直线、射线、线段 讲义2024-2025学年人教版七年级数学上学期

2024-2025学年七年级数学上学期同步复习讲义（人教版） 直线、射线、线段 教学目标 1．了解直线、射线与线段的概念，掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：直线、射线与线段的概念，两点间的距离和线段中点的含义； 难点：利用两点间的距离和线段中点的含义进行线段的计算。 教学内容 ( 直线、射线、线段 ) 一、直线 1、概念：直线就是经过两点的一条线。直线两端是可以无限延伸的，没有长度。 2、性质： （1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（两点确定一条直线） （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了。 3、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（一条直线上的两点）表示； 4、点与直线的位置关系：①点在直线上；②点在直线外； 5、直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 二、射线 1、概念：射线就是直线上的一点和它一旁的部分。这个点就是射线的端点，从这个点伸出的一条线就是射线。 射线只有一端是无限延伸的，没有长度。 2、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点写在前面+除端点外的射线上的一点）表示。 三、线段 1、概念：直线上两个点和两个点之间的部分就是线段。线段两边有端点；线段是有长度的，可以度量的。 2、性质—线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 3、两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离。 4、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点）表示。 5、作一条线段等于已知线段的方法： （1）度量尺作图：先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）尺规作图（用无刻度的直尺和圆规）：用直尺画射线，再用圆规在射线上截取线段长度。 6、线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。 7、比较线段的长短：度量比较法、重合比较法。就结果而言有三种结果：AB>CD、AB=CD、AB<CD。 【重点总结】 一、直线、射线与线段的概念 【注意】直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。 二、基本事实 1、经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2、两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 三、基本概念 1、两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2、线段的中点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点。 【题型1：直线、射线与线段】 【例1】如图，下列说法正确的是（　　） A．线段AB与线段BA是不同的两条线段 B．射线BC与射线BA是同一条射线 C．射线AB与射线AC是两条不同的射线 D．直线AB与直线BC是同一条直线 【变式训练】 1、下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．直线AB比射线AB长 C．线段AB和线段BA表示同一条线段 D．过一点可以作无数条直线 2、如图，图中射线、线段、直线的条数分别为（　　） A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1 3、下列叙述正确的是（　　） A．线段AB可表示为线段BA B．射线CD可表示为射线DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短 【题型2：画出线段、射线、直线】 【例2】如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： （1）画直线，直线交于点； （2）画射线，射线交于点； （3）连接线段，并反向延长线段； （4）连接线段交线段的反向延长线于点． 【变式训练】 1、如图，已知线段，点C在上，点P在外． （1）根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； （2）写出图中的所有线段． 2、如图，在平面内有三点． （1）画直线，射线； （2）在线段上任取一点D（不同于点B，C），连接； （3）数数看，此时图中线段共有_______条． 3、如图，A、B、C、D四点在同一平面内，并且每三点都不在同一条直线上，读下列语句，按要求画出图形． （1）连接AD，并延长线段DA； （2）连接BC，并反向延长线段BC； （3）连接AC、BD相交于O； （4）DA的延长线与BC的反向延长线交于点P． 【题型3：点与线的位置关系】 【例3】如图，请用直尺判断在线段延长线上的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【变式训练】 1、以下关于图的表述，不正确的是（    ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．射线是直线的一部分 D．直线和直线相交于点 2、如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ） A．点在直线外 B．点在直线外 C．点不经过直线 D．点经过直线 3、直线的位置关系如图所示，则下列语句： 点在直线上；直线经过点；直线两两相交；点是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 【题型4：线段、射线、直线的数量问题】 【例4】如图，小轩同学根据图形写出了四个结论：    ①图中共有2条直线；②图中共有7条射线；③图中共有6条线段；④图中射线与射线是同一条射线． 其中结论错误的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【变式训练】 1、如图，以点O为端点的射线有 条． 2、如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 3、如图，设图中有a条射线，b条线段，则 ． 【题型5：直线相交的交点个数】 【例5-1】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　） A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【例5-2】观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 【变式训练】 1、表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数） 2、观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 3、平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多 有 个交点． 4、平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线．若平面上5条直线两两相交，交点最多有a个，最少有b个，则（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5、若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【题型6：线段的计数问题及其应用】 【例6-1】若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： （1）如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段； （2）如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段； （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 【例6-2】如图，若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（　　）种车票． A．49 B．42 C．21 D．20 【变式训练】 1、由襄阳东站到汉口站的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：襄阳东站一枣阳一随州南一新安陆西一孝感东一汉口站，那么铁路运营公司要为这条线路制作的车票有（　　） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 2、如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价． 3、从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 4、（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性； （3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【题型7：直线和线段的性质】 【例7-1】书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（ ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【例7-2】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 【变式训练】 1、如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2、在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 3、如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4、下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（　　） A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程 B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上 C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线 D．如图4，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的 5、在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8：作线段（尺规作图）】 【例8】如图，已知线段，借助圆规和直尺作一条线段，使得（保留作图痕迹，不要求写出作法）．    【变式训练】 1、如图，已知线段a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）． （1）画一条线段，使它等于a+b； （2）画一条线段，使它等于a﹣c； 并用字母表示出所画线段． 2、已知：线段， ． 求作：线段（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）    3、如图，已知线段a，b，用圆规和直尺画线段，要求：不写做法，保留作图痕迹．    【题型9：线段的简单计算】 【例9-1】如图，线段，点C在线段上且，其中点D是的中点，点O是的中点，求的长度． 【变式训练1】 1、如图，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长．    2、如图，已知点是线段上一点， ，  点分别是的中点．，，求线段的长． 【例9-2】如图，线段，点、把线段分成三部分，其比是，是的中点． （1）求线段的长； （2）求线段的长． 【变式训练2】 1、如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 2、在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且（a＋4）2+|c－6|=0．b是最小的正整数． （1）a=______________，b=______________，c=______________． （2）请你把点A，B，C表示在数轴上； （3）若点E是线段OC的三等分点，请求出AE的值． 【例9-3】已知点，，在同一条直线上，线段，，点是线段的中点，那么，两点间的距离是 cm． 【变式训练3】 1、点A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则BC＝（　　） A．12cm B．8cm C．12cm或8cm D．以上均不对 2、点C是线段AB上的三等分点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为（　　） A．18或36 B．18或24 C．24或36 D．24或48 3、如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： （1）求的长度； （2）求的长度； （3）若在直线上，且，求的长度． 