第03讲 二次函数概念和图象与性质（7个知识点+7种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03讲 二次函数概念和图象与性质（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2024秋•青山湖区校级月考）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•凉州区校级期中）若是二次函数，则　　． 3．（2022秋•通州区校级月考）已知是二次函数，求． 题型二．二次函数的图象 4．（2024秋•南浔区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•武安市校级期中）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 　　． 6．（2023春•石景山区期中）已知二次函数的图象如图所示，求△的面积． 题型三．二次函数的性质 7．（2024秋•鲤城区校级期中）关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2024•濮阳二模）请写出一个开口向上，且过点的抛物线的表达式　　． 9．（2024•苍南县校级自主招生）我们把自变量为的函数记作，表示自变量时，函数的值．已知函数． （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 题型四．二次函数图象与系数的关系 10．（2024•雁塔区校级模拟）若抛物线是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．（2024•新野县一模）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 　象限． 12．（2023•龙川县校级开学）二次函数的图象如图所示，且，，试判断，的大小关系． 题型五．二次函数图象上点的坐标特征 13．（2024•赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2024•海淀区校级模拟）若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是：　　（填“”，“ ”或“” ． 15．（2024•修水县二模）已知一次函数与二次函数为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标． （2）如果两个函数图象没有交点，求的取值范围． （3）如图，当时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求的最小值； ②当轴时，求的最小值． 题型六．二次函数图象与几何变换 16．（2024秋•中山市期中）把函数的图象沿轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•长沙期中）二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 　　． 18．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）求点的坐标（用含的式子表示）． （2）当的纵坐标为3时，求的值； （3）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象求出的取值范围． 题型七．二次函数的最值 19．（2024•眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为　　 A． B． C． D． 20．（2024•苍南县校级自主招生）二次函数在上有最小值，则的值为 　　． 21．（2024•黄石港区一模）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当为何值时，的长度等于； （2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 分层练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 5．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（    ） A．y= B．y=2(x2+1)2 C． D． 6．已知实数a、b满足，则代数式的最小值是(   ) A． B． C． D． 7．对于二次函数，下列说法不正确的是（     ） A．函数图像的对称轴是直线 B．函数图像的顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D．函数图像与y轴交于点 8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．如图，在平面直角坐标系中，点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（    ）    A．2 B．2 C．4 D．4 二、填空题 11．若二次函数（为常数）的最大值为3,则的值为 ． 12．将抛物线y＝﹣（x+2）2+3向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线是 ． 13．如图，直线与抛物线都经过点和，则不等式的解集是 ．    14．如图，过函数图像上的点A，分别向两条坐标轴作垂线，垂足分别为B，C．线段与抛物线的交点为D，则的值为 ． 15．定义一种运算:m⊕n=m2-(m-1)n+2,例如:2⊕3=22-(2-1)×3+2=3,对于下列命题:①1⊕n=3;②方程x⊕2=0有两个不相等的实数根;③不等式组的解集为-1<x<3;④点(0,0)在函数y=x⊕(-2)+2的图象上,其中正确的是 .(填序号) 16．对于二次函数有下列说法：①如果m=2，则y有最小值3；②如果当x=1时的函数值与x=2018时的函数值相等，则当x=2019时的函数值是3；③如果m>0,则当时y随x的增大而减小，则④如果该二次函数有最小值T，则T的最大值是1，其中正确的说法是 . 17．若事件“对于二次函数y=x2﹣2mx+1，当x≤1时，y随着x的增大而减小．”是必然事件，则实数m的取值范围是 ． 18．如图，二次函数（）的图象过点，且与x轴相交于，两点，其中，．现给出以下结论：①；②；③；④方程的解为，．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 19．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点在点的左侧． (1)若抛物线过点，求实数的值； (2)在（1）的条件下在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点H的坐标． 20．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 21．在函数的学习中，读图能力是一项很重要的基本功.请仔细阅读如图，解决下列问题： （1）函数在 时，有最小值 ； （2）依据（1）的结论，结合换元思想求的最小值，并求函数值最小时的的取值； （3）求函数的最小值. 22．已知二次函数． (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当时，y的取值范围； (3)若将此图象沿x轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式． 23．已知二次函数    (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质． 