24.2 第3课时 因式分解法-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（冀教版）河北专版

所以m十m十1的最小值是是 (4)1=-1.6,x:=4. 8.解：(1)由题意，得 27-2r+4r=-2r2+r+7=-2(2-2-） (2m-1)2-4m(m-4)>0, =-2-2+1-1）=---号] 4m-4m+1-4m+16n>0,得m>-2: 诚方程为一元二次方程，加≠0， =-2(x-1)2+9≤9. 1 所以7一2x2十4x的最大值是9， 六当m>一2且m≠0时，方程有两个不相等的实数极。 第2课时公式法 (2)当m=2时，方程为2x2十3x-2=0,这里a=2,b=3,c= -2. 【知识梳理·自主学习】 b2-4ae=9+4×2×2=25>0, 1.(1)b2-4ac(2)不相等相等没有 2.r=-6±V-4a “r--3±v2E-3士5 2×2 4 2a 1 【典题变式·突破新知】 .x1=-2=2 典题1(1)证明：(2a+1)2一8(a-1) 9.B10.B =4a3+4a+1-8a+8 =4a3-4a+1十8 儿一1或2无解 =(24-1》2+8, 12.解：(1)根据题意得25一a=一15+34， (2a-1)2≥0， 整理得a十3a一40=0， .(2a-1)2+8>0, 解得a1=-8,a=5, ∴此方程一定有两个不相等的实数根。 即4的值为一8或5. (2)解：由题意，得(2a一1)°+8=9， (2)根据题意得25-3a2+(-15+9a)=1. .(2a-1)°=1. 整理得a3-3a-3=0. 解得a1=0,ag=1. 解得a,-3+团43二团 a≠1.a=0. 2 2 变式1-1B 即4的值为3+y四或3-V回 变式1-2D 2 2 典题2解：(1)这里a=2,b=一4.c=-1.:b2一4ac=(一4)2 13.(1)解：属于“和谐方程"的是①③. -4×2×(-1)=16+8=24>0. (2)证明：一元二次方程ar2十br十c=0(a≠0)为“和请方 x-生☒2生6 程”， 4 2 :.b=a+c, .b2-4ac=(a+c)P-4ar=(a-c)2≥0， 2=2 .“和瑞方程”总有实数根 (2)原方程可化为x2-r-4=0,这里a=1,b=-1.e■-4， (3)解：”一元二次方程ax十r十c=0(a≠0)为“和瑞 62-4ac=(-1)°-4×1×(-4)=1+16=17>0， 方程”， “r=l生 ∴.b=a+c. 2 :“和谐方程”ar十b.r十c=0(a≠0)有两个相等的实数根， 即x1= 1+7_1-7 .h-4ac 2 2 =(a+c)2-4ac 变式2-1B =(a-c)2=0, 变式2-2D .a=c. 【阶梯训练·知能检测】 1.C2.C3.C4.B 第3课时因式分解法 2 5.k≥-66.9后1 【知识梳理·自主学习】 7.解：(1)x1=4+√17，x1=4-7. 1.(2)(a-b)(a+b)(a±b) (2)原方程无实数根， 2.乘积 【典题变式·突破新知】 (3).x1=1=2 典题1解：(1)因式分解，得x(x一3)=0 214 r=0,或x-3=0,∴x1=0,x,=3. 1山.5或√丽 (2)原方程可变形为(x+1)尸一6(x+1)=0, 12.3或-3 (x+1)(x+1-6)=0, 13.x2+x-(n+1)=0x1=-n-1,xg=1 x+1=0,或x+1-6=0, 解析：由题意，得 ∴.r1=-1,r:=. 第程个方程为x2十nr一(n十1)=0， (3)原方程可变形为(2x-1)-(3一x)2-0, .(x十n+1)(x-1)=0, (2x-1十3-x)(2.x-1-3+x)=0, .x十n十1=0.或x-1=0. (x十2)(3.x-4)=0, ∴.x1=一n-1,xg=1, r+2=0.或3x-4=0. 14.解：(1)24 4 1=-2x=3 (2)①x2-3r-4=0,即(x-4)(x十1)=0， .t一4=0，或x十1=0，∴.x1=4,x:=一1. 