27.2-27.3相似三角形的性质以及位似 讲义 2024-2025学年人教版数学九年级下册

2024-2025学年九年级数学上学期同步复习讲义（下册）（人教版） 授课主题 相似三角形的性质、位似 教学目标 1、了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段； 2、掌握相似多边形的判定。 教学重难点 重点：两个三角形相似的概念，两个三角形相似的条件； 难点：相似三角形的判定以及应用。 教学内容 相似三角形的性质、位似 爱思课堂——有趣 知识点一：相似三角形的性质 （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例． （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． （3）相似三角形周长的比等于相似比． （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点二：位似 1、位似图形的概念 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 2、位似图形的性质 （1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） （3）对应线段平行或者在一条直线上． 3、基本模型 考点一：利用相似三角形的性质求角度 【例1】已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵△ABC~△DEF， ∴∠A＝∠D＝50°， ∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例． 【变式1-1】如图，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（    ） A．32° B．48° C．64° D．86° 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°， ∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD， ∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2（180°-31°-117°）=64°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 【变式1-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（　　　） A．135° B．90° C．60° D．45° 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出． 【详解】解：∵△ABC∽△EDF， ∴∠BAC＝∠DEF， 又∵∠DEF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系． 考点二：利用相似三角形的性质求线段长度 【例2】如图，在中，，，是的中点，在上取一点，使∽，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是的中点可求得，根据三角形相似的性质可得，可得的长即可求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， 又∵∽， ，即， 解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键． 【变式2-1】如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件得到＝，即可得到EF＝2BC＝2，问题得解． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2， ∴＝， ∴EF＝2BC＝2． 故选：B 【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键． 【变式2-2】已知，△ ABC的三边长分别为，，3，△ DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为______． 【答案】 【分析】先求得相似比，再列式计算求得 【详解】设△ DEF的第三边长为x， 且△ ABC的三边长分别为，，3， △ DEF的其中的两边长分别为1和， ∴， ∴ x＝， ∴ △ DEF的第三边长为 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键． 考点三：利用相似三角形的性质求面积 【例3】若，与的面积比为，则与的对应边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比即可． 【详解】解：∵且与的面积比为 ∴它们的相似比为5：6． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键． 【变式3-1】与的位似比是，已知的面积是3，则的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可． 【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4， ∵△ABC的面积是3， ∴△A′B′C′的面积是12， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式3-2】把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍． 【答案】9 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可． 【详解】解：∵把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍， ∴面积扩大为原来的9倍， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能正确运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比． 考点四：利用相似三角形的性质求周长 【例4】已知，其中，，，，那么的周长是______． 【答案】 【分析】根据两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，即可解出的周长． 【详解】∵ ∴相似三角形的周长比等于相似比 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的周长比等于相似比． 【变式4-1】已知，且．若的周长是，那么的周长是________cm． 【答案】9 【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵， ∴的周长：的周长＝＝2：1， ∵的周长是18cm， ∴的周长是9cm． 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相似比． 【变式4-2】如图，在△ABC和△DBE中，＝＝，且∠DBA＝∠CBE． （1）若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长； （2）若△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积． 【答案】解：（1）设DE与BC相交于点F， ∵∠DBA＝∠CBE， ∴∠BDA+∠DBF＝∠CBE+∠BDF， ∴∠ABC＝∠EBD， ∵＝＝， ∴△ABC∽△BDE， ∴△ABC的周长：△DBE的周长＝5：3， ∴△ABC的周长＝△DBE的周长， ∵△ABC和△DBE的周长之差为10cm， ∴△ABC的周长﹣△DBE的周长＝△DBE的周长＝10， ∴△DBE的周长＝15cm， ∴△ABC的周长＝25cm； （2）∵△ABC∽△BDE， ∴＝（）2＝， ∴S△ABC＝S△BDE，∵△ABC和△DBE的面积之和为170cm2， ∴S△BDE＝170，∴S△DBE＝45cm2． 考点五：利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例 【例5-1】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． （1）求证：； （2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）10 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据相似三角形的判定定理证明，进而解答即可； （2）根据相似三角形的相似比得出，再利用勾股定理求解． 【详解】证明：（1）由折叠的性质可知，， ，又， ，又， ， ； （2）OP与PA的比为1：2， ， 设，则，，， 在中，，即， 解得，，即． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等． 【例5-2】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，求证：AC2＝AB•AD． 【答案】证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴AC2＝AB•AD． 【变式5-1】如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且． 求证：； 【答案】见解析 【分析】由可知，结合，判定即可得证． 【详解】证明：， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 【变式5-2】如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：BD2＝AD•CD； （2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长． 