精品解析：广西南宁市武鸣区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024~2025学年度秋季学期期中学业质量监测 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 5. 近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 6. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 9. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 10. 将方程配方转化为的形式，则______，______． 11. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 13. 如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 解方程：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 16. 阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 17. 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） （2）如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 18. 江南的丝绸以其质地细腻、工艺精湛而闻名．现有一种丝绸制成的丝巾，每条成本50元，出于营销考虑，要求每条丝巾的售价不低于60元且不高于110元，销售一段时间发现，每天的销售数量y（条）与销售单价x（元/条）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/条） … 70 90 100 … 每天销售数量y（条） … 80 40 20 … （1）请求出y与x的函数解析式； （2）设该店每天销售丝巾所获得的利润为w元．写出w与x的函数解析式； （3）将该商品销售单价定为多少元时，才能使得当天所获利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度秋季学期期中学业质量监测 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．，是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 3. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 5. 近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，然后根据经过两轮传染后共有81人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每一轮传染中平均每人传染了人， 由题意得，， 故选：D． 6. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别．首先分两种情况进行分析，当时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案． 【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上； 当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下， 可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 7. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点“横、纵坐标都互为相反数”，即可解答． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点．掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题关键． 9. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据所给方程确定a、b、c的值，再根据进行计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 10. 将方程配方转化为的形式，则______，______． 【答案】 ①. 3 ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：3；5． 11. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，有实数根，则是解题的关键． 根据，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 13. 如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，①正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，②错误； 方程没有实数根， ，③正确； ，， ，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解方程的方法是解题的关键；利用因式分解即可求解． 【详解】解：分解因式得：， 即， ∴，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2） 解：如图：即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图－旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：与关于点中心对称，点的坐标为． 故答案为：． 16. 阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 17. 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） （2）如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【答案】（1）； （2）钢球从斜面顶端滚到底端用． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）先求出，然后得到，再由即可得到答案； （2）根据（1）计算的结果把代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题知， ． ， 即． 【小问2详解】 把代入中，得． 解得，（舍去）． ∴钢球从斜面顶端滚到底端用． 18. 江南的丝绸以其质地细腻、工艺精湛而闻名．现有一种丝绸制成的丝巾，每条成本50元，出于营销考虑，要求每条丝巾的售价不低于60元且不高于110元，销售一段时间发现，每天的销售数量y（条）与销售单价x（元/条）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/条） … 70 90 100 … 每天销售数量y（条） … 80 40 20 … （1）请求出y与x的函数解析式； （2）设该店每天销售丝巾所获得的利润为w元．写出w与x的函数解析式； （3）将该商品销售单价定为多少元时，才能使得当天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）将该商品销售单价定为80元时，才能使得当天所获利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用： （1）设出解析式并利用待定系数法求出对应的解析式即可； （2）根据总利润等于每条丝巾的利润乘以销售量列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当，即时，w有最大值，最大值为1800， ∴将该商品销售单价定为80元时，才能使得当天所获利润最大，最大利润是1800元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $