2025年广东省九年级学业水平考试数学仿真试卷课件(六套打包)

2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(三) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. －3的绝对值是(　B　) A. B. 3 C. － D. －3 2. 某病毒直径大约为80 nm(1 nm＝0.000 001 mm)，数据“80 nm”用科 学记数法表示为(　C　) A. 0.8×10－7 mm B. 8×10－6 mm C. 8×10－5 mm D. 80×10－6 mm B C 3. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，BE＝CF， 请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是(　C　) A. AB＝DE B. AC＝DF C. AB∥DE D. BC＝EF C 4. 关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0无实数解，则k的取值范围 是(　A　) A. k＞4 B. k＜4 C. k＜－4 D. k＞1 A 5. 某小区14户家庭的日用电量统计如下表： 日用电量/kW·h 3 4 5 6 7 8 户数 1 6 3 2 1 1 这14户家庭日用电量的众数、中位数分别是(　A　) A. 4 kW·h，4.5 kW·h B. 4 kW·h，5.5 kW·h C. 6 kW·h，1.5 kW·h D. 1 kW·h，1.5 kW·h A 6. 如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数y2＝ 的图象交于点A(2，1)，B(－1，－2)，则使y1＞y2的x的取值范围是(　B　) A. x＞2 B. x＞2或－1＜x＜0 C. －1＜x＜2 D. x＞2或x＜－1 第6题图 B 7. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1， ，则☉A的直径 为(　C　) A. －1 B. 1－ C. 2 －2 D. 2－2 第7题图 C 8. 如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10 cm，底面半径为3 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为(　A　) A. 108° B. 120° C. 144° D. 150° 第8题图 A 9. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知 折痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝ ，那么矩形ABCD的周长为(　D　) A. 18 cm B. 25 cm C. 32 cm D. 36 cm 第9题图 D 10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示，下列五个结 论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2；⑤2a－ b＜c.其中正确的结论有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第10题图 C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 计算： ＋ ＝ 　 5 　. 12. 一组数据3，2，1的方差是 ⁠. 13. 如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝25°，则∠BAD的度数为 ⁠. 第13题图 5 　 　 65°　 14. 若m＋n＝5，mn＝3，则m2＋n2＝ ⁠. 15. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若 ∠DAE＝30°，tan∠EAC＝ ，则BD＝ 　 3－ 　. 第15题图 19　 3－ 　 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. 先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝ . 解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5. 当x＝ 时，原式＝ －5＝－ . 解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5. 当x＝ 时，原式＝ －5＝－ . 17. 某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑、白两种纯色文 化衫共100件，进行DIY手绘设计后出售，每种文化衫的成本和售价如下 表.假设文化衫全部售出，共获利720元，两种文化衫各购进了多少件？ 项目 白色文化衫 黑色文化衫 成本/元 25 28 售价/元 31 36 解：设购进黑色文化衫x件，则购进白色文化衫(100－x)件. 根据题意，得(36－28)x＋(31－25)·(100－x)＝720. 解：设购进黑色文化衫x件，则购进白色文化衫(100－x)件. 根据题意，得(36－28)x＋(31－25)·(100－x)＝720. 解得x＝60. ∴100－x＝100－60＝40. 答：购进黑色文化衫60件，购进白色文化衫40件. 解得x＝60. ∴100－x＝100－60＝40. 答：购进黑色文化衫60件，购进白色文化衫40件. 18. 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相 同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的 碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小 亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的一次函数解析式； 解：(1)∵y是x的一次函数， 设y＝kx＋b， 根据题意，得 解x之间的函数解析式为y＝2.4x＋3.6. 解：(1)∵y是x的一次函数， 设y＝kx＋b， 根据题意，得 解得 ∴y与x之间的函数解析式为y＝2.4x＋3.6. 18. 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相 同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的 碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小 亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，此时碗的 数量最多为多少个？ 解：(2)由题意可知，y≤28.8， 则2.4x＋3.6≤28.8. 解得x≤10.5. ∴x的最大整数解为10. 答：碗的数量最多为10个. 解：(2)由题意可知，y≤28.8， 则2.4x＋3.6≤28.8. 解得x≤10.5. ∴x的最大整数解为10. 答：碗的数量最多为10个. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 综合与实践. 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究用菱形的一条对角线来作菱形. 如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，且顶点B在射线AE上. (1)【动手操作】请用尺规把这个菱形补充完整；(保留作图痕迹，不要求 写作法) 解：(1)如图，菱形ABCD即为所求. 解：(1)如图，菱形ABCD即为所求. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 综合与实践. 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究用菱形的一条对角线来作菱形. 如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，且顶点B在射线AE上. (2)【拓展延伸】若AC＝2 ，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积. 解：(2)如图，设AC，BD交于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. ∴OA＝OC＝ . ∵∠OAB＝30°， ∴OD＝OB＝OA·tan 30°＝1. ∴BD＝2OD＝2. ∴S菱形ABCD＝ ×2×2 ＝2 . 解：(2)如图，设AC，BD交于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. ∴OA＝OC＝ . ∵∠OAB＝30°， ∴OD＝OB＝OA·tan 30°＝1. ∴BD＝2OD＝2. ∴S菱形ABCD＝ ×2×2 ＝2 . 20. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结 束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100 分)，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组： 90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的统计图. (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中m ＝ ，所抽取学生成绩的中位数落在 组； 400　 60　 D　 (2)补全学生成绩频数直方图； 解：(2)补全学生成绩频数直方图如图. 20. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结 束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100 分)，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组： 90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的统计图. (3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3 000名学生，估计该校成绩优 秀的学生有多少人； 解：(3)3 000× ＝1 680(人). 答：估计该校成绩优秀的学生有1 680人. 解：(3)3 000× ＝1 680(人). 答：估计该校成绩优秀的学生有1 680人. 20. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结 束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100 分)，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组： 90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的统计图. (4)学校将从获得满分的5名同学(其中有2名男生，3名女生)中随机抽取两 名，参加周一国旗下的演讲，请利用画树状图或列表的方法求抽取同学 中恰有一名男生和一名女生的概率. 解：(4)画树状图如图. 共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种， ∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率是 ＝ . 解：(4)画树状图如图. 共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种， ∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率是 ＝ . 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的 化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口 的三分之一处.