【答案】证明：（1）∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD∽△BCD ∴ ∴BD2＝AD•CD （2）∵BM∥CD ∴∠MBD＝∠BDC ∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90° ∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA ∴BM＝MD＝AM＝4 ∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝48， ∴BC2＝BD2﹣CD2＝12 ∴MC2＝MB2+BC2＝28 ∴MC＝2 ∵BM∥CD ∴△MNB∽△CND ∴，且MC＝2 ∴MN＝ 【变式5-3】如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA． （1）求证：∠AOC＝2∠ABC； （2）求证：CD2＝OD•BD． 【答案】证明：（1）连接AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC． ∵O是BD上一点， ∴OA＝OC． ∵OC＝OD，∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD． ∴∠BOC＝∠ODC+∠OCD＝2∠ODC． 同理：∠AOB＝2∠ADO， ∴∠AOC＝2（∠ADO+∠ODC）＝2∠ADC． 又∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠AOC＝2∠ABC． ∴∠AOC＝2∠ADC， 又∵∠ADC＝∠ABC，∴∠AOC＝2∠ABC． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD． ∴∠BDC＝∠CBD． 由（1）得∠ODC＝∠OCD， ∴∠OCD＝∠DBC． 在△CDO和△BDC中 ∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD ∴△CDO∽△BDC． ∴＝，即CD2＝OD•BD． 考点六：相似三角形的应用 【例6】如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB． 【答案】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D ∴△DEF∽△DCB ∴， ∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m， ∴， ∴BC＝7.5米， ∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米． 【变式6-1】如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．    【答案】 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴至少要将杠杆的点向下压， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键． 【变式6-2】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴CD=3， 经检验，CD=3是所列方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键． 考点七：位似图形的相关概念 【例7】下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行 ∴①②③④能使得是位似图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【变式7-1】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义判断即可. 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形. 故选B. 【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形. 【变式7-2】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 【变式7-3】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：位似属于相似， A对 由位似可知： B对 C对 的相似比为 D错 故选D 【点睛】本题考查了位似的性质，熟记位似的所有性质是解题的关键． 【变式7-4】如图，△ABC的三个顶点A（1，2）、B（2，2）、C（2，1）.以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是（    ） A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+ C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是（6，6） 【答案】C 【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可. 【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确； B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=，所以△ABC的周长为2+，由周长比等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+，故B正确； C. S△ABC=,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即，故C错误； D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确； 故选C. 【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键. 考点八：格点中作位似图形 【例8】如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：    （1）作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； （2）作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解， 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，再结合网格坐标，可得出的坐标； （2）根据与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，连接并延长至D点，使得，连接并延长至E点，使得，连接并延长至F点，使得，依次连接D、E、F点即可得，问题随之得解． 【详解】（1）如图，      即为所求， 结合图形，点的对应点的坐标为：； （2）如图，      即为所求， 结合图形，点的对应点的坐标． 【点睛】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B（1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为、、，且的坐标为（4，2）． （1）请在所给平面直角坐标系第一象限内画出； （2）分别写出点、的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）点的坐标为（2，6），点的坐标为（8，2） 【分析】（1）利用点A和点的坐标确定位似比为2，然后可得点、的坐标，再描点、连线即可； （2）根据所作图形，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可得，点的坐标为（2，6），点的坐标为（8，2）． 【点睛】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 【变式8-2】如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． （1）以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． （2）证明和相似． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可； （2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）证明：小正方形边长为1， ∴，，，， ，， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． 考点九：求位似图形的坐标 【例9】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意可得，如图：过A作轴于C，再根据等边三角形的性质可得，即可确定点，再根据题意可得与位似为2比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边三角形的顶点， ∴， 过A作轴于C，    ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍， ∴与位似比为2比1， ∴点A的对应点的坐标是或． 故选：D． 【点睛】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 【答案】A 【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系， ∴△ACB∽△CED， ∵相似比为1：3， ∴，即 ， 解得，DE＝6， ∵△CED为等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝6， ∵BC∥DE， ∴△OCB∽△OED， ∴ ，即， 解得OC＝3， ∴OE＝OC+CE＝3+6＝9， ∴点D的坐标为（9，6）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键． 【变式9-2】如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为（    ） A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7） 【答案】B 【分析】建立以C为坐标原点的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：若以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则点A在新坐标系中的坐标为（-1，3）， ∵△ABC与△A'B'C'以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，把△ABC的边长放大为原来的2倍， ∴点A'在新坐标系中的坐标为（1×2，-3×2），即（2，-6）， 则点A'的坐标为（1，-7）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、平移的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 1、如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为（　　） A． B． C． D．