24．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据： v(km/min) 0 1 2 3 4 I 0 2 8 18 32 (1)请根据上表中的数据，在直角坐标系中描出坐标(v，I)所对应的点，并用光滑曲线将各点连接起来； (2)填写下表，并根据表中数据的呈现规律，猜想用v表示I的二次函数表达式； v(km/min) 1 2 3 4 (3)当汽车的速度分别是1.5 km/min，2.5 km/min，4.5 km/min时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？ 25．根据以下信息，探索完成任务. 如何设计种植方案？ 素材1 某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有、，三种作物的相关信息如表所示.已知5株作物和2株作物的产量共为7千克：10株作物和6株作物的产量共为15千克． 作物 作物 作物 每平方米种植株树（株 2 10 4 单株产量（千克） 1.6 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树.经过实验发现，每平方米种植作物每增加1株，作物的单株产量减少0.1千克.而，单株产量不发生变化． 素材3 若同时种植，，三种作物，实行分区域种植． 问题解决 任务1 确定单株产量 求，的值． 单一种植 （全部种植作物） 任务2 预估种植策略 要使作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植 （种植，，三种作物） 任务3 规划种植方案 设这100平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米的产量最大：有平方米用于种植作物，剩余的全用来种植作物，，均为正整数.当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案． 26．已知抛物线，顶点为． （1）求的值； （2）如图1，若为轴右侧抛物线上一动点，过作直线轴交轴于点交直线于点，设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图2，点为轴正半轴上一定点，点均为轴右侧抛物线上两动点，若，求证：直线经过一个定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数概念和图象与性质（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2024秋•青山湖区校级月考）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：．是二次函数，故本选项符合题意； ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数． 2．（2024秋•凉州区校级期中）若是二次函数，则　　． 【分析】根据二次函数的定义得到，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得， 解得． 故答案为3． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式． 3．（2022秋•通州区校级月考）已知是二次函数，求． 【分析】由二次函数的定义可得，且，解得即可． 【解答】解：是二次函数， 则， 解得或， 又， ， ． 【点评】本题考查二次函数的定义，解题关键是注意二次项系数不为0． 题型二．二次函数的图象 4．（2024秋•南浔区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a＜0，可知该函数图象开口向下，再根据左同右异，可知对称轴在y轴右侧，根据c＜0，可知图象与y轴交于负半轴，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＜0，c＞0， ∴该函数图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，与y轴交于正半轴， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．（2023秋•武安市校级期中）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 　　． 【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， 所以，． 【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 6．（2023春•石景山区期中）已知二次函数的图象如图所示，求△的面积． 【分析】根据函数解析式，可以得到点和点的坐标，然后即可求得△的面积． 【解答】解：二次函数， 顶点的坐标为，点的坐标为， ，， △的面积为：， 即△的面积是1． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是求出点和点的坐标． 题型三．二次函数的性质 7．（2024秋•鲤城区校级期中）关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】二次函数的图象过点，则，而，由二次函数的图象的顶点在第一象限，可得，△，，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是， 二次函数的图象过点， ， ， 而， ， 二次函数的图象的顶点在第一象限， ，△，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用抛物线顶点坐标所在象限确定系数的取值范围，以及二次函数与方程之间的转换，方程根的代数意义的熟练运用． 8．（2024•濮阳二模）请写出一个开口向上，且过点的抛物线的表达式　　． 【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点，说明常数项． 【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为 等，答案不唯一． 故本题答案为：等．答案不唯一． 【点评】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同． 9．（2024•苍南县校级自主招生）我们把自变量为的函数记作，表示自变量时，函数的值．已知函数． （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据当时，不等式恒成立，得出当时，恒成立，根据函数性质即可得，，求解即可； （2）先求出在上的取值范围是，在上的取值范围是，根据对任意，存在，使得．得出且，求解即可． 【解答】解：（1）当时，不等式恒成立， 即当时，恒成立， 函数的对称轴，开口向上，在处取得最小值， 所以只需要， 解得． （2），对称轴为，开口向上， 当时，时，取得最小值，（5）， 时，取得最大值，（8）， 故在上的取值范围是， 同理在上的取值范围是， 对任意，存在，使得． 所以满足，且， 解得：． 【点评】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是理解题意． 题型四．二次函数图象与系数的关系 10．