24.4 第1课时 几何类问题-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（冀教版）河北专版

“原方程可化为y一y-2=0. 即k的取值范国为k≤5 .(y-2)(y+1)=0. (2)①不存在，理由如下： ·y=2或y=一I(舍去)， 矩形的面积为10， 当y=2时，√x+3z=2. ∴.x1x2=k-1=10,解得k=11, 两边平方，得x2十3x=4. 而k5, .x2+3x-4=0..(x十4)(x-1)=0. 不存在实数k,使得矩形的面积为10。 x1=-4.x2=1. ②存在. ,原方程的解为x1=一4，x=1. 根据根与系数的关系，得x1十x:=4,1xg=一1， :矩形的对角线长为√0· 24.3一元二次方程根与系数的关巢" 即x”+x=(√10)， 【知识梳理·自主学习】 (x1+x)-2r1xg=10, -么 即4一2(k一1)=10.解得k=4,而k≤5，.存在k,使得矩 形的对角线长为10，k的值为4， 【典题变式·突破新知】 典题1解：因为方程x一x一1■0的两实数根为a.b, 24.4一元二次方程的应用 所以a十b=1.ab=一1. (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3. 第1课时几何类问题 e+-- 【知识梳理·自主学习】 变式1一1D L.宽平方高 典题2D 【典题变式·突破新知】 变式2-1A 典题1解：设小路的宽度为工m,那么草坪的总长度和总宽度 变式2-2A 分别为(16-2x)m,(9-r)m. 【阶梯训练·知能检测】 根据题意，得出方程(16一2x)(9一x)=112. 1.B2.D3.A+.B 鲜得x1=1,r:=16. 5.2+√5-1 16>9, 6.15 .x■16不符合题意，舍去 >号 x=1. 答：小路的宽为1m 8.解：设方程的两根为x1,x:, 变式1一1D 对有x1十x2=2(m十1)，x1·x2=m2-2, 典题21 且62-4ac=[-2(m+1)]2-4(m°-2)=8m+12. 变式2-1C (1)2(m十1)=0，得m=一1. 【阶梯调练·知能检测】 1 (2)2(m+10=3.得m=2 1.D2.A 【变式】20 (3)m2-2=1,得m=士√3， 3.B4.B5.5 :当m=-√3时，b2-4ac=一8v3十12<0， 6,解：(1)设剪成的较短的这段为xCm,较长的这段就为(40-一 ∴m=3, x)cm,由题意，得 (4)x十x=8.即(x1十x:)-2x1·r:=8, ()°+(9)=… .[2(m+1)]1-2(m°-2)=8， 解得x1=12,r:=28, 解得m1=0,2=一4. 当r=12时，较长的为40一12=28(cm), :当m=-4时，b2-4ac=一20<0.∴.m=0. 当x=28时，较长的为40-28=12cm<28cm(舍去). (5)一2(m+1)=m2-2, 答：李明应该把铁丝算成长为12cm和28cm的两段. 解符m1=0,m2=一2 (2)李明的说法正确，理由如下： 当m=-2时，b2一4ac=一4<0，∴.m=0. 设剪成的较短的这段为mcm,较长的这较就为(40一m)cm, 9.B10.7 由题意，得 11.(1)4(2)1 12.解：(1)根据题意，得（一4）°一4(k一1)≥0，解得k≤5， ()+(0）)-48, 216 支形为m一40m十416=0， 根据题意，得500(1+x)=720, ,根的判别式（一40）一4×416=一64<0。 解得x1=0.2=20%,x:=一2.2（含去）. 原方程无实数根， 答：第一季度平均每月的增长率为20%. 李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于 (2)720×(1+20%)2=1036.8(t) 48cm. 1036.8>1000. 7.D8.B ,.该厂今年5月份总产量能突破1000t 9.12 8.D 10.解：(1)根据小亮的设计方案列方程，得(52一x)(48一x)= 9.60% 2300. 10.解：(1)参加聚会的人数为5人， 解得x=2或r=98(会去) 每人需和另外4人握手， ,小亮设计方案中前路的宽度为2m (2)知图，作AI⊥CD,垂足为I, 瓶手总长为学-10（次》 52 故答案为10. (2)设参加聚会的有x人，每人需和另外(x一1)人提手，总 报手总就为，D次， 2 :AB∥CD,∠1=60°， 21D=28. 2 .∠AD1=60, 解得x=8或x=一7（不林合题意，会去）， .'BC∥AD. 答：参加聚会的有8人 .四边形ADCB为平行四边形， (3)在线段AB上取点P,,P,,·,P,共有(m十2)个点，每 .BC=AD. 一个，点都和另外(m十1)个点组成线段， 由(1)得x=2, 线段共有m+2)m+D条. .BC=HE=2=AD. 2 在R1△AD1中，根据勾股定理可得AI=√3， :m+2m+D=66, 2 ,小额设计方案中四块绿地的总面积为52×48一52×2一48 解得m=10或m=一13（不符合题意，舍去）， ×2+(w5)=2299(m2). 故答案为10， 第2课时变化率、传播和球赛问题 第3课时销售问题 【知识梳理·自主学习】 【知识梳理·自主学习】 1.a(1士x)°=b (1)单件售价(2)每件利润 2.(1+x)°=a 【典题变式·突破新知】 3.方m+Da+) 典题解：设每件材衣应降价x元 【典题变式·突破新知】 根据题意，得(40一x)(20+2x)=1200, 典题1B 整理，得x2一30r十200=0， 变式1-1B 解得x1=10,x。=20. 典题2解：(1)设每轮传柒中平均一个人传染了x个人，则(1 ”扩大铺售量，减少库存 十x)2=121,解得x=10. .r=10不合题意，含去， 答：每轮传染中平均一个人传柒了10个人， .x=20. (2)121×(1十10)=1331（个）. 答：每件衬衣应降价20元 答：再传兼一轮，总共会有1331个人患上流感. 变式1A 变式2-119 变式260或80 典题311 【阶梯训练·知能检测】 变式3-1B 1.C2.B 【阶梯训练·知能检测】 3.3(x-1)x=6210 1.A2.A3.C4.D 4.(1)39(2)10 5.66.10% 解析：(1)30+3×3=30十9=39（件）. 7.解：(1)设第一季度平均每月的增长率为x. (2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40一x)元，平均每天 217C新导学课时练 数学·九年级·J刀 24.4一元二次方程的应用 第1课时 几何类问题 变式1一1如图，某小区计划在一个长20m, A 知识梳理·自主学习 宽15m的矩形场地ABCD上，修建若干条 1,用一元二次方程解决几何图形问题 同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的 运用几何知识，将所求问题转化为规则图形的 与AD平行，其余部分种草.