变式1一1C ②x2-7x+12=0,即(x-3)(x-4)=0, 变式1-20 ,x一3■0或x一4■0， 典题2解：(1)原方程可化为 .x1=3,x2=4. u-1=是 专题集训一一元二次方程的解法 两边开甲方，得一1=士 1.A2.(1)>1(2)=1(3)<13.A4.9 5 1 所以x1=之：=一交 5.解：1z,=3+E=3-E 2 2 (2)移项，得x十4x=5. 配方，得x2+4x十4=5十4，即(x十2)=9， (2)=-3+T 2 =3-① 2 两边开平方，得x十2=士3. 6.c 解得x1=11。=一5. 7.13 (3)原方程可化为3(x-5)2+2(x-5)=0,(x-5)(3.x-13) 8.解：(1)移项，得2(x一1)-(x一1)=0 =0. 分解因式，得(x一1)(2x-2一1)=0， 得x-5=0我3.x-13=0, x-1=0或2x-2-1=0, 13 1=5,x:=3 3 所以x1=1x:=2 变式2-1D (2)移项，得(3r-2)2-(4-r)=0. 【阶梯训练·知能检测】 分解因式，得[(3x-2)一(4一x)][(3x-2)+(4-x)]=0. 1.D2.A3.C4.B 即(4x-6)(2.x+2)=0, 5.(x+1)(x-2) 所以4r一6=0或2.x十2=0 6.57.1或-3 8.解：(1)第二步， 所以-2=- (2)正确的解答过程如下： 9.D 移项.得(x十3)(x-3)-2(x-3》=0, 10.解：(1)x1=99,x:=-101. 将左边因式分解，得(x一3)(x十1)■0， (2)方程没有实数解， 则x一3=0，或x十1=0： 解得x1=3,x。=-1. 63+-3 2 9.解：(1)a=1,b=-3,c=1. 3 ④)x=2x=4. b2-4ae=(-3)2-4×1×1=5>0, 11.解：(1)设x2=1,则原方程可变形为t一51十6=0. “r=二（-3)±5 2×1 即，3+ 2-3-6 2 .(t-2)(1-3)=0. .1=2或1=3. (2)直接开平方，得x一1=士√3. 当x2=2时，1=2，x1=-√反： ∴.x1=1+3,x=1-3. (3)因式分解，得(x一1)(x一1+2)=0，脚(x一1)(x+1)=0, 当x=3时x=5x,=一V5, x1=1,xg=一1. .原方程的解为x1=√2，x:=一√2，x1=V3·x1=一3. 10.C (2)设√T+3.r-y(y≥0)，则x2+3x=y. 215第二十四章 一元二次方程 新导学课时练3 第3课时 因式分解法 变式1-1 用因式分解法把方程5y(y-3)= 知识梳理·自主学习 3-y分解成两个一次方程,正确的是( A 1.分解因式的方法 A.y-3-0,5y-1-0 (1)提取公因式法 B.5y-0,-3-0 (2)公式法: C.5v+1-0,-3-0 平方差公式:a{-^{}= D.5y-1,y-3-3-y 完全平方公式;a^{}士2ab十b{}= 变式1-2 小华在解方程x^}-7x时,只得出 (3)x^{}-(a十b)x十ab型的因式分解. 一个根x一7,那么被他漏掉的一个根是 2.因式分解法 把一元二次方程的一边化为0,另一边分解 名师点晴 成两个一次因式的 ,进而转化为两 运用因式分解法时,要清楚ab一0的条件是 个一元一次方程,从而求出原方程的根,这 a一0或b一0.(注意此方法特殊性) 种解一元二次方程的方法叫做因式分解法, 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 温馨提示:在用因式分解法解一元二次方程 典题2 请用适当的方法解下列方程: 时,一定不能将方程的两边同时约去含未知 (1)4(x-1)-9. (2)r+4x-5-0 数的代数式. 典题变式·突破新知 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 典题1 用因式分解法解下列方程 (3)3(x-5)-2(5-x). (1)x?