专题03 抽象函数性质归类（5大基础题+11大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题03 抽象函数性质归类 经典基础题 题型1定义域: f（x）→ f（g（x））与f（g（x））→ f（x） 1．（23-24高一上·安徽蚌埠五河中学）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上安徽阜阳期末）若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·安徽亳州二中·期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一上·安徽池州·期中）给出下列四个命题是真命题的是：（    ） A．函数与函数表示同一个函数； B．函数与直线（常数）有且仅有一个交点； C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到； D．若函数的定义域为，则函数的定义域为． 5．（2021-2022高一·安徽安庆·）设的定义域为，则函数的定义域是 . 题型2 解析式：换元型 1．（21-22高二下·安徽亳州·期末）已知，则=（    ）． A． B． C． D． 2．（19-20高二下·安徽·期末）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高二下·安徽合肥九中·期末）已知f（ x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 5．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则 . 题型3 解析式：方程组型 1．（24-25高一上·安徽·期末）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川德阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．集合，，对应关系：，则：是到的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．已知函数满足，则 5．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知函数满足，则 . 题型4奇偶性 1．（2023高一上·安徽·期末）已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 2．（2023·安徽马鞍山·期末）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（20-21高一·安徽桐城）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．-16 4．（22-23高一上·安徽淮北期末）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（    ） A．的最大值为1 B．在区间上单调递减 C．的解集为 D．当时， 5．（22-23高一上·安徽宣城·期末）是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数的取值范围是 . 题型5 单调性 1．（24-25高一上·安徽·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 2．（22-23高一上·安徽期中）已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增. A． B． C． D． 3．（2020高一·安徽·专题练习）下列命题：（1）若是增函数，则是减函数；（2）若是减函数，则是减函数；（3）若是增函数，是减函数，有意义，则为减函数，其中正确的个数有：（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 4．（22-23高一·安徽青桐鸣· ）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 5．（22-23高一安徽·阶段练习）已知函数的定义域是，且在为单调递增函数，则满足条件的 . （写出一个满足条件的函数即可） 优选提升题 题型01 复合含参型 f（g（x））→ f（h（x））型定义域 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上安徽·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽·期中）给出下列结论，其中错误的结论有（    ） A．已知函数是定义域上的减函数，若，则； B．函数在定义域内是减函数 C．函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为； 5．（22-23高一上·全国·单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为 ． 题型02 凑配法求解析式 1．（22-23高一上·安徽合肥·阶段练习）若函数，且，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C． D．3 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上安徽·期中）下列说法正确的是（    ） A．是集合A到集合B的函数 B．函数的图象与直线有且仅有1个交点 C．与 是同一函数 D．已知函数，，则 5．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，则 ， ； 题型03 形如 f(a+b)=f(a)+f(b) 1．（21-22高一上安徽黄山·期末）已知函数的定义域为R，且对任意a，R，都有，且当时，恒成立. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数是R上的减函数； (3)若，求x的取值范围. 2．（21-22高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． （1）求证：在R上为增函数； （2）若，解不等式． 题型04 形如 f(a-b)=f(a)-f(b) 1．