第03讲 垂径定理（2个知识点+2种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第03讲 垂径定理（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型强化 题型一．垂径定理 1．（2022•浦东新区校级模拟）如图，中，，截的三条边所截得弦长相等，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•静安区三模）已知、为半径为1的上两点，在线段上，，若，，则关于的数量关系式为 　　． 3．（2023•上海）如图，在中，弦的长为8，点在延长线上，且，． （1）求的半径； （2）求的正切值． 题型二．垂径定理的应用 4．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是　　 A． B． C． D． 5．（2023•长宁区三模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心．已知，，则水箱内水面宽度为 　　． 6．（2022•徐汇区模拟）如图所示，该小组发现8米高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得的长为3米，的长为1米，测得拱高（弧的中点到弦的距离，即的长）为2米，求小桥所在圆的半径． 分层练习 一、单选题 1．如图，点、、、都在上，，，则的度数（    ） A．25° B．30° C．40° D．50° 2．下列关于圆的命题中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③矩形的四个顶点共圆；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴；⑤平分弦的直径一定垂直于这条弦；⑥圆是中心对称图形，对称中心是圆心；⑦相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，在中，弦， cm， cm，则的半径等于（    ） A．7cm B．cm C．49cm D．cm 4．下列命题中，是假命题的是（    ） A．直线不经过第二象限 B．垂直于弦的直径平分弦 C．抛物线与轴有两个交点 D．对角线相等的四边形是矩形 5．如图，在中，是直径，是弦，于，，，则的长为（   ） A．4 B．1 C． D．2 6．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，AE＝CD，若⊙O的半径为5，则弦CD的长为 ． 8．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 9．如图，在中，直径弦于点E，若，，则 ． 10．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，经过圆心且交于点E，于点M，，，则的直径是 ． 11．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为 ． 12．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ．    13．如图，、、为上的点，，连接，交于点，若，，则的长为 ． 14．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 15．如图，的半径为，弦的长为，则由劣弧与弦组成的弓形的高等于 ． 16．一条公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．已知，，那么这段弯道的半径为 ．    17．如图，在平面直角坐标系中，与两坐标轴分别交于点、、，已知：、，则点的坐标为 ． 18．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．    三、解答题 19．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点E，此时测得，求水位线的长． 20．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由．若受影响，那么学校受影响的时间为多少？已知拖拉机的速度为．    21．如图，是一个隧道的截面，如果路面宽为8米，净高为8米，那么这个隧道所在圆的半径的长． 22．横跨东西的临汾锣鼓大桥是中国第一座锣鼓文化景观大桥．如图1，这是该大桥的标志，两个底角均为90°，尺寸（单位：）如图2所示．将形状规则的鼓形放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，E为的中点，请你根据图中的数据求该鼓形的半径． 23．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 24．问题情境：如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图(2)，筒车涉水宽度，筒车涉水深度(劣弧中点到水面的距离)是．筒车开始工作时，上C处的某盛水筒到水面的距离是，经过后该盛水筒旋转到点D处． 问题解决： (1)求该筒车半径r的大小； (2)当盛水筒旋转至D处时，求它到水面的距离． 25．按要求作图 (1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线； (2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形． 26．（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值； （2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 27．在△ABC中，AB=BC，点D为AC的中点，E为BC边上的一点，连接AE交BD于点F． （1）如图1，∠ABC=90°，过点B作BH⊥AE于点H，交AC于点G，当AC=5，DG=CD时，求线段BE的长． （2）如图2，AB=AE，M为线段BE上的一点，连接MD交AE于K，BM=EK，N为MD延长线上的一点，连接AN，∠DAN=∠BAE．证明：AN⊥EN． （3）如图3，∠ABC=60°，AB=6，当E在BC边上移动时，在AC上找点G使得CG=BE，连接BG交AE于点H．连接DH，当DH的长度最小时，直接写出此时△BDH的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 垂径定理（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型强化 题型一．垂径定理 1．（2022•浦东新区校级模拟）如图，中，，截的三条边所截得弦长相等，则　　 A． B． C． D． 【分析】过作于，于，于，连接、、、、，根据垂径定理和已知求出，根据勾股定理求出，可得点是的内心即可解决问题． 【解答】解：过作于，于，于，连接、、、、，设，，与的另一个交点分别为，，． 