第七章《平行线的证明》期末单元复习（2） 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第七章《平行线的证明》 期末单元复习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．内错角相等 C．相等的角是对顶角 D．互补的角是邻补角 2．如图，下列条件不能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5 3．如图，AB∥CD，CE⊥CD于点C，∠BAE为钝角，∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，则∠F的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．无法确定 4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，若∠ACE＝36°，∠ADC＝80°，则∠B＝（　　） A．40° B．44° C．53° D．54° 5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　） A．95° B．65° C．75° D．85° 6．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝80°，则∠BED的度数为（　　） A．80° B．60° C．50° D．40° 7．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大30° B．减小10° C．增大10° D．减小30° 8．如图，在△ABC中，∠A＝70度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（　　） A．140 B．190 C．250 D．320 9．如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 10．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，依此下去，若∠A＝α，则∠A2023为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．有一个命题“如果a＝b，那么a2＝b2”，该命题是 　 　（填“真”或“假”）命题． 12．如图，∠B＝35°，∠B＝∠1，∠2＝∠C，则∠DAC的度数为 　 　度． 13．如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，则∠DFG＝　 　． 14．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D是AC边上一点，过点D将△ABC折叠，使点C落在BC下方的点C′处，折痕DE与BC交于点E，当AB与∠C′的一边平行时，∠DEC′的度数为 　 　． 15．如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣4|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 　 　秒时，射线AM与射线BQ互相平行． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．判断命题：“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的真假，并说明理由． 17．证明：命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题． 18．在△ABC中，，通过计算，判断△ABC的形状， 19．如图，点D是BC上点，FE⊥BA于点E，∠ADB＝∠DCF＝40°，∠CAD+∠CFE＝180°，CA平分∠DCF，试求∠BAD的度数．以下为求∠BAD的度数的过程，请补充相关过程及依据． 解：∵∠ADB＝∠DCF， ∴AD∥FC，　 　 ∴∠CAD＝∠ACF，　 　 ∵∠CAD+∠CFE＝180°， ∴∠ACF+∠CFE＝180°，　 　 ∴　 　，　 　 ∵CA平分∠CDF， ∴，　 　 ∴∠CAD＝20°， ∵FE⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∵AC∥EF， ∴　 　，　 　 ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°． 20．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝72°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E，DF∥CE交AB的延长线于点F．求∠BCE和∠F的度数． 21．已知：如图，BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求证：AB∥CD． 22．如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A． （1）求证：FE∥OC； （2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数． 23．如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 24．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°． （1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由； （2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数； （3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数． 25．在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． 【问题研究】 （1）①如图1，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ 　 　． ②猜测∠BPC与∠A之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线相交于点Q，则∠Q与∠BPC之间的数量关系为 　 　． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC相交于点E，在△BQE中，当∠E与∠Q两锐角存在3倍的数量关系时，求∠A的度数． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．ACBCD． 6-10．CACDB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．真． 12．40． 13．77°． 14．120°或95°． 15．或36． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：已知：如图，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， ， 求证：DE＝DF， 证明：连接AD， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD为∠BAC的角平分线， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． 17．已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角； 求证：∠1+∠2+∠3＝360°； 证明：∵∠1＝∠ABC+∠ACB，∠2＝∠BAC+∠ACB，∠3＝∠BAC+∠ABC， ∴∠1+∠2+∠3＝2（∠BAC+∠ABC+∠ACB）， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°． 即命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题． 18．解：∵在△ABC中，∠A∠B∠C， ∴设∠A＝x， 则∠B＝2x，∠C＝3x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°， ∴∠C＝3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 19．解：∵∠ADB＝∠DCF， ∴AD∥FC，（同位角相等，两直线平行） ∴∠CAD＝∠ACF，（两直线平行，内错角相等） ∵∠CAD+∠CFE＝180°， ∴∠ACF+∠CFE＝180°，（等量代换） ∴AC∥EF，（同旁内角互补，两直线平行） ∵CA平分∠DCF， ∴，（角平分线的定义） ∴∠CAD＝20°， ∵FE⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∵AC∥EF， ∴∠BAC＝∠AEF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；AC∥EF；同旁内角互补，两直线平行；角平分线的定义；∠BAC＝∠AEF＝90°；两直线平行，同位角相等． 20．解：∵∠A＝30°，∠ABC＝72°， ∴∠BCD＝∠A+∠ABC＝102°， ∵CE是∠BCD的平分线， ∴． ∵∠ABC＝72°， ∴∠BEC＝∠ABC﹣∠BCE＝72°﹣51°＝21°． ∵DF∥CE， ∴∠F＝∠BEC＝21°． 21．证明：∵BE⊥DF， ∠BFD＝90°， ∴∠DBE+∠BDF＝90°， ∵BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC， ∴∠ABE＝∠DBE∠ABD，∠BDF＝∠EDF∠BDE， ∴∠ABD+∠BDE＝2∠DBE+2∠BDF＝180°， ∴AB∥CD． 22．（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠C＝∠A， ∵∠1＝∠A， ∴∠1＝∠C， ∴FE∥OC； （2）解：∵FE∥OC， ∴∠FOC+∠OFE＝180°， ∵∠FOC+∠BOC＝180°，∠DFE+∠OFE＝180°， ∴∠BOC+∠DFE＝180°， ∵∠BOC﹣∠DFE＝20°， ∴∠BOC+∠DFE＝180°， 解得：∠DFE＝80°， ∴∠OFE＝100°． 23．证明：（1）∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°， ∴∠AOE+∠DOG＝90°， ∵DG⊥AB， ∴∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠AOE＝∠ODG； （2）∵OD平分∠BOC， ∴∠DOG＝∠COD∠BOC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE+∠COD＝90°， 由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠ODG＝∠COE， ∵∠ODG＝∠C， ∴∠C＝∠COE， ∴CD∥OE． 24．解：（1）与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH，理由如下： 如图， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DCG， ∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠ECF＝∠DCG， ∴∠D＝∠ECF， ∵AB∥DC， ∴∠DCG＝∠B， ∴∠B＝∠D， ∵∠FCG＝90°，∠AHC＝90°， ∴∠HCM+∠CMH＝90°，∠HCM+∠FCM＝90°， ∴∠CMH＝∠FCM， ∴∠CMH＝∠D， ∵∠AME＝∠CMH， ∴∠AME＝∠D， ∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH； （2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°， ∴∠FCD＝65°， 又∵∠BCF＝90°， ∴∠BCD＝65°+90°＝155°； （3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上， ∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°， ∵AD∥BC， ∴∠BAF＝∠B＝25°； 如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上， ∵∠B＝25°，AD∥BC， ∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°． 综上所述，∠BAF的度数为25°或155°． 25．解：（1）①由题意可知：， ∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝120°， 故答案为：120°； ②猜想，证明如下： ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A ∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴， ∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP ； （2）由题意可知：，， ∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC， ∴，， ∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴∠Q＝90°﹣（∠BPC﹣90°）＝180°﹣∠BPC； （3）由题意可知：， ∵∠ABC+∠CBM＝180°， ∴∠QBE， ∴∠E+∠Q＝90°， ∴， 由（2）知， 当∠Q＝3∠E， ∴， ∴2∠A＝90°， ∴∠A＝45°； 当∠E＝3∠Q， ∴， 解得：∠A＝135°， 综上可知：∠A的度数为45°或135°。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$