（19-20高一上·安徽阜阳·期末）设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，． （1）求的值，并判断函数的奇偶性； （2）解不等式 2．（高二上·安徽阜阳）设函数的定义域为，并且满足，且，当时，. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性,并给出证明； （3）如果，求的取值范围． 题型05形如 f(a*b)=f(a)*f(b) 1．（23-24高一上·安徽芜湖·）若函数对任意实数，都有，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”满足，且当时，. (1)判断“保积函数”的奇偶性； (2)若“保积函数”在区间上总有成立，试证明在区间上单调递增； (3)在（2）成立的条件下，若，求，的解集. 2．（20-21高一上·安徽滁州·模拟）若函数对任意实数x､y都有，则称其为“保积函数”. （1）请写出两个“保积函数”的函数解析式； （2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； （3）对于（2）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集. 题型06 形如 f(a*b)=f(a)+f(b) 1．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时， (1)求与的值； (2)求证：函数在上单调递减； (3)解不等式 2．（22-23高一上·江西抚州·期中）已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,,. (1)求; (2)求证:为上的增函数; (3)解不等式. 专题07 形如 f(a/b)=f(a)-f(b) 1.（高一上·安徽宣城·阶段练习）定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值； （2）判断的单调性并予以证明； （3）若，解不等式 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知定义在区间上的函数对于任意的，满足，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用单调性定义加以证明； (3)若，解不等式. 专题08 形如 f(a+b)=f(a)+f(b)-1 1．（22-23高一上·安徽淮北·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，当时，；且， (1)求及的值； (2)判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2．（21-22高一上·安徽池州·阶段练习）定义在上的函数对任意、都有，且对任意，恒有. (1)判断单调性，并证明； (2)已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 专题09 形如 f(a+b)=f(a)+f(b)-t 1．（24-25高一上安徽安庆·期中）函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：是R上的增函数； (3)解关于实数x的不等式． 2．（高一安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数对任意，都有（为常数）. （1）判断为何值时，为奇函数，并证明； （2）在（1）的条件下，设集合，，且，求实数的取值范围； （3）设，是上的增函数，且，解不等式. 题型10形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）*f（b） 1．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意总有的函数称为和弦型函数. (1)已知为和弦型函数且，求的值； (2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值； (3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明． 2．（24-25高一上·江西景德镇·期中）设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明. (3)定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 题型11内外复合型 1．（2024·安徽模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·山东日照·期中）已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一安徽 安庆·期中）知函数f(x)是定义在R上的单调函数，且对任意的实数x，都有f[f(x)-ex]=e+1(e是自然对数的底数)，则f(ln 2)= （    ） A．1 B．e+1 C．e+3 D．3 4．（20-21高一上·安徽·阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三安徽模拟）已知函数满足，且，则 ． 6．（21-22高三上·安徽·阶段练习）已知是定义在上的单调函数，且对任意的实数，都有，则的值为 . 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 抽象函数性质归类 经典基础题 题型1定义域: f（x）→ f（g（x））与f（g（x））→ f（x） 1．（23-24高一上·安徽蚌埠五河中学）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得解得，所以函数定义域为．故选：D． 2．（22-23高一上安徽阜阳期末）若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】解：因为函数的定义域为， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域为. 故选：C 3．（21-22高一上·安徽亳州二中·期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意函数的定义域为， ， 所以， 解得或， 所以的定义域为. 故选：B 4．（20-21高一上·安徽池州·期中）给出下列四个命题是真命题的是：（    ） A．