第03讲 相似图形与黄金分割（4个知识点+4种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第03讲 相似图形与黄金分割（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2024•高邮市校级模拟）若，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•泰兴市月考）若，则　　． 3．（2022•淮安区模拟）已知，且，求值． 题型二．比例线段 4．（2023•天宁区模拟）在比例尺是的地图上，中山路的长度约为，该路段实际长度约为　　 A． B． C． D． 5．（2023•江都区模拟）已知线段、、，其中是、的比例中项，若，，则线段　 　． 6．（2024•常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 题型三．黄金分割 7．（2024•盱眙县校级开学）点是线段的黄金分割点，且，若，则长度是　　 A． B． C． D．1 8．（2024•邗江区校级三模）如图，顶角是的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若、、都是黄金三角形，已知，则　　． 9．（南京月考）（如图，点将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点为线段的黄金分割点，设，则就是黄金比，并且． （1）以图1中的为底，为腰得到等腰（如图，等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； （2）如图1，设，请你说明为什么约为0.618； （3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成面积为和面积为的两部分（设，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（如图，点是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； （4）图3中的的黄金分割线有几条？ 题型四．相似图形 10．（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 11．（2024•盱眙县校级开学）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 　　． 12．（南通）已知一个面积为的等边三角形，现将其各边为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）． （1）当时，共向外作出了 　　个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 　　； （2）当时，共向外作出了 　　个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为 　　（用含的式子表示）． 分层练习 一、单选题 1．已知，的值是（　　） A． B． C． D． 2．若==2（b+d≠0），则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 3．如，则的值为(    ) A． B． C． D． 4．已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项,若a=9,b=4,则c长(   ) A．18 B．5 C．6 D．±6 5．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 6．在比例尺为的中国地图上，量得某地到北京的图上距离为，那么该地到北京的实际距离为（     ） A． B． C． D． 7．如图，四边形四边形，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E．则（     ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（    ） A．已知：线段，则是比例线段 B．关于的方程是一元二次方程 C．已知点是函数图象上的两点，则 D．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 二、填空题 11．如果，则 ． 12．设，则= ． 13．已知，则 ； ． 14．已知点为线段的黄金分割点，， 且，则 cm． 15．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则 ． 16．已知三条线段的长分别是，，，若再添加一条线段，使这四条线段是比例线段，则这条线段的长为 ． 17．线段a、b、c、d成比例，其中，，，则 ． 18．已知两地的实际距离为800米，画在图上的距离（图距）为2厘米，在这样的地图上，图距为16厘米的两地间的实际距离为 千米． 三、解答题 19．已知，求的值. 20．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 21．已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接． （1）求证：； （2）求的值； 22．如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 23．如图是一块直角三角形木板，其中∠C＝90°，AC＝1.5m，面积为1.5m2．一位木匠想把它加工成一个面积最大且无拼接的正方形桌面，∠C是这个正方形的一个内角． （1）请你用尺规为这位木匠在图中作出符合要求的正方形； （2）求加工出的这个正方形桌面的边长． 24．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 25．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 26．如图，点是坐标原点，点是反比例函数图像上一点，点在轴上，，四边形是平行四边形，交反比例函数图像于点． （1）平行四边形的面积等于______； （2）设点横坐标为，试用表示点的坐标；（要有推理和计算过程） （3）求的值； （4）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 相似图形与黄金分割（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2024•高邮市校级模拟）若，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用比例的性质逐一判断即可． 【解答】解：．因为，所以，，故不符合题意； ．因为，所以，，故不符合题意； ．因为，所以，，故不符合题意； ．因为，所以，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 2．（2024春•泰兴市月考）若，则　　． 【分析】根据已知比例关系，用未知量分别表示出、和的值，代入原式中，化简即可得到结果． 【解答】解：设， 则，，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 3．（2022•淮安区模拟）已知，且，求值． 【分析】利用设法进行计算即可解答． 【解答】解：设， ，，， ， ， ， ， 的值为12． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法进行计算是解题的关键． 题型二．比例线段 4．（2023•天宁区模拟）在比例尺是的地图上，中山路的长度约为，该路段实际长度约为　　 A． B． C． D． 【分析】首先设它的实际长度是，然后根据比例尺的定义，即可得方程：，解此方程即可求得答案，注意统一单位． 【解答】解：设它的实际长度为， 根据题意得：， 解得：， ， 该路段实际长度约为． 故选：． 【点评】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位． 5．（2023•江都区模拟）已知线段、、，其中是、的比例中项，若，，则线段　 　． 【分析】由是、的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长，注意线段不能为负． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以， 解得：，（线段是正数，负值舍去）， 则线段； 故答案为：6． 【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 6．（2024•常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【分析】根据题意得到，，根据，，，得到方程，解方程即可得到结论． 【解答】解：由题意得，，， ，，， ，， 与的比是， ， ， 经检验，是方程的解， ，， 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、． 