【题型10：“双中点”模型】 【例10】如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（　　） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 【变式训练】 1、若点B在线段AC上，AB＝6cm，BC＝10cm，P、Q分别是AB、BC的中点，则线段PQ的长为（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 2、已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 3、如图，已知线段AB＝12cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝4cm，EF＝　　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由． 4、如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有 　　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　 　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度． 5、如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点． （1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长； （2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长． 6、如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【题型11：与线段有关的动点问题】 【例11】已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【变式训练】 1、已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点．当时，的长为 ． 2、如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 3、如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． （1）当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 4、如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． （1）当点追上点时，求的值． （2）若点相距，则的值为多少？ 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$- 1 - 2024-2025学年七年级数学上学期同步复习讲义（人教版） 直线、射线、线段 教学目标 1．了解直线、射线与线段的概念，掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，知道两点间的距 离和线段中点的含义，并能进行线段的计算； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：直线、射线与线段的概念，两点间的距离和线段中点的含义； 难点：利用两点间的距离和线段中点的含义进行线段的计算。 教学内容 直线、射线、线段 - 2 - 一、直线 1、概念：直线就是经过两点的一条线。直线两端是可以无限延伸的，没有长度。 2、性质： （1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（两点确定一条直线） （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了。 3、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（一条直线上的两点）表示； 4、点与直线的位置关系：①点在直线上；②点在直线外； 5、直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 二、射线 1、概念：射线就是直线上的一点和它一旁的部分。这个点就是射线的端点，从这个点伸出的一条线就是射线。 射线只有一端是无限延伸的，没有长度。 2、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点写在前面+除端点外的射线上的一点）表示。 三、线段 1、概念：直线上两个点和两个点之间的部分就是线段。线段两边有端点；线段是有长度的，可以度量的。 2、性质—线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有连线中，线段最 短（两点之间，线段最短）。 3、两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离。 4、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点）表示。 5、作一条线段等于已知线段的方法： （1）度量尺作图：先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）尺规作图（用无刻度的直尺和圆规）：用直尺画射线，再用圆规在射线上截取线段长度。 6、线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。 7、比较线段的长短：度量比较法、重合比较法。就结果而言有三种结果：AB>CD、AB=CD、AB<CD。 - 3 - 【重点总结】 一、直线、射线与线段的概念 【注意】直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与 射线不可测量长度，只有线段可以测量。 二、基本事实 1、经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2、两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 三、基本概念 1、两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2、线段的中点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点。 - 4 - 【题型 1：直线、射线与线段】 【例 1】如图，下列说法正确的是（ ） A．线段 AB与线段 BA是不同的两条线段 B．射线 BC与射线 BA是同一条射线 C．射线 AB与射线 AC是两条不同的射线 D．直线 AB与直线 BC是同一条直线 【变式训练】 1、下列说法错误的是（ ） A．直线 AB和直线 BA表示同一条直线 B．直线 AB比射线 AB长 C．线段 AB和线段 BA表示同一条线段 D．过一点可以作无数条直线 2、如图，图中射线、线段、直线的条数分别为（ ） A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1 3、下列叙述正确的是（ ） A．线段 AB可表示为线段 BA B．射线 CD可表示为射线 DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短 - 5 - 【题型 2：画出线段、射线、直线】 【例 2】如图，平面上有四个点�、�、�、�，根据下列语句画图： （1）画直线��，直线��交于点�； （2）画射线��，射线��交于点�； （3）连接线段��，并反向延长线段��； （4）连接线段��交线段��的反向延长线于点�． 【变式训练】 1、如图，已知线段 AB，点 C在 AB上，点 P在 AB外． （1）根据要求画出图形：画直线 PA，画射线 PB，连接 PC； （2）写出图中的所有线段． - 6 - 2、如图，在平面内有�，�，�三点． （1）画直线��，射线��； （2）在线段��上任取一点 D（不同于点 B，C），连接��； （3）数数看，此时图中线段共有_______条． 3、如图，A、B、C、D四点在同一平面内，并且每三点都不在同一条直线上，读下列语句，按要求画出图形． （1）连接 AD，并延长线段 DA； （2）连接 BC，并反向延长线段 BC； （3）连接 AC、BD相交于 O； （4）DA的延长线与 BC的反向延长线交于点 P． - 7 - 【题型 3：点与线的位置关系】 【例 3】如图，请用直尺判断在线段 AB延长线上的点是（ ） A．M B．N C．P D．Q 【变式训练】 1、以下关于图的表述，不正确的是（ ） A．点 A在直线 BD外 B．点 D在直线 AB上 C．射线 AC是直线 AB的一部分 D．直线 AC和直线 BD相交于点 B 2、如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ） A．点 P在直线 AB外 B．点 C在直线 AB外 C．点 M不经过直线 AB D．点 B经过直线 AC 3、直线 AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句： ①点 B在直线 BC上；②直线 AB经过点 C；③直线 AB，BC，CA两两相交；④点 B是直线 AB，BC的交点，以 上语句正确的有 （只填写序号） - 8 - 【题型 4：线段、射线、直线的数量问题】 【例 4】如图，小轩同学根据图形写出了四个结论： ①图中共有 2条直线；②图中共有 7条射线；③图中共有 6条线段；④图中射线��与射线��是同一条射线． 其中结论错误的是（ ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【变式训练】 1、如图，以点 O为端点的射线有 条． 2、如图，点�、�、�是直线�上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（ ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 3、如图，设图中有 a条射线，b条线段，则� + � = ． - 9 - 【题型 5：直线相交的交点个数】 【例 5-1】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（ ） A．0个或 1个 B．1个或 2个 C．2个或 3个 D．0个或 1个或 2个或 3个 【例 5-2】观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块； （2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切 10刀（不许重叠），最多可得到 块饼． 【变式训练】 1、表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数） - 10 - 2、观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多 1个交点；②三条直线相交最多有 3个交点；③四条直线相交最多有 6个交点；那么十条直 线相交交点个数最多有（ ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 3、平面内两两相交的 6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多 有 个交点． 4、平面上不重合的两点确定 1条直线，不同三点最多可确定 3条直线．若平面上 5条直线两两相交，交点最多有 a个，最少有 b个，则 a + b =（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 5、若平面内互不重合的 4条直线只有 3个交点，则平面被分成了（ ）个部分． A．7或 8 B．8 C．8或 9 D．10 - 11 - 【题型 6：线段的计数问题及其应用】 【例 6-1】若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： （1）如图 1，直线 l上有 3个点 A，B，C，则可以确定 条线段； （2）如图 2，直线 l上有 4个点 A，B，C，D，则可以确定 条线段； （3）若直线上有 n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 【例 6-2】如图，若 A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有 5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（ ） 种车票． A．49 B．42 C．21 D．20 【变式训练】 1、由襄阳东站到汉口站的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：襄阳东站一枣阳一随州南一新安陆西一孝感东 一汉口站，那么铁路运营公司要为这条线路制作的车票有（ ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 2、如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的 5个点表示 5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________ 种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价． - 12 - 3、从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 4、（1）观察思考：如图，线段 AB上有两个点 C、D，请分别写出以点 A、B、C、D为端点的线段，并计算图中 共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有 m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正 确性； （3）拓展应用：某班 45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握 1次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【题型 7：直线和线段的性质】 【例 7-1】书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才 能牢固，这里面包含的数学事实是（ ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【例 7-2】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（ ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 - 13 - 【变式训练】 1、如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知 识解释应是（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2、在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 3、如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（ ） A．