函数与函数表示同一个函数； B．函数与直线（常数）有且仅有一个交点； C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到； D．若函数的定义域为，则函数的定义域为． 【答案】CD 【解析】结合函数的定义可判断A、B的正误，利用函数的图象变换可判断C的正误，利用抽象函数定义域的求法可判断D的正误. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故两个函数不是同一函数， 故A为假命题. 对于B，取，但直线与前者的图象没有交点，故B为假命题. 对于C，由图象的平移变换可知该命题为真命题. 对于D，令，故即函数的定义域为，故D为真命题. 故选：CD. 5．（2021-2022高一·安徽安庆·）设的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由的定义域为可得函数中，解出即可. 【详解】的定义域为， 中，，解得， 函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数定义域的求法，属于基础题. 题型2 解析式：换元型 1．（21-22高二下·安徽亳州·期末）已知，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式，即可得答案. 【详解】令，则 ，则， 所以， 故选：D. 2．（19-20高二下·安徽·期末）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】换元法先求出函数的解析式，代入自变量求出，再代入求出． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，即， 则，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查换元法求函数解析式，属于基础题． 3．（22-23高二下·安徽合肥九中·期末）已知f（ x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用换元法求出，然后由函数值求自变量即可. 【详解】令，则，可得，即，由题知，解得. 故选：B 4．（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 5．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，代入运算整理即可. 【详解】令，则， 可得，所以. 故答案为：. 题型3 解析式：方程组型 1．（24-25高一上·安徽·期末）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，构造方程组消元求解出函数解析式，然后根据函数的性质求解的最大值. 【详解】因为，将置换解得：， ， 设当时， 当时，， 又因为， 当时，取得最大值，，即函数最大值为， 故选：B. 4．（24-25高一上·四川德阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．集合，，对应关系：，则：是到的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．已知函数满足，则 【答案】ABD 【分析】A选项，求出，利用函数定义作出判断；B选项，根据抽象函数定义域法则得到，解得，得到定义域；C选项，令，得到，得到函数值域；D选项，把换成得，，根题目条件联立得到答案. 【详解】A选项，时，， 结合函数定义，：是到的函数，A正确； B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确； C选项，令，则， 所以，此时函数在上单调递增，故， 故函数值域为，C错误； D选项，①，把换成得，②， 得，故，D正确. 故选：ABD 5．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 题型4奇偶性 1．（2023高一上·安徽·期末）已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方程组的思想求出函数的解析式即可得解. 【详解】由函数图象关于原点对称，得， 又，，则， 即，解得，， 因此，，所以. 故选：A 2．（2023·安徽马鞍山·期末）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题意可得，解得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（20-21高一·安徽桐城）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．-16 【答案】C 【分析】由已知，根据的奇偶性可得，进而求. 【详解】由题意，， ∴，即， ∴. 故选：C 4．（22-23高一上·安徽淮北期末）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（    ） A．的最大值为1 B．在区间上单调递减 C．的解集为 D．当时， 【答案】ABC 【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性逐项判断即可. 【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时 所以当时，，故D错误； 当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确； 当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确. 故选：ABC. 5．（22-23高一上·安徽宣城·期末）是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由奇偶性得出的解析式，当时，得出，当时，令，求出其最小值，得出实数的取值范围. 【详解】为定义在R上的奇函数，， 当时，对一切成立，得出. 当， 对一切成立， 即对一切成立， 令，由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在上单调递增，即，故. 综上，故答案为:. 题型5 单调性 1．