由垂径定理得：，，， ， ， ， 由勾股定理得：， 即到三角形三边的距离相等， 是的内心， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2024•静安区三模）已知、为半径为1的上两点，在线段上，，若，，则关于的数量关系式为 　　． 【分析】过点作于点，连接，如图，根据垂径定理得到，则，利用勾股定理得到，，所以，然后用表示即可． 【解答】解：过点作于点，连接，如图， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 3．（2023•上海）如图，在中，弦的长为8，点在延长线上，且，． （1）求的半径； （2）求的正切值． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据垂径定理可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据已知可得，再利用平行线分线段成比例可得，从而求出的长，进而求出的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， ， ， 在中，， ， 的半径为5； （2）过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 的正切值为． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型二．垂径定理的应用 4．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是　　 A． B． C． D． 【分析】设圆心为，过点作于点，交于点，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可． 【解答】解：设圆心为，过点作于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， 在中， 即： 解得：， 故选：． 【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．（2023•长宁区三模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心．已知，，则水箱内水面宽度为 　　． 【分析】交于点，如图，设的半径为 ，则，，先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，解得，再根据平行线的性质得到，，则可计算出，然后根据垂径定理得到． 【解答】解：交于点，如图，设的半径为 ，则，， 中，， ， 即， 解得， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用：构建垂径定理的基本图形和灵活运用垂径定理计算弦长是解决问题的关键．也考查了勾股定理的应用． 6．（2022•徐汇区模拟）如图所示，该小组发现8米高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得的长为3米，的长为1米，测得拱高（弧的中点到弦的距离，即的长）为2米，求小桥所在圆的半径． 【分析】根据已知得出旗杆高度，进而得出，再利用勾股定理求出半径即可． 【解答】解：小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米， 米高旗杆的影子为：， 测得的长为3米，的长为1米， ， ． 如图，设小桥的圆心为，连接、． 设小桥所在圆的半径为， ， ． 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， 答：小桥所在圆的半径为． 【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于的等式是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，点、、、都在上，，，则的度数（    ） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【分析】由垂径定理可知，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理．解题的关键在于明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．下列关于圆的命题中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③矩形的四个顶点共圆；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴；⑤平分弦的直径一定垂直于这条弦；⑥圆是中心对称图形，对称中心是圆心；⑦相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据直径概念，等弧的概念，确定圆的条件，圆的对称性，垂径定理及推论等逐项判断． 【详解】解：直径是弦，故①是真命题； 长度相等的弧不一定是等弧，故②是假命题； 矩形的四个顶点共圆，故③是真命题； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故④是假命题； 平分弦不是直径的直径一定垂直于这条弦，故⑤是假命题； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；故⑥是真命题； 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故⑦是假命题； 真命题有①③⑥，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念与定理． 3．如图，在中，弦， cm， cm，则的半径等于（    ） A．7cm B．cm C．49cm D．cm 【答案】A 【分析】连接，作，根据垂径定理可得，进而得出，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，作于点 ，， 在中： 在中： 的半径等于cm 故选：A． 【点睛】本难题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握垂径定理． 4．下列命题中，是假命题的是（    ） A．直线不经过第二象限 B．垂直于弦的直径平分弦 C．抛物线与轴有两个交点 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质、垂径定理、抛物线与轴的交点的判断、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：、直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，本选项说法是真命题； 、垂直于弦的直径平分弦，本选项说法是真命题； 、， 抛物线与轴有两个交点，是真命题； 、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题； 故选：． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及了一次函数、二次函数、垂径定理、矩形的判定等知识点，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．如图，在中，是直径，是弦，于，，，则的长为（   ） A．4 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】连接，利用垂径定理可求出的长，再由勾股定理即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：连接， 是直径，是弦，于，， ， ， ， ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解题的关键是连接，构造出直角三角形，利用勾股定理求解． 6．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC， 则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6， 设OD=x，则OE=16-x， ∵OB=OC， ∴OB2=OC2， ∴22+(16-x) 2=62+x2， 解得x=7， ∴r2=OB2=22+92=85， ∴圆的面积S=πr2=85π， 故选：B． 【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键． 二、填空题 7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，AE＝CD，若⊙O的半径为5，则弦CD的长为 ． 【答案】8 【分析】连接CO，设AE=CD=2a，知CE=a，OE=2a﹣5，由CO2=CE2+OE2得到关于a的方程，解之可得答案． 【详解】如图，连接CO， 设AE=CD=2a， ∵AB⊥CD，AO=CO=5， ∴CE=a，CE=2a﹣5， 在Rt△COE中， 由CO2=CE2+OE2得52=a2+(2a﹣5)2， 解得a=0(舍)或a=4， 则CD=2a=8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 8．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 9．如图，在中，直径弦于点E，若，，则 ． 【答案】40 【分析】连接，根据垂径定理得出，再根据勾股定理求出半径即可进行解答． 【详解】解：连接， 设， ∵直径弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， ∴． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出弦心距，构建直角三角形，根据勾股定理求出半径． 10．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，经过圆心且交于点E，于点M，，，则的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．连接，利用垂径定理求解，设的半径为，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案． 【详解】解：连接． ∵，且经过圆心O， ∴， 在中，设的半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴的直径是． 故答案为：． 11．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为 ． 【答案】8cm 【分析】作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解． 【详解】如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA， ∵，， ∴， ∵直径为26cm， ∴， ， ， 故答案为：8cm． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 12．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ．    【答案】2 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，， ∵是的半径，弦于点D， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 13．如图，、、为上的点，，连接，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，垂径定理．过点作交于点，设，根据圆周角定理可得，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理即可求得，，根据直角三角形两个锐角互余可求得，根据等角对等边可得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理可得，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 设，则， ∵， ， 则， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ，， ， 即， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OA，OC，作OD⊥AC于D，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点． 此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D， ∵∠AMN＝40°， ∴∠AON＝80°， ∵B为弧AN的中点， ∴∠AOB＝∠NOB＝40°， 由对称可知，∠CON＝∠NOB＝40°， ∴∠AOC＝120°， ∵MN＝2 ∴OA＝OC＝1， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OD＝， ， AC＝2CD＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置，求出∠AOC的度数是解决本题的关键． 15．如图，的半径为，弦的长为，则由劣弧与弦组成的弓形的高等于 ． 【答案】2 【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，然后利用勾股定理求出的长，即可获得答案． 【详解】解：根据垂径定理，可得，， 则在中，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键． 16．一条公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．已知，，那么这段弯道的半径为 ．    