1 【解题思路】结合矩形的性质证明△BAE∽△CEF可求得CF的长，再利用DF＝CD﹣DF可求解． 【解答过程】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△BAE∽△CEF， ∴AB：CE＝BE：CF， ∵E是BC的中点，BC＝6， ∴BE＝CE＝3， ∵AB＝4， ∴4：3＝3：CF， 解得CF， ∴DF＝CD﹣DF＝4． 故选：B． 2、如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若，DE，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由DE∥BC，得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，故△ADE∽△ABC，进而推断出．由，DE，故可求出BC． 【解答过程】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． ∴△ADE∽△ABC． ∴． 又∵， ∴AE． ∴． ∴BC． 故选：A． 3、如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据相似三角形的性质解答即可． 【解答过程】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE， ∴， ∴， 故选：B． 4、如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（　　）m． A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5 【解题思路】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解． 【解答过程】解：在△DEF和△DCB中， ∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°， ∴△DEF∽△DCB， ∴， 即， 解得：BC＝78（m）， ∵AC＝1.8m， ∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m）， 即树高79.8m， 故选：C． 5、如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 【解题思路】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得﹣2•x＝4，﹣2•y＝﹣2，由此求得点B的坐标． 【解答过程】解：设点B的坐标为（x，y）， 因为点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2）， 所以根据位似变换的坐标特点得﹣2•x＝4，﹣2•y＝﹣2， 即x＝﹣2，y＝1，故点B的坐标为（﹣2，1）． 故选：C． 6、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 【解答过程】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，， ∴， 则（）2＝（）2， 故选：D． 7、我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们 可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 　 　尺． 【解题思路】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【解答过程】解：设BC＝x尺． ∵四边形BCDE是矩形， ∴BF∥CD， ∴△AFB∽△ADC， ∴， ∴， 解得x＝57.5， 经检验：x＝57.5是分式方程的解． ∴BC＝57.5（尺）． 故答案为：57.5． 8、如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　 　米． 【解题思路】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可． 【解答过程】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB， 则BE＝BC+CE＝10米， ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EBA ∴，即， 解得AB＝9（米）， 即路灯的高AB为9米； 故答案为：9． 9、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′的顶点的横、纵坐标都是整数．若B（5，2），△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是　 ． 【解题思路】根据位似图形的主要特征：每对位似对应点与位似中心共线画图解答． 【解答过程】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0）， 所以位似中心的坐标为（8，0）． 故答案为：（8，0） 10、如图，∠1＝∠2，，求证：∠C＝∠D． 【解题思路】根据∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，结合，证明△BAC∽△EAD，再根据相似三角形的性质即可得到∠C＝∠D． 【解答过程】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE， ∴∠BAC＝∠EAD， ∵， ∴△BAC∽△EAD， ∴∠C＝∠D． 11、已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′的周长． 【解题思路】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形周长的比等于相似比列出比例式，计算即可求解． 【解答过程】解：△ABC的周长为：3+4+5＝12， 设△A′B′C′的周长为x， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴， 解得x＝28． 故答案为：28． 12、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？ 【解题思路】先证明△ABD∽△ECD，利用对应边成比例可求出AB的长度． 【解答过程】解：由已知得，∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△ECD， ∴， 将BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，代入可得：， 解得：AB＝150． 答：小河的宽是150m． 13、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ． 【解题思路】根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可． 【解答过程】解：根据题意得出：QR∥ST， 则△PQR∽△PST， 故， ∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m， ∴， 解得：PQ＝90（m）， ∴河的宽度为90米． 14、如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1）（2，1）． （1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形； （2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； （3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标． 【解题思路】（1）利用位似变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可． （2）根据B′，C′的位置，写出坐标即可． （3）探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答过程】解：（1）如图，△OB′C′即为所求． （2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）． （3）M′（﹣2x，﹣2y）． 15、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（1，2），C（4，1），点E坐标为（1，1）． （1）画出将△ABC向左平移5个单位长度的△A1B1C1； （2）画出和△ABC以点E为位似中心的位似图△A2B2C2，△A2B2C2和△ABC位似比为2：1，且位于点E的两侧． （3）直接写出A2、B2、C2三个点的坐标． 【解题思路】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （3）根据点的位置确定坐标即可． 【解答过程】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作． （2）如图，△A2B2C2即为所求作． （3）由图可知：A2（﹣3，﹣3），B2（1，﹣1），C2（﹣5，1）． 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期同步复习讲义（下册）（人教版） 授课主题 相似三角形的性质、位似 教学目标 1、了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段； 2、掌握相似多边形的判定。 教学重难点 重点：两个三角形相似的概念，两个三角形相似的条件； 难点：相似三角形的判定以及应用。 