（24-25高一上·安徽·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】D 【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案. 【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B， 、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C， 若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对. 故选：D 2．（22-23高一上·安徽期中）已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在定义域， 所以函数的定义域为. 令，所以为增函数，为减函数， 又在为增函数， 所以函数在区间. 故选：D 3．（2020高一·安徽·专题练习）下列命题：（1）若是增函数，则是减函数；（2）若是减函数，则是减函数；（3）若是增函数，是减函数，有意义，则为减函数，其中正确的个数有：（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】利用特殊函数判断（1）（2）的正确性，根据 复合函数单调性 判断（3）的正确性. 【详解】对于（1），设为上的增函数，当时，没有意义，所以（1）错误. 对于（2），设为上的减函数，则在上不是减函数，故（2）错误. 对于（3），根据复合函数单调性同增异减可知，（3）正确. 所以正确的个数有个. 故选：A 4．（22-23高一·安徽青桐鸣· ）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法， 可知，在上单调递增，故A正确，B错误； 在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：AD 5．（22-23高一安徽·阶段练习）已知函数的定义域是，且在为单调递增函数，则满足条件的 . （写出一个满足条件的函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据的定义域、对称性、单调性写出符合题意的一个函数解析式. 【详解】表示的图象关于直线对称， 的定义域是，且在上递增，则在上递减， 函数符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 优选提升题 题型01 复合含参型 f（g（x））→ f（h（x））型定义域 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以，所以，所以， 所以的定义域为.故选：C. 2．（23-24高一上安徽·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域及对数函数定义域列出不等式组，解三角不等式可得解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数有意义需满足， 解得， 故函数的定义域为， 故选：B 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的定义域，利用抽象函数求定义域的方法求解的定义域. 【详解】解：由根据函数的解析式 可知，有，即定义域为 定义域为. 故选：A. 4．（23-24高一上·安徽·期中）给出下列结论，其中错误的结论有（    ） A．已知函数是定义域上的减函数，若，则； B．函数在定义域内是减函数 C．函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为； 【答案】BD 【分析】利用函数的单调性判断AB选项，利用整体代入法判断C选项，利用函数定义域的求法判断D选项即可. 【详解】对于A，函数是定义域上的减函数，若，则，故A正确； 对于B，函数在和是减函数，但是在定义域内不是减函数，故B错误； 对于C，函数，则，故，故C正确； 对于D，若函数的定义域为，则函数定义域为，不等式的解集为：，的定义域为，故D错误； 所以错误的结论有BD. 故选：BD 5．（22-23高一上·全国·单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先求出的定义域，再确定m的前提范围，利用奇函数及其单调性求不等式参数范围. 【详解】由题意，的定义域为， 所以的定义域为，则，解得． 又是上的减函数， 所以奇函数在上单调递减． 由，得， 所以，即，解得． 综上，． 故答案为：． 题型02 凑配法求解析式 1．（22-23高一上·安徽合肥·阶段练习）若函数，且，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】令，利用配凑法求函数，进而根据求解即可. 【详解】令，则， 可得：，即， ∵， ∴. 故选：B. 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 4．（24-25高一上安徽·期中）下列说法正确的是（    ） A．是集合A到集合B的函数 B．函数的图象与直线有且仅有1个交点 C．与 是同一函数 D．已知函数，，则 【答案】ACD 【分析】A由函数定义可判断选项正误； B考虑1不在函数定义域内的情况可判断选项正误； C由函数相等定义可判断选项正误； D由题可得解析式，即可得答案. 【详解】A对于任意，在集合B中有唯一元素按照对应方式对应， 故A正确； B若1不在函数定义域内，则直线与函数的图象没有交点，故B错误； C注意到两函数定义域都为R，且解析式均为，故为相同函数，故C正确； D因，令，则， 故，故D正确. 故选：ACD 5．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，则 ， ； 【答案】 / 【分析】将已知式化简后，用表示，即可得函数解析式，从而计算出函数值． 【详解】由题，显然且，因为，当且仅当时取等号，又， 所以， 由已知， 所以，． 故答案为：． 题型03 形如 f(a+b)=f(a)+f(b) 1．（21-22高一上安徽黄山·期末）已知函数的定义域为R，且对任意a，R，都有，且当时，恒成立. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数是R上的减函数； (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用特殊值求出，从而证明即可；（2）证明出，再利用当时，恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解. 