① B．② C．③ D．④ - 14 - 4、下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） A．如图 1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程 B．如图 2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上 C．如图 3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线 D．如图 4，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的 5、在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型 8：作线段（尺规作图）】 【例 8】如图，已知线段 b，借助圆规和直尺作一条线段 AB，使得 AB = 3b（保留作图痕迹，不要求写出作法）． - 15 - 【变式训练】 1、如图，已知线段 a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）． （1）画一条线段，使它等于 a+b； （2）画一条线段，使它等于 a﹣c； 并用字母表示出所画线段． 2、已知：线段 a，b (a > b)． 求作：线段 AB = a − b（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 3、如图，已知线段 a，b，用圆规和直尺画线段 AB = 2b − a，要求：不写做法，保留作图痕迹． - 16 - 【题型 9：线段的简单计算】 【例 9-1】如图，线段 AB = 10cm，点 C在线段 AB上且 AC = 6cm，其中点 D是 AC的中点，点 O是 AB的中点， 求 DO的长度． 【变式训练 1】 1、如图，已知点 C为 AB上一点，AC = 30cm，BC = 2 5 AC，D，E分别为 AC，AB的中点，求 DE的长． 2、如图，已知点 C是线段 AB上一点， AC < BC， 点 M、N分别是 AB、BC的中点．MN = 4，BC = 10，求线 段 AB的长． - 17 - 【例 9-2】如图，线段 AB = 18cm，点 N、C把线段 AB分成三部分，其比是 AN:NC: CB = 2: 3: 4，M是 AB的中点． （1）求线段 AC的长； （2）求线段 CM的长． 【变式训练 2】 1、如图，线段 AB上有两点M，N，点M将线段 AB分成 2:3两部分，点 N将线段 AB分成 4:1两部分，且MN ＝8，求线段 AM，NB的长分别是多少？ 2、在数轴上点 A表示数 a，点 B表示数 b，点 C表示数 c，并且（a＋4）2+|c－6|=0．b是最小的正整数． （1）a=______________，b=______________，c=______________． （2）请你把点 A，B，C表示在数轴上； （3）若点 E是线段 OC的三等分点，请求出 AE的值． - 18 - 【例 9-3】已知点 A，B，C在同一条直线上，线段 AB = 8cm，BC = 1 2 AB，点 D是线段 AC的中点，那么 A，D两 点间的距离是 cm． 【变式训练 3】 1、点 A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则 BC＝（ ） A．12cm B．8cm C．12cm或 8cm D．以上均不对 2、点 C是线段 AB上的三等分点，E是线段 BC的中点，若 CE＝6，则 AB的长为（ ） A．18或 36 B．18或 24 C．24或 36 D．24或 48 - 19 - 3、如图，已知点 C为线段 AB上一点，AC = 12cm，CB = 8cm，D、E分别是 AC、AB的中点．求： （1）求 AD的长度； （2）求 DE的长度； （3）若 M在直线 AB上，且 MB = 6cm，求 AM的长度． 【题型 10：“双中点”模型】 【例 10】如图，点 M是 AB的中点，点 N是 BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则 MN的长为（ ） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 【变式训练】 1、若点 B在线段 AC上，AB＝6cm，BC＝10cm，P、Q分别是 AB、BC的中点，则线段 PQ的长为（ ） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 2、已知线段 AB＝10cm，点 C是直线 AB上一点，BC＝4cm，若 M是 AC的中点，N是 BC的中点，则线段 MN 的长度是（ ） A．7cm B．3cm C．7cm或 3cm D．5cm - 20 - 3、如图，已知线段 AB＝12cm，CD＝2cm，线段 CD在线段 AB上运动，E、F分别是 AC、BD的中点． （1）若 AC＝4cm，EF＝ cm； （2）当线段 CD在线段 AB上运动时，试判断 EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出 EF的长度，如果变化， 请说明理由． 4、如图，已知 B、C在线段 AD上． （1）图中共有 条线段； （2）若 AB＝CD． ①比较线段的长短：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若 AD＝20，BC＝12，M是 AB的中点，N是 CD的中点，求 MN的长度． - 21 - 5、如图，线段 AB，C是线段 AB上一点，M是 AB的中点，N是 AC的中点． （1）若 AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段 MN的长； （2）若 BC＝a，试用含 a的式子表示线段 MN的长． 6、如图，点 C在线段 AB上，点 M、N分别是 AC、BC的中点． （1）若 AC＝9cm，CB＝6cm，求线段 MN的长； （2）若 C为线段 AB上任一点，满足 AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想 MN的长度吗？并说明理由．你能 用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ （3）若 C在线段 AB的延长线上，且满足 AC﹣BC＝bcm，M、N分别为 AC、BC的中点，你能猜想 MN的长度吗？ 请画出图形，写出你的结论，并说明理由． - 22 - 【题型 11：与线段有关的动点问题】 【例 11】已知点 M 是线段 AB 上一点，若 AM = 1 4 AB，点 N 是直线 AB 上的一动点，且 AN − BN = MN，则 MN AB = ． 【变式训练】 1、已知线段 AB = 6，点 P是射线 AB上的一个动点，点 M是线段 AP的中点，点 N是线段 MB的中点．当 MN = 1.6 时，AP的长为 ． 2、如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线 l，在直线上有 A，B，C，D四点，且 AB＝BC＝CD．点 P 沿直线 l从右向左移动，当出现点 P 与 A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线 l 上会发出警报的点 P最多有 个． - 23 - 3、如图，动点 B在线段 AD上，沿 A → D → A以 2cm/s的速度往返运动 1次，C是线段 BD的中点，AD = 10cm， 设点 B的运动时间为 t秒 0 ≤ t ≤ 10 ． （1）当 t = 2时， ①AB =________cm； ②求线段 CD的长度． （2）用含 t的代数式表示运动过程中线段 AB的长度． 4、如图，C是线段 AB中点，且 AB = 10cm，N、M两点分别从 C、B同时出发以 1cm/s，3cm/s的速度沿线段 BA 向左运动，设运动时间为 t． （1）当点 M追上点 N时，求 t的值． （2）若点 M，N相距 2cm，则 t的值为多少？ - 24 - 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 2024-2025学年七年级数学上学期同步复习讲义（人教版） 直线、射线、线段 教学目标 1．了解直线、射线与线段的概念，掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：直线、射线与线段的概念，两点间的距离和线段中点的含义； 难点：利用两点间的距离和线段中点的含义进行线段的计算。 教学内容 ( 直线、射线、线段 ) 一、直线 1、概念：直线就是经过两点的一条线。直线两端是可以无限延伸的，没有长度。 2、性质： （1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（两点确定一条直线） （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了。 3、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（一条直线上的两点）表示； 4、点与直线的位置关系：①点在直线上；②点在直线外； 5、直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 二、射线 1、概念：射线就是直线上的一点和它一旁的部分。这个点就是射线的端点，从这个点伸出的一条线就是射线。 射线只有一端是无限延伸的，没有长度。 2、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点写在前面+除端点外的射线上的一点）表示。 三、线段 1、概念：直线上两个点和两个点之间的部分就是线段。线段两边有端点；线段是有长度的，可以度量的。 2、性质—线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 3、两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离。 4、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点）表示。 5、作一条线段等于已知线段的方法： （1）度量尺作图：先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）尺规作图（用无刻度的直尺和圆规）：用直尺画射线，再用圆规在射线上截取线段长度。 6、线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。 7、比较线段的长短：度量比较法、重合比较法。就结果而言有三种结果：AB>CD、AB=CD、AB<CD。 【重点总结】 一、直线、射线与线段的概念 【注意】直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。 二、基本事实 1、经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2、两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 三、基本概念 1、两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2、线段的中点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点。 【题型1：直线、射线与线段】 【例1】如图，下列说法正确的是（　　） A．线段AB与线段BA是不同的两条线段 B．射线BC与射线BA是同一条射线 C．射线AB与射线AC是两条不同的射线 D．直线AB与直线BC是同一条直线 【答案】D 【解答】解：A、线段AB与线段BA是同一条线段，选项说法错误，不符合题意； B、射线BC与射线BA不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； C、射线AB与射线AC是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、直线AB与直线BC是同一条直线，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1、下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．直线AB比射线AB长 C．线段AB和线段BA表示同一条线段 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【解答】解：A：直线AB和直线BA是同一条直线，故A是正确的； B：直线和射线都是不可度量的，因此不能比较大小，故B是错误的； C：线段AB和线段BA是同一条线段，故C是正确的； D：过一点可以作无数条直线，故D是正确的； 故选：B． 2、如图，图中射线、线段、直线的条数分别为（　　） A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1 【答案】A 【解答】解：如图，射线有：AB、AC、BC、BA、CB、CA、DB、BE，共8条； 线段有：AB、BC、AC、DB，共4条； 直线有：直线AC，1条； 故选：A． 3、下列叙述正确的是（　　） A．线段AB可表示为线段BA B．射线CD可表示为射线DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短 【答案】A 【解答】解：A．