专题04 函数三大性质应用（4大基础题+8大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题04 函数三大性质应用 经典基础题 题型1 奇偶性 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】因为定义域为的奇函数，有,进而求解. 【详解】因为的定义域为, 所以, 解得, 经验证满足题意， 故选：B. 2．（22-23高一 安徽黄山·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设易得，并判断的周期，利用周期性、偶函数性质求目标函数值. 【详解】由题意关于对称，即，且， 所以，即，又， 所以，即， 所以，故的周期为4， 则. 故选：B 3．（22-23·安徽亳州·期末）设是定义在上的奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用奇函数的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 则关于原点对称，所以，，解得， 且，即， 所以，，解得，所以，，且， 所以，. 故选：D. 4．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．的单调递增区间为 C．的最小值为 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合对勾函数性质及函数奇偶性及单调性定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以是偶函数，其图象关于轴对称，所以A正确 对于B中，由， 当时，根据对勾函数的性质，可得函数在是减函数，所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为，所以C正确； 对于D中，当时，可得，由， 根据对勾函数性质，可得函数在是增函数， 又因为，所以，所以D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，若实数且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】易知，且，，故是奇函数， 又易得函数单调递增，必有，化简得，则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是. 故答案为： 题型2单调性 1．（23-24高一上·安徽太和中学·期末）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式和函数单调性可得，，，结合存在性问题以及恒成立问题列式求解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 又因为，且， 可知函数在上单调递增， 可得，所以， 即若，则，， 若对，使得， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题求的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重要且基础方法，应熟练掌握. 2．（22-23高一上·安徽淮北·期末）已知则满足不等式的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析的单调性，结合单调性解不等式. 【详解】由解析式可知， 在为常函数，在上单调递增， 且，故在R上连续， 若， 则，得； 或，得； 综上，， 故选：C. 3．（20-21高一上·安徽六安·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】先判断出函数在单调递减，即可求出最大值. 【详解】在单调递减， . 故选：C. 4．（22-23高一上·安徽滁州·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若对任意，，当时，，则在上是增函数 B．函数在上是增函数 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 【答案】AD 【分析】根据函数的单调性定义判断A，由二次函数和反比例函数性质判断BCD． 【详解】对于A：若对任意，，当时，，则有， 由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确． 对于B，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误； 对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确． 故选：AD． 5．（22-23高一上·安徽阜阳期末）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集. 【详解】解：不妨令，则等价于， 可得， 构造函数，则是上的增函数， 因为， 所以等价于， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型3 周期性 1．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得出函数的周期为，再利用，即可求出结果. 【详解】因为为奇函数，所以，又为偶函数，得到， 由，得到，所以， 即有，所以，故函数的周期为， 又，所以， 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以，即， 令，由①得：， 解得：，所以． 又因为， 即，则，所以函数是以为周期的函数， 所以 ． . 故选：D 【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性： （1）是偶函数，则； （2）是奇函数，则. 3．（21-22高一下·安徽滁州·期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，分析可得，变形可得，即是周期为8的周期函数，结合函数的解析式可得答案． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 若函数满足，则有， 则有，可得，则函数是周期为8的周期函数， 所以， 因为， 所以， 因为当时，， 所以，即. 故选：A. 4．（2024·安徽六安一中）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可． 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 【答案】 【分析】先求出函数的周期，利用周期性将化为，再利用函数的奇偶性，有，代入解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的周期为，且为偶函数，即， 当时，，. 故答案为： 题型4 值域与最值 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果． 【详解】二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又已知在上单调递减， 所以，可得. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，由对称性可知， 所以当时，取得最大值，即最大值为， 在当时取得最小值，即最小值为， 要使对任意的，都有，只要成立即可， 所以，解得， 又，所以的取值范围，即. 故选：A. 2．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则t的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】先根据幂函数定义解得m，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】由题意，则，即， 当时， ， 又当时， ， ∴，解得， 故选：B． 【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即 的值域包含于的值域； 的值域与的值域交集非空． 3．（2021高二下·安徽·期末）下列结论正确的是（  ） A．当且时, B．当时, C．当时,的最小值是2 D．