【详解】（1）证明：由， 令可得， 解得， 令可得， 即，而， ，而函数的定义域为R， 故函数是奇函数． （2）证明：设，且，，则， 而 ， 又当时，恒成立，即，， 函数是R上的减函数； （3）(方法一）由， 得， 又是奇函数， 即， 又在R上是减函数， 解得或 故x的取值范围是或. 方法二由且， 得， 又在R上是减函数， ， 解得或 故x的取值范围是 或. 2．（21-22高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． （1）求证：在R上为增函数； （2）若，解不等式． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用任取且，则再根据题意证明可证结论成立； （2）利用求出，再将不等式化为，利用函数的单调性可求出结果. 【详解】（1）证明：任取且 则 则 ， 所以， 故是上的增函数． （2），， 故由得：， 则由（1）得， 即，解得， 故不等式的解集为. 题型04 形如 f(a-b)=f(a)-f(b) 1．（19-20高一上·安徽阜阳·期末）设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，． （1）求的值，并判断函数的奇偶性； （2）解不等式 【答案】（1），奇函数（2） 【解析】（1）利用赋值法，求的值；利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性； （2）先证明函数是定义在上的增函数，求出，利用函数的奇偶性将不等式进行转化为，再利用函数的单调性脱去函数符号，即可求解． 【详解】（1）令，则， ∴． ∵，∴， 由，得， ∴函数是奇函数． （2）设，且，则， ， ∵当时，， ∴，即， ∴， ∴函数是定义在上的增函数， 由，得， ， ∵，∴， ∴， ∵函数是定义在上的增函数， ∴，∴， ∴不等式的解集为 【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数常见的方法．本题综合性较强．属于难题. 2．（高二上·安徽阜阳）设函数的定义域为，并且满足，且，当时，. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性,并给出证明； （3）如果，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）； 【详解】试题分析：（1）利用赋值法，求的值，即令，能求出； （2）利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，即令,可得到与的关系； （3）由奇偶性及，对进行转化，可得到，然后再利用定理证明在R上的单调性，即可求出的取值范围 试题解析： （1）令，则，所以； （2）因为， 所以， 由（1）知， 所以，又函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以函数为奇函数. （3）任取，不妨设，则， 因为当时， 所以，即，所以 所以函数在定义域R上单调递增. 因为 所以 所以 因为 所以 所以 因为函数在定义域R上单调递增 所以 从而 所以的取值范围为 考点：1.抽象函数及其应用；2.函数的奇偶性与单调性综合应用； 题型05形如 f(a*b)=f(a)*f(b) 1．（23-24高一上·安徽芜湖·）若函数对任意实数，都有，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”满足，且当时，. (1)判断“保积函数”的奇偶性； (2)若“保积函数”在区间上总有成立，试证明在区间上单调递增； (3)在（2）成立的条件下，若，求，的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）赋值，结合，进而得到为奇函数； （2）在上单调递增，利用定义法得到函数的单调性； （3）赋值法得到，结合函数单调性得到，，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 根据题意，令，得， 因为，所以， 故结合定义域可知，为奇函数. （2）证明：任取，，且，则， 因此 ， 因为，且当时，，所以， 因为，恒成立，所以， 所以，即， 又因为，所以在上单调递增； （3），又为奇函数，， ，， ，， 故原不等式等价于，， 在上单调递增且，恒成立，又为奇函数， 在上单调递增， 故，，则，， ∴，解得或， 综上，，的解集为. 2．（20-21高一上·安徽滁州·模拟）若函数对任意实数x､y都有，则称其为“保积函数”. （1）请写出两个“保积函数”的函数解析式； （2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； （3）对于（2）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集. 【答案】（1），(答案不唯一)﹔（2）偶函数，证明见解析；（3）. 【解析】（1）根据“保积函数”的定义写出两个函数即可； （2）利用赋值法令，代入即可证明； （3）先证明当时，利用“保积函数”的定义可得，再证明在是单调递增函数且是偶函数，即可脱掉得即可求解. 【详解】（1）若，则，，可得符合 “保积函数”的定义， 若，则，，可得符合 “保积函数”的定义， 所以两个“保积函数”的函数解析式可以是，(答案不唯一)﹔ （2）函数是偶函数， 令，则对任意实数x､y都成立， 所以“保积函数”满足，则是偶函数； （3）， 因为 所以， 设任意的，则， 所以， 所以， 所以在是单调递增函数且是偶函数， 所以不等式等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为 【点睛】关键点点睛：对于抽象函数在证明奇偶性和求函数值是通常采用赋值法，证明单调性通常需要利用单调性的定义结合奇偶性构造出与可以比较大小的形式. 题型06 形如 f(a*b)=f(a)+f(b) 1．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时， (1)求与的值； (2)求证：函数在上单调递减； (3)解不等式 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据抽象函数的性质结合，采用赋值法求解与的值即可； （2）设，则，根据时，可得的符号，从而证得单调性； （3）结合抽象函数的性质将不等式转化为，结合单调性解不等式即可得的取值集合. 