（2024•雁塔区校级模拟）若抛物线是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由可知抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，根据题意得到，然后求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 抛物线是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键． 11．（2024•新野县一模）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 　象限． 【分析】根据抛物线对称轴的位置得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，然后根据各象限内点的坐标特征进行判断． 【解答】解：二次函数， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 、异号，即， 抛物线与轴的交点在轴的下方， ， 点在第三象限． 故答案为：三． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 12．（2023•龙川县校级开学）二次函数的图象如图所示，且，，试判断，的大小关系． 【分析】由函数图象可以得出，，，当时，，时，，由对称轴得出，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出、的值． 【解答】解：抛物线的开口向下， ， ， ， ， ， ， 时，． ， ， 抛物线与轴的正半轴相交， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键． 题型五．二次函数图象上点的坐标特征 13．（2024•赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在△和△中， ， 所以△△， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2024•海淀区校级模拟）若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是：　　（填“”，“ ”或“” ． 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近得到、的大小关系． 【解答】解：， 抛物线开口向上，对称轴是直线， 点离直线远，点点离直线较近， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2024•修水县二模）已知一次函数与二次函数为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标． （2）如果两个函数图象没有交点，求的取值范围． （3）如图，当时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求的最小值； ②当轴时，求的最小值． 【分析】（1）当时，一次函数为，二次函数为，联立解析式，解方程，即可求解． （2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解； （3）当时，一次函数为，二次函数为， ①设，，，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解； ②设，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）解：（1）当时，一次函数为，二次函数为， 联立方程组 解得或 交点坐标为或； （2）由 得． 两个函数图象没有交点， ， 得． （3）当时，一次函数为，二次函数为， ①轴， 设，，， ． 当时，． ②设． 轴， ． ． ． 当时，． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数交点问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 题型六．二次函数图象与几何变换 16．（2024秋•中山市期中）把函数的图象沿轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】抛物线平移不改变的值． 【解答】解：原抛物线的顶点为，向右平移5个单位，那么新抛物线的顶点为．可设新抛物线的解析式为，代入得：． 故选：． 【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 17．（2024秋•长沙期中）二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 　　． 【分析】先将解析式化为顶点式，再根据平移规则：“左加右减，上加下减”求解即可． 【解答】解：， 二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为，即或， 故答案为：（或． 【点评】本题考查二次函数的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键． 18．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）求点的坐标（用含的式子表示）． （2）当的纵坐标为3时，求的值； （3）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象求出的取值范围． 【分析】（1）令，求出点坐标根据平移得出结论； （2）将的纵坐标为3代入求出即可； （3）由对称轴为直线得出，当时，解得，，结合图象得出结论； 【解答】解：（1）在中，令，则， ， 将点向右平移2个单位长度，得到点，则． （2）的纵坐标为3， ， ． （3）由题意得：抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， 解得，， 当时，结合函数图象可得，抛物线与恰有一个公共点， 综上所述，的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． 题型七．二次函数的最值 19．（2024•眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据新运算的定义，可与之间的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可． 【解答】解：由题意得，， 即， 函数的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键． 20．（2024•苍南县校级自主招生）二次函数在上有最小值，则的值为 　　． 【分析】分，及讨论即可得到答案；． 【解答】解：①当， 二次函数在上有最小值， ， 解得：，，不符合题意， ②当，函数在上随增大而增大， 二次函数在上有最小值， ， 解得：， ③当，函数在上随增大而减小， 二次函数在上有最小值， ， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（2024•黄石港区一模）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当为何值时，的长度等于； （2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 【分析】（1）利用的代数式分别表示出线段，，，利用勾股定理在中列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到关于的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得：，， ， ． 