【点评】本题考查了比例方程，正确地理解题意，列出比例方程是解题的关键． 题型三．黄金分割 7．（2024•盱眙县校级开学）点是线段的黄金分割点，且，若，则长度是　　 A． B． C． D．1 【分析】根据黄金分割的定义得，则，再设，根据得，由此可得，解此方程求出可得的长． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，如图所示： ， ， 设， ， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ． 故选：． 【点评】此题主要考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割的定义是解决问题的关键． 8．（2024•邗江区校级三模）如图，顶角是的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若、、都是黄金三角形，已知，则　　． 【分析】根据黄金比值是计算即可． 【解答】解：是黄金三角形，， ， 是黄金三角形， ， 是黄金三角形， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键． 9．（南京月考）（如图，点将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点为线段的黄金分割点，设，则就是黄金比，并且． （1）以图1中的为底，为腰得到等腰（如图，等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； （2）如图1，设，请你说明为什么约为0.618； （3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成面积为和面积为的两部分（设，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（如图，点是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； （4）图3中的的黄金分割线有几条？ 【分析】（1）类比黄金三角形的定义进行定义； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【解答】解： （1）满足的矩形是黄金矩形； （2）由得，，从而， 由得，， 即， 解得， ， ； （3）因为点是线段的黄金分割点，所以， 设的上的高为，则 ， 直线是的黄金分割线． （4）由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点，则也是黄金分割线，设与交于点，则过点的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条． 【点评】注意线段的黄金分割点的概念的延伸，能够根据黄金分割的定义结合三角形的面积进行分析证明． 题型四．相似图形 10．（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 11．（2024•盱眙县校级开学）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 　　． 【分析】根据两个相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：两个相似三角形的周长比为， 两个相似三角形的相似比为， 两个相似三角形的面积比为， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握两个相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方这一性质是解答的关键． 12．（南通）已知一个面积为的等边三角形，现将其各边为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）． （1）当时，共向外作出了 　　个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 　　； （2）当时，共向外作出了 　　个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为 　　（用含的式子表示）． 【分析】（1）结合图形正确数出前面几个具体值，从而发现等边三角形的个数和等分点的个数之间的关系：是等分点的时候，每条边可以作个三角形，共有个三角形；再根据相似三角形面积的比是边长的比的平方进行计算． 【解答】解：（1）当时，共有个小等边三角形， 每个小三角形与大三角形边长的比， 大三角形的面积是， 每个小三角形的面积为；‘ （2）由（1）可知，当时，共有，每个小三角形的面积为． 【点评】此题要特别注意画等边三角形的时候，必须以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，所以有等分点的时候，一边可以作个等边三角形；计算面积的时候，主要是根据面积比是边长的平方比进行计算． 分层练习 一、单选题 1．已知，的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了等比性质，熟记等比性质是解题的关键． 2．若==2（b+d≠0），则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等比性质即可求解. 【详解】∵==2（b+d≠0）， ∴=2（等比性质）. 故选B. 【点睛】本题主要考查等比性质：如果=，那么. 3．如，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由比例的性质设a=k，b=3k，代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设a=k，b=3k； ∴； 故选：B 【点睛】本题考查了比例的性质；熟练掌握比例的性质是解题的关键． 4．已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项,若a=9,b=4,则c长(   ) A．18 B．5 C．6 D．±6 【答案】C 【分析】根据比例中项的定义列出关系式即可 【详解】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去）， 故选C． 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 5．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长比为， 故选：B ． 6．在比例尺为的中国地图上，量得某地到北京的图上距离为，那么该地到北京的实际距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该地到北京的实际距离为，根据比例尺定义得到比例式，求出x的值，再换算单位即可求解． 【详解】解：设该地到北京的实际距离为， 由题意得 解得 ． 故选：B 【点睛】本题考查了比例线段，理解比例尺的定义是解题关键，本题还要注意单位之间换算． 7．如图，四边形四边形，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为解答即可． 【详解】解：∵四边形四边形 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、多边形的内角和；理解相似多边形的对应角相等是解题的关键． 8．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 9．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E．则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，进然后行判断即可． 【详解】解：A、∵AB∥CD∥MN， ∴，本选项结论不正确； B、∵AB∥CD∥MN， ∴，本选项结论不正确； C、∵AB∥CD∥MN， ∴，， ∴，本选项结论不正确； D、∵AB∥CD∥MN， ∴，本选项结论正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，找准对应关系是解题的关键． 10．下列命题正确的是（    ） A．已知：线段，则是比例线段 B．关于的方程是一元二次方程 C．已知点是函数图象上的两点，则 D．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 【答案】B 【分析】根据比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据线段成比例的定义，线段，，，，有，从而不是成比例线段，该命题错误，不符合题意； B、根据一元二次方程定义，，关于x的方程是一元二次方程正确，符合题意； C、已知点，是函数图像上的两点，结合反比例函数图像的增减性，当时，在每一个象限内，随的增大而增大，因此当时，，该命题错误，不符合题意； D、根据多边形相似的定义，各角都对应相等、且各边都对应成比例的两个多边形是相似多边形，该命题错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题真假判断，比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义等知识，熟记相关定义是解决问题的关键． 