【详解】（1）令，，则，故 令，则可得， 令，得， （2）设，则 即， ∵，故， 即，故在上单调递减 （3）由于， 所以 所以，即． 因为在上单调递减， 所以，解得或， 所以不等式的解为：. 2．（22-23高一上·江西抚州·期中）已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,,. (1)求; (2)求证:为上的增函数; (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法,先令求出;令,可求得;再令,,可求得; （2）设,根据单调性定义结合当时,证明即可; （3）将转化为,再根据（2）的结论,列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为,, 令,则,解得, 令,则, 令,,则, 所以. （2）设, 因为当时,,则, 令,则,即, 所以, 根据单调性定义,为上的增函数. （3）因为在上为增函数, 又, 所以,解得, 即原不等式的解集为. 专题07 形如 f(a/b)=f(a)-f(b) 1.（高一上·安徽宣城·阶段练习）定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值； （2）判断的单调性并予以证明； （3）若，解不等式 【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析；（3）. 【详解】试题分析：（1）由条件令，则；（2）由单调性定义，设，则，由时，，即有，即可求得单调性（3）关键函数的单调性结合，得到关于的不等式，解出即可. 试题解析：（1）令，代入得，故； （2）任取，且，则，由于当时，， 所以，即，因此， 所以函数在区间上是单调递减函数； （3）由，得，而，所以， 由函数在区间上是单调递减函数，且， 得，∴或，因此不等式的解集为. 考点：（1）抽象函数及其应用；（2）函数单调性的判断及证明；（3）函数的单调性. 【方法点睛】本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性及其应用，注意运用定义，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于基础题.通常是抓住函数的特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题；解关于抽象函数的不等式主要是利用抽象函数的单调性与奇偶性，在该题中结合以及恒等式将，转化为利用单调性求解. 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知定义在区间上的函数对于任意的，满足，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用单调性定义加以证明； (3)若，解不等式. 【答案】(1)0 (2)在区间上是单调递减函数，证明见解析 (3)或 【分析】（1）令，代入条件等式得出结果； （2）利用单调性定义证出结果； （3）利用赋值法得出，再结合函数的单调性解不等式得出结果. 【详解】（1）令，代入得，故. （2）任取，且，则，由于当时，， 所以，即，因此， 所以函数在区间上是单调递减函数. （3）由题意有， 则，而，所以. 由于函数在区间上是单调递减函数 由，得，∴. 又因为，因此不等式的解集为或. 专题08 形如 f(a+b)=f(a)+f(b)-1 1．（22-23高一上·安徽淮北·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，当时，；且， (1)求及的值； (2)判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定恒等式，赋值计算作答. （2）根据给定恒等式，利用函数单调性定义推理判断作答. （3）由（2）的结论及已知恒等式，脱去法则“f”，再借助一元二次型不等式恒成立求解作答. 【详解】（1）因对任意，都有，则当时，，解得， 因，则当时，，解得， 所以，. （2）函数在上单调递增， ，有，因当时，，于是得， 依题意，， 所以函数在上单调递增. （3）因，由已知及（1）得：， 由（2）知，，即，依题意，对任意的，恒成立， 当时，恒成立，则， 当时，必有，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 2．（21-22高一上·安徽池州·阶段练习）定义在上的函数对任意、都有，且对任意，恒有. (1)判断单调性，并证明； (2)已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析； (2). 【分析】（1）判断出函数在上单调递增，然后任取、，且，则，作差，结合已知条件可判断出的符号，由此可证得结论成立； （2）求得，将所求不等式变形为，可得出对恒成立，然后分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）证明：函数在上单调递增，理由如下： 任取、，且，则， ， 即，所以函数在上单调递增. （2）解：，则， 原不等式可化为，即， 由函数在上单调递增可得对恒成立， 即对恒成立. 若，恒成立，符合题意； 若，则，得. 综上可得. 专题09 形如 f(a+b)=f(a)+f(b)-t 1．（24-25高一上安徽安庆·期中）函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：是R上的增函数； (3)解关于实数x的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法计算即可； （2）利用赋值法结合函数单调性的定义证明即可； （3）根据（1）（2）的结论去函数符号，再利用指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为对任意的实数a，b，都有， 不妨取，则，所以； （2）任取实数，且，则， 由当时，，得， 依题意，， 所以函数是R上的增函数； （3）由（1）知，，由（2）知，函数是R上的增函数， 则不等式， ， 即，所以， 解得（舍去）或，即，所以原不等式的解集是. 【点睛】思路点睛：抽象函数问题通常利用赋值法，结合已知条件判定函数单调性（奇偶性）去函数符号可解不等式. 2．