已知草坪部分 面积，常见的面积关系是长方形的面积=长× 的总面积为234m,设小路宽xm,若x满 ,正方形的面积=边长的 足方程2.x2一35.x十33=0，则修建的示意图 三角形的面积-×底× 是( 2.方案设计问题 现实问题中的方案设计，往往需要用一元二 次方程去解决，解决此类问题的难点是结合 图形寻求问题中的等量关系，同时注意方程 根的检验 B 典题变式·突破新知 知识点1图形面积问题 典题1如图，某小区规划在一个长16m,宽 C D 9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的 名师点骑 小路，使其中两条与AB平行，另一条与 这类题目体现了数形结合的思想，需利用平 AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面 移把不规则的图形变为规则图形，进而列出 积为112m,求小路的宽. 方程，注意方程根的合理性， 知识点2方案设计问题 典题2如图是一张长6cm,宽5cm的矩形 铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全 等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面 积是6cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的 正方形的边长为 cm. 鑫 5 e m 6cm 30 第二十四章一元二次方程 新导学课时练 变式2一1如图，要为一幅长29cm,宽22cm BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小 的照片外部配一个相框，要求相框的四条边 门.若花圃的面积刚好为40m,设AB段的 宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四 长为xm,则可列方程为( 分之一，相框边的宽度应是多少厘米？设相 A.x(22-3.x)=40 B.x(20-2.x)=40 框边的宽度为xcm,则可列方程为( C.x(18-3x)=40 D.x(20-3x)=40 墙长11m 墙 A.(29+2x)(22+2x)=29×22×3 I m 第2题图 变式题图 B.(29-2x)(22-2x)=29×2×3 【变式】如图，要利用一面墙（墙长为25米） 建羊圈，用100米的围栏围成总面积为 C.(29+2x)(22+2x)=29×22× 5 400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则 羊圈的边长AB为 米 D.(29-2)(22-2x)=29×22X8】 3.如图，由10块相同的小矩形地砖拼成面积 一名师点诗 为1.6m的矩形ABCD,则矩形ABCD的 在审题时，寻找题中的关键语句，利用其中 周长是( 隐含的数量关系明确已知量和未知量，从而 列出正确的方程，特别注意要检验方程的解 是否符合设计问题的实际情景， 阶梯训练·知能检测 A.5m B.5.2m C.6m D.6.2m 基础巩固练 4.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方 1.如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花 形木条（长为正方形边长），剩下的面积是 坛四周扩展相同的宽度xm,得到面积为 48m2,则原来这块木板的面积是( 30m2的新长方形花坛，则x的值为( A.100m B.64m C.121m D.144m 4 m 5.如图，某农家乐老板计划在一块长130m, 宽60m的空地开挖两块形状大小相同的垂 钓鱼塘，它们的面积之和为5750m2,两块 A.4.5 B.2 C.1.5 D.1 垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓 2.(教材P49B组T1变式)如图，用长为20m 通道，则垂钓通道的宽度为 m. 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 130m 11m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花 圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 31 C新导学课时练 数学·九年级·J刀 6.李明准备进行如下操作实验，把一根长 A.2s B.3 s 40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连 C.5s或3s D.5s 各围成一个正方形， 9.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 辉的著作，其中有一个数学问题：直田积八 58cm,李明应该怎么剪这根铁丝？ 百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔 (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可 几何？意思是一块矩形田地的面积为864 能等于48cm,你认为他的说法正确吗？ 平方步，只知道它的长与宽共60步，则它的 请说明理由 长比宽多多少步？根据题意可知，长比宽多 步 10.(核心素养·应用意识)要在一块长52m, 宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条 互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖 的设计方案。 (1)求小亮设计方案中甬路的宽度x, 一思维拓展练一 (2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积. 7.如图，某景区内有一块长方形油菜花田地 (友情提示：小颍设计方案中的x与小 (单位：m),现在其中修建一条观花道（阴影 亮设计方案中的x取值相同) 部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长 小亮设计的方案 如图1所示甬路 方形油菜花田地面积的了，设观花道的直角 宽度均为xm.剩余 的四块绿地面积 共2300平方米 边为x,则可列方程为( 图1 A.(10十x)(9+x)=30 10 小颖设计的方案 B.(10+x)(9+x)=60 如图2所示. BC=HE=x,AB∥CD. C.(10-x)(9-x)=30 HG∥EF,AB⊥EF ∠1=60° D.(10-x)(9-x)=60 AD 8.如图，在Rt△ABC中， 图2 ∠B=90°，BC=3cm, AC=5cm,动点P,Q分 A 别从点A,B同时开始运 动（运动方向如图所示），点P的速度为 2cm/s,点Q的速度为1cm/s,点Q运动 到点C后停止，点P也随之停止运动，若使 △PBQ的面积为5cm,则点P运动的时 间是() 032