已知试管AB＝30 cm，BE＝ AB，试管倾斜角α为 10°，经测量，得DE＝21.7 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°. (1)求点B到CF的距离； 解：(1)如图，过点B作BP⊥DE于点P，过点B 作BH⊥CF于点H， 根据题意，得 在Rt△BPE中，∠EBP＝α＝10°，BE＝ AB＝ 10 cm. ∴BP＝BE· cos 10°≈9.8 cm， EP＝BE· sin 10°≈1.7 cm. ∵DE＝21.7 cm，∴PD＝DE－EP＝21.7－1.7 ＝20(cm). ∵∠BPD＝∠PDA＝∠BHD＝90°， ∴四边形BPDH是矩形. ∴BH＝PD＝20 cm. ∴点B到CF的距离为20 cm. 解：(1)如图，过点B作BP⊥DE于点P，过点B 作BH⊥CF于点H， 根据题意，得 在Rt△BPE中，∠EBP＝α＝10°，BE＝ AB＝10 cm. ∴BP＝BE· cos 10°≈9.8 cm， EP＝BE· sin 10°≈1.7 cm. ∵DE＝21.7 cm，∴PD＝DE－EP＝21.7－1.7＝20(cm). ∵∠BPD＝∠PDA＝∠BHD＝90°， ∴四边形BPDH是矩形. ∴BH＝PD＝20 cm. ∴点B到CF的距离为20 cm. 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的 化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口 的三分之一处.已知试管AB＝30 cm，BE＝ AB，试管倾斜角α为 10°，经测量，得DE＝21.7 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°. (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN时，延长BM交CN的延长线于点F， 且MN⊥CF(点C，D，N，F在同一条直线上)，求线段DN的长度.(参 考数据： sin 10°≈0.17， cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18) 解：(2)如图，过点M作MQ⊥BH于点Q， ∴四边形MNHQ为矩形. ∵MN＝8 cm，∴QH＝8 cm.∴BQ＝BH－QH＝20－8＝12(cm). ∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM－10°－90°＝45°. ∴∠QMB＝90°－∠QBM＝45°＝∠QBM. ∴QM＝BQ＝12 cm. ∴DN＝DH＋HN＝BP＋QM＝9.8＋12＝21.8(cm). ∴线段DN的长度为21.8 cm. 解：(2)如图，过点M作MQ⊥BH于点Q， ∴四边形MNHQ为矩形. ∵MN＝8 cm，∴QH＝8 cm.∴BQ＝BH－QH＝20－8＝12(cm). ∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM－10°－90°＝45°. ∴∠QMB＝90°－∠QBM＝45°＝∠QBM. ∴QM＝BQ＝12 cm. ∴DN＝DH＋HN＝BP＋QM＝9.8＋12＝21.8(cm). ∴线段DN的长度为21.8 cm. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员 介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上 均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面 最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”. 小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周. (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m； 101　 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员 介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上 均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面 最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”. 小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周. (2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱(如图，此时小明和小亮分 别位于P，Q两点). ①求两人所在座舱在摩天轮上 的距离(弧PQ的长)； 解：(2)①∵圆周上均匀的安装24个座舱， ∴每相邻两个座舱之间所对的圆心角为 ＝15°， ∴∠POQ＝4×15°＝60°.∴ 的长为 ＝ π(m). 答：两人所在座舱在摩天轮上的距离(弧PQ的长)为 π m. 解：(2)①∵圆周上均匀的安装24个座舱， ∴每相邻两个座舱之间所对的圆心角为 ＝15°， ∴∠POQ＝4×15°＝60°.∴ 的长为 ＝ π(m). 答：两人所在座舱在摩天轮上的距离(弧PQ的长)为 π m. 22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员 介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上 均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面 最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”. 小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周. (2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱(如图，此时小明和小亮分 别位于P，Q两点). ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差； 解：(2)②如图，过点P作PN⊥OQ于点N， 根据题意，得两人所在座舱距离地面的高度差就是NQ的长. 在Rt△PON中，OP＝50 m，∠PON＝60°， ∴ON＝ OP＝25 m. ∴NQ＝OQ－ON＝25 m. 答：两人所在座舱距离地面的高度差为25 m. 解：(2)②如图，过点P作PN⊥OQ于点N， 根据题意，得两人所在座舱距离地面的高度差就是NQ的长. 在Rt△PON中，OP＝50 m，∠PON＝60°， ∴ON＝ OP＝25 m. ∴NQ＝OQ－ON＝25 m. 答：两人所在座舱距离地面的高度差为25 m. 22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员 介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上 均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面 最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”. 小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周. (3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于76 m时，可视为最 佳观赏位置，求最佳观赏时间有多长.(不足1 min按1 min记) 解：(3)如图，当DM＝76 m时，对应的座舱为点B，C，当座舱在 上运动时，观赏位置最佳，此时，OD＝76－1－50＝25(m). ∵OB＝OC＝50 m，∴∠BOD＝∠COD＝60°. ∴ 的长是圆周长的 . ∴最佳观赏位置所持续的时间为13 min 14 s的 ，约为5 min. 答：最佳观赏时间约有5 min. 解：(3)如图，当DM＝76 m时，对应的座舱为点B，C，当座舱在 上运动时，观赏位置最佳，此时，OD＝76－1－50＝25(m). ∵OB＝OC＝50 m，∴∠BOD＝∠COD＝60°. ∴ 的长是圆周长的 . ∴最佳观赏位置所持续的时间为13 min 14 s的 ，约为5 min. 答：最佳观赏时间约有5 min. 23. 综合与探究. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝ x－2与x轴交于点A，与y 轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的另一 个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点 P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)直线y＝ x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A，C的 坐标分别为(4，0)，(0，－2). ∵抛物线与x轴的另一交点为点B(－1，0)， ∴抛物线的解析式为y＝a(x－4)(x＋1) ＝a(x2－3x－4)， 将点C(0，－2)代入，得－4a＝－2，解得a＝ .∴抛物线的解析式为 y＝ x2－ x－2. 解：(1)直线y＝ x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A，C的 坐标分别为(4，0)，(0，－2). ∵抛物线与x轴的另一交点为点B(－1，0)， ∴抛物线的解析式为y＝a(x－4)(x＋1) ＝a(x2－3x－4)， 将点C(0，－2)代入，得－4a＝－2，解得a＝ .∴抛物线的解析式为 y＝ x2－ x－2. 23. 综合与探究. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝ x－2与x轴交于点A，与y 轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的另一 个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点 P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直 接写出点D的坐标； 解：(2)点D的坐标为(4±2 ，0)或(－4，0). 解：(2)点D的坐标为(4±2 ，0)或(－4，0). 23. 综合与探究. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝ x－2与x轴交于点A，与y 轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的另一 个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点 P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (3)当EF＝AC时，求点P的坐标； 解：(3)设点P ，当y＝ x2－ x－2＝ x－2，则x＝ x2－3x，即点E(x2－3x， x2－ x－2). ∵点E，C，F，A共线，EF＝AC，则xF－xE＝xA－xC， 即x－(x2－3x)＝4－0，解得x＝2.∴点P的坐标为(2，－3). 解：(3)设点P ， 当y＝ x2－ x－2＝ x－2， 则x＝x2－3x，即点E(x2－3x， x2－ x－2). ∵点E，C，F，A共线，EF＝AC，则xF－xE＝xA－xC， 即x－(x2－3x)＝4－0，解得x＝2.∴点P的坐标为(2，－3). 23. 综合与探究. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝ x－2与x轴交于点A，与y 轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的另一 个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点 P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (4)在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴 的垂线，垂足为点M，连接NA，MP， 则NA＋MP的最小值为 ⁠. 　 $$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(六) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是(　B　) A. a＞1 B. a≥1 C. a＜1 D. a≤1 2. 数轴上表示－2 024的点到原点的距离是(　A　) A. 2 024 B. C. －2 024 D. － B A 3. 下列运算正确的是(　D　) A. 2 － ＝2 B. (a＋1)2＝a2＋1 C. (a2)3＝a5 D. 2a2·a＝2a3 4. 