 【清单02】待定系数法求二次函数的解析式思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 【清单03】二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 【清单04】二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 【清单05】y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【清单06】y=ax²+c的图象的性质 总结：y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. 【清单07】y=a（x-h）²的图象的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 总结： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【清单07】二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 总结：一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 【清单08】二次函数 y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的性质 对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a ≠ 0）,我们通过变形,可以将其转化为 y=a(x+)2+（a ≠ 0）.由此可见,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象与函数y=ax2（a ≠ 0）的图象的形状、开口方向均相同,只是位置不同,可以通过平移y=ax2（a ≠ 0）的图象得到. 一般地,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=－,顶点坐标是（－，)当a>0时,抛物线的开4C口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点. 【清单09】列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 【清单10】实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 【清单11】利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 【清单12】求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 【清单13】利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 【考点题型一】二次函数的基本概念 【例1】下列函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若是关于的二次函数，求的值． 【考点题型二】二次函数的图像与性质 【例2】已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 【变式2-1】已知抛物线的顶点在x轴上，则a的值是（   ） A． B． C． D．1 【变式2-2】抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减少 【考点题型三】二次函数图像的平移 【例3】将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的函数图象的表达式为 ． 【变式3-1】把二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的图象对应的二次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为 ． 【变式3-3】将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象． 【考点题型四】二次函数与一次函数/反比例函数图像判断 【例4】若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】若正比例函数满足y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求二次函数的解析式 【例5】已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下表给出了代数式与x的一些对应值： x …… 0 1 2 3 …… …… 5 n c 2 …… (1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值． (2)设，直接写出当时y的最大值． 【变式5-2】已知二次函数的图象经过点，且顶点的坐标为． (1)求这个函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出它的图象． 【变式5-31】已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的表达式及图象的对称轴、顶点坐标． (2)直接写出当为何值时，随的增大而减小． 【变式5-4】二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 【考点题型六】二次函数与x轴的交点 【例6】二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【变式6-1】二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【变式6-2】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-31】抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 【变式6-41】已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 【考点题型七】二次函数与二次方程的关系 【例7】对于一元二次方程，下列四个结论中错误的是（   ） A．若，当时，没有实数根 B．若4是方程的一个根，那么是方程的另一个根 C．若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同 D．若没有实数根，则二次函数与直线没有交点 【变式7-1】抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】二次函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 【变式7-3】如图，若的部分图像如图所示，则关于的方程的另一个解为（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式7-4】已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【变式7-5】已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 【考点题型八】二次函数与不等式的关系 【例8】如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式8-2】已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 【变式8-3】如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)___________，___________； (2)当时，x的取值范围是___________ (3)当时，的取值范围是___________． (4)当时，x的取值范围是___________． 【考点题型九】二次函数的图像与系数的关系 【例9】如图，已知二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且经过点．以下结论：①；②；③；④若且时，则；⑤对于任意实数，总有中，错误的有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】二次函数的图象如图所示，有下列结论： ；；；；若点和点在抛物线上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式9-2】抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是 ． 【变式9-3】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【变式9-4】如图，抛物线与轴交于，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③使是等腰三角形的值有2个；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ．（填序号） 【考点题型十】二次函数的应用——构建二次函数解决实际问题 【例10】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为．与的重叠部分的面积为，则当 （）时最大；当 （s）时S的值为． 【变式10-2】如图，小明用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．请你帮助小明解决下列问题 (1)求S与x之间的函数关系式； (2)x的取值范围是   (3)该矩形菜园的面积为时，的长． 【变式10-3】某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【变式10-4】某商场购进一批台灯，经市场调研：若进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题： (1)用表达式表示台灯销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系 (2)为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，商场获得利润最大，最大利润是多少？ 【变式10-5】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【考点题型十一】二次函数的应用——抛物线类问题 【例11】如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形中，长为长为，隧道最高点P位于的中央且距地面，以为x轴，为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若一辆货车高，宽，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？ 【变式11-1】某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 【变式11-2】2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 【变式11-3】图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙． (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【变式11-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【变式11-5】护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【考点题型十二】二次函数与几何综合——线段周长问题 【例12】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．    (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 【变式12-2】已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值． 【考点题型十三】二次函数与几何综合——面积问题 【例13】已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【变式13-1】如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)连接，，求； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【考点题型十四】二次函数与几何综合——角度问题 【例14】如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【变式14-1】综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积． 【考点题型十五】二次函数与几何综合——特殊三角形问题 【例15】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点题型十六】二次函数与几何综合——四边形问题 【例16】已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【变式16-1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【变式16-2】已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． (1)分别求出点，的坐标（用表示）； (2)证明：函数与的图象相交于，两点； (3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 1．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与y轴交点坐标是 D．当时，y随着x增大而增大 4．某商店购进某种商品，该商品的进价为40元/件．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每降低1元，每天的销量增加20件．现商店决定降价销售，设每天的销量为件，销售单价为元，商店每天销售该商品获得的利润为元，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ； ； ；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（  ）    A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 9．在体育训练中嘉淇掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球飞行的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是，则嘉淇此次掷球的初始高度和掷球的成绩（即的长度）分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 11．若二次函数有最小值，则的值是 ． 12．将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是 ． 13．已知二次函数的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的的面积是 ． 14．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 ． 15．掷实心球是广州市中考体育考试的选考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据广州市中考体育考试掷实心球项目（男生）评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．（参考数值：，，） 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式． (2)当时，求二次函数的最大值和最小值． (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________． ②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围． 17．如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标． 18．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程． ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！） 【友情提示：图2已给出函数的图象】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$