-3x-0. (2)(x+1)*-6x+6 变式2-1 解下列方程:①x-7=0,②2x*} -x-2-0,③(x+1)=2x(x+1)时,解法 选择较为恰当的是 _ (3)(2x-1)-(3-x)。 A.全部用公式法 B.全部用配方法 C. ①用直接开平方法,其余都用公式法 D.分别用直接开平方法、公式法、因式分 解法 &新导学课时练 数学·九年级·1] 名师点 7.(新定义)规定;a⑧b一(a十b)b,如;2⑧ 解一元二次方程的方法有四种,一般按照先 -(2+3)×3-15.若2x-3,则x的值 特殊,后一般的顺序选择,考虑的顺序是直 为 接开平方法→因式分解法→公式法→配方 8.(核心素养·推理能力)在解方程x一9 法,没有特殊要求,配方法一般不用,因为配 2(x一3)时,嘉淇同学的解答如下; 方法解方程比较麻烦,适用于二次项系数是 将方程左边因式分解,得(x十3)(x一3) 1的方程,但配方的方法要熟练掌握 2(x一3)....第一步 方程两边都除以(x一3),得x十3一2...·第 阶梯训练·知能检测 二步 --基础巩固练 解得x三一1...第三步 ) (1)已知嘉淇同学的解答是错误的,开始出 1.方程(x-2)(x十3)=0的解是( 现错误的步骤是 A.v-2 B.--3 (2)请给出正确的解答过程. C.x--2,x-3 D.x-2,x。=-3 2.一元二次方程(x十1)(x+2)=2的解是( -% A.x-0,x--3 B.x--1.r--2 C.x-1,x。-2 D.x.-0.r。-3 3.下列关于方程9(x+1){}-4(x-1)}-0的 解法正确的是( ) A.直接开平方,得3(x+1)=2(x-1 B.化为一般形式13x*}+5-0 C.分解因式,得[3(x+1)+2(x-1)][3( +1)-2(x-1)]-0 D.直接得x+1-0或x-1-0 4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元 二次方程x*-6x十8-0的根,则该三角形 的周长为( ) C.8或10 A.8 B.10 D.12 5.关于x的一元二次方程x^}十bx十c=0的两 根为x=-1,x-2,则x^{}+bx十c可分解 为 6.已知a,b为实数且满足(a^{②}十b^{})②}-(a}十 ^)-20-0,则a十^{}的值为 -24 第二十四章 一元二次方程 新导学课时练5 9.用适当的方法解下列一元二次方程 13.观察下列一元二次方程,并回答问题; (1)x-3x+1-0. 第1个方程:x{十x-2-0; 第2个方程:x+2x-3-0; 第3个方程;x^②}+3x-4-0; 第4个方程:x②+4x-5-0; ..... 直接写出第”个方程为 第n个方程的解为 (2)(x-1)-3 14.阅读下列材料,解答问题 由多项式乘法:(x十a)(x十b)三x{}十(a十 b)x十ab,将该式从右到左使用,即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的因式:x^{}士 (a十b)x十ab-(r十a)(x十b). 【示例】分解因式:x+5x十6=x+(2+ 3)x+2×3=(x+2)(x+3). (1)分解因式:x2+6x+8=(x十)(x (3)(-1)+2(x-1)-0 十_). (2)应用;请用上述方法解下面的方程; ①r?-3x-4-0; ②x-7x+12-0. 思维拓展练 10.如果x{-x-1-(x十1){},那么x的 值为( A.2或-1 B.0或1 C.2 D.-1 11.(分类讨论思想)已知一个直角三角形的两 条边长恰好是方程(x-2)*十2-x-0的 两根,则它的第三条边长为__. 12.(新定义)定义符号maxa,b的含义为:当 ab时,maxa,b=a;当a b时,maxa $ -b,如:max3.1-3,max-3.2 -2,则 方程maxx,-x-x-6的解是 2