线段AB可表示为线段BA，故说法正确，符合题意； B．射线CD不可表示为射线DC，故说法错误，不合题意； C．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意； D．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意； 故选：A． 【题型2：画出线段、射线、直线】 【例2】如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： （1）画直线，直线交于点； （2）画射线，射线交于点； （3）连接线段，并反向延长线段； （4）连接线段交线段的反向延长线于点． 【详解】（1）解：如图所示：直线，直线，点即为所作，   ； （2）解：如图所示：射线，射线，点即为所作，   ； （3）解：如图，线段、射线即为所作，   ； （4）解：如图，线段，点即为所作，   ． 【点睛】本题考查了画出直线、射线、线段，熟练掌握直线、线段、射线的定义是解题的关键． 【变式训练】 1、如图，已知线段，点C在上，点P在外． （1）根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； （2）写出图中的所有线段． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）解：如图，直线，射线，连接；    （2）图中的所有线段为． 2、如图，在平面内有三点． （1）画直线，射线； （2）在线段上任取一点D（不同于点B，C），连接； （3）数数看，此时图中线段共有_______条． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【分析】（1）按照题意要求作图即可； （2）连接线段即可； （3）根据线段的定义解答即可． 【详解】（1）直线，射线如图所示；    （2）如图，线段如图所示； （3）图中的线段是：，有6条． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的作图和线段的条数，属于基础题目，熟练掌握线段、直线、射线的基本知识是关键． 3、如图，A、B、C、D四点在同一平面内，并且每三点都不在同一条直线上，读下列语句，按要求画出图形． （1）连接AD，并延长线段DA； （2）连接BC，并反向延长线段BC； （3）连接AC、BD相交于O； （4）DA的延长线与BC的反向延长线交于点P． 【解题思路】根据线段和射线的画法按要求画出图形． 【解答过程】解：如图． 【题型3：点与线的位置关系】 【例3】如图，请用直尺判断在线段延长线上的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】D【解析】解：让直尺一端与 重合，可知点在的延长线上故选：D 【变式训练】 1、以下关于图的表述，不正确的是（    ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．射线是直线的一部分 D．直线和直线相交于点 【答案】B 【解析】解：A、点在直线外，正确； B、点在直线外，故原说法错误； C、射线是直线的一部分，正确； D、直线和直线相交于点，正确；故选：B． 2、如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ） A．点在直线外 B．点在直线外 C．点不经过直线 D．点经过直线 【答案】B 【解析】解：A、点在直线外，符合图形描述，选项正确； B、点在直线上，故此选项不符合图形描述，选项错误； C、点不经过直线，符合图形描述，选项正确； D、点经过直线，符合图形描述，选项正确．故选：B． 3、直线的位置关系如图所示，则下列语句： 点在直线上；直线经过点；直线两两相交；点是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 【答案】 【解析】解：由图可得，点在直线上，正确； 直线不经过点，错误； 直线两两相交，正确； 点是直线的交点，正确； 故答案为： ． 【题型4：线段、射线、直线的数量问题】 【例4】如图，小轩同学根据图形写出了四个结论：    ①图中共有2条直线；②图中共有7条射线；③图中共有6条线段；④图中射线与射线是同一条射线． 其中结论错误的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据直线、线段、射线的区别逐项分析判断即可． 【详解】解：①图中只有1条直线，故错误； ②以、为端点可以各引出两条射线，以为端点可以引出3条射线，以端点可以引出1条射线，则图中共有条射线，故错误； ③图中共有6条线段，即线段、、、、、，故正确； ④图中射线与射线不是同一条射线，故错误； ∴错误的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线、线段、射线的区别与联系，理解三者的区别是解题的关键． 【变式训练】 1、如图，以点O为端点的射线有 条． 【答案】 【分析】根据射线的定义，进行作答即可． 【详解】解：以点O为端点的射线有：射线，共4条； 故答案为：． 【点睛】本题考查射线．熟练掌握射线的定义：直线上一点及其一旁的部分，是解题的关键． 2、如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可． 【详解】解：根据两点确定一条直线，知道图中只有1条直线， 图中的线段有，，，共3条， 以点、、分别为端点的射线，共6条， 故选：C 【点睛】本题考查了直线的性质，直线、射线、线段，在数线段的时候，按照顺序数，要做到不重不漏． 3、如图，设图中有a条射线，b条线段，则 ． 【答案】12 【分析】根据射线与线段的概念可得a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：根据图可知，共有6条射线，6条线段，即a=6，b=6， ∴a+b=6+6=12． 故答案为：12． 【点睛】此题考查的是射线与线段的概念，解题关键是掌握射线和线段的概念和性质是关键． 【题型5：直线相交的交点个数】 【例5-1】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　） A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【答案】D 【解析】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有2个交点； ③三条直线都不平行，有1个或3个交点； 综上分析可知：交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．故选：D． 【例5-2】观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 【答案】（1）10，16；（2）n（n﹣1）；1+n（n+1）；（3）56 【分析】（1）总结规律，根据规律求解； （2）根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n（n﹣1）；n条直线两两相交，平面被分成1+n（n+1）块； （3）根据（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块； 故答案为：10，16； （2）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交有1+2＝3个交点； 4条直线相交有1+2+3＝6个交点； 5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点； … n条直线相交有1+2+3+4+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）； 平面被分成1+1+2+3+4+…+（n+1）＝1+n（n+1）； 故答案为：n（n﹣1）；1+n（n+1）； （3）当n＝10时，（块）， 故答案为：56 【点睛】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键. 【变式训练】 1、表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数） 【答案】15 【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）． 【详解】6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5=15； n条直线相交，最多有1+2+3+（n-1）＝. 故答案是：15，. 【点睛】考查了直线，每两条直线有一个交点得出n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）是解题关键. 2、观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【答案】B 【解析】解：①两直线相交，最多1个交点； ②三条直线相交最多有个交点； ③四条直线相交最多有个交点； …… 由此可得10条直线相交交点个数最多为（个）， 故选：B． 3、平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多 有 个交点． 【答案】 1 15 【解析】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个； 若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：）； 若平面内有两两相交的3条直线，则最多有3个交点；（即：）； 若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：）； 若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：）； 则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即）； 若平面内有n条直线两两相交，则最多有个交点； 故答案为：1，15，． 4、平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线．若平面上5条直线两两相交，交点最多有a个，最少有b个，则（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【解析】解：平面上有5条直线相交，则这5条直线最多有个交点，当5条直线相交于同一个点时，最少有1个交点， ，， ，故选：D． 5、若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解析】如图，    所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选． 【题型6：线段的计数问题及其应用】 【例6-1】若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： （1）如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段； （2）如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段； （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 【答案】（1）3（2）6（3）条，见解析 【分析】（1）根据线段定义即可求解． （2）根据线段的定义即可求解． （3）由（1）（2）找出规律即可求解． （1）解：由图可得： 直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC， 则可以确定3条线段， 故答案为：3． （2）有图可得： 直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD， 则可以确定6条线段， 故答案为：6． （3）由（1），（2）可得， 当直线上有n个点，则： ． 【点睛】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键． 【例6-2】如图，若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（　　）种车票． A．49 B．42 C．21 D．20 【答案】B 【解答】解：如图所示，线段的总条数是×6×7＝21， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制21×2＝42（种）． 故选：B． 【变式训练】 1、由襄阳东站到汉口站的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：襄阳东站一枣阳一随州南一新安陆西一孝感东一汉口站，那么铁路运营公司要为这条线路制作的车票有（　　） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 【答案】D 【解答】解：如图， 图中线段的条数为5+4+3+2+1＝15（条）， 15×2＝30（种） 故选：D． ②当n＝50时，＝1225（次）， n（n﹣1）＝50×（50﹣1）＝50×49＝2450（件）， ∴某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握1225次手，最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需 2450件礼物， 故答案为：1225；2450； ③当n＝9时，＝＝36（种）， ∴从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备36种车票， 故答案为：36． 2、如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价． 【答案】     20     10 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 又∵往返票价是一样的， ∴需要10种票价， 故答案为：20；10． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 3、从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 【答案】10 【解析】解：由题意可知共有5个站点， ∴共有种车票， 但往返两个站点的票价相同，即有种票价，故答案为：10． 4、（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性； （3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【解题思路】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． 【解答过程】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB， 以点D为左端点的线段有线段DB， ∴共有3+2+1＝6条线段； （2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1， ∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1）， ∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1）， ∴xm（m﹣1）； （3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段， 直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行45×（45﹣1）＝990次握手． 【题型7：直线和线段的性质】 【例7-1】书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（ ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】B 【解析】解：我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线，故选：B． 【例7-2】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是两点之间，线段最短． 故选：A． 【变式训练】 1、如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线， 这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：D． 2、在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【答案】B 【解答】解：∵两点确定一条直线， ∴至少需要2枚钉子． 故选：B． 3、如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解答】解：第③条道路最近，理由是两点之间，线段最短． 故选：C． 4、下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（　　） A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程 B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上 C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线 D．如图4，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的 【答案】A 【解答】解：A、把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意； B、用两根钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意； C、植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意； D、将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意； 故选：A． 5、在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：C． 【题型8：作线段（尺规作图）】 【例8】如图，已知线段，借助圆规和直尺作一条线段，使得（保留作图痕迹，不要求写出作法）．    【答案】见解析 【解析】解：如图所示，即为所求．    【变式训练】 1、如图，已知线段a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）． （1）画一条线段，使它等于a+b； （2）画一条线段，使它等于a﹣c； 并用字母表示出所画线段． 【解答】解：（1）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线于B点，再以B为圆心，以线段b的长为半径画圆，交l于点C（C在AB外），则线段AC即为所求； 如图所示： （2）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线于B点，再以B为圆心，以线段c的长为半径画圆，交l于点C（C在AB内），则线段AC即为所求； 如图所示： 2、已知：线段， ． 求作：线段（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）    【答案】见解析 【解析】解：如图所示，线段即为所求； 先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧与射线交于D，再以D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段于B，线段即为所求．      3、如图，已知线段a，b，用圆规和直尺画线段，要求：不写做法，保留作图痕迹．    【答案】图见解析 【解析】解：如图，线段即为所求；    【题型9：线段的简单计算】 【例9-1】如图，线段，点C在线段上且，其中点D是的中点，点O是的中点，求的长度． 【答案】 【解析】解：∵，点O是的中点， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴． 【变式训练1】 1、如图，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长．    【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴， ∴． 2、如图，已知点是线段上一点， ，  点分别是的中点．，，求线段的长． 【答案】18 【解析】解：点分别是的中点 ， ， ∴，， ∴， ，故 【例9-2】如图，线段，点、把线段分成三部分，其比是，是的中点． （1）求线段的长； （2）求线段的长． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）解：点、把线段分成三部分，其比是， 设，，， 线段， ； （2）是的中点． ， 【变式训练2】 1、如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 【答案】线段，的长分别是8，4 【解析】解：点将分成两部分， ； 点将分成两部分， ． 又， ， ， ． ． 故，． 答：线段，的长分别是8，4． 2、在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且（a＋4）2+|c－6|=0．b是最小的正整数． （1）a=______________，b=______________，c=______________． （2）请你把点A，B，C表示在数轴上； （3）若点E是线段OC的三等分点，请求出AE的值． 【答案】（1）－4；1；6（2）见解析（3）6或8 【解析】（1）解：（a＋4）2+|c－6|=0， ∴（a＋4）2≥0，|c－6|≥0， ∴，， 解得：，， ∵b是最小的正整数， ∴b=1； （2）解：如图， （3）解：∵点E是线段OC的三等分点， ∴或， 当时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，AE=6或8． 【例9-3】已知点，，在同一条直线上，线段，，点是线段的中点，那么，两点间的距离是 cm． 【答案】或 【解析】解：点位于的延长线上，如图所示， ， ， ， 点是线段的中点， 当点位于之间，如下图所示， ， ， ， 点是线段的中点， ， 综上，，两点间的距离为或． 【变式训练3】 1、点A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则BC＝（　　） A．12cm B．8cm C．12cm或8cm D．以上均不对 【答案】C 【解答】解：（1）点C在A、B中间时， BC＝AB﹣AC＝10﹣2＝8（cm）． （2）点C在点A的左边时， BC＝AB+AC＝10+2＝12（cm）． ∴线段BC的长为12cm或8cm． 故选：C． 2、点C是线段AB上的三等分点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为（　　） A．18或36 B．18或24 C．24或36 D．24或48 【答案】A 【解答】解：如图1， ∵点C是线段AB上的三等分点， ∴AB＝3BC， ∵E是线段BC的中点，CE＝6， ∴BC＝2CE＝12， ∴AB＝3×12＝36； 如图2， ∵E是线段BC的中点，CE＝6， ∴BC＝2CE＝12， ∴AC＝6， ∵点C是线段AB上的三等分点， ∴AB＝3AC＝18， 则AB的长为18或36． 故选：A． 3、如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： （1）求的长度； （2）求的长度； （3）若在直线上，且，求的长度． 【答案】（1）（2）；（3）或． 【解析】（1）由线段中点的性质，； （2）由线段的和差，得， 由线段中点的性质，得， 由线段的和差，得； （3）当在点的右侧时，， 当在点的左侧时，， ∴的长度为或． 【题型10：“双中点”模型】 【例10】如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（　　） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 【答案】A 【解答】解：∵点M是AB的中点， ∴BM＝AM＝AB＝×6＝3（cm）， ∵BC＝10cm，CD＝8cm， ∴BD＝BC+CD＝10+8＝18（cm）， ∵点N是BD的中点， ∴BN＝DN＝BD＝×18＝9（cm）， ∴MN＝MB+BN＝3+9＝12（cm）．故选：A． 【变式训练】 1、若点B在线段AC上，AB＝6cm，BC＝10cm，P、Q分别是AB、BC的中点，则线段PQ的长为（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】D 【解答】解：由分析得：PQ＝PB+BQ＝（AB+BC），AB＝6cm，BC＝10cm，所以PQ＝8cm，故选D． 2、已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 【答案】D 【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN＝AC+BC＝AB＝5cm； （2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN＝AC﹣BC＝7﹣2＝5cm． 综合上述情况，线段MN的长度是5cm． 故选：D． 3、如图，已知线段AB＝12cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝4cm，EF＝　　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝12cm，CD＝2cm，AC＝4cm， ∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝6cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CE＝AC＝2cm，DF＝BD＝3cm， ∴EF＝CE+CD+DF＝7cm； 故答案为：7； （2）不改变， 理由：∵AB＝12cm，CD＝2cm， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CE＝AC，DF＝BD， ∴CE+DF＝AC+BD＝5cm， ∴EF＝CE+CD+DF＝7cm． 4、如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有 　　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　 　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度． 【解答】解：（1）以A为端点的线段有AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段有BC、BD共2条；以C为端点的线段为CD，有1条，故共有线段的条数为：3+2+1＝6， 故答案为：6； （2）①∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，且AB＝CD ∴AC＝BD 故答案为：＝； （2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD． 故答案为：＝； ②∵AD＝20，BC＝12， ∴AB+CD＝AD﹣BC＝8， ∵M是AB的中点，N是CD的中点， ∴BM＝，CN＝， ∴， ∴MN＝BM+CN+BC＝4+12＝16． 5、如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点． （1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长； （2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长． 