二、填空题 11．如果，则 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质把两边丗除以4b即可得到结果． 【详解】解： 两边同除以4b得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 12．设，则= ． 【答案】10 【详解】解：设，得：，．∴==10，故答案为10． 【点睛】本题考查了比例的性质，正确的计算是解题的关键． 13．已知，则 ； ． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴=， =， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知等式得到． 14．已知点为线段的黄金分割点，， 且，则 cm． 【答案】 【分析】如图，点P是线段上的黄金分割点，，则，再代入数据计算即可，熟练掌握黄金分割点的意义是解题的关键． 【详解】解：如图，点P是线段的黄金分割点，且，，   ， 即， 解得． 故答案为：． 15．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，用分数表示为，据此解题． 【详解】∵点是线段的黄金分割点，且， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割点，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．已知三条线段的长分别是，，，若再添加一条线段，使这四条线段是比例线段，则这条线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 设添加的线段的长度为x，然后根据成比例线段分类讨论即可求解． 【详解】解：设添加的线段的长度为， ①当时，时，解得； ②当时，，解得， 经检验，是该分式方程的解； ③当时，，解得（舍去）； ④当时，时，解得， 经检验，是该分式方程的解． 综上，所添线段的长度可为或或． 故答案为：或或 17．线段a、b、c、d成比例，其中，，，则 ． 【答案】1或4或9 【分析】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， 或或， ∴或或， ∵，，， ∴或或， 解得：或或； 故答案为：1或4或9． 18．已知两地的实际距离为800米，画在图上的距离（图距）为2厘米，在这样的地图上，图距为16厘米的两地间的实际距离为 千米． 【答案】6.4 【分析】根据地图上的距离的比值等于实际距离的比值，列比例式即可求解． 【详解】设图距为16厘米的两地的实际距离为x米． 根据题意得到：=， 解得x=6400（米）， 经检验：x=6400是原分式方程的解， 所以图距为16厘米的两地间的实际距离为6.4千米， 故答案为6.4． 【点睛】本题考点：成比例线段. 三、解答题 19．已知，求的值. 【答案】 【分析】令，分别用表示出，再代入求值即可. 【详解】解：令（也可直接等于），则，，， ∴ 【点睛】此题考查的是根据已知比，求分式的值，掌握设参数法是解决此题的关键. 20．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【答案】(1)厘米； (2)元． 【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解； ()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题； 本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米， ∴矩形画框的宽为厘米； （2）解：矩形画框的面积为（平方厘米）， ∴矩形画框的材料成本为元， 答：生产一个该画框所需要的材料成本为元． 21．已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接． （1）求证：； （2）求的值； 【答案】（1）见解析；（2）6：4：5 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）分别求出、、即可解决问题； 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ． （2），， ， ， 在中，，， ， ， 同法可得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 【答案】 【分析】根据题意，得，，继而得到，，列比例式，解答即可． 本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 答：路灯高为． 23．如图是一块直角三角形木板，其中∠C＝90°，AC＝1.5m，面积为1.5m2．一位木匠想把它加工成一个面积最大且无拼接的正方形桌面，∠C是这个正方形的一个内角． （1）请你用尺规为这位木匠在图中作出符合要求的正方形； （2）求加工出的这个正方形桌面的边长． 【答案】（1）见解析；（2）m． 【分析】（1）作CE平分交AB于E，作于G，于F，四边形EFCG即为所求． （2）利用三角形的面积求出BC，设正方形的边长为xm，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出x即可． 【详解】解：（1）如图，正方形EFCG即为所求． （2）设正方形的边长为xm． ， ， ， ∵， ∴∽， ， ， ． 正方形的边长为 【点睛】本题考查作图——应用与设计，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 25．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等： （1）根据图示和等高线的定义求解即可； （2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可； （4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可； （5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可． 【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米， 故答案为：100； （2）， 故答案为：； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为， 故选：G； （4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向， 故答案为：南；东； （5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率， ∴不公平，化学小组被坑了；、 设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下： 设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率． 26．如图，点是坐标原点，点是反比例函数图像上一点，点在轴上，，四边形是平行四边形，交反比例函数图像于点． （1）平行四边形的面积等于______； （2）设点横坐标为，试用表示点的坐标；（要有推理和计算过程） （3）求的值； （4）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）的最小值为． 【分析】（1）如图，作于，设．先证AB=2m，再根据反比例函数的几何意义求出mn=6,然后根据图形即可确定平行四边形的面积； （2）由（1）可得CD=AB=2m，再根据四边形是平行四边形，用m表示出C的坐标，进而得到B的坐标；然后再求出直线BC的解析式，并与联立，即可确定点E的坐标； （3）作轴于，轴于．利用平行线分线段成比例定理列方程求解即可；. （4）由（3）可知，再求出AD的最小值即可． 【详解】解：（1）如图，作于，设. ∵，， ∴， ∵点在上，∴， ∴； （2）由题意， 由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵，， ∴直线的解析式为， 由，解得或（舍弃）， ∴； （3）作轴于，轴于. ∵， ∴； （4）∵ ∴， 要使得最小，只要最小， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质、一次函数的性质等知识，掌握构建一次函数并利用方程组确定交点坐标是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$