24.1.2 垂直于弦的直径-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

【综合演练·应用提升】 1.D2.D3.C4.C5.25° 6.解：d=b.理由如下： 连接ON,O)A,如图， :点A,N在半圆上， 【综合演练·应用提升】 ∴.ON=OA. 1.C2.②④⑥或①⑧则 四边形ABOC,DNMO均为矩形， 3.解：(1)如图1，线段AM即为所求. .ON=MD,OA=BC..BC=MD,a=6. (2)如图1,2,3,4，点D以及对称轴.（答業不唯一） 24.1.2垂直于弦的直径 【知识梳理·自主学习】 1.无数直径2.(1)平分平分(2)平分平分 【知识要点·多维突破】 1.D2.A3.D+.B【变式】A5.C6.(6,0) 图1 图2 7,(1)证明：AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD, ,CH=DH,,AB垂直平分CD,,BC=BD (2)解：连接OC(图略)，，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB ⊥CD,CD=6 “CH=3,.O0=√OH+CH=√②+3=√13 图3 即⊙O的半径长为√13 4.解：()图形如图所示： 8.D9.4 ☒ 10.解：哥形标志牌的半径为5dm. 向左行驶 11.7或17 〗 向右行驶 【综合演练·应用提升】 1.B2.B3.C (2)AB∥A'B'.AB=A'B 4解：根据题意可以建立圆中垂径定 第二十四章 圆 理的模型如图： AC=60cm,BD=10cm,设半径为 24.1圆的有关性质 r cm. 24.1.1圆 OB⊥AC, 【知识梳理·自主学习】 AD= 2AC=30 cm. 1.一周圆心半径 在R1△ALDO中，AD+OD=OA, 2.(1)线段圆心(2)圆弧半圆(3)重合互相重合 可得30+(r-10)2=r2, 【知识要点·多维突破】 解得r=50. 1.C2.A3.A【变式】B4.D5.D 答：大理石球的半径为50cm 6.57.(8,0),(-2,0) 5,解：过点O作OH⊥EF于点H,连 8.解：答案不唯一（任逸3组）. 接OF,如图，则EH=FH. 相苹的角有：∠OAB=∠OBA,∠(CD=∠(ODC,∠ACOC 在Rt△AOH中，AO=AD+OD= =∠BOD,∠AOD=∠BOC,∠ACO=∠BDO. 相等的线段有：OA=OB,OC=OD,AC=BD,AD=BC 242 3+5=8cm∠A=30,则0H=20A=4(em. :∠BEC=∠A+∠ABE.∠ABE=70°-40°=30°， DE的度敦为30， 在Rt△OHF中，OH=4cm.OF=5cm, 11.D ,.HF=√OF-OH=3(cm).则EF=2HF=6cm. 【综合演练·应用提升】 .线段EF的长是6cm 1.A2.Λ3.C4.65.①② 6解：设圆孤所在圆的圆心为O,连接OA,A',设半径为xm: 6.证明：连接OC(图略)，，AD=BE,OA=OB,.OD=OE C是AB的中点.AC=BC.∠AOC=∠BOC OC=OC,∴.△DCO≌△ECO(SAS)..CD=CE. 7.解：AE=BF=CD.理由如下： 荆OA=OA'=OP, 如图，连楼AC 由垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N ∠AOB=90°，C,D为AB的三等分点 AB=60m,∴.AM=30m,且OM=()P-PM=(x ∠AOC=∠BOD=3∠AOB= 3 18)m. 90°=30°. 在R△AOM中，由为股定理可得AO=(OM+AM, OA=OB.∴.∠OAB=∠OBA=45'. 即x=(x-18)十302，解得x=34, ∴∠AEC=∠OAE+∠AOE=45+30"=75. ∴.ON=OP-PN=34-4=30(m). ￥0A=0,∠A0C=30°， 在Rt△A'ON中，由勾股定理可得A'N=√OA“-ON ∠ACE-2180-∠A0C)=75. =√/31-30=16(m), ∴.A'B'=32m>30m, ∠AEC=∠ACE,AE=AC. ∴不需委采取紧急措范 AC=CD,..AC=CD...AE=CD. 24.1.3弧、弦、圆心角 ∠OAE=∠OBF, 在△AEO和△BFO中，OA=OB, 【知识梳理·自主学习】 ∠AOE=∠BOF. 1,(1)中心对称(2)圆心 .△AEO2△BFO(ASA)..AE=BF..AE=BF=CD. 2.(1)弧弦(2)相等相等(3)相等相等 8.(1)证明：连接OE,CE,如图， 【知识要点·多维突破】 1,B2.C3.75°4.A5.B6.37.30°8.8x 9,证明：连接O,如图 OE=OC. ∠C=∠E. 'CE∥AB, (0C⊥AB.∴∠AOC=90°， ∴.∠C=∠BOC. CE=2AE,.∠C0OE=2∠AOE,∴∠COE=60 ∠E=∠AOE, 而OE=OC,,△OE为等边三角形. ∴∠BC=∠AOE,BC=AE .DE//AB.OC LAB...DE LOC...CD=OD. 10.解：连接BE,如图， (2)解：：⊙0的直径是4， 'AB=AC,∠A=40°， .OF=OC=CF=2.CD=OD=1. ∠A=∠C-=z180-∠A)=z 在Rt△ODE中，DE=√②-1下=3， (180°-40)=70 在R:△EFD中，EF=√DE+DF=√(W3)+3= BE=BC,∴.∠BEC=∠C=70. 23. 243-第二十四章圆 新导学课时练) 24.1.2 垂直于弦的直径 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 A 知识梳理·自主学习 E,若AB=10,AE=1,则弦CD的长 1.圆的对称性 是( 圆是轴对称图形，它的对称轴有 条，任何一条 A.5 所在的直线都是它的 对称轴。 