教学内容 相似三角形的性质、位似 爱思课堂——有趣 知识点一：相似三角形的性质 （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例． （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． （3）相似三角形周长的比等于相似比． （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点二：位似 1、位似图形的概念 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 2、位似图形的性质 （1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） （3）对应线段平行或者在一条直线上． 3、基本模型 考点一：利用相似三角形的性质求角度 【例1】已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【变式1-1】如图，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（    ） A．32° B．48° C．64° D．86° 【变式1-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（　　　） A．135° B．90° C．60° D．45° 考点二：利用相似三角形的性质求线段长度 【例2】如图，在中，，，是的中点，在上取一点，使∽，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】已知，△ ABC的三边长分别为，，3，△ DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为______． 考点三：利用相似三角形的性质求面积 【例3】若，与的面积比为，则与的对应边的比是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】与的位似比是，已知的面积是3，则的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3-2】把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍． 考点四：利用相似三角形的性质求周长 【例4】已知，其中，，，，那么的周长是______． 【变式4-1】已知，且．若的周长是，那么的周长是________cm． 【变式4-2】如图，在△ABC和△DBE中，＝＝，且∠DBA＝∠CBE． （1）若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长； （2）若△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积． 考点五：利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例 【例5-1】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． （1）求证：； （2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长． 【例5-2】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，求证：AC2＝AB•AD． 【变式5-1】如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且． 求证：； 【变式5-2】如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：BD2＝AD•CD； （2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长． 【变式5-3】如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA． （1）求证：∠AOC＝2∠ABC； （2）求证：CD2＝OD•BD． 考点六：相似三角形的应用 【例6】如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB． 【变式6-1】如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．    【变式6-2】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米． A．5 B．4 C．3 D．2 考点七：位似图形的相关概念 【例7】下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式7-1】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【变式7-2】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【变式7-3】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】如图，△ABC的三个顶点A（1，2）、B（2，2）、C（2，1）.以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是（    ） A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+ C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是（6，6） 考点八：格点中作位似图形 【例8】如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：    （1）作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； （2）作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B（1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为、、，且的坐标为（4，2）． （1）请在所给平面直角坐标系第一象限内画出； （2）分别写出点、的坐标． 【变式8-2】如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． （1）以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． （2）证明和相似． 考点九：求位似图形的坐标 【例9】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 【变式9-2】如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为（    ） A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7） 1、如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为（　　） A． B． C． D．1 2、如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若，DE，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 3、如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（　　） A． B． C． D． 4、如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（　　）m． A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5 5、如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 6、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为（　　） A． B． C． D． 7、我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们 可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 　 　尺． 8、如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　 　米． 9、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′的顶点的横、纵坐标都是整数．若B（5，2），△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是　 10、如图，∠1＝∠2，，求证：∠C＝∠D． 11、已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′的周长． 12、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？ 13、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ． 14、如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1）（2，1）． （1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形； （2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； （3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标． 15、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（1，2），C（4，1），点E坐标为（1，1）． （1）画出将△ABC向左平移5个单位长度的△A1B1C1； （2）画出和△ABC以点E为位似中心的位似图△A2B2C2，△A2B2C2和△ABC位似比为2：1，且位于点E的两侧． （3）直接写出A2、B2、C2三个点的坐标． 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 4 学科网（北京）股份有限公司 $$