精品解析：广西南宁市武鸣区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024~2025学年度秋季学期期中学业质量监测 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：B． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．，是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 3. 已知一元二次方程，其中一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数为，常数项为， 故选：C． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6. 下列关于二次函数的图象的说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 与轴有两个交点 C. 对称轴是轴 D. 函数有最小值是2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可判断二次函数开口向下，顶点坐标为，据此可判断A、C、D，再求出的值即可判断B． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数对称轴为轴，二次函数有最大值，最大值为2， ∵， ∴二次函数与轴有两个交点， ∴四个选项中只有D选项说法错误，符合题意， 故选：D． 7. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴， 故选：D． 8. 点在抛物线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，进而可得离对称轴越远，函数值越大，再求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 9. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 10. 近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，然后根据经过两轮传染后共有81人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每一轮传染中平均每人传染了人， 由题意得，， 故选：D． 11. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别．首先分两种情况进行分析，当时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案． 【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上； 当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下， 可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点“横、纵坐标都互为相反数”，即可解答． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点．掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题关键． 14. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据所给方程确定a、b、c的值，再根据进行计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15. 将方程配方转化为的形式，则______，______． 【答案】 ①. 3 ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：3；5． 16. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，有实数根，则是解题的关键． 根据，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 18. 如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，①正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，②错误； 方程没有实数根， ，③正确； ，， ，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算乘除法，再计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要注意选择合适的解题方法． 解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为，，所以，这样即达到了降次的目的． 【详解】解： 或 ，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 ∵与是中心对称图形， 连接，交点为，如图， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 故答案为：． 22. 阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 23. 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） （2）如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【答案】（1）； （2）钢球从斜面顶端滚到底端用． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）先求出，然后得到，再由即可得到答案； （2）根据（1）计算的结果把代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题知， ． ， 即． 【小问2详解】 把代入中，得． 解得，（舍去）． ∴钢球从斜面顶端滚到底端用． 24. 江南的丝绸以其质地细腻、工艺精湛而闻名．现有一种丝绸制成的丝巾，每条成本50元，出于营销考虑，要求每条丝巾的售价不低于60元且不高于110元，销售一段时间发现，每天的销售数量y（条）与销售单价x（元/条）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/条） … 70 90 100 … 每天销售数量y（条） … 80 40 20 … （1）请求出y与x的函数解析式； （2）设该店每天销售丝巾所获得的利润为w元．写出w与x的函数解析式； （3）将该商品销售单价定为多少元时，才能使得当天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）将该商品销售单价定为80元时，才能使得当天所获利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用： （1）设出解析式并利用待定系数法求出对应的解析式即可； （2）根据总利润等于每条丝巾的利润乘以销售量列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当，即时，w有最大值，最大值为1800， ∴将该商品销售单价定为80元时，才能使得当天所获利润最大，最大利润是1800元． 25. 如图，在长方形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间先求出的长，进而可以求得得长； （2）根据（1）所求利用勾股定理建立方程求解即可； （3）求出长方形的面积，当五边形的面积等于时，可求出 的面积，进而根据三角形面积公式建立方程由此求得值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点从点开始沿边向终点以速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ∴， 解得：，； ∴当或时，长度等于； 【小问3详解】 解：存在使得五边形的面积等于．理由如下： 长方形的面积是：， ∵要使得五边形的面积等于， ∴面积为， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴当时，五边形的面积等于， ∴存在使得五边形的面积等于． 26. 如图，已知抛物线经过两点 （1）求a、b的值； （2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C坐标，进而求出直线解析式，再设出点D坐标，进而表示出点Q坐标，接着求出的最大值，再用表示出的面积，进而求出的面积的最大值即可； （3）设出点P坐标，利用勾股定理表示出的三边长，再分B、C、P分别为直角顶点，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点向轴作垂线交直线于点Q，垂足为G， 由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大为， ∵ ∴当最大时，的面积最大，最大面积为； 【小问3详解】 解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ，，， 当时，则， ∴， 解得：， 点P的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得：， 点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得：， 点P的坐标为； 综上所述，存在这样的点P，使得为直角三角形，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度秋季学期期中学业质量监测 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程，其中一次项系数、常数项分别为（ ） A 4、 B. C. D. 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于二次函数的图象的说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 与轴有两个交点 C. 对称轴是轴 D. 函数有最小值是2 7. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 8. 点在抛物线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 10. 近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 11. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 14. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 15. 将方程配方转化为的形式，则______，______． 16. 抛物线部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 18. 如图，已知二次函数图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 20. 解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 22. 阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 23. 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） （2）如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 24. 江南的丝绸以其质地细腻、工艺精湛而闻名．现有一种丝绸制成的丝巾，每条成本50元，出于营销考虑，要求每条丝巾的售价不低于60元且不高于110元，销售一段时间发现，每天的销售数量y（条）与销售单价x（元/条）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/条） … 70 90 100 … 每天销售数量y（条） … 80 40 20 … （1）请求出y与x的函数解析式； （2）设该店每天销售丝巾所获得的利润为w元．写出w与x的函数解析式； （3）将该商品销售单价定为多少元时，才能使得当天所获利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，在长方形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 26. 如图，已知抛物线经过两点 （1）求a、b的值； （2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$