圆锥曲线综合复习训练-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线综合复习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知椭圆的方程，则此椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 2．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2015赤峰一模）的两个顶点为，周长为18，则点轨迹为（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，过点)作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 5．抛物线上有一点，它的横坐标是，它到焦点的距离是，则抛物线的方程是（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ） A． B． C． D． 7．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．是椭圆上的任意一点，是椭圆的左、右焦点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） 9．(多选题)若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则这个椭圆的标准方程为(　　) A． B． C． D． 10．(多选题)若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ） A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线 C．若为双曲线，则焦距为4 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 11.（多选题）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点，则（ ） A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切 C．当时， D．的最小值为4 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且离心率为，则椭圆的标准方程为 ． 13．已知直线与抛物线相切，则_____． 14．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则= ． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知双曲线． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．记．求的取值范围． 16．已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为． （1）求曲线的方程； （2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程． 17．已知焦点在轴上的抛物线过点． （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于、两点，点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形的面积的最小值． 18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程． 19．已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点．证明：恒为定值． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线综合复习解析 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．B【解析】椭圆方程化为标准方程为． ∴，，∴，即． 2．A【解析】可求得椭圆的焦点为，设双曲线的方程为． ∴ ，，因此，所求的方程是． 3．D【解析】∵，∴所求的轨迹是除去长轴两端点的椭圆． ∵，，∴，故选D． 4．A【解析】直线的方程为，由 ， 解得，．∴的中点为， 的中垂线方程是． 令，则，∴． 5．A【解析】∵ ，∴ 焦点为，准线为， 点到准线的距离是． ∴ ，解和， 因此，抛物线的方程是． 6．D【解析】双曲线的一条渐近线为， 双曲线的一个顶点坐标为， ∴ ，解得或（舍去）， 因此，． 7．B【解析】设，则 解得， ∴ ，即，因此，． 8．D【解析】∵． 又∵，∴． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） 9．【答案】AD 【解析】直线与坐标轴的交点为， 当焦点在轴上时，，∴， 所求椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，，∴，所求椭圆的标准方程为. 10．【答案】BD 【解析】由题意，若方程表示椭圆， 则满足，解得或， 对于A中，当时，此时方程表示圆，故A不正确； 当方程表示焦点在轴上椭圆， 则满足，解得，故D正确； 对于B中，当时， ， 此时表示焦点在轴上的双曲线，故B正确的； 对于C中，当时，方程， 此时双曲线的焦距为，故C不正确． 11.【答案】ACD 【解析】对于A，点到准线 的距离为， ∴以线段为直径的圆与直线一定相切， ∴与直线一定相离，故A正确． 对于B，显然中点的横坐标与不一定相等，故B错误． 对于C，D，设， 直线方程为，由， 得，，， 若设，则， ∴，最小值为4，故D正确． 当，可得，， ∴，，故C正确．． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．【解析】双曲线的焦点是，， ∴ ，． ∴ ，， 因此，所求的方程是． 13．【解析】∵ ， ∴，解得，，即切点为． 又∵切点在直线上， ∴ ． 14．【解析】∵ ，， ∴． 又 ∵ ，， ∴ ． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．【解析】（1）所求渐近线方程为 （2）设的坐标为，则的坐标为 ∴ ， 又 ∵ ， ∴的取值范围是． 16．【解析】（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆． 又 ∵ ，，∴ ，因此，曲线的方程是． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，消去整理得．∴ ，． ， 解得或． 又 ∵ ，∴ ， 又 ∵，，∴ ， ∴ ，， 化简得，解得，或 因此，所求的直线方程是或 17．【解析】（1）设抛物线的方程为， ∵点在抛物线上，∴，解得． ∴抛物线的方程为． （2）由（1）知，则可设直线的方程为， 由，得，， 设，则， ， ∵点在线段上运动，原点关于点的对称点为,∴， 故，∴当时，有最小值， ∴四边形的面积的最小值为． 18．【解析】（1）∵,∴，∵，∴，．∴椭圆方程为． （2）设， 当不存在时，直线方程为，不符合题意． 当存在时，设直线方程为， 由，得， ∴，∴． 若，则，代入上式，可得，消去，解得． ∴所求直线方程为． 19．【解析】（1）∵，，解得． ∴椭圆的方程为． （2）证明：由（1）可知,，． 设，依题意，∴直线的方程为， 令，则．即． 又直线的方程为， 令，则，即． ∴， 又在上，∴，即，代入上式， 得，∴为定值． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$