【答案】 【分析】 此题考查了垂径定理的应用，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，关键是根据定理列出方程．先连接，由垂径定理求出的长，再设，在中，利用勾股定理列出方程，求出的长，即可求出答案． 【详解】 解：连接， 是的中点，与相交于点， ， ， ， 设，则， ， ， 在中， ， ， 解得． 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，与两坐标轴分别交于点、、，已知：、，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】已知A（6，0）、B（﹣2，0），即可得出⊙O'的直径为8，圆心坐标为（2，0），即半径为4，连接O'C．在Rt△CCO'中，OO'=2，CO'=4，根据勾股定理即可得出OC的长度，即得C点的坐标． 【详解】解：根据题意，⊙O'与坐标轴分别交于点A、B，且A（6，0）、B（﹣2，0）， 所以O'（2，0），直径为8， 连接O'C，即O'C=4，OO'=2． 在Rt△COO'中，OC=， 即C点的坐标为（0，）． 故答案为（0，）． 【点睛】本题主要考查了垂径定理结合坐标的应用，是一种常考的类型． 18．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，即， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 三、解答题 19．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点E，此时测得，求水位线的长． 【答案】米 【分析】在中，利用勾股定理求得的长，等于弦的长，即可得解． 【详解】解：∵直径米， （米）， ， ， ， ， ∴设，， ∴在中， ， 解得：， （米）． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． 20．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由．若受影响，那么学校受影响的时间为多少？已知拖拉机的速度为．    【答案】该所中学会受到噪声影响，时间为． 【分析】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理的应用等知识，过点A作，垂足为B，首先得到，以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，然后利用勾股定理得到，然后利用垂径定理求解即可．把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点． 【详解】如图所示，过点A作，垂足为B， ∵，， ∴， ∴该所中学会受到噪声影响， 以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，    ∴， 在中， ， ∴ ． ， ． ∴受影响的时间为． 21．如图，是一个隧道的截面，如果路面宽为8米，净高为8米，那么这个隧道所在圆的半径的长． 【答案】5米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．先根据垂径定理可得经过圆心点，，再设这个隧道所在圆的半径的长为米，则米，米，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：经过圆心点，， 米， 设这个隧道所在圆的半径的长为米，则米， 米， 米， 在中，，即， 解得， 答：这个隧道所在圆的半径的长为5米． 22．横跨东西的临汾锣鼓大桥是中国第一座锣鼓文化景观大桥．如图1，这是该大桥的标志，两个底角均为90°，尺寸（单位：）如图2所示．将形状规则的鼓形放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，E为的中点，请你根据图中的数据求该鼓形的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设圆心为点，连接，交于，则，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆心为点，连接、、，交于，如图， 由题意得：，，为的中点， 则， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 答：该球的半径是． 23．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 【答案】不需要采取紧急措施，理由详见解析. 【分析】连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON＝R−4，OM＝R−18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断． 【详解】设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示 设半径为则 由垂径定理可知， ∵，∴，且 在中，由勾股定理可得 即，解得 ∴ 在中，由勾股定理可得 ∴ ∴不需要采取紧急措施. 【点睛】此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用. 24．问题情境：如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图(2)，筒车涉水宽度，筒车涉水深度(劣弧中点到水面的距离)是．筒车开始工作时，上C处的某盛水筒到水面的距离是，经过后该盛水筒旋转到点D处． 问题解决： (1)求该筒车半径r的大小； (2)当盛水筒旋转至D处时，求它到水面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆的性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）连接，过点作，垂足为，与劣弧交于点，设半径为，得到，根据垂径定理可得，根据勾股定理得出答案． （2）过点作，过点作，根据题意得到，由勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，过点作，垂足为，与劣弧交于点， 设半径为， 即， 由题意得， ， 由根据垂径定理可得， 在中，， 即， 解得． （2）解：过点作，过点作， 筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时， 每秒旋转， 由于经过后该盛水筒旋转到点D处， ， 上C处的某盛水筒到水面的距离是， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， ． 25．