在中， ， ， 解得：或， 答：当为0秒或2秒时，的长度等于． （2）由（1）知：，， 当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动， ， ． ， 关于的函数解析式为； ， ， 当秒时，有最大值，最大值为． 、出发秒时，有最大值，这个最大面积为． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的极值，勾股定理和一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用的代数式分别表示出线段，，的长度是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移左加右减，上加下减是解题的关键． 根据上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为， 故选：A． 2．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．一般地，把形如（是常数且）的函数叫作二次函数．根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、是否为0不确定，故不一定是二次函数，不符合题意； C、，故不是二次函数，不符合题意； D、，是二次函数，符合题意． 故选：D． 3．抛物线先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意，得出原抛物线的顶点坐标，再根据二次函数平移的规律，得出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据抛物线的顶点式，即可得出答案． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，先向上平移3个单位，再向右平移1个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，得到平移后的抛物线的顶点坐标是解本题的关键． 4．将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”，求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位， 得到的抛物线为：． 故选：D． 5．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（    ） A．y= B．y=2(x2+1)2 C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：根据二次函数的定义知：选项C，=3x2-24x+36是二次函数. 故选C. 6．已知实数a、b满足，则代数式的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，求二次函数的最值，解题的关键是根据将原式变形为．先根据得出，将代入原式变形得出，求出，根据二次函数的增减性求出最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∵， ∴开口向上，对称轴为， 当时，原式的值随着a的增大而增大， ∴当时，的最小值是． 故选：B． 7．对于二次函数，下列说法不正确的是（     ） A．函数图像的对称轴是直线 B．函数图像的顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D．函数图像与y轴交于点 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数y=x2-2x-1=（x-1）2-2， ∴对称轴是直线x=1，故选项A正确， 顶点坐标为（1，-2），故选项B正确， 当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C正确， 函数图象与y轴交于点（0，-1）故选项D错误， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】试题分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 试题解析：抛物线与y轴交于原点， c=0，（故①正确）； 当x=1时，y=a+b+c ∵对称轴是直线x=-1， ∴-，b=2a， 又∵c=0， ∴y=3a，（故③错误）； x=m对应的函数值为y=am2+bm+c， x=-1对应的函数值为y=a-b+c， 又∵x=-1时函数取得最小值， ∴a-b+c＜am2+bm+c，即a-b＜am2+bm， ∵b=2a， ∴am2+bm+a＞0（m≠-1）．（故④正确）． 故选C. 考点：二次函数图象与系数的关系． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，求出点关于对称轴对称点的坐标，再根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ 的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴当点在点之间的抛物线上时，， 即：， 解得：； 故选C． 【点睛】本题考查抛物线的对称性，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 10．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（    ）    A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2， ∴由题意可得：A，C点纵坐标为1， 故1=x2， 解得：x=±， 故A(，1)，C(﹣，1)， ∴AC=2， 故菱形OABC的面积是：ACOB=×2×2=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关键． 二、填空题 11．若二次函数（为常数）的最大值为3,则的值为 ． 【答案】-1 【分析】根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解． 【详解】由题意得，， 整理得，， 解得：， ∵二次函数有最大值， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况． 12．将抛物线y＝﹣（x+2）2+3向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线是 ． 【答案】y= -(x+4) 2 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】抛物线y＝﹣（x+2）2+3的顶点坐标为（0，3）， ∵向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0）， ∴得到的抛物线是y=-(x+4) 2． 故答案为y=-(x+4) 2． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换，解题关键在于利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便． 13．如图，直线与抛物线都经过点和，则不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查了通过函数图像确定一元二次不等式的解集，解题的关键是学会利用数形结合的思想进行求解．根据函数的图像，求解即可． 【详解】解：由函数图像可得，在A点的右侧（含A点），B点的左侧（含B点）时，满足， ∴． 故答案为：． 14．如图，过函数图像上的点A，分别向两条坐标轴作垂线，垂足分别为B，C．