（高一安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数对任意，都有（为常数）. （1）判断为何值时，为奇函数，并证明； （2）在（1）的条件下，设集合，，且，求实数的取值范围； （3）设，是上的增函数，且，解不等式. 【答案】(1) ，证明见解析；（2）；（3）或. 【分析】⑴时，为奇函数，然后对抽象函数进行证明 ⑵根据已知条件解出集合，结合求出的取值范围 ⑶将其转化为利用单调性求解 【详解】（1）当时，为奇函数， 证明：当时，，所以, 所以, ∴∴是奇函数. （2）∵, ∴∴, ∴∴∴. （3）∵，∴∴, ∵∴, ∵是增函数∴∴或. 【点睛】本题考查了抽象函数的综合题目，关键在运用已知条件中的来进行化简，然后按照函数的奇偶性和单调性的概念和性质进行解题 题型10形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）*f（b） 1．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意总有的函数称为和弦型函数. (1)已知为和弦型函数且，求的值； (2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值； (3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解； （2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解； （3）令，数列满足，从而只需证明数列为递增数列即可得证. 【详解】（1）令，则，可得， 令，则，则； （2）令，则， ， 即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列， 即，则 ； （3）由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令为任意实数， 则，即是偶函数， 因为， 又因为当时，， 所以当时，有，所以， 为有理数，不妨设，令为，分母的最小公倍数， 且均为自然数，且， 设，则， 令，则， 即，， 故数列单调递增，则， 又是偶函数，所以有. 【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令，将问题转化为判断的增减性. 2．（24-25高一上·江西景德镇·期中）设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明. (3)定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 【答案】(1), (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，得，令，得，从而得到，再令，确定出的范围，从而得到； （2）令，结合，可得为偶函数； （3），得周期为2，再分别令，，可得，，从而得到，结合周期性，得到答案. 【详解】（1）由于不恒为0，故存在，使， 令，则，所以， 令，由，由 令，得，所以得到， 又令，， 因为当时，，所以， 所以，，故； （2）定义域为, 令，得， 因为，所以，所以为偶函数； （3）由，取，得， 又为偶函数，则，即是以2为周期的周期函数； 令，得，即， 再令，得，即. 而，解得，， 由得，， 所以， 又由于是以2为周期的周期函数， 所以 【点睛】关键点点睛：求抽象函数的值，判断抽象函数的奇偶性和周期性，利用赋值法求抽象函数的函数值是一种常用的方法. 题型11内外复合型 1．（2024·安徽模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得. 【详解】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． 2．（21-22高二下·山东日照·期中）已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式及导数法则，再利用函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意可知，对任意的，都有. 则为定值.设，则. 又由，即. 可解得.则， ∴.∴. 令，， 故在上单调递增， 又由，. 故的唯一零点在区间之间. 则方程的解在区间上. 故选:A. 3．（20-21高一安徽 安庆·期中）知函数f(x)是定义在R上的单调函数，且对任意的实数x，都有f[f(x)-ex]=e+1(e是自然对数的底数)，则f(ln 2)= （    ） A．1 B．e+1 C．e+3 D．3 【答案】D 【分析】设，则，则条件等价为，结合已知及函数的单调性可求，进而可求． 【详解】解：设，则，则条件等价为， 令，则， 函数为单调递增函数， 函数为一对一函数，解得， ，即． 故选：D. 4．（20-21高一上·安徽·阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得出，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】设，则，由可得， 另一方面，， 由于函数、在上均为增函数，所以，函数为上的增函数， 因为，由可得，则， 因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数值的求解，解本题的关键在于令，结合已知条件得出，并利用函数的单调性求出，进而得出函数的解析式进行求解. 5．（2024高三安徽模拟）已知函数满足，且，则 ． 【答案】或2021. 【分析】，通过赋值法，求出t的值，进而得到，再求解即可. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，故.因此. 则， 即， 因此或 当时，，时，此时； 当时，. 故答案为：或2021. 6．（21-22高三上·安徽·阶段练习）已知是定义在上的单调函数，且对任意的实数，都有，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，对于复合函数问题，利用换元法可设（为常数），得出，从而得出，再令，且根据一次函数和指数型函数的单调性得出函数的单调性，从而可知有唯一解，从而得出的解析式，最后结合对数函数的运算即可求出结果. 【详解】解：是上的单调函数，且对任意的实数，都有， 则设（为常数），则， ，即， 令， 由于函数在上单调递增，且函数在上单调递减， 则在上单调递增， 所以有唯一解，解得：， ， . 故答案为：. 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$