按要求作图 (1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线； (2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求； （2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P， 四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求； 四边形ACDE为平行四边形， ， ， 是的角平分线； （2）如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P， 四边形即为所求； 点C是的中点， , ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键． 26．（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值； （2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 【答案】（1）；（2）平方米 【分析】（1）作的外接圆，连接、、，过点作于点，根据等腰三角形的性质得出，设，则，，根据，得，求出，，然后求出结果即可； （2）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，，，求出，在上截取，连接，证明，得出，根据，得出要使四边形的面积最小，只需的面积最小，求出，的外接圆圆心为，连接，，，作于点，根据，得出，求出，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， ， ， ， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由，得， 即， ， ， 面积的最小值为； （2）如图，过点作于点，于点， ， 平分， ， 又， ， ，，， ，均为等腰直角三角形， 且， ， 如图，在上截取，连接， ，，， ， ， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小， ， ， ， ， . 如图，的外接圆圆心为，连接，，，作于点， ， ， ， ， 由题意得，即， ， ， ， ， 新品种郁金香培育基地面积的最小值为平方米. 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 27．在△ABC中，AB=BC，点D为AC的中点，E为BC边上的一点，连接AE交BD于点F． （1）如图1，∠ABC=90°，过点B作BH⊥AE于点H，交AC于点G，当AC=5，DG=CD时，求线段BE的长． （2）如图2，AB=AE，M为线段BE上的一点，连接MD交AE于K，BM=EK，N为MD延长线上的一点，连接AN，∠DAN=∠BAE．证明：AN⊥EN． （3）如图3，∠ABC=60°，AB=6，当E在BC边上移动时，在AC上找点G使得CG=BE，连接BG交AE于点H．连接DH，当DH的长度最小时，直接写出此时△BDH的面积． 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）当点H在OD上时，HD最短，S△BHD=． 【分析】（1）过G作GQ⊥BC，由点D为AC的中点，可求AD=CD=，由DG=CD，可得DG=，GC=，由AB=BC，∠ABC=90°，可得∠BAC=∠C=45°，由AB=BC=AC×sin45°=，GQ⊥BC，∠C=45°，可得GQ=QC=GC×sin45°=，BQ=BC-QC=-=，可证△ABE∽△BQG，可得，求出即可； （2）过点A作AO∥BC交MD延长线于O，可得∠OAD=∠C，先证△AOD≌△CMD（ASA），再证△AKD≌△AON（ASA），可得AD=AN，再证△ADB≌△ANE（ASA），可得即可 （3）过A、B、H三点作圆，连结OA，OB，OC，OD，OC与BD交点为L，当点H在OD上时，HD最短，设圜O的半径为r，根据勾股定理，r2=(r-)2+32,解得r=2，可求OC= 4根据勾股定理逆定理（2）2+62=48=（4）2可得∠OAC=∠OBC=90°，过H作HW⊥OA于W，交CD于V，求出HW=OH×sin∠AOM，HV=3-，利用面积公式求即可 【详解】解：（1）过G作GQ⊥BC， ∵点D为AC的中点， ∴AD=CD= ∵DG=CD， ∴DG=，GC=， ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠C=45°， ∴AB=BC=AC×sin45°=， ∵GQ⊥BC，∠C=45°， ∴GQ=QC=GC×sin45°=， ∴BQ=BC-QC=-=， 又∵BH⊥AE，∠ABC=90°，GQ⊥BC， ∴∠ABE=∠BQG=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠HBE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠HBE， ∴△ABE∽△BQG， ∴即， （2）过点A作AO∥BC交MD延长线于O， ∴∠OAD=∠C， 在△AOD和△CMD中， ， ∴△AOD≌△CMD（ASA）， ∴AO=CM， ∵AB=AE=BC，BM=KE， ∴BC-BM=AE-KE，即AK=MC， ∴AK=AO， ∴， ∵∠DAN=∠BAE． ∴， ∴， ∴， 在△AKD和△AON中， ， ∴△AKD≌△AON（ASA）， ∴AD=AN， 在△ADB和△ANE中， ， ∴△ADB≌△ANE（ASA）， ∴， ∵AB=BC，AD=CD， ∴BD⊥AC， ∴， ∴， ∴AN⊥EN； （3）过A、B、H三点作圆，连结OA，OB， OD，OC与BD交点为L，过C作CM⊥AB与M， 当点H在OD上时，HD最短， ∵△ABC为等边三角形，AB为弦， ∴CM⊥AB，AM=BM=3，点O在射线CM上 ∵CM与BD交点为L，点D与点M分别为AC，AB中点， ∴∠MBL =， ∴ML=BM•tan30°=3， 设⊙O的半径为r，根据勾股定理， ∴r2=(r-)2+32, 解得r=2， ∴OM=OL-ML=2-=， ∵CM=BC×sin60°=3 ∴OC=OM+MC==+3=4， 又∵（2）2+62=48=（4）2， ∴∠OAC=∠OBC=90°， 在Rt△OAD中，由勾股定理OD= 过H作HW⊥OA于W，交BD于V， ∵OA⊥AD，BD⊥AD，HW⊥OA， ∴四边形WADV是矩形， ∴WV=AD=3， ∴HW=OH×sin∠AOM=2×， ∴HV=WV-WH=3-， ∴S△BHD=． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，中点定义，等腰直角三角形，特殊角三角函数，相似三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理定理与逆定理，垂径定理的应用，矩形的判定与性质，掌握中点定义，等腰直角三角形，特殊角锐角三角函数，相似三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理定理与逆定理，垂径定理的应用，矩形的判定与性质，三角形面积，引辅助线构造准确图形，找到点H在OD上时HD最短是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$