【解答】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点， 所以AM＝＝4cm， 又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点， 所以AN＝＝1.6cm， 所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm； （2）因为M是AB的中点， 所以AM＝， 因为N是AC的中点， 所以AN＝， ∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝． 6、如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点， ∴CM＝0.5AC＝4.5cm， ∵BC＝6cm，点N是BC的中点， ∴CN＝0.5BC＝3cm， ∴MN＝CM+CN＝7.5cm， ∴线段MN的长度为7.5cm， （2）MN＝a， 当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN＝a， （3）当点C在线段AB的延长线时，如图： 则AC＞BC， ∵M是AC的中点， ∴CM＝AC， ∵点N是BC的中点， ∴CN＝BC， ∴MN＝CM﹣CN＝（AC﹣BC）＝b． 【题型11：与线段有关的动点问题】 【例11】已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【解析】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：    ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：    ，， ， ，综上所述：的值为1或. 【变式训练】 1、已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点．当时，的长为 ． 【答案】或 【解析】∵点是射线上的一个动点， ∴点在直线之内，如图， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在直线之外，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 2、如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 【答案】5 【解析】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出报警， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∵BC和AD中点是同一个， ∴发出警报的点P最多有5个． 3、如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． （1）当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】（1）①；②（2）或 【解析】（1）解：①当时，； ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 4、如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． （1）当点追上点时，求的值． （2）若点相距，则的值为多少？ 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）解：由题意得： 解得：， ∴当点追上点时， 的值为； （2）当点未追上点时，，得； 当点追上点后，，得； 综上，当或时，点M与N相距． 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$- 1 - 2024-2025学年七年级数学上学期同步复习讲义（人教版） 直线、射线、线段 教学目标 1．了解直线、射线与线段的概念，掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，知道两点间的距 离和线段中点的含义，并能进行线段的计算； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：直线、射线与线段的概念，两点间的距离和线段中点的含义； 难点：利用两点间的距离和线段中点的含义进行线段的计算。 教学内容 直线、射线、线段 - 2 - 一、直线 1、概念：直线就是经过两点的一条线。直线两端是可以无限延伸的，没有长度。 2、性质： （1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（两点确定一条直线） （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了。 3、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（一条直线上的两点）表示； 4、点与直线的位置关系：①点在直线上；②点在直线外； 5、直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 二、射线 1、概念：射线就是直线上的一点和它一旁的部分。这个点就是射线的端点，从这个点伸出的一条线就是射线。 射线只有一端是无限延伸的，没有长度。 2、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点写在前面+除端点外的射线上的一点）表示。 三、线段 1、概念：直线上两个点和两个点之间的部分就是线段。线段两边有端点；线段是有长度的，可以度量的。 2、性质—线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有连线中，线段最 短（两点之间，线段最短）。 3、两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离。 4、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点）表示。 5、作一条线段等于已知线段的方法： （1）度量尺作图：先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）尺规作图（用无刻度的直尺和圆规）：用直尺画射线，再用圆规在射线上截取线段长度。 6、线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。 7、比较线段的长短：度量比较法、重合比较法。就结果而言有三种结果：AB>CD、AB=CD、AB<CD。 - 3 - 【重点总结】 一、直线、射线与线段的概念 【注意】直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与 射线不可测量长度，只有线段可以测量。 二、基本事实 1、经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2、两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 三、基本概念 1、两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2、线段的中点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点。 - 4 - 【题型 1：直线、射线与线段】 【例 1】如图，下列说法正确的是（ ） A．线段 AB与线段 BA是不同的两条线段 B．射线 BC与射线 BA是同一条射线 C．射线 AB与射线 AC是两条不同的射线 D．直线 AB与直线 BC是同一条直线 【答案】D 【解答】解：A、线段 AB与线段 BA是同一条线段，选项说法错误，不符合题意； B、射线 BC与射线 BA不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； C、射线 AB与射线 AC是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、直线 AB与直线 BC是同一条直线，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1、下列说法错误的是（ ） A．直线 AB和直线 BA表示同一条直线 B．直线 AB比射线 AB长 C．线段 AB和线段 BA表示同一条线段 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【解答】解：A：直线 AB和直线 BA是同一条直线，故 A是正确的； B：直线和射线都是不可度量的，因此不能比较大小，故 B是错误的； C：线段 AB和线段 BA是同一条线段，故 C是正确的； D：过一点可以作无数条直线，故 D是正确的； 故选：B． - 5 - 2、如图，图中射线、线段、直线的条数分别为（ ） A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1 【答案】A 【解答】解：如图，射线有：AB、AC、BC、BA、CB、CA、DB、BE，共 8条； 线段有：AB、BC、AC、DB，共 4条； 直线有：直线 AC，1条； 故选：A． 3、下列叙述正确的是（ ） A．线段 AB可表示为线段 BA B．射线 CD可表示为射线 DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短 【答案】A 【解答】解：A．线段 AB可表示为线段 BA，故说法正确，符合题意； B．射线 CD不可表示为射线 DC，故说法错误，不合题意； C．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意； D．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意； 故选：A． - 6 - 【题型 2：画出线段、射线、直线】 【例 2】如图，平面上有四个点�、�、�、�，根据下列语句画图： （1）画直线��，直线��交于点�； （2）画射线��，射线��交于点�； （3）连接线段��，并反向延长线段��； （4）连接线段��交线段��的反向延长线于点�． 【详解】（1）解：如图所示：直线��，直线��，点�即为所作， ； （2）解：如图所示：射线��，射线��，点�即为所作， ； （3）解：如图，线段��、射线��即为所作， - 7 - ； （4）解：如图，线段��，点�即为所作， ． 【点睛】本题考查了画出直线、射线、线段，熟练掌握直线、线段、射线的定义是解题的关键． 【变式训练】 1、如图，已知线段 AB，点 C在 AB上，点 P在 AB外． （1）根据要求画出图形：画直线 PA，画射线 PB，连接 PC； （2）写出图中的所有线段． 【答案】（1）见解析（2）PA、PC、PB、AC、AB、CB 【解析】（1）解：如图，直线 PA，射线 PB，连接 PC； - 8 - （2）图中的所有线段为 PA、PC、PB、AC、AB、CB． 2、如图，在平面内有�，�，�三点． （1）画直线��，射线��； （2）在线段��上任取一点 D（不同于点 B，C），连接��； （3）数数看，此时图中线段共有_______条． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【分析】（1）按照题意要求作图即可； （2）连接线段��即可； （3）根据线段的定义解答即可． 【详解】（1）直线��，射线��如图所示； （2）如图，线段��如图所示； （3）图中的线段是：��, ��, ��, ��, ��, ��，有 6条． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的作图和线段的条数，属于基础题目，熟练掌握线段、直线、射线的基本知 识是关键． - 9 - 3、如图，A、B、C、D四点在同一平面内，并且每三点都不在同一条直线上，读下列语句，按要求画出图形． （1）连接 AD，并延长线段 DA； （2）连接 BC，并反向延长线段 BC； （3）连接 AC、BD相交于 O； （4）DA的延长线与 BC的反向延长线交于点 P． 【解题思路】根据线段和射线的画法按要求画出图形． 【解答过程】解：如图． - 10 - 【题型 3：点与线的位置关系】 【例 3】如图，请用直尺判断在线段 AB延长线上的点是（ ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】D【解析】解：让直尺一端与 AB 重合，可知点 Q在 AB的延长线上故选：D 【变式训练】 1、以下关于图的表述，不正确的是（ ） A．点 A在直线 BD外 B．点 D在直线 AB上 C．射线 AC是直线 AB的一部分 D．直线 AC和直线 BD相交于点 B 【答案】B 【解析】解：A、点 A在直线 BD外，正确； B、点 D在直线 AB外，故原说法错误； C、射线 AC是直线 AB的一部分，正确； D、直线 AC和直线 BD相交于点 B，正确；故选：B． 2、如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ） A．点 P在直线 AB外 B．点 C在直线 AB外 C．点 M不经过直线 AB D．点 B经过直线 AC 【答案】B 【解析】解：A、点 P在直线 AB外，符合图形描述，选项正确； B、点 C在直线 AB上，故此选项不符合图形描述，选项错误； C、点 M不经过直线 AB，符合图形描述，选项正确； D、点 B经过直线 AC，符合图形描述，选项正确．故选：B． - 11 - 3、直线 AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句： ①点 B在直线 BC上；②直线 AB经过点 C；③直线 AB，BC，CA两两相交；④点 B是直线 AB，BC的交点，以 上语句正确的有 （只填写序号） 【答案】①③④ 【解析】解：由图可得，①点 B在直线 BC上，正确； ②直线 AB不经过点 C，错误； ③直线 AB，BC，CA两两相交，正确； ④点 B是直线 AB，BC的交点，正确； 故答案为：①③④． 【题型 4：线段、射线、直线的数量问题】 【例 4】如图，小轩同学根据图形写出了四个结论： ①图中共有 2条直线；②图中共有 7条射线；③图中共有 6条线段；④图中射线��与射线��是同一条射线． 其中结论错误的是（ ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据直线、线段、射线的区别逐项分析判断即可． 