B.6 2.垂径定理及推论 C.7 (1)垂直于弦的直径 弦，并且 D.8 弦所对的两条弧· 【变式】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ (2) 弦（不是直径）的直径垂直于 AB,垂足为E,若BE=CD=8,则⊙O的半 弦，并且 弦所对的两条弧 径的长是( 【温馨提示】“平分弦的直径垂直于弦”是假 A.5 命题 B.4 B 知识要点·多维突破 C.3 知识点一 圆的对称性 D.2 1.圆的对称轴有( ) 5.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P A.0条 B.1条 为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范 C.2条 D.无数条 围是( 2.下列结论正确的是() A.3≤OP≤5 A.经过圆心的直线是圆的对称轴 B.4<OP<5 B.直径是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 C.4≤OP≤5 D.与直径相交的直线是圆的对称轴 D.3<OP<5 知识点二垂径定理及其推论 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足 0 为M,下列结论不成立的是( P B A.CM-=DM 第5题图 第6题图 B.CB=DB 6.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A, C.∠ACD=∠ADC B两点，点P的坐标为(4,4)，点A的坐标 D.OM=MD 为(2,0)，则点B的坐标为 79●2 C新导学课时练 数学·九年级（全）·RJ 7.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥ 10.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A,B,C CD,垂足为H,连接BC,BD 在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测 (1)求证：BC=BD. 得AB=8dm,DC=2dm,求圆形标志牌 (2)已知CD=6,OH=2,求⊙O的半径长 的半径. 恋礼让 我点赞 名师点特 垂径定理常作的辅助线： 一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦 的一端（即半径），这样把半径、圆心到弦的 距离、弦的一半构建在一个直角三角形中， 运用勾股定理求解。 名师点晴 应用垂径定理解决实际问题时，常连接半径 知识点三垂径定理及其推论的应用 或作垂直于弦的半径（或弦心距），构造出直 8.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为 角三角形，然后利用勾股定理列出方程，解 8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB 方程求出未知线段的长度. 为(） A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m 易错点用垂径定理求解时考虑不全面 11.AB,CD是直径为26的⊙O中的两条平行 弦，且AB=10,CD=24,则这两条平行弦 之间的距离为 A DB 第8题图 第9题图 易精提醒 利用垂径定理求解无图的计算问题时，要考 9.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的 半径OB=10,水面宽AB=16,则排水管中 虑多解的可能性，必要时画出图形帮助求 解，防止漏解 的水最深是 980 第二十四章圆 新导学课时练) 5.如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取 C 综合演练·应用提升 AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作 【能力提升】 ⊙O交射线AP于E,F两点，求线段EF 1.如图，在△ABC中，已知 的长 ∠ACB=130°，∠BAC= 20°，BC=2,以点C为圆 心，CB为半径的圆交AB于点D,则BD的 A D B 长为( ) A.5 B.23 C.3 3 D.4 2.(广西中考)赵州桥是当今世界上建造最早， 保存最完整的中国古代单孔散肩石拱桥.如 图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为 7m,则赵州桥主桥拱半径R约为( -37m 【素养闯关】 6.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为 60m,拱高PM为18m,当洪水泛滥到跨度 只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪 A.20mB.28m C.35m D.40m 水中，拱顶离水面只有4m,即PN=4m 3.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的 时，试通过计算说明是否需要采取紧急 弦，AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则 措施. AC的长为( A B A.2,√5cm B.45 cm C.2√5cm或4v5cmD.2√3或4v3cm 4.文化广场周围有一些大理石球.小明想知道 其中一个球的半径，于是找了两块厚10cm 的砖塞在球的两侧（如图），并量得两砖之间 的距离是60cm.请你利用所学的几何知识， 求出大理石球的半径（要写出计算过程）. 81