某病毒的直径是120 nm(1 nm＝10－9 m)，120 nm用科学记数法可表示 为(　C　) A. 12×10－8 m B. 1.2×10－2 m C. 1.2×10－7 m D. 120×10－9 m D C 5. 将一副常规的三角尺按如图所示方式放置，则图中∠AOB的度数 为(　C　) A. 75° B. 95° C. 105° D. 120° 第5题图 C 6. 某校七年级(1)班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如 下表所示.则这个班学生成绩的众数、中位数分别是(　D　) 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 3 9 13 16 9 A. 90，80 B. 16，85 D C. 16，24.5 D. 90，85 7. 如图是正方体的一种不完整的表面展开图，下面是四位同学补画的情 况(图中的阴影部分)，其中补画正确的是(　A　) A B C D 第7题图 A 8. 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝14，点D，E分别是边AB，AC 的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF的长是(　A　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第8题图 A 9. 如图，在☉O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数 为(　B　) A. 70° B. 55° C. 45° D. 35° 第9题图 B 10. 如图，点A在双曲线y＝－ (x＜0)上，连接OA，作OB⊥OA，交双 曲线y＝ (x＞0)于点B，连接AB. 若 sin B＝ ，则k的值为(　D　) A. 1 B. 2 C. D. 第10题图 D 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝ ⁠. 12. 计算： ＋ ＝ ⁠. 13.6个全等的小正方形按如图方式放置在△ABC中，则tan B的值是 ⁠. 第13题图 24　 2　 　 14. 如图，电路图上有A，B，C 3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同 时闭合开关A，B都可以使小灯泡发亮.任意闭合其中的1个开关，小灯泡 发亮的概率是 ⁠. 第14题图 　 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1， A3B3C3C2，…，AnBnCnCn－1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2， A3，…，An均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn 均在x轴上，若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点A4的坐 标为 ⁠. 第15题图 (7，8)　 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. 解不等式组： 解：解不等式①，得x＞－1， 解不等式②，得x≤3， ∴不等式组的解集为－1＜x≤3. 解：解不等式①，得x＞－1， 解不等式②，得x≤3， ∴不等式组的解集为－1＜x≤3. 17. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点.求证：四 边形AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∵点E，F分别是边AB，CD的中点， ∴AE＝CF. ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∵点E，F分别是边AB，CD的中点， ∴AE＝CF. ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形. 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°. (1)实践与操作：在边AC上找一点D(点C，D不重合)，使得△ABD为等 腰三角形；(尺规作图，保留作图痕迹) 解：(1)如图，点D即为所求. 解：(1)如图，点D即为所求. 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°. (2)猜想与证明：在(1)的条件下，试猜想BD，BC之间的数量关系，并加 以证明. 解：(2)BD＝BC. 解：(2)BD＝BC. 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝ ×(180°－36°)＝72°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝ ∠ABC＝36°. ∴∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°. ∴∠C＝∠BDC. ∴BD＝BC. 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝ ×(180°－36°)＝72°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝ ∠ABC＝36°. ∴∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°. ∴∠C＝∠BDC. ∴BD＝BC. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14 (1)求表中m的值； 解：(1)m＝50－1－5－12－14＝18. 解：(1)m＝50－1－5－12－14＝18. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14 (2)请把频数分布直方图补充完整； 解：(2)如图. 解：(2)如图. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14 (3)若测试成绩不低于35分为达标，则本次测试的达标率是多少？ 解：(3) ×100％＝64％.∴达标率为64％. 解：(3) ×100％＝64％.∴达标率为64％. (4)第三组12名学生中有A，B，C，D四名女生，现将这12名学生平均分成两组进行竞赛练习，每组两名女生，请用画树状图法或列表法求B，C两名女生分在同一组的概率. 解：(4)画树状图如图. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14 共有12种等可能的结果，其中B，C两名女生分在同一组的结果有2 种.∴B，C两名女生分在同一组的概率为 ＝ . 解：(4)画树状图如图. 共有12种等可能的结果，其中B，C两名女生分在同一组的结果有2 种.∴B，C两名女生分在同一组的概率为 ＝ . 20. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果.经调查，这两种 水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价/(元/kg) 售价/(元/kg) 甲 a 22 乙 b 25 该超市购进甲种水果18 kg和乙种水果6 kg需366元；购进甲种水果30 kg 和乙种水果15 kg需705元. (1)求a，b的值； 解：(1)根据题意，得 解得 ∴a＝14，b ＝19. 解：(1)根据题意，得 解得 ∴a＝14，b＝19. 20. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果.经调查，这两种 水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价/(元/kg) 售价/(元/kg) 甲 a 22 乙 b 25 该超市购进甲种水果18 kg和乙种水果6 kg需366元；购进甲种水果30 kg 和乙种水果15 kg需705元. (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150 kg进行销售，其中甲种水 果的数量不少于50 kg，且不大于120 kg.实际销售时，若甲种水果超过80 kg，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获 得的利润y(单位：元)与购进甲种水果的数量x(单位：kg)之间的函数关 系式(写出自变量x的取值范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货 方案以及最大利润. 解：(2)当50≤x≤80时，y＝(22－14)x＋(25－19)(150－x)＝2x＋ 900.∵2＞0，∴y随x的增大而增大. ∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为2×80＋900＝1 060(元). 当80＜x≤120时，y＝(22－14)×80＋(22－14－5)(x－80)＋(25－19)(150 －x)＝－3x＋1 300. ∵－3＜0，∴y随x的增大而减小. ∴y的值不超过－3×80＋1 300＝ 1 060(元). 综上所述，当购进甲水果80 kg，乙水果70 kg时，获得的利润最大，最大 利润为1 060元. 解：(2)当50≤x≤80时，y＝(22－14)x＋(25－19)(150－x)＝2x＋ 900.∵2＞0，∴y随x的增大而增大. ∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为2×80＋900＝1 060(元). 当80＜x≤120时，y＝(22－14)×80＋(22－14－5)(x－80)＋(25－19)(150 －x)＝－3x＋1 300. ∵－3＜0，∴y随x的增大而减小. ∴y的值不超过－3×80＋1 300＝ 1 060(元). 综上所述，当购进甲水果80 kg，乙水果70 kg时，获得的利润最大，最大 利润为1 060元. 21. 如图，一次函数y＝x＋10的图象与反比例函数y＝ (k为常数且 k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点. (1)求反比例函数的解析式； 解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝x＋10，得m＝－1＋10＝9. 则点A(－1，9).将点A(－1，9)代入y＝ ，得 ＝9. 解得k＝－9.∴反比例函数的解析式为y＝－ . 解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝x＋10， 得m＝－1＋10＝9. 则点A(－1，9).将点A(－1，9)代入y＝ ，得 ＝9. 解得k＝－9.∴反比例函数的解析式为y＝－ . 21. 如图，一次函数y＝x＋10的图象与反比例函数y＝ (k为常数且 k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点. (2)当一次函数的值大于反比例函数的值时， 求x的取值范围； 解：(2)根据题意，得 解得 或 ∴点 B(－9，1). 根据图象，得当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是 －9＜x＜－1或x＞0. 解：(2)根据题意，得 解得 或 ∴点B(－9，1). 根据图象，得当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是 －9＜x＜－1或x＞0. 21. 如图，一次函数y＝x＋10的图象与反比例函数y＝ (k为常数且 k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点. (3)将一次函数y＝x＋10的图象沿y轴向下 平移b个单位长度(b＞0)，使平移后的图象 与反比例函数y＝ 的图象有且只有一个交 点，求b的值. 解：(3)∵一次函数y＝x＋10的图象沿y轴向下平移b个单位长度， ∴平移后的一次函数为y＝x＋10－b. ∵一次函数y＝x＋10－b的图象与反比例函数y＝－ 的图象有且只有一 个交点，∴x＋10－b＝－ .∴x2＋(10－b)x＋9＝0. 则Δ＝(10－b)2－4×9＝0.解得b＝4或16，∴b的值为4或16. 解：(3)∵一次函数y＝x＋10的图象沿y轴向下平移b个单位长度， ∴平移后的一次函数为y＝x＋10－b. ∵一次函数y＝x＋10－b的图象与反比例函数y＝－ 的图象有且只有一 个交点，∴x＋10－b＝－ .∴x2＋(10－b)x＋9＝0. 则Δ＝(10－b)2－4×9＝0.解得b＝4或16，∴b的值为4或16. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度OQ＝8 m，顶点P的高度为4 m，建立如图所示的平面直角坐标系.现计划给该 墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD(点B，C在抛物线 上，边AD在地面上)，针对窗框的安装，设计师给出了两种设计方案. 方案一：如图1，在门框的两边加装两个矩形窗框(点G，H在抛物线 上)，AE＝DF＝1 m； 方案二：如图2，在门框的上方加装一个矩形 的窗框(点G，H在抛物线上)，BE＝CF＝1 m. (1)求该抛物线的函数解析式； (1)根据题意，得抛物线的顶点P的坐标为(4，4)， 设所求抛物线的函数解析式为y＝a(x－4)2＋4. 把点(0，0)代入函数解析式中，得0＝a(0－4)2＋4， 解得a＝－ .∴该抛物线的函数解析式为 y ＝－ (x－4)2＋4. 解：(1)根据题意，得抛物线的顶点P的坐标为(4，4)， 设所求抛物线的函数解析式为y＝a(x－4)2＋4. 把点(0，0)代入函数解析式中，得0＝a(0－4)2＋4， 解得a＝－ .∴该抛物线的函数解析式为 y ＝－ (x－4)2＋4. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度OQ＝8 m，顶点P的高度为4 m，建立如图所示的平面直角坐标系.现计划给该 墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD(点B，C在抛物线 上，边AD在地面上)，针对窗框的安装，设计师给出了两种设计方案. 方案一：如图1，在门框的两边加装两个矩形窗 框(点G，H在抛物线上)，AE＝DF＝1 m； 方案二：如图2，在门框的上方加装一个矩形的 窗框(点G，H在抛物线上)，BE＝CF＝1 m. (2)若要求门框AB的高度为3 m，判断哪种方案 的透光面积(窗框和门框的面积和)较大？(窗框 与门框的宽度忽略不计) (2)当y＝3时，3＝－ (x－4)2＋4，解得x1＝2，x2＝6. ∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(2，3).BC＝4 m. 方案一：∵AE＝DF＝1 m，∴点E的坐标为(1，0).∴点G的横坐标为 1，当x＝1时，y＝－ ×(1－4)2＋4＝ ，∴EG＝ . ∴S矩形AEGI＝S矩形FDNH＝ ×1＝ (m2). ∴S矩形AEGI＋S矩形FDNH＝ ×2＝ (m2). 方案二：∵BE＝CF＝1 m，∴点E的坐标为(3，3).∴点G的横坐标为 3.当x＝3时，y＝－ ×(3－4)2＋4＝ ，∴EG＝ －3＝ (m). 解：(2)当y＝3时，3＝－ (x－4)2＋4，解得x1＝2，x2＝6. ∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(2，3).BC＝4 m. 方案一：∵AE＝DF＝1 m，∴点E的坐标为(1，0).∴点G的横坐标为 1，当x＝1时，y＝－ ×(1－4)2＋4＝ ，∴EG＝ . ∴S矩形AEGI＝S矩形FDNH＝ ×1＝ (m2). ∴S矩形AEGI＋S矩形FDNH＝ ×2＝ (m2). 方案二：∵BE＝CF＝1 m，∴点E的坐标为(3，3).∴点G的横坐标为 3.当x＝3时，y＝－ ×(3－4)2＋4＝ ，∴EG＝ －3＝ (m). ∵EF＝BC－BE－CF＝2(m)， ∴S矩形GEFH＝EF×GE＝2× ＝ (m2). ∵ ＞ ，∴方案一透光面积较大. ∵EF＝BC－BE－CF＝2(m)， ∴S矩形GEFH＝EF×GE＝2× ＝ (m2). ∵ ＞ ，∴方案一透光面积较大. 23. 综合与实践. 素材：一张边长为4的正方形纸片. 步骤1：对折正方形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸 片展平. 步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折 痕PE，点P在边AB上，过点P作AB的垂线交射线EG于点H. (1)如图1，若点H落在边CD上，直接写出∠APE的度数； 解：(1)∠APE＝30°. 23. 综合与实践. 素材：一张边长为4的正方形纸片. 步骤1：对折正方形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸 片展平. 步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折 痕PE，点P在边AB上，过点P作AB的垂线交射线EG于点H. (2)如图2，设AP＝x，PH＝y，试求y关于x的函数解析式； 解：(2)如图1，过点H作HM⊥AD于点M，则四边形MAPH为矩形. ∴MH＝AP，∠MHP＝90°. 由折叠的性质，得∠A＝∠EGP＝90°，AP＝PG， ∴∠PGH＝∠HME＝90°，PG＝HM. ∵∠EHM＋∠GHP＝∠GHP＋∠HPG＝90°， ∴∠EHM＝∠HPG. ∴△HME≌△PGH. ∴HE＝PH＝y.∴HG＝HE－EG＝y－2. 在Rt△PGH中，由勾股定理，得 HG2＋PG2＝PH2. 解：(2)如图1，过点H作HM⊥AD于点M，则四边形MAPH为矩形. ∴MH＝AP，∠MHP＝90°. 由折叠的性质，得∠A＝∠EGP＝90°，AP＝PG， ∴∠PGH＝∠HME＝90°，PG＝HM. ∵∠EHM＋∠GHP＝∠GHP＋∠HPG＝90°， ∴∠EHM＝∠HPG. ∴△HME≌△PGH. ∴HE＝PH＝y.∴HG＝HE－EG＝y－2. 在Rt△PGH中，由勾股定理，得 HG2＋PG2＝PH2. ∵PG＝AP＝x，∴(y－2)2＋x2＝y2.整理，得y＝ x2＋1. ∴y关于x的函数表达式为y＝ x2＋1(0＜x≤4). ∵PG＝AP＝x，∴(y－2)2＋x2＝y2.整理，得y＝ x2＋1. ∴y关于x的函数表达式为y＝ x2＋1(0＜x≤4). 23. 综合与实践. 素材：一张边长为4的正方形纸片. 步骤1：对折正方形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸 片展平. 步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折 痕PE，点P在边AB上，过点P作AB的垂线交射线EG于点H. (3)如图3，☉O为△APE的外接圆，若☉O与边BC相切，求GH的长. 解：(3)如图2，设☉O与边BC相切于点M，连接MO并延长，交边AD 于点N， 设AP＝x，PH＝y， 由(2)，知y＝ x2＋1(0＜x≤4)， ∵☉O与边BC相切于点M，∴MO⊥BC. ∴MN⊥AD，即ON⊥AE. ∴AN＝EN＝ AE＝1. ∵∠EAP＝90°，∴PE是☉O的直径. 解：(3)如图2，设☉O与边BC相切于点M，连接MO并延长，交边AD 于点N， 设AP＝x，PH＝y， 由(2)，知y＝ x2＋1(0＜x≤4)， ∵☉O与边BC相切于点M，∴MO⊥BC. ∴MN⊥AD，即ON⊥AE. ∴AN＝EN＝ AE＝1. ∵∠EAP＝90°，∴PE是☉O的直径. ∴PO＝EO. ∴ON是△EAP的中位线. ∴ON＝ AP＝ x. ∴OE＝OM＝MN－ON＝4－ x. 在Rt△OEN中，ON2＋EN2＝OE2， 即 ＋12＝ ，解得x＝ . ∴GH＝EH－EG＝PH－EG＝ x2＋1－2＝ . ∴PO＝EO. ∴ON是△EAP的中位线. ∴ON＝ AP＝ x. ∴OE＝OM＝MN－ON＝4－ x. 在Rt△OEN中，ON2＋EN2＝OE2， 即 ＋12＝ ，解得x＝ . ∴GH＝EH－EG＝PH－EG＝ x2＋1－2＝ . $$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(四) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. －2 025的相反数是(　C　) A. －2 025 B. C. 2 025 D. － 2. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳的排放量 约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为(　C　) A. 1.6×103吨 B. 1.6×104吨 C. 1.6×105吨 D. 16×106吨 C C 3. 下列运算正确的是(　D　) A. 2x＋6y＝8xy B. 4y3－y3＝3 C. 6x2－5x＝x D. 9ab－9ba＝0 4. 将如图所示的展开图沿虚线折成一个正方体(不允许剪开)，与“建” 字相对的汉字是(　C　) A. 生 B. 态 D C C. 家 D. 园 5. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(　C　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三 角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是(　B　) A. 135 B. 105° C. 95° D. 75° C B 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题： “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几 何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值 金8两.问牛、羊每头各值金多少？”若设每头牛值金x两，羊每头值金y 两，则可列方程组是(　A　) A. B. C. D. A 8. 关于x的一元二次方程mx2＋6x＝9有两个实数根，则m的取值范围 为(　A　) A. m≥－1且m≠0 B. m≤1且m≠0 C. m≤1 D. m≥－1 A 9. 菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架(如图1)等，为兼顾美观性 和实用性，活动角α的取值范围宜为60°≤α≤120°(如图2)，亮亮选购 了折叠后如图3所示的伸缩衣架，则其拉伸长度AB的适宜范围最接 近(　B　) A. 30 cm≤AB≤45 cm B. 45 cm≤AB≤45 cm C. 45 cm≤AB≤30 cm D. 30 cm≤AB≤45 cm B 10. 如图，等边三角形ABC，等边三角形DFE的边长分别为3和2.开始 时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平 移，当点D到达点B时停止.在此过程中，设△ABC，△DEF重合部分的 面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为(　C　) A B C D C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 若1－a＝2，则a＝ ⁠. 12. 一元二次方程(x－5)(x－7)＝0的解为 ⁠. 13. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小 明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥 子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥 子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的 书的概率是 ⁠. －1　 x1＝5，x2＝7　 　 14. 已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为 ⁠°. 15. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D， E分别在AC，BC边上运动，连接AE，BD交于点F，且始终满足AD ＝ CE，则下列结论：① ＝ ；②∠DFE＝135°；③△ABF面积 的最大值是4 －4；④CF的最小值是2 －2 .其中正确的是 ⁠ .(填序号) 60　 ① ②③④　 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. 解方程：x2－6x＝1. 解：配方，得(x－3)2＝10，∴x－3＝± . 解得x1＝3＋ ，x2＝3－ . 解：配方，得(x－3)2＝10，∴x－3＝± . 解得x1＝3＋ ，x2＝3－ . 17. 解不等式组： 并在数轴上表示它的解集. 解：解不等式①，得x＞ ，解不等式②，得x≤1， ∴不等式组无解.在数轴上表示解集如图. 解：解不等式①，得x＞ ，解不等式②，得x≤1， ∴不等式组无解. 在数轴上表示解集如图. 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1， 4)，B(4，2)，C(3，5)(每个小方格的边长均为1个单位长度). (1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的A1B1C1； 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. (2)求出点B旋转到点B1所经过的路径长. 