当时,无最大值 【答案】B 【分析】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出． 【详解】解：A．当1＞x＞0时，lgx＜0，lgx2不成立； B．当时,，正确； C．当x≥2时，x2，不成立； D．当0＜x≤2时，函数y＝x单调递增，当x＝2时，有最大值2，不正确． 故选B． 考点：基本不等式. 4．（23-24高一上·安徽太和中学）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，如图实线部分， 对于A，根据图象，可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B，根据图象得，当时，的最大值为，故B正确； 对于C，由，解得，结合图象，得不等式的解集为， 故C正确； 对于D，由图象得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC. 5．（22-23高一上·安徽师大附中）对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由题意，联立函数求交点，作图，根据图象，可得答案. 【详解】令，则，，，解得或， 将，作图如下： 由图可知，，则其最大值为. 故答案为：. 优选提升题 题型01 奇偶性应用：识图判断 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末练习）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 2．（2022·安徽马鞍山·模拟）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为, 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 3．（23-24高一上·安徽滁州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义域排除A，结合时的函数值恒大于0排除CD，则可得答案. 【详解】由得．排除A； 当时，，所以．排除CD． 又， 当时，，故，故B中图象符合题意， 故选：B 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】AD选项，可以看出，从而得到在上恒成立，A错误，D正确；B选项，当时满足要求；C选项，当时满足要求. 【详解】AD选项，可以看出函数为偶函数，且在上单调递减， 故，此时在上恒成立，A错误，D正确. 当时，，选项D符合． 当时，的定义域为， B选项，可以看出且为偶数，当时，满足要求，选项B正确． C选项，当时，满足，选项C正确． 故选：BCD 5．（22-23高一上·安徽芜湖·期末）下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质，以及幂函数的性质，可得答案. 【详解】对于A、C，，，显然为奇函数，且指数在0到1之间，在第一象限是越增越慢的，故A、C正确； 对于B、D，，，显然为偶函数，故B、D错误. 故选：AC. 题型02 奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·安徽亳州·）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性解方程组求解可得，然后可得. 【详解】因为函数为偶函数， 则，即①， 又因为函数为奇函数， 则，即②， 联立①②可得，所以． 故选：D． 2．（2024·安徽池州）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定和，相加得到，确定函数的单调区间，变换得到，设，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】， ， 两式相加得到， 当时，，函数单调递增， 故函数在上单调递增，在上单调递减， ，即，即， 即， 设，当且仅当时等号成立，故， ，在上单调递增，故， 则，解得. 故选：D 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的奇函数和偶函数，且，下列选项正确的是（    ） A．的最小值为1 B． C． D．，恒有的充分不必要条件为 【答案】ABC 【分析】由题意可结合函数的奇偶性及不等式组法解出的解析式，借助解析式逐项判断即可得. 【详解】因为：是定义在上的奇函数和偶函数， 所以有：，即， 解得：， 对于A，，当且仅当时，等号成立， 故，故A正确； 对于B，，， 故，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由函数，可得其在上单调递增， 可将，恒有成立， 转化为对恒成立， 即对恒成立， 当时，有，不符， 当时，有，即， 故为其充要条件，故D错误. 故选：ABC. 5．（21-22高一上·安徽合肥·期末）设函数为定义在R上的奇函数，当时，，则时，的解析式为 . 【答案】 【分析】先根据奇函数由求得，再根据奇函数的性质即可求出. 【详解】为奇函数，当时，， 则，解得， 当时，，则， 所以. 故答案为：. 题型03 奇偶性解不等式 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知奇函数的定义域为，，且对，，满足，则满足不等式的整数解个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，令，即可得到函数的单调性以及奇偶性，即可求解不等式. 【详解】令，所以， 则函数在上单调递减. ，所以为上的偶函数. ，. 等价于，所以， 解得且，所以满足不等式的整数解是0，仅有一解. 故选：B 2．（23-24高一上·安徽滁州·期末）已知函数为偶函数，当且时，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数性质可得，结合单调性可得，分和两种情况，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意知在上单调递减，且是偶函数， 所以在上单调递增，且， 因为恒成立，所以， 所以恒成立， 当时，，符合题意，； 当时，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，，若，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件构造函数，利用函数的单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】由，，且，都有, 不妨令可知函数在上单调递增， 记，则， 所以为偶函数，因此在上单调递减，且， 不等式等价于， 故，解得或，故不等式的解集为：． 故选：A 4．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A；根据奇函数的性质求的值，即可判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C；根据奇函数的性质求和，判断D. 【详解】对于A中，令，可得，所以， 令，得到，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B中，因为为奇函数，所以，故B正确； 对于C中，设，可得， 所以， 又因为，所以，所以，即， 所以在R上单调递增，因为，所以，由，可得， 所以，所以，得到， 所以的解集为，所以C错误； 对于D中，因为为奇函数，所以， 所以， 又，故，所以D错误. 故选：AB 5．（22-23高一上·安徽淮北期末）已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性即可求出不等式的解集. 【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为； 又，可得，所以； 易知函数在上单调递增， 所以不等式即为， 根据函数单调性和奇偶性可得，解得. 故答案为： 题型04 性质公式：中心对称 1．