【详解】解：①图中只有 1条直线��，故错误； ②以�、�为端点可以各引出两条射线，以�为端点可以引出 3条射线，以�端点可以引出 1条射线，则图中共有 2 × 2 + 3 + 1 = 8条射线，故错误； ③图中共有 6条线段，即线段��、��、��、��、��、��，故正确； ④图中射线��与射线��不是同一条射线，故错误； ∴错误的有①②④， - 12 - 故选：D． 【点睛】本题考查了直线、线段、射线的区别与联系，理解三者的区别是解题的关键． 【变式训练】 1、如图，以点 O为端点的射线有 条． 【答案】4 【分析】根据射线的定义，进行作答即可． 【详解】解：以点 O为端点的射线有：射线��, ��, ��, ��，共 4条； 故答案为：4． 【点睛】本题考查射线．熟练掌握射线的定义：直线上一点及其一旁的部分，是解题的关键． 2、如图，点�、�、�是直线�上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（ ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可． 【详解】解：根据两点确定一条直线，知道图中只有 1条直线， 图中的线段有��，��，��，共 3条， 以点�、�、�分别为端点的射线，共 6条， 故选：C 【点睛】本题考查了直线的性质，直线、射线、线段，在数线段的时候，按照顺序数，要做到不重不漏． 3、如图，设图中有 a条射线，b条线段，则� + � = ． 【答案】12 - 13 - 【分析】根据射线与线段的概念可得 a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：根据图可知，共有 6条射线，6条线段，即 a=6，b=6， ∴a+b=6+6=12． 故答案为：12． 【点睛】此题考查的是射线与线段的概念，解题关键是掌握射线和线段的概念和性质是关键． 【题型 5：直线相交的交点个数】 【例 5-1】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（ ） A．0个或 1个 B．1个或 2个 C．2个或 3个 D．0个或 1个或 2个或 3个 【答案】D 【解析】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有 0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有 2个交点； ③三条直线都不平行，有 1个或 3个交点； 综上分析可知：交点的个数可能为 0个或 1个或 2个或 3个．故选：D． 【例 5-2】观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块； （2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切 10刀（不许重叠），最多可得到 块饼． 【答案】（1）10，16；（2）1 2 n（n﹣1）；1+1 2 n（n+1）；（3）56 【分析】（1）总结规律，根据规律求解； - 14 - （2）根据题目中的交点个数，找出 n条直线相交最多有的交点个数公式：1 2 n（n﹣1）；n条直线两两相交，平面被 分成 1+1 2 n（n+1）块； （3）根据（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）5条直线两两相交，有 10个交点，平面被分成 16块； 故答案为：10，16； （2）2条直线相交有 1个交点； 3条直线相交有 1+2＝3个交点； 4条直线相交有 1+2+3＝6个交点； 5条直线相交有 1+2+3+4＝10个交点； 6条直线相交有 1+2+3+4+5＝15个交点； … n条直线相交有 1+2+3+4+…+（n﹣1）＝1 2 n（n﹣1）； 平面被分成 1+1+2+3+4+…+（n+1）＝1+1 2 n（n+1）； 故答案为： 1 2 n（n﹣1）；1+1 2 n（n+1）； （3）当 n＝10时，1 + 1 2 � � + 1 = 1 + 1 2 × 10 × 10 + 1 = 56（块）， 故答案为：56 【点睛】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键. 【变式训练】 1、表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数） 【答案】15 �(�−1) 2 【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是 1+2+3+（n-1）． 【详解】6条直线相交，最多有个交点 1+2+3+4+5=15； - 15 - n条直线相交，最多有 1+2+3+（n-1）＝�(�−1) 2 . 故答案是：15，�(�−1) 2 . 【点睛】考查了直线，每两条直线有一个交点得出 n条直线最多的交点是 1+2+3+（n-1）是解题关键. 2、观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多 1个交点；②三条直线相交最多有 3个交点；③四条直线相交最多有 6个交点；那么十条直 线相交交点个数最多有（ ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【答案】B 【解析】解：①两直线相交，最多 1个交点； ②三条直线相交最多有 1 + 2 个交点； ③四条直线相交最多有 1 + 2 + 3 个交点； …… 由此可得 10条直线相交交点个数最多为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45（个）， 故选：B． 3、平面内两两相交的 6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多 有 个交点． 【答案】 1 15 n n−1 2 【解析】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为 1个； 若平面内有相交的 2条直线，则最多有 1个交点；（即：1 = 2×1 2 = 1）； 若平面内有两两相交的 3条直线，则最多有 3个交点；（即：1 + 2 = 3×2 2 = 3）； 若平面内有两两相交的 4条直线，则最多有 6个交点；（即：1 + 2 + 3 = 4×3 2 = 6）； 若平面内有两两相交的 5条直线，则最多有 10个交点；（即：1 + 2 + 3 + 4 = 5×4 2 = 10）； 则平面内两两相交的 6条直线，其交点个数最多有 15个交点；（即 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6×5 2 = 15）； - 16 - 若平面内有 n条直线两两相交，则最多有n n−1 2 个交点； 故答案为：1，15，n n−1 2 ． 4、平面上不重合的两点确定 1条直线，不同三点最多可确定 3条直线．若平面上 5条直线两两相交，交点最多有 a个，最少有 b个，则 a + b =（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【解析】解：平面上有 5条直线相交，则这 5条直线最多有5× 5−1 2 = 10个交点，当 5条直线相交于同一个点时， 最少有 1个交点， ∴ a = 10，b = 1， ∴ a + b = 10 + 1 = 11，故选：D． 5、若平面内互不重合的 4条直线只有 3个交点，则平面被分成了（ ）个部分． A．7或 8 B．8 C．8或 9 D．10 【答案】C 【解析】如图， 所以，平面内互不重合的 4条直线只有 3个交点，则平面被分成了 8或 9个部分，故选 C． - 17 - 【题型 6：线段的计数问题及其应用】 【例 6-1】若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： （1）如图 1，直线 l上有 3个点 A，B，C，则可以确定 条线段； （2）如图 2，直线 l上有 4个点 A，B，C，D，则可以确定 条线段； （3）若直线上有 n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 【答案】（1）3（2）6（3）�(�−1) 2 条，见解析 【分析】（1）根据线段定义即可求解． （2）根据线段的定义即可求解． （3）由（1）（2）找出规律即可求解． （1）解：由图可得： 直线 l上有 3个点 A，B，C，可得线段 AB、线段 BC和线段 AC， 则可以确定 3条线段， 故答案为：3． （2）有图可得： 直线 l上有 4个点 A，B，C，D，可得线段 AB、线段 AC、线段 AD、线段 BC、线段 BD和线段 CD， 则可以确定 6条线段， 故答案为：6． （3）由（1），（2）可得， 当直线上有 n个点，则： (� − 1) + (� − 2) + (� − 3) + ⋯ + 3 + 2 + 1 = �−1+1 2 ⋅ (� − 1) = �(�−1) 2 ． 【点睛】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键． 【例 6-2】如图，若 A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有 5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（ ） 种车票． A．49 B．42 C．21 D．20 【答案】B 【解答】解：如图所示，线段的总条数是 ×6×7＝21， - 18 - 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制 21×2＝42（种）． 故选：B． 【变式训练】 1、由襄阳东站到汉口站的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：襄阳东站一枣阳一随州南一新安陆西一孝感东 一汉口站，那么铁路运营公司要为这条线路制作的车票有（ ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 【答案】D 【解答】解：如图， 图中线段的条数为 5+4+3+2+1＝15（条）， 15×2＝30（种） 故选：D． ②当 n＝50时， ＝1225（次）， n（n﹣1）＝50×（50﹣1）＝50×49＝2450（件）， ∴某班 50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握 1225次手，最后，每两个人要互赠礼 物留念，则共需 2450件礼物， 故答案为：1225；2450； ③当 n＝9时， ＝ ＝36（种）， ∴从 A地到 B地的火车途中共停靠 7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备 36种车票， 故答案为：36． 2、如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的 5个点表示 5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________ 种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价． 【答案】 20 10 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是 4 × 5 ÷ 2 = 10（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制 10 × 2 = 20（种）， 又∵往返票价是一样的， - 19 - ∴需要 10种票价， 故答案为：20；10． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有�个点，则线段的数量有�(�−1) 2 条”． 3、从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 【答案】10 【解析】解：由题意可知共有 5个站点， ∴共有 5×4=20种车票， 但往返两个站点的票价相同，即有 20÷2=10种票价，故答案为：10． 4、（1）观察思考：如图，线段 AB上有两个点 C、D，请分别写出以点 A、B、C、D为端点的线段，并计算图中 共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有 m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正 确性； （3）拓展应用：某班 45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握 1次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【解题思路】（1）从左向右依次固定一个端点 A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． 【解答过程】解：（1）∵以点 A为左端点向右的线段有：线段 AB、AC、AD， 以点 C为左端点向右的线段有线段 CD、CB， 以点 D为左端点的线段有线段 DB， ∴共有 3+2+1＝6条线段； （2）设线段上有 m个点，该线段上共有线段 x条， 则 x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1， ∴倒序排列有 x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1）， ∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1）， ∴x= 1 2 m（m﹣1）； （3）把 45位同学看作直线上的 45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段， 直线上 45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行1 2 ×45×（45﹣1）＝990次握手． - 20 - 【题型 7：直线和线段的性质】 【例 7-1】书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才 能牢固，这里面包含的数学事实是（ ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】B 【解析】解：我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线，故选：B． 