第四章 指数与指数函数 单元测试卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

河北承德高新区第一中学 2024—2025学年第一学期高一数学指数与指数函数单元测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．设且，则“函数在上是增函数”是“函数在上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的图象恒过定点（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 4．函数在上的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是偶函数，且在上单调递减 D．是奇函数，且在上单调递减 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．定义在上的函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．已知函数，则（   ） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12．化简： . 13．若不等式成立，则实数的取值范围是 ． 14．设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分)计算或化简下列各式： （1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)； （2）－10(－2)－1＋()0. 16．(本小题15分)已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求的值域； (3)若不等式，求实数的取值范围. 17．(本小题15分)已知指数函数，且过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 18．(本小题17分)已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 19．(本小题17分)已知定义域为的函数，是奇函数． (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B D B D A CD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据指数函数与幂函数的性质，充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】函数在上是增函数，可得， 函数在上是增函数，可得， 所以“函数在上是增函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件， 故选：A. 2．C 【分析】根据的性质判断即可. 【详解】由于，所以恒过定点，且一定不经过，故C正确，D错误. 而，均不是定值，故A，B错误. 故选：C. 3．B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 4．B 【分析】由指数函数单调性得到最小值. 【详解】在上单调递增，其最小值为. 故选：B 5．D 【分析】根据指数函数的单调性，借助中间量“1”即可比较. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 同理可得， ，， 所以. 故选：D 6．B 【分析】首先利用奇函数，偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用“增函数增函数增函数”判断单调性即可. 【详解】因为定义域为，且， 所以为奇函数； 又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增. 故选：B. 7．D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 8．A 【分析】运用复合函数单调性“同增异减”规则来解题即可. 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 9．CD 【分析】根据指数幂的运算法则即可判断. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：CD. 10．ACD 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，求出函数的最值，判断CD. 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减，故A正确， B错误； ∴，故C正确； 又，，的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B.由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D. 【详解】A,当时，，定义域为， 因为， 所以为偶函数，A正确； B，因为， 所以， 则有最大值，没有最小值，B错误； C，因为在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； D，当时，， 所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】利用指数运算性质化简计算即可. 【详解】；； 原式 故答案为： 13． 【分析】利用指数函数单调性求解不等式. 【详解】不等式，又为R上的增函数， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．或 【分析】利用函数的图象特点，再结合的图象无限趋近于1，可得，的值，则不等式可解． 【详解】解：因为趋近时，趋近于0， 所以趋近时，趋近于，所以，所以， 所以，所以不等式可化为， 又因为是减函数，所以，解得或. 故答案为：或． 15．（1）－a；（2）－. 【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】(1)原式 (2)原式 ＝＋10－10－20＋1＝－ . 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据函数单调性以及奇函数性质即可求解； （3）由题意，根据单调性以及定义域列出不等式组即可. 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则， 设，则，， 又由函数为奇函数，则， 则； （2）当时，；当时，； 当时，； 所以的值域为； （3）根据题意，当时，.则函数在上单调递增， 又由函数是定义在上的奇函数，则函数在上单调递增， 由，有， ，解得， 所以实数的取值范围为. 17．(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式计算即可求解； （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）将点代入得， 解得； （2）. 为减函数， ，解得， 实数的取值范围为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）利用换元法可得，，方程有实根等价于有大于零的实根，从而可得，求解即可； （3）根据题意得，根据函数的单调性求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 得二次函数， 所以当，由复合函数单调性判断方法可知函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值， 所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由（1）知，令，，， 结合题意得有实数根，且实数根大于零， 则，解得. 因此，实数m的取值范围为. （3）由题意得， 由题意得， 由函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 可得复合函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知，当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，解得. 【点睛】关键点点睛：（1）利用换元法，转化为二次函数在具体区间上的最值问题；（2）转化为二次函数根的分布问题，得出相应的不等式组，求解即可；（3）由题可得，再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数定义中的特殊值求a，b的值； （2）结合函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为关于t的一元二次不等式，利用二次函数的性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数是定义在的奇函数，所以 令，，可得；令，， 所以，解得， 经验证当时，函数为奇函数，所以. （2）因为，由指数函数单调递增，易知函数单调递减， 所以由，可得， 又因为在上单调递减，所以， 即在上恒成立，则，解得， 即实数的取值范围是. 答案第2页，共9页 答案第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$