（2023高一上·安徽合肥·专题练习）已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性可得函数图象关于对称，设，则为奇函数且单调递增，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】函数定义域为R，且在R上单调递增，值域为， ， 所以函数图象关于对称， 设函数，则函数图象关于原点对称 所以函数为R上的奇函数，且单调递增， 由，得， 即，得， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故选：A． 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2021高二下·安徽阜阳·期末）定义在R上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】新定义函数说明函数的单调性与对称性，从而得出函数的单调性与奇偶性，由此化简不等式，得出满足的不等关系，以为点的坐标，在平面直角坐标系数中表示出点所在区域，结合直线斜率得出的范围，从而得出的范围． 【详解】条件①说明函数是减函数，条件②说明函数的图象关于点对称， 所以题设中函数是减函数，且图象关于点对称，从而是减函数，且关于原点对称，于是是奇函数， 不等式化为，所以，， 或， 由得，又， 在平面直角坐标系中，如图，以为坐标的点在图中阴影部分，其中，， ，， 将看作与原点连线的斜率，所以，所以． 故选：C．    4．（2024·安徽亳州）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 【答案】BCD 【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D. 【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误； 对于B，令，， 即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，，即， 两边求导得，即， 因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称， 由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称， 因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 5．（23-24高一上·安徽合肥·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则： . 【答案】 【分析】根据给定的充要条件，利用待定系数法求出函数的对称中心，再求值即可. 【详解】设函数图象的对称中心为， 设，则为奇函数， 且，则， 即，即， 整理得，于是，解得， 因此函数图象的对称中心为，则， 令， 则， 于是，解得， 所以. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 题型05 性质公式：轴对称 1．（21-22高一上·安徽合肥·期末）已知定义在上的奇函数满足，，且对任意，，都有，又函数，则函数的零点个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性与单调性，作出与的大致图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为满足， 所以，则的对称轴为， 又为奇函数，所以，， 则，故的周期为4， 因为对任意，，都有， 所以在上单调递增， 又，则， 所以与的大致图象如图所示， 因为， 所以结合图象可知，与的图象共有10个交点， 即的零点个数为10. 故选：C. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 2．（22-23高一下·安徽阜阳·期末）已知定义在上的函数，若函数是偶函数，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的对称性以及单调性即可求解. 【详解】∵函数为偶函数，∴定义在上的函数的图象关于直线对称， ∵对任意，都有， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数的图象关于直线对称，且， ∴，即，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 3．（20-21高一安徽 黄山·期末）已知函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数的对称性求出，即可求出. 【详解】因为函数满足，所以对称轴为，即. 所以. 故选：D 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且，都有，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．8为函数的一个周期 C．在区间上单调递增 D．在处取得最大值 【答案】BCD 【分析】结合函数的单调性，对称性，周期性逐一判断即可. 【详解】对于选项A:由，得的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 由对称性可知，函数的图象关于点中心对称， 再根据奇偶性可知，函数的图象关于点中心对称，故A错误； 对于选项B:由与，得， 所以，则8为函数的一个周期，故B正确； 对于选项C:因为对于任意的且，都有，所以在上单调递减， 又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，因为的图象关于直线对称，则在区间上单调递增，故C正确； 对于选项D:由上可知，在处取得最大值，由周期性可知，，则在处取得最大值，故D正确． 故选：BCD． 5．（2021高二下·安徽·期末）函数在区间上的零点分别为，则 ． 【答案】. 【分析】本题先判断两个函数，的图象都关于直线对称，再确定两个函数图象的8个交点，直线对称，最后求即可. 【详解】令，得，画出， 在区间上的图象如图所示．两个函数图象都关于直线对称， 所以两个函数图象的8个交点，也关于直线对称， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的对称性求函数零点的和，是中档题. 题型06 性质公式：类比正弦得周期 1．（2022·安徽宣城）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(    ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到，结合g(x)＝(x－1)和f(x)为偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则即可求值﹒ 【详解】为偶函数，则关于对称，即， 即，即， 关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数， ∴， ∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)， 周期为， ∴， . 故选：D. 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得出函数的周期为，再利用，即可求出结果. 【详解】因为为奇函数，所以，又为偶函数，得到， 由，得到，所以， 即有，所以，故函数的周期为， 又，所以， 故选：C. 3．（23-24高二下·安徽·期末）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数为偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据奇函数的性质，利用赋值法即可判断；对于B，令，根据偶函数的定义即可判断；对于C，根据的对称性分析出的周期，求解出的值，再由即可判断；对于D，根据的周期以及，，和的值，可得，，即可求解. 【详解】对于A，因为为奇函数， 所以，即， 令，得， 即，故A正确； 对于B，令， 因为， 所以， 所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 由选项B知，为偶函数， 所以， 所以①， 所以②， 由①②得，， 所以，即是周期为4的周期函数， 所以， 又因为， 所以， 解得，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以 所以， 又因为，， 由选项C知，是周期为4的周期函数， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及对称性，解答的关键是推出函数是周期为4的周期函数，进而求得，. 