【例 7-2】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（ ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是两点之间，线段最短． 故选：A． 【变式训练】 1、如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知 识解释应是（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线， 这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：D． - 21 - 2、在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【答案】B 【解答】解：∵两点确定一条直线， ∴至少需要 2枚钉子． 故选：B． 3、如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解答】解：第③条道路最近，理由是两点之间，线段最短． 故选：C． 4、下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） A．如图 1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程 B．如图 2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上 C．如图 3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线 D．如图 4，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的 【答案】A 【解答】解：A、把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意； B、用两根钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意； C、植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合 题意； D、将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的利用的是两点确定一 - 22 - 条直线，故此选项不合题意； 故选：A． 5、在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中 利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：C． 【题型 8：作线段（尺规作图）】 【例 8】如图，已知线段 b，借助圆规和直尺作一条线段 AB，使得 AB = 3b（保留作图痕迹，不要求写出作法）． 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，AB即为所求． 【变式训练】 1、如图，已知线段 a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）． （1）画一条线段，使它等于 a+b； （2）画一条线段，使它等于 a﹣c； 并用字母表示出所画线段． 【解答】解：（1）先画一条直线 l，在 l上找一点 A，以 A为圆心，线段 a的长为半径画圆交直线于 B点，再以 B 为圆心，以线段 b的长为半径画圆，交 l于点 C（C在 AB外），则线段 AC即为所求； - 23 - 如图所示： （2）先画一条直线 l，在 l上找一点 A，以 A为圆心，线段 a的长为半径画圆交直线于 B点，再以 B为圆心，以 线段 c的长为半径画圆，交 l于点 C（C在 AB内），则线段 AC即为所求； 如图所示： 2、已知：线段 a，b (a > b)． 求作：线段 AB = a − b（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，线段 AB即为所求； 先作射线 AC，再以 A为圆心，线段 a的长为半径画弧与射线 AC交于 D，再以 D为圆心，线段 b的长为半径画弧 交线段 AD于 B，线段 AB即为所求． 3、如图，已知线段 a，b，用圆规和直尺画线段 AB = 2b − a，要求：不写做法，保留作图痕迹． 【答案】图见解析 【解析】解：如图，线段 AB即为所求； - 24 - 【题型 9：线段的简单计算】 【例 9-1】如图，线段 AB = 10cm，点 C在线段 AB上且 AC = 6cm，其中点 D是 AC的中点，点 O是 AB的中点， 求 DO的长度． 【答案】2cm 【解析】解：∵AB = 10cm，点 O是 AB的中点， ∴AO = 1 2 AB = 5cm， ∵AC = 6cm，点 D是 AC的中点， ∴AD = 1 2 AC = 3cm， ∴DO = AO − AD = 2cm． 【变式训练 1】 1、如图，已知点 C为 AB上一点，AC = 30cm，BC = 2 5 AC，D，E分别为 AC，AB的中点，求 DE的长． 【答案】6cm 【解析】解：∵AC = 30cm，BC = 2 5 AC， ∴BC = 2 5 × 30 = 12cm， ∴AB = AC + BC = 42cm， ∵D，E分别为 AC,AB的中点， ∴AD = 1 2 AC = 15cm, AE = 1 2 AB = 21cm， ∴DE = AE − AD = 6cm． 2、如图，已知点 C是线段 AB 上一点， AC < BC， 点 M、N分别是 AB、BC 的中点．MN = 4，BC = 10，求线 段 AB的长． 【答案】18 【解析】解：∵点 M、N分别是 AB、BC的中点 ∴ AM = BM = 1 2 AB，CN = BN = 1 2 BC - 25 - ∵ MN = 4，BC = 10 ∴CN = 1 2 BC = 5，CM = CN − MN = 1， ∴BM = BC − CM = 9， ∴ AB = 2BM = 2 × 9 = 18，故 AB = 18 【例 9-2】如图，线段 AB = 18cm，点 N、C把线段 AB分成三部分，其比是 AN:NC: CB = 2: 3: 4，M是 AB的中点． （1）求线段 AC的长； （2）求线段 CM的长． 【答案】（1）10cm（2）1cm 【解析】（1）解：∵点 N、C把线段 AB分成三部分，其比是 AN: NC: CB = 2: 3: 4， ∴设 AN = 2x，NC = 3x，CB = 4x， ∵线段 AB = 18cm， ∴ 2x + 3x + 4x = 18 ∴ x = 2 ∴ AC = 5x = 10cm； （2）∵ M是 AB的中点． ∴ AM = 1 2 AB = 9cm，∴ CM = AC − AM = 10 − 9 = 1 cm 【变式训练 2】 1、如图，线段 AB上有两点M，N，点M将线段 AB分成 2:3两部分，点 N将线段 AB分成 4:1两部分，且MN ＝8，求线段 AM，NB的长分别是多少？ 【答案】线段 AM，NB的长分别是 8，4 【解析】解：∵点 M将 AB分成 2:3两部分， ∴AM= 2 5 AB； ∵点 N将 AB分成 4:1两部分， ∴AN= 4 5 AB． 又∵AN-AM=MN， ∴ 4 5 AB − 2 5 AB = 8， - 26 - ∴AB=20， ∴AM= 2 5 AB = 8． ∴NB=AB-AN= 1 5 AB = 4． 故 AM = 8，NB = 4． 答：线段 AM，NB的长分别是 8，4． 2、在数轴上点 A表示数 a，点 B表示数 b，点 C表示数 c，并且（a＋4）2+|c－6|=0．b是最小的正整数． （1）a=______________，b=______________，c=______________． （2）请你把点 A，B，C表示在数轴上； （3）若点 E是线段 OC的三等分点，请求出 AE的值． 【答案】（1）－4；1；6（2）见解析（3）6或 8 【解析】（1）解：（a＋4）2+|c－6|=0， ∴（a＋4）2≥0，|c－6|≥0， ∴a + 4 = 0，c − 6 = 0， 解得：a =− 4，c = 6， ∵b是最小的正整数， ∴b=1； （2）解：如图， （3）解：∵点 E是线段 OC的三等分点， ∴OE = 1 3 OC或 OE = 2 3 OC， 当 OE = 1 3 OC时，如图， ∵OC = 6， - 27 - ∴OE = 1 3 × 6 = 2， ∴AE = AO + OE = 4 + 2 = 6； ②当 OE = 2 3 OC时， ∵OC = 6， ∴OE = 2 3 × 6 = 4， ∴AE = AO + OE = 4 + 4 = 8； 综上所述，AE=6 或 8． 【例 9-3】已知点 A，B，C在同一条直线上，线段 AB = 8cm，BC = 1 2 AB，点 D是线段 AC的中点，那么 A，D两 点间的距离是 cm． 【答案】2或 6 【解析】解：点 C位于 AB的延长线上，如图所示， ∵ AB = 8cm， ∴ BC = 1 2 AB = 4cm， AC = AB + BC = 8 + 4 = 12cm， ∵点 D是线段 AC的中点， ∴ AD = 1 2 AC = 1 2 × 12 = 6cm 当点 C位于 AB之间，如下图所示， ∵ AB = 8cm， ∴ BC = 1 2 AB = 4cm， ∴ AC = 4cm， ∵点 D是线段 AC的中点， ∴ AD = 1 2 AC = 1 2 × 4 = 2cm， 综上，A，D两点间的距离为 2或 6． - 28 - 【变式训练 3】 1、点 A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则 BC＝（ ） A．12cm B．8cm C．12cm或 8cm D．以上均不对 【答案】C 【解答】解：（1）点 C在 A、B中间时， BC＝AB﹣AC＝10﹣2＝8（cm）． （2）点 C在点 A的左边时， BC＝AB+AC＝10+2＝12（cm）． ∴线段 BC的长为 12cm或 8cm． 故选：C． 2、点 C是线段 AB上的三等分点，E是线段 BC的中点，若 CE＝6，则 AB的长为（ ） A．18或 36 B．18或 24 C．24或 36 D．24或 48 【答案】A 【解答】解：如图 1， ∵点 C是线段 AB上的三等分点， ∴AB＝3BC， ∵E是线段 BC的中点，CE＝6， ∴BC＝2CE＝12， ∴AB＝3×12＝36； 如图 2， ∵E是线段 BC的中点，CE＝6， ∴BC＝2CE＝12， ∴AC＝6， ∵点 C是线段 AB上的三等分点， - 29 - ∴AB＝3AC＝18， 则 AB的长为 18或 36． 故选：A． 3、如图，已知点 C为线段 AB上一点，AC = 12cm，CB = 8cm，D、E分别是 AC、AB的中点．求： （1）求 AD的长度； （2）求 DE的长度； （3）若 M在直线 AB上，且 MB = 6cm，求 AM的长度． 【答案】（1）6cm（2）4cm；（3）26cm或 14cm． 【解析】（1）由线段中点的性质，AD = 1 2 AC = 6 cm ； （2）由线段的和差，得 AB = AC + BC = 12 + 8 = 20 cm ， 由线段中点的性质，得 AE = 1 2 AB = 10 cm ， 由线段的和差，得 DE = AE − AD = 10 − 6 = 4 cm ； （3）当 M在点 B的右侧时，AM = AB + MB = 20 + 6 = 26 cm ， 当 M在点 B的左侧时，AM = AB − MB = 20 − 6 = 14 cm ， ∴AM的长度为 26cm或 14cm． 【题型 10：“双中点”模型】 【例 10】如图，点 M是 AB的中点，点 N是 BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则 MN的长为（ ） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 【答案】A 【解答】解：∵点 M是 AB的中点， ∴BM＝AM＝ AB＝ ×6＝3（cm）， ∵BC＝10cm，CD＝8cm， ∴BD＝BC+CD＝10+8＝18（cm）， ∵点 N是 BD的中点， ∴BN＝DN＝ BD＝ ×18＝9（cm）， ∴MN＝MB+BN＝3+9＝12（cm）．故选：A． - 30 - 【变式训练】 1、若点 B在线段 AC上，AB＝6cm，BC＝10cm，P、Q分别是 AB、BC的中点，则线段 PQ的长为（ ） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】D 【解答】解：由分析得：PQ＝PB+BQ＝ （AB+BC），AB＝6cm，BC＝10cm，所以 PQ＝8cm，故选 D． 2、已知线段 AB＝10cm，点 C是直线 AB上一点，BC＝4cm，若 M是 AC的中点，N是 BC的中点，则线段 MN 的长度是（ ） A．7cm B．3cm C．7cm或 3cm D．5cm 【答案】D 【解答】解：（1）当点 C在线段 AB上时，则 MN＝ AC+ BC＝ AB＝5cm； （2）当点 C在线段 AB的延长线上时，则 MN＝ AC﹣ BC＝7﹣2＝5cm． 综合上述情况，线段 MN的长度是 5cm． 故选：D． 3、如图，已知线段 AB＝12cm，CD＝2cm，线段 CD在线段 AB上运动，E、F分别是 AC、BD的中点． （1）若 AC＝4cm，EF＝ cm； （2）当线段 CD在线段 AB上运动时，试判断 EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出 EF的长度，如果变化， 请说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝12cm，CD＝2cm，AC＝4cm， ∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝6cm， ∵E、F分别是 AC、BD的中点， ∴CE＝ AC＝2cm，DF＝ BD＝3cm， ∴EF＝CE+CD+DF＝7cm； 故答案为：7； （2）不改变， 理由：∵AB＝12cm，CD＝2cm，