线段与抛物线的交点为D，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点D作，设，则点，，，可得，再求出直线的关系式为，然后联立可得到点D的横坐标为，即，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点D作，垂足为E， 设，则点，，， ， 设直线的关系式为，把B、C两点坐标代入得， ，， 直线的关系式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴点D的横坐标为， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点问题，平行线分线段成比例，利用数形结合思想解答是解题的关键． 15．定义一种运算:m⊕n=m2-(m-1)n+2,例如:2⊕3=22-(2-1)×3+2=3,对于下列命题:①1⊕n=3;②方程x⊕2=0有两个不相等的实数根;③不等式组的解集为-1<x<3;④点(0,0)在函数y=x⊕(-2)+2的图象上,其中正确的是 .(填序号) 【答案】①③ 【分析】根据新定义的运算方法，根的判别式以及不等式组的解法对各小题分别进行计算即可得解． 【详解】①1⊕n=12-(1-1)n+2=3, 故①正确; ②x⊕2=x2-(x-1)×2+2=0, 整理得,x2-2x+4=0, Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×4=-12<0, 所以,方程x⊕2=0没有实数根,故②错误; ③(-2)⊕x-3=(-2)2-(-2-1)x+2-3=3x+3, 3⊕x=32-(3-1)x+2=-2x+11, 所以,原不等式组为 解不等式①得,x>-1, 解不等式②得,x<3, 所以,不等式组的解集是-1<x<3,故③正确; ④x⊕(-2)+2=x2-(x-1)×(-2)+2+2=x2+2x+2, 所以,函数解析式为y=x2+2x+2, 当x=0时,y=2, 所以,点(0,0)不在函数图象上,故④错误. 综上所述,正确的是①③. 【点睛】本题考查了命题与定理，主要利用了根的判别式，一元一次不等式组的解法，函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息理解新定义的运算方法是解题的关键． 16．对于二次函数有下列说法：①如果m=2，则y有最小值3；②如果当x=1时的函数值与x=2018时的函数值相等，则当x=2019时的函数值是3；③如果m>0,则当时y随x的增大而减小，则④如果该二次函数有最小值T，则T的最大值是1，其中正确的说法是 . 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的性质，逐一判定，①首先将m=2代入，然后配方求出顶点式，即可判定最小值；②根据题意，两个函数值相等，即关于对称轴对称，则可判定x=0与x=2019关于对称轴对称，即可得解；③根据函数的增减性，即可得出，即可得解；④由①中得知该函数有最小值，则可得解. 【详解】①当m=2时，y，配方得，则当m=2，则y有最小值1，故①错.②如果当x=1时的函数值与x=2018时的函数值相等，则x=1与x=2018关于对称轴对称，则x=0与x=2019关于对称轴对称，则x=0时，y=3；故②正确，③如果m>0,则当时y随x的增大而减小，则，，m+2，则0<m,故③正确，④由可知该二次函数有最小值为1，则T的最大值为1.故④正确．故正确答案为②③④ 【点睛】此题主要考查二次函数的性质运用，熟练掌握，即可解题. 17．若事件“对于二次函数y=x2﹣2mx+1，当x≤1时，y随着x的增大而减小．”是必然事件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】m≥1 【分析】先算出二次函数的对称轴，然后根据已知条件及二次函数的图象可以得到解答． 【详解】对于二次函数y=x2﹣2mx+1，对称轴为x=m． ∵当x≤1时，y随x的增大而减小， ∴m≥1， ∴实数m的取值范围是m≥1． 故答案为：m≥1． 【点睛】本题考查二次函数、一元一次不等式及概率的综合运用，熟练掌握和理解二次函数图象及其增减性、一元一次不等式解集在数轴上的表示及必然事件的含义是解题关键． 18．如图，二次函数（）的图象过点，且与x轴相交于，两点，其中，．现给出以下结论：①；②；③；④方程的解为，．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断出；由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系；根据对称轴在y轴的右侧，可得a，b异号，从而可得；根据对称轴的位置判断①；根据顶点的纵坐标大于2判断②；根据图象经过点，且和时，判断③；将与联立，判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴相交于，两点，其中，， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点的纵坐标大于2， ∴， ∴，即，故②正确； ∵（）的图象过点， ∴， 由图象知，当时，，当时，， ∴，， 由，，得， ∴， 由，，得， ∴，故③正确； 由，，得， ∴， ∴， ∴方程的解为，．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及到抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点、与一元二次方程的关系等，有一定难度，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 三、解答题 19．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点在点的左侧． (1)若抛物线过点，求实数的值； (2)在（1）的条件下在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，轴对称最短路径的计算的综合，掌握代入求值，待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法是解题的关键． （1）把点代入抛物线即可求解； （2）根据轴对称最短路径的计算方法，先求出对称轴，点的坐标，根据点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，得，此时的值最小，设直线BE解析式为，运用待定系数法即可求解直线解析式，当时即可求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式， ∴， 解得：； （2）解：由抛物线解析式，得对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴连接交对称轴于点， ∴，即，此时的值最小， 设直线BE解析式为， 将与代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 将代入得：， 则． 20．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 (2)或，当时，取得最大值为1000元 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． （2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 21．在函数的学习中，读图能力是一项很重要的基本功.请仔细阅读如图，解决下列问题： （1）函数在 时，有最小值 ； （2）依据（1）的结论，结合换元思想求的最小值，并求函数值最小时的的取值； （3）求函数的最小值. 