4．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由为奇函数，可得的图象关于点对称，判断A；由已知条件结合函数奇偶性定义，可得判断B；由导数与原函数的关系，可判断C；由已知可得4是的一个周期，进而计算可得判断D. 【详解】对于A：由为奇函数，则， 则，即的图象关于点对称，故A正确； 对于B：由为奇函数，则，即， 即得为常数，令，即得，则， 故，即，则， 又为奇函数，所以， 即，可得，故， 故，即，即是奇函数，故B正确； 对于C：由于，故，即， 故是的一个周期， 又，即，所以为周期为的周期函数， 因为，所以，即， 所以，故C错误； 对于D：因为是R上的奇函数，故，，结合得， ，， 故，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解答此类抽象函数的问题，解决的关键是利用赋值法或者变量代换，推出函数的性质，比如对称性，奇偶性以及周期性，进而可求解. 5．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 . 【答案】 【分析】推导出函数是周期为4的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】由题意得，，令，则， 所以函数图象关于直线对称，即， 设，又关于对称， 所以，即， 所以，所以函数是奇函数， 所以函数图象关于原点中心对称， 所以，所以， 故函数是周期函数，周期为4. 又当时，，且，故可以得出. 进而. 那么 . 故答案为：. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于成中心对称； （2）若，则函数关于成中心对称. 专题07 零点应用 1．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意方程有两个不同的解，利用韦达定理得，则转化为求的范围即可. 【详解】，作出函数图象如图：    因为函数与函数的图像有两个不同的交点，所以或， 且方程即有两个不同的解. 故，所以， 因为或，所以或， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、分段函数的图象与性质结合函数的单调性计算即可. 【详解】设，则，故可转化为， 即的图像与直线有4个不同的交点， 对应横坐标从小到大依次为， 如图所示，可知， 且， ， 则， 令，易知在上单调递减，即此时， 所以：. 故选:D 【点睛】难点点睛：对于函数零点求参问题可适当积累一些结论，如函数，若有，则，同时注意利用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质求解即可. 3．（21-22高一上·安徽·阶段练习）若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为方程有两个不相等实数根，画出的图象，根据数形结合的思想即可得出结果. 【详解】作出的图象如下图： 可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得． 故选：． 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， ，解得：或， 如图，画出函数的图象， 时，与的图象有4个交点， 所以与的图象只能有1个交点，则，得， 由选项判断或成立. 故选：CD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6．    专题08 综合难题 1．（2024·安徽模拟）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又，令，则， 又由，得， 即的图象关于点成中心对称，则； ，即，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故， 故 ， 故选：D 【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导. 2．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式和函数单调性可得，，，结合存在性问题以及恒成立问题列式求解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 又因为，且， 可知函数在上单调递增， 可得，所以， 即若，则，， 若对，使得， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题求的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重要且基础方法，应熟练掌握. 3．（2022高一上安徽 宿州·期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3），若x∈R，f（x﹣a）＜f（x），则a的取值范围是（    ） A．a＜3 B．﹣3＜a＜3 C．a＞6 D．﹣6＜a＜6 【答案】C 【分析】当时,分类讨论求得函数的解析式,再利用函数在定义R上的奇函数求出函数在整个定义域上的解析式并画出图像,然后由条件结合图像转化为解得的取值范围. 【详解】由题意时,, 当时,; 当时,; 当时,, 由因为函数为定义R上的奇函数,所以可得函数解析式为: ,由此可得图像如图所示: 由题意时,恒成立,则得函数的图像恒在函数的图像下面, 则由图像可得,解得,即满足要求的得取值范围为. 故选:C. 【点睛】本题考查了绝对值函数解析式的求解,函数奇偶性的应用,数形结合的思想解决不等式恒成立的问题,属于难题. 4．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（    ） A． B．，使得 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A，令，代入求值即可；对于B，设，则总存在正整数，使得，此时，与②矛盾；对于C，根据单调性的定义证明函数在上单调递减，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性；对于D，根据函数的单调性和奇函数的性质，以及，可解不等式. 【详解】对于A，令，则，故正确； 对于B，假设，，， 则一定存在正整数，使得，此时与条件②矛盾，故错误； 对于C，假设，使得， 由，得，， 则一定存在正整数，使得，此时，与条件②矛盾， 故，有； 设，且， 由，得， 由任意的实数，都有，得，， 故，即，有； 综上，，有； 又， 所以在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，故正确； 对于D，，则. 又，. ，， 所以，， 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 又函数是定义在上的奇函数，所以； 故解集为，故正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一上·安徽淮南期末）函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ，可知函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知：当时， 函数在内单调递增，且, 所以的值域是，故①正确； 对于②：由①可知： 可知函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②错误； 对于③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时， ， 可得，， ，， 以此类推可得，因此，故④正确； 故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：对于分式型函数常利用分离常数法结合单调性的性质分析求解. 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数三大性质应用 经典基础题 题型1 奇偶性 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（22-23高一 安徽黄山·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23·安徽亳州·期末）设是定义在上的奇函数，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．