解：(2)∵点B(4，2)，∴OB＝2 . ∴路径长为 ＝ π. 解：(2)∵点B(4，2)，∴OB＝2 . ∴路径长为 ＝ π. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 某校团委为了解学生关注“北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式 对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调 查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成 统计图1和图2. (1)本次抽样调查的学生人数共有 人； 50　 (2)将条形统计图补充完整； 解：(2)50－28－5－4－3＝10(人). 补全条形统计图如图. 解：(2)50－28－5－4－3＝10(人). 补全条形统计图如图. 19. 某校团委为了解学生关注“北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式 对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调 查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成 统计图1和图2. (3)在这次抽样的学生中，挑选了甲、乙、丙、丁4名学生进行相关培训， 最后从这4名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲.请用画 树状图或列表的方法求抽中的2名学生分别是甲和乙的概率. 解：(3)用列表法表示所有可能出现的结果如下： 甲 乙 丙 丁 甲 乙甲 丙甲 丁甲 乙 甲乙 丙乙 丁乙 丙 甲丙 乙丙 丁丙 丁 甲丁 乙丁 丙丁 共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生分别是甲和乙的结果有2种， ∴抽中的2名学生分别是甲和乙的概率为 ＝ . 解：(3)用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生分别是甲和乙的结果有2种， ∴抽中的2名学生分别是甲和乙的概率为 ＝ . 20. 已知方程组 与 有相同的解. (1)求m，n的值； 解：(1)根据题意，得 解得 ∴ 解得 解：(1)根据题意，得 解得 ∴ 解得 20. 已知方程组 与 有相同的解. (2)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程：x2｜m｜－ 7x－3n＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，求△ABC的面积. 解：(2)由(1)，得一元二次方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4. ∴△ABC的两边长分别为3，4. ∵32＋42＝52，∴△ABC是直角三角形. ∴S△ABC＝ ×3×4＝6. 解：(2)由(1)，得一元二次方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4. ∴△ABC的两边长分别为3，4. ∵32＋42＝52，∴△ABC是直角三角形. ∴S△ABC＝ ×3×4＝6. 21. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，将△CBE 沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H. (1)求证：△HCE是等腰三角形； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD. ∴∠BEC＝∠HCE. 由折叠的性质，得∠BEC＝∠HEC. ∴∠HCE＝∠HEC. ∴HE＝HC. ∴△HCE是等腰三角形. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD. ∴∠BEC＝∠HCE. 由折叠的性质，得∠BEC＝∠HEC. ∴∠HCE＝∠HEC. ∴HE＝HC. ∴△HCE是等腰三角形. 21. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，将△CBE 沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H. (2)若AB＝4，求HD的长. 解：(2)∵AB＝4，点E为AB的中点， ∴BE＝2，BC＝CD＝4. 由折叠的性质，得EG＝BE＝2，CG＝BC＝4，∠CGE＝∠B＝90°. ∴∠CGH＝90°.设HD＝x，则HC＝x＋4. ∵HC＝HE，∴HE＝x＋4.∴HG＝HE－GE＝x＋2. 在Rt△HGC中，根据勾股定理，得 CG2＋HG2＝CH2， ∴42＋(x＋2)2＝(x＋4)2.解得x＝1.∴HD的长为1. 解：(2)∵AB＝4，点E为AB的中点， ∴BE＝2，BC＝CD＝4. 由折叠的性质，得EG＝BE＝2，CG＝BC＝4，∠CGE＝∠B＝90°. ∴∠CGH＝90°.设HD＝x，则HC＝x＋4. ∵HC＝HE，∴HE＝x＋4.∴HG＝HE－GE＝x＋2. 在Rt△HGC中，根据勾股定理，得 CG2＋HG2＝CH2， ∴42＋(x＋2)2＝(x＋4)2.解得x＝1.∴HD的长为1. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 解决问题. 草莓种植大棚的设计 【生活背景】草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构.如图，一般 使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个 温室空间.大棚的设计要保证通风性且利于采光. 【建立模型】(1)如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物 线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4 m，宽ON＝12 m.现 以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为 y轴建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； 解：(1)根据题意，得抛物线的顶点为(6，4)， 则可设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋4. ∵抛物线过点(0，0)，∴36a＋4＝0.∴a＝－ . ∴抛物线的解析式为y＝－ (x－6)2＋4. 【解决问题】(2)如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形 的门，其中AB＝BE＝EC＝CD. 求门高AB的值； 解：(2)设AB＝BE＝EC＝CD＝x m，∴点A(6－m，m). ∵点A在抛物线y＝－ (x－6)2＋4上，∴－ m2＋4＝m. ∴m1＝3或m2＝－12(舍去).∴AB＝3 m. 答：门高AB为3 m. 【解决问题】(3)若在某一时刻，太阳光线(假设太阳光线为平行线)透过 点A恰好照射到点N，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此 时OQ的长. 解：(3)根据题意，得点A(3，3)，N(12，0)， ∴直线AN为y＝－ x＋4. 又∵PQ∥AN，∴可设PQ为y＝－ x＋b. ∴－ (x－6)2＋4＝－ x＋b.∴x2－15x＋9b＝0.∴Δ＝225－36b＝0.∴b＝ . ∴直线PQ为y＝－ x＋ .令y＝0，∴x＝ .∴OQ＝ m. 答：此时OQ的长为 m. 解：(3)根据题意，得点A(3，3)，N(12，0)， ∴直线AN为y＝－ x＋4. 又∵PQ∥AN，∴可设PQ为y＝－ x＋b. ∴－ (x－6)2＋4＝－ x＋b. ∴x2－15x＋9b＝0.∴Δ＝225－36b＝0.∴b＝ . ∴直线PQ为y＝－ x＋ .令y＝0，∴x＝ .∴OQ＝ m. 答：此时OQ的长为 m. 23. 四边形ABCD是☉O的内接矩形，点E是 上的一动点，连接 AE，BE，DE，其中BE交AD于点F. (1)如图1，当AB＝ED时， ①求证：△AEB≌△EAD； 解：(1)①证明：∵ ＝ ，∴∠EDA＝∠ABE. ∵AB＝ED，∴ ＝ .∴∠EAD＝∠AEB. 在△AEB和△EAD中， ∴△AEB≌△EAD(AAS). 解：(1)①证明：∵ ＝ ，∴∠EDA＝∠ABE. ∵AB＝ED，∴ ＝ .∴∠EAD＝∠AEB. 在△AEB和△EAD中， ∴△AEB≌△EAD(AAS). 23. 四边形ABCD是☉O的内接矩形，点E是 上的一动点，连接 AE，BE，DE，其中BE交AD于点F. (1)如图1，当AB＝ED时， ②若∠EAD＝30°，连接BO，EO. 求证：四边形ABOE是菱形； 解：(1)②证明：如图1，连接AO，BO，EO. ∵四边形ABCD是矩形，∠EAD＝30°， ∴∠AEB＝∠EAD＝30°，∠BAD＝90°. ∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝30°. ∴∠ABE＝∠AEB. ∴AE＝AB. ∵∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°. ∵OA＝OE， ∴△AEO是等边三角形. ∴AE＝EO. ∴AB＝EO＝BO＝AE. ∴四边形ABOE是菱形. 解：(1)②证明：如图1，连接AO，BO，EO. ∵四边形ABCD是矩形，∠EAD＝30°， ∴∠AEB＝∠EAD＝30°，∠BAD＝90°. ∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝30°. ∴∠ABE＝∠AEB. ∴AE＝AB. ∵∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°. ∵OA＝OE， ∴△AEO是等边三角形. ∴AE＝EO. ∴AB＝EO＝BO＝AE. ∴四边形ABOE是菱形. 23. 四边形ABCD是☉O的内接矩形，点E是 上的一动点，连接 AE，BE，DE，其中BE交AD于点F. (2)如图2，若BC＝2AB＝2， ＝k，请用含k的代数式表示EA·ED的 值. 解：(2)如图2，连接BD，过点E作EH⊥AD于点H. ∵∠BAD＝90°，∴BD是☉O的直径. ∴∠BED＝90°. ∵ sin ∠EAH＝ ， ＝ ， sin ∠EBD＝ ， ∴∠EBD＝∠EAH. ∴ ＝ ，即EA·ED＝EH·BD. ∵BC＝2AB＝2，∴BC＝2，AB＝1，BD＝ ＝ . ∴EA·ED＝EH·BD＝ EH. ∵∠EHF＝∠BAF＝90°，∠HFE＝∠AFB， ∴△EHF∽△BAF. 解：(2)如图2，连接BD，过点E作EH⊥AD于点H. ∵∠BAD＝90°，∴BD是☉O的直径. ∴∠BED＝90°. ∵ sin ∠EAH＝ ， ＝ ， sin ∠EBD＝ ， ∴∠EBD＝∠EAH. ∴ ＝ ，即EA·ED＝EH·BD. ∵BC＝2AB＝2，∴BC＝2，AB＝1，BD＝＝ . ∴EA·ED＝EH·BD＝ EH. ∵∠EHF＝∠BAF＝90°，∠HFE＝∠AFB， ∴△EHF∽△BAF. ∴ ＝ ＝k.∴EH＝k.∴EA·ED＝ k. ∴ ＝ ＝k.∴EH＝k.∴EA·ED＝ k. $$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(五) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某病毒的直径约为0.000 12 mm，将0.000 12用科学记数法表示 为(　B　) A. 0.12×10－3 B. 1.2×10－4 C. 1.2×10－5 D. 12×10－3 2. 下列运算正确的是(　D　) A. a2＋a3＝a6 B. (a＋b)2＝a2＋b2 C. (ab)2＝ab2 D. (a2)4＝a8 B D 3. 已知一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数 是(　B　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 下列图形是正方体的展开图的是(　A　) A B C D B A 5. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量 是(　B　) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 B 6. 