【答案】（1）1、2；（2）时，有最小值；（3）时，. 【分析】（1）正确的观察图像即可求解； （2）先将变形为，再由（1）的结论即可求解； （3）先将变形为，再由，所以当时，有最小值. 【详解】 解：（1）有图像知，当x=1时，有最小值2， 故答案为1；2； （2） 当时，即时，有最小值 （3） 当时，即时， 【点睛】此题主要考查了读图能力及用换元法求函数最值.正确的将函数解析式变形是解决问题的关键. 22．已知二次函数． (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当时，y的取值范围； (3)若将此图象沿x轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质． （1）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可； （2）根据图象，即可得到答案； （3）根据二次函数的平移法（先转换为顶点式，上加下减、左加右减）则即可直接写出平移后的解析式． 【详解】（1）解：二次函数， 列表得： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 3 4 3 0 … 描点，连线，函数图象如下： ； （2）解：根据图象，可知当时，y的取值范围为； （3）解：将变形为， 此图象沿轴向左平移3个单位，向下移动2个单位， 则即． 23．已知二次函数    (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质． 【答案】(1) (2)见详解 (3)当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 【分析】（1）将二次项和一次项加括号，提出二次项系数，对括号内进行配方，即可求解； （2）列表，描点，连线，即可求解； （3）根据图象写出增减性，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下 0 0 描点、连线，图象如下：    （3）解：由图象得 当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数配方法化为顶点式，画函数图象，二次函数的性质，掌握配方法是解题的关键． 24．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据： v(km/min) 0 1 2 3 4 I 0 2 8 18 32 (1)请根据上表中的数据，在直角坐标系中描出坐标(v，I)所对应的点，并用光滑曲线将各点连接起来； (2)填写下表，并根据表中数据的呈现规律，猜想用v表示I的二次函数表达式； v(km/min) 1 2 3 4 (3)当汽车的速度分别是1.5 km/min，2.5 km/min，4.5 km/min时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？ 【答案】解：(1)如图所示；(2)2v2；(3)4.5，12.5，40.5. 【详解】试题分析：将表（1）里各个数据在直角坐标系里描出，连接各点，形成的光滑曲线就是速度与撞击影响之间的函数图象.从表格里可看出速度与撞击影响的函数表达式为I=2v2;当V=1.5,2.5,4.5时，代入函数表达式中可求得撞击影响. 解：(1)如图所示． (2)由表格得I＝2v2. (3)当V=1.5,2.5,4.5时，I=4.5，12.5，40.5.所以撞击影响分别是4.5，12.5，40.5. 25．根据以下信息，探索完成任务. 如何设计种植方案？ 素材1 某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有、，三种作物的相关信息如表所示.已知5株作物和2株作物的产量共为7千克：10株作物和6株作物的产量共为15千克． 作物 作物 作物 每平方米种植株树（株 2 10 4 单株产量（千克） 1.6 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树.经过实验发现，每平方米种植作物每增加1株，作物的单株产量减少0.1千克.而，单株产量不发生变化． 素材3 若同时种植，，三种作物，实行分区域种植． 问题解决 任务1 确定单株产量 求，的值． 单一种植 （全部种植作物） 任务2 预估种植策略 要使作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植 （种植，，三种作物） 任务3 规划种植方案 设这100平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米的产量最大：有平方米用于种植作物，剩余的全用来种植作物，，均为正整数.当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案． 【答案】（1）的值分别为，；（2）每平方米应种植4株或10株；（3）第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米；第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米． 【分析】本题考查了二元一次方程组，二次函数的实际应用，读懂题意列出关系式是解答本题的关键． （1）根据题意，列出方程组解答即可； （2）根据题意列出，解答即可； （3）根据题意列出关于a、b的关系式，依据a、b取正整数，推出种植方案即可． 【详解】解：任务1：由题意可得：， 解得：， 答：x，y的值分别为，； 任务2：每平方米种植A作物每增加m株， 由题意可得：， 解得：， ， ∴每平方米应种植4株或10株； 任务3：， ∴A作物每平方米的最大产量为千克， 由题意可得：， ， ∵a，b均为正整数， ∴①，②， 共有两种方案：第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米； 第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米． 26．已知抛物线，顶点为． （1）求的值； （2）如图1，若为轴右侧抛物线上一动点，过作直线轴交轴于点交直线于点，设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图2，点为轴正半轴上一定点，点均为轴右侧抛物线上两动点，若，求证：直线经过一个定点． 【答案】（1）；（2）或；（3）见解析 【分析】（1）利用二次函数顶点式，代入顶点即可求解； （2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m去表示P、M点的纵坐标，再利用列出等量关系式即可求解m； （3）作A点关于二次函数对称轴的对称点M，设则，由已知和中垂线定理可得，即可得M、P、B再同一条直线上，设，代入P、M坐标求PM解析式，再联立抛物线解析式，可表示B、M坐标，同理的求直线AB解析式，根据一次函数解析式可知AB恒过． 【详解】解：设 代入上式 在抛物线上，在直线上 解得或或 为轴右侧抛物线上一动点 综上或 取点关于轴的对称点， 抛物线关于轴对称 点在抛物线上． 连 设， 则 三点共线 设 解得 联立直线与抛物线， 得： 代入抛物线 同理可求恒经过定点 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数综合、一次函数的图像性质、图形对称、等腰三角形三线合一等．本题综合性较强，对各涉及知识点掌握要求较高．特别注意两函数交点需满足各函数解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$