的单调递增区间为 C．的最小值为 D． 5．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，若实数且，则的最小值是 ． 题型2单调性 1．（23-24高一上·安徽太和中学·期末）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·安徽淮北·期末）已知则满足不等式的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·安徽六安·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 4．（22-23高一上·安徽滁州·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若对任意，，当时，，则在上是增函数 B．函数在上是增函数 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 5．（22-23高一上·安徽阜阳期末）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为 ． 题型3 周期性 1．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·安徽滁州·期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2024·安徽六安一中）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 题型4 值域与最值 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则t的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2021高二下·安徽·期末）下列结论正确的是（  ） A．当且时, B．当时, C．当时,的最小值是2 D．当时,无最大值 4．（23-24高一上·安徽太和中学）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 5．（22-23高一上·安徽师大附中）对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是 . 优选提升题 题型01 奇偶性应用：识图判断 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末练习）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 2．（2022·安徽马鞍山·模拟）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·安徽滁州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·安徽芜湖·期末）下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型02 奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·安徽亳州·）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 2．（2024·安徽池州）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的奇函数和偶函数，且，下列选项正确的是（    ） A．的最小值为1 B． C． D．，恒有的充分不必要条件为 5．（21-22高一上·安徽合肥·期末）设函数为定义在R上的奇函数，当时，，则时，的解析式为 . 题型03 奇偶性解不等式 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知奇函数的定义域为，，且对，，满足，则满足不等式的整数解个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·安徽滁州·期末）已知函数为偶函数，当且时，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，，若，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 5．（22-23高一上·安徽淮北期末）已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为 . 题型04 性质公式：中心对称 1．（2023高一上·安徽合肥·专题练习）已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 3．（2021高二下·安徽阜阳·期末）定义在R上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为（  ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽亳州）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 5．（23-24高一上·安徽合肥·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则： . 题型05 性质公式：轴对称 1．（21-22高一上·安徽合肥·期末）已知定义在上的奇函数满足，，且对任意，，都有，又函数，则函数的零点个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（22-23高一下·安徽阜阳·期末）已知定义在上的函数，若函数是偶函数，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一安徽 黄山·期末）已知函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且，都有，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．8为函数的一个周期 C．在区间上单调递增 D．在处取得最大值 5．（2021高二下·安徽·期末）函数在区间上的零点分别为，则 ． 题型06 性质公式：类比正弦得周期 1．（2022·安徽宣城）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(    ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（23-24高二下·安徽·期末）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数为偶函数 C． D． 4．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 . 专题07 零点应用 1．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·安徽·阶段练习）若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 专题08 综合难题 1．（2024·安徽模拟）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022高一上安徽 宿州·期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3），若x∈R，f（x﹣a）＜f（x），则a的取值范围是（    ） A．a＜3 B．﹣3＜a＜3 C．a＞6 D．﹣6＜a＜6 4．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（    ） A． B．，使得 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 5．（23-24高一上·安徽淮南期末）函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$