如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形， 则∠BAD的度数为(　B　) A. 72° B. 60° C. 45° D. 32° 第6题图 B 7. 若关于x的分式方程 － ＝2无解，则a的值为(　B　) A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 8. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－3，2)，以点O为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(　A　) A. －4和－3之间 B. －5和－4之间 C. －3和－2之间 D. －2和－1之间 B A 9. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则 sin ∠BAC＝(　A　) A. B. C. D. 第9题图 A 10. 如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y 轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m＞n＞0)，下列结论正确的 是(　B　) A. m＋n＝1 B. m－n＝1 C. mn＝1 D. ＝1 B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 已知点P(－2，1)，则点P关于原点对称的点的坐标是 ⁠. 12. 如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数 是 ⁠. 第12题图 (2，－1)　 52°　 13. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个 转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ⁠. 第13题图 14. 若实数m，n满足 ＋ ＝0，则3m＋n＝ ⁠. 　 7　 15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以 BC长为半径作弧交AC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 BD 的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE. 有以下4个结论：①∠BCE＝36°；②BC＝AE；③ ＝ ；④ ＝ .其中正确的有 .(填序号) ①②④　 第15题图 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. 计算： －2 sin 45°＋(2 025－π)0－ . 解：原式＝ －1－ ＋1－4＝－4. 解：原式＝ －1－ ＋1－4＝－4. 17. 如图，已知∠A＝∠D，BF＝EC，AB∥DE. 求证：AC＝DF. 证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E. ∵BF＝CE，∴BC＝EF. ∵∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF. ∴AC＝DF. 证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E. ∵BF＝CE，∴BC＝EF. ∵∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF. ∴AC＝DF. 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博 士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以 上为优秀. 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学(每组8人)初赛的成绩整理成如图 所示的统计图. 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 37.5％ 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠； 7.5　 7　 25％　 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博 士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以 上为优秀. 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学(每组8人)初赛的成绩整理成如图 所示的统计图. 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 37.5％ 乙组 7.625 7 b 0.73 c (2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组的成绩一样好， 小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由.(写出两条即可) 解：(2)(答案不唯一，写出两条即可)例如：①甲组成绩的优秀率为37.5 ％，高于乙组成绩的优秀率25％，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比 乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为 4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整 齐；③甲组成绩的中位数为7.5分，高于乙组成绩的中位数7分，所以从 中位数的角度看，甲组成绩比乙组好等.因此不能仅从平均数的角度说明 两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面. 解：(2)(答案不唯一，写出两条即可)例如：①甲组成绩的优秀率为37.5 ％， 高于乙组成绩的优秀率25％，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组 好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48， 高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐； ③甲组成绩的中位数为7.5分，高于乙组成绩的中位数7分，所以从中位 数的角度看，甲组成绩比乙组好等.因此不能仅从平均数的角度说明两组 成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在△ABC中，点D是AC上的一点. (1)以AD为一边，在△ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB 于点E； (要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 解：(1)如图，∠ADE即为所作. 解：(1)如图，∠ADE即为所作. (2)若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长. 解：(2)∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝ ， 即 ＝ .∴DE＝ . 解：(2)∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝ ， 即 ＝ .∴DE＝ . 20. 如图，某景区A，B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600 m到达C处，测得景点B在C处的北偏东75°方向. (1)求景点B和C处之间的距离； (结果保留根号) 解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠A＝30°，∠ADC＝90°， AC＝600 mm， ∴CD＝ AC＝300 m. ∵∠B＝75°－30°＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°. ∴BC＝ CD＝300 m. 解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠A＝30°，∠ADC＝90°， AC＝600 mm， ∴CD＝ AC＝300 m. ∵∠B＝75°－30°＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°. ∴BC＝ CD＝300 m. 20. 如图，某景区A，B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600 m到达C处，测得景点B在C处的北偏东75°方向. (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直 的跨湖大桥.大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？ (结果 保留整数.参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 解：(2)由(1)，可知AD＝AC· cos ∠A＝300 m，BD＝CD＝300 m. ∴AB＝AD＋BD＝(300 ＋300) m. ∴AC＋BC－AB＝600＋300 －(300 ＋300)≈205(cm). ∴比原来少走205 m. 解：(2)由(1)，可知AD＝AC· cos ∠A＝300 m，BD＝CD＝300 m. ∴AB＝AD＋BD＝(300 ＋300) m. ∴AC＋BC－AB＝ 600＋300 －(300 ＋300)≈205(cm). ∴比原来少走205 m. 21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个 出水口.温水的温度为30 ℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100 ℃，流 速为15 mL/s.整个接水的过程不计热量损失. 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水 吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积× 温水升高的温度.　 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯480 mL的水，如果接水的时间 是27 s，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； 解：(1)设甲同学接温水所用的时间为m(s)，接开水所用的时间为n(s). 根据题意，得 解得 答：甲同学接温水所用的时间为15 s，接开水所用的时间为12 s. 解：(1)设甲同学接温水所用的时间为m(s)，接开水所用的时间为n(s). 根据题意，得 解得 答：甲同学接温水所用的时间为15 s，接开水所用的时间为12 s. (2)乙同学要接一杯700 mL的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选 择，方案一：先接x(s)的温水，再接开水；方案二：先接x(s)的开水，再 接温水.请你帮助乙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高. 解：(2)设乙同学按方案一接水时，杯中水的温度为a ℃，按方案二接水 时，杯中水的温度为了b ℃， 根据题意，得20x(a－30)＝(700－20x)(100－a)，15x(100－b)＝(700－ 15x)(b－30)， 解得a＝100－2x，b＝1.5x＋30. 当100－2x＞1.5x＋30时，x＜20， 当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高； 当100－2x＝1.5x＋30时，x＝20， 当x＝20时，两种接水方案杯中水的温度相同； 当100－2x＜1.5x＋30时，x＞20， ∵20x＜700，∴x＜35. ∴当20＜x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高. 综上所述，当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高；当20＜ x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高. 解得a＝100－2x，b＝1.5x＋30. 当100－2x＞1.5x＋30时，x＜20， 当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高； 当100－2x＝1.5x＋30时，x＝20， 当x＝20时，两种接水方案杯中水的温度相同； 当100－2x＜1.5x＋30时，x＞20， ∵20x＜700，∴x＜35. ∴当20＜x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高. 综上所述，当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高；当20＜ x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高. 解：(2)设乙同学按方案一接水时，杯中水的温度为a ℃，按方案二接水 时，杯中水的温度为了b ℃， 根据题意，得20x(a－30)＝(700－20x)(100－a)，15x(100－b)＝(700－ 15x)(b－30)， 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 综合与应用. 【阅读理解】 为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展 “集体跳绳”运动.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线y＝ax2＋ bx＋c的部分图象.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇 绳的两人之间间距为6 m，摇绳时两人手离地面均为 m；已知小丽的身 高为1.575 m，在距离摇绳者A的水平距 离1.5 m处，绳子刚好经过她的头顶. 解：(1)∵摇绳的两人之间的间距为6 m，摇绳时两人手离地面均为 m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3. 根据题意，得抛物线经过点 ，(1.5，1.575). ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9. 【问题解决】 (1)求图中抛物线的解析式；(不需要求自变量的取值范围) 解：(1)∵摇绳的两人之间的间距为6 m，摇绳时两人手离地面均为 m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3. 根据题意，得抛物线经过点 ，(1.5，1.575). ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9. 【问题解决】 (2)某体育老师身高1.82 m，请问他适合参加本次运动吗？说明理由； 解：(2)∵－0.1＜0， ∴二次函数有最大值为 ＝ ＝1.8. ∵1.8 m＜1.82 m，∴他不适合参加本次运动. (3)若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7 m，要求相邻两人之间 的间距至少为0.6 m，试计算最多可供几人齐跳. 解：(3)当y＝1.7时，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.7， 解得x1＝2，x2＝4，∴4－2＝2(m). ∵相邻两人之间的间距至少为0.6 m，∴间距个数为2÷0.6＝3 . ∴最多可供4人齐跳. 解：(2)∵－0.1＜0， ∴二次函数有最大值为 ＝ ＝1.8. ∵1.8 m＜1.82 m，∴他不适合参加本次运动. (3)当y＝1.7时，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.7， 解得x1＝2，x2＝4，∴4－2＝2(m). ∵相邻两人之间的间距至少为0.6 m，∴间距个数为2÷0.6＝3 . ∴最多可供4人齐跳. 23. 如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD上的动点，以点 E为圆心，DE长为半径作圆，AF与☉E相切于点F，连接EF并延长交 BC于点G，连接AE，AG. (1)求证：△ABG≌△AFG； 解：(1)证明：∵AF与☉E相切于点F，∴EF⊥AF. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB. 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL).∴AD＝AF. ∴AB＝AF. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). ∴△ABG≌△AFG. 解：(1)证明：∵AF与☉E相切于点F，∴EF⊥AF. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB. 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL).∴AD＝AF. ∴AB＝AF. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). ∴△ABG≌△AFG. 23. 如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD上的动点，以点 E为圆心，DE长为半径作圆，AF与☉E相切于点F，连接EF并延长交 BC于点G，连接AE，AG. (2)当☉E与BC相切时，求BG的长； 解：(2)当☉E与BC相切时，如图. ∵☉E与BC相切， ∴DE＝EC＝EF＝3. 由(1)，可知△ABG≌△AFG， ∴BG＝GF. 设BG＝GF＝x， 则GC＝6－x，GE＝3＋x. ∵∠BCD＝90°，∴GC2＋EC2＝GE2. ∴(6－x)2＋32＝(3＋x)2.∴x＝2.∴BG＝2. 解：(2)当☉E与BC相切时，如图. ∵☉E与BC相切， ∴DE＝EC＝EF＝3. 由(1)，可知△ABG≌△AFG， ∴BG＝GF. 设BG＝GF＝x， 则GC＝6－x，GE＝3＋x. ∵∠BCD＝90°，∴GC2＋EC2＝GE2. ∴(6－x)2＋32＝(3＋x)2.∴x＝2.∴BG＝2. 23. 如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD上的动点，以点 E为圆心，DE长为半径作圆，AF与☉E相切于点F，连接EF并延长交 BC于点G，连接AE，AG. (3)如图2，AE与☉E相交于点H，连接BH并延长交AD于点K，当满足 DK＋EG＋CG＝12时，求证：BK是☉E的切线. 解：(3)证明：由(1)，可知△ABG≌△AFG，∴BG＝GF. ∵EG＝EF＋GF， ∴EG＋CG＝EF＋GF＋CG＝EF＋BG＋CG＝EF＋BC＝EF＋6. ∵DK＋EG＋CG＝12，∴DK＋EF＋6＝12.∴DK＋EF＝6＝DC. ∵DC＝DE＋EC，EF＝DE，∴DK＋EF＝EF＋EC. ∴DK＝EC. ∵AD＝CD，∴AD－DK＝CD－EC，∴AK＝DE. 在△ADE和△BAK中， ∴△ADE≌△BAK(SAS).∴∠AED＝∠BKA. 解：(3)证明：由(1)，可知△ABG≌△AFG，∴BG＝GF. ∵EG＝EF＋GF， ∴EG＋CG＝EF＋GF＋CG＝EF＋BG＋CG＝EF＋BC＝EF＋6. ∵DK＋EG＋CG＝12，∴DK＋EF＋6＝12.∴DK＋EF＝6＝DC. ∵DC＝DE＋EC，EF＝DE，∴DK＋EF＝EF＋EC. ∴DK＝EC. ∵AD＝CD，∴AD－DK＝CD－EC，∴AK＝DE. 在△ADE和△BAK中， ∴△ADE≌△BAK(SAS).∴∠AED＝∠BKA. ∵∠AED＋∠DAE＝90°.∴∠BKA＋∠DAE＝90°.∴∠AHK＝ 90°.∴EH⊥BK. ∵EH是☉E的半径，∴BK是☉E的切线. ∵∠AED＋∠DAE＝90°.∴∠BKA＋∠DAE＝90°. ∴∠AHK＝ 90°.∴EH⊥BK. ∵EH是☉E的半径，∴BK是☉E的切线. $$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(二) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各数中，比－1小的数是(　C　) A. － B. 0 C. － D. 2. 如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是(　A　) A B C D C A 3. 计算3x2·(－2x3)的结果是(　B　) A. －6x6 B. －6x5 4. 利用配方法解方程x2＋2x＝1时，方程可变形为(　A　) A. (x＋1)2＝2 B. (x－1)2＝2 C. (x＋1)2＝0 D. (x－1)2＝0 B A C. －9x5 D. －8x6 5. 如图，摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D 在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED ＝(　A　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 第5题图 A 6. 一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　D　) A B C D D 7. 货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡 蛋，设货架上原有鸡蛋的质量平均数和方差分别为 ，s2，该顾客选购的 鸡蛋的质量平均数和方差分别为 ， ，下列结论一定成立的是(　C　) A. ＜ B. ＞ C. s2＞ D. s2＜ C 8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的 中点，DE⊥AB于点E，则 cos ∠BDE的值等于(　C　) A. B. 第8题图 C C. D. 9. 将一个半径为1的圆形纸片，按如图方式连续对折三次后，用剪刀沿 虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分 别为(　D　) A. ，180° B. ，540° C. ，2 160° D. ，1 080° D 10. 如图1，点P为菱形ABCD对角线AC上的一动点，点E为边CD上的 一定点，连接PB，PE，BE. 图2是点P从点A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象(当点P在BE上时，令y＝0)，则菱形ABCD的边长为(　A　) A. 5 B. 6 C. 2 D. 2 A 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 计算：2－1＋(－5)0＝ ⁠. 12. 分解因式：a2－9b2＝ ⁠. 13. 某校举办“安全知识竞赛”，将参赛学生的竞赛成绩分为优秀、良 好、合格、不合格四个等级，并制作成如图所示的扇形统计图，则“不 合格”部分所对应扇形的圆心角α的度数为 ⁠. 　 (a＋3b)(a－3b)　 36°　 第13题图 14. 将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长 度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ⁠. 15. 如图是同学们设计的“心”形图案，正方形ABCD的边长为a，以点 A为圆心，AB长为半径作扇形，又分别以BC和CD的长为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积为 ⁠. 第15题图 (1，2)　 a2　 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. 先化简，再求值： ÷(2－ )，其中x＝5. 解：原式＝ ÷(－ ) ＝ ÷ ＝ · ＝ . 当x＝5时，原式＝ ＝ . 解：原式＝ ÷(－ ) ＝ ÷ ＝ · ＝ . 当x＝5时，原式＝ ＝ . 17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)尺规作图：作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点 E；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明) 解：(1)如图，DE即为所作. 解：(1)如图，DE即为所作. (2)在(1)的条件下，连接BD，当BC＝5 cm， AB＝13 cm时，求△BCD的周长. 解：(2)∵∠C＝90°，BC＝5 cm，AB＝13 cm， ∴AC＝ ＝12 cm. 由(1)，得DE垂直平分AB， ∴AD＝BD. ∴C△BCD＝CD＋BD＋BC＝CD＋AD＋BC＝AC＋BC＝12＋5＝ 17(cm). 解：(2)∵∠C＝90°，BC＝5 cm，AB＝13 cm， ∴AC＝ ＝12 cm. 由(1)，得DE垂直平分AB， ∴AD＝BD. ∴C△BCD＝CD＋BD＋BC＝CD＋AD＋BC＝AC＋BC＝12＋5＝17(cm). 18. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1， 2，－1.现将三张卡片放入一个不透明的盒子中搅匀后任意抽出一张，记 下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字. (1)第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ⁠； 　 (2)用画树状图或列表的方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率. 解：(2)画树状图如图. 共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的结果 有4种， ∴两次抽出的卡片上数字都为正数的概率是 . 解：(2)画树状图如图. 共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的结果 有4种， ∴两次抽出的卡片上数字都为正数的概率是 . 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 某天小明在家锻炼身体，第一组运动是做20个波比跳，40个深蹲， 完成后，运动监测软件显示共消耗热量132大卡(大卡是热量单位)；第二 组运动是做30个波比跳，30个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量174大 卡.(每个动作之间的衔接时间忽略不计) (1)小明做每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ 解：(1)设小明做每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡. 根据题意，得 解得 答：小明做每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡. 解：(1)设小明做每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡. 根据题意，得 解得 答：小明做每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡. 19. 某天小明在家锻炼身体，第一组运动是做20个波比跳，40个深蹲， 完成后，运动监测软件显示共消耗热量132大卡(大卡是热量单位)；第二 组运动是做30个波比跳，30个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量174大 卡.(每个动作之间的衔接时间忽略不计) (2)若小明只做波比跳和深蹲两个动作，每个波比跳耗时5 s，每个深蹲也 耗时5 s，小明想要通过10 min的锻炼，消耗至少200大卡，至少要做多少 个波比跳？ 解：(2)设小明做m个波比跳，根据题意，得5m＋0.8× ≥200，解得m≥ .∴m取得最小正整数为25. 答：至少要做25个波比跳. 解：(2)设小明做m个波比跳，根据题意，得5m＋0.8× ≥200， 解得m≥ .∴m取得最小正整数为25. 答：至少要做25个波比跳. 20. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图 1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如 图2所示，已知AB＝AC＝1.6 m，AD＝1.2 m，设∠BAC＝α，为保证 安全，α的调整范围是30°≤α≤90°. (1)当α＝60°时，若人站在AD的中点E处，求此人离地面BC的高度； 解：(1)如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为点H， 图1 ∵AB＝AC＝1.6 m，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形.∴∠C＝60°. ∵点E是AD的中点，AD＝1.2 m， 解：(1)如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为点H， 图1 ∵AB＝AC＝1.6 m，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形.∴∠C＝60°. ∵点E是AD的中点，AD＝1.2 m， ∴AE＝ AD＝0.6 m. ∴EC＝AE＋AC＝2.2 m. 在Rt△ECH中，EH＝EC· sin 60°＝2.2× ≈1.9(m)， ∴此人离地面BC的高度约为1.9 m. ∴AE＝ AD＝0.6 m. ∴EC＝AE＋AC＝2.2 m. 在Rt△ECH中，EH＝EC· sin 60°＝2.2× ≈1.9(m)， ∴此人离地面BC的高度约为1.9 m. 20. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图 1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如 图2所示，已知AB＝AC＝1.6 m，AD＝1.2 m，设∠BAC＝α，为保证 安全，α的调整范围是30°≤α≤90°. (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面BC的距离范围. (参考数据： sin 75°≈0.97， cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73， ≈1.73， ≈1.41，精确到0.1 m) 解：(2)如图2，过点D作DM⊥BC，垂足为点M， 当∠BAC＝30°时， ∵AB＝AC＝1.6 m， ∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝75°. ∵AD＝1.2 m，∴DC＝AD＋AC＝2.8 m. 在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 75°≈2.8×0.97≈2.7(m)； 当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC＝1.6 m， ∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝45°. 在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 45°＝2.8× ＝1.4× ≈2.0(m). 解：(2)如图2，过点D作DM⊥BC，垂足为点M， 当∠BAC＝30°时， ∵AB＝AC＝1.6 m， ∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝75°. ∵AD＝1.2 m，∴DC＝AD＋AC＝2.8 m. 在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 75°≈2.8×0.97≈2.7(m)； 当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC＝1.6 m， ∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝45°. 在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 45°＝2.8× ＝1.4× ≈2.0(m). ∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面BC的距离范围约为2.0 m≤DM≤2.7 m. ∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面BC的距离范围约为2.0m ≤DM≤2.7 m. 21. 如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交 ☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相 交于点P. (1)求证：PD是☉O的切线； 解：(1)证明：如图，连接OD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BAC＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC. ∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC. ∵PD∥BC，∴OD⊥PD. ∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线. 解：(1)证明：如图，连接OD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BAC＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC. ∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC. ∵PD∥BC，∴OD⊥PD. ∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线. 21. 如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交 ☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相 交于点P. (2)若AB＝3，AC＝4，求线段BD的长； 解：(2)在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝ ＝5. ∵∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ .∴BD＝CD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BDC＝90°. 在Rt△DBC中，BD2＋CD2＝BC2， 即2CD2＝BC2＝25，∴BD＝CD＝ . 解：(2)在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝ ＝5. ∵∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ .∴BD＝CD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BDC＝90°. 在Rt△DBC中，BD2＋CD2＝BC2， 即2CD2＝BC2＝25，∴BD＝CD＝ . 21. 如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交 ☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相 交于点P. (3)△PBD与△ACD是否相似？请说明理由. 解：(3)△PBD∽△DCA. 理由如下： ∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC. ∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠DCA＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝ ∠DCA. ∴△PBD∽△DCA. 解：(3)△PBD∽△DCA. 理由如下： ∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC. ∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠DCA＋∠ABD＝180°， ∴∠PBD＝∠DCA. ∴△PBD∽△DCA. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE. (1)如图1，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F，以点F为直角 顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接AH，EH. 求 证：△AEH是等腰直角三角形； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. ∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°.∴∠BAE＋∠ABG＝90°. ∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF. ∴△ABE≌△BCF. ∴AE＝BF，BE＝CF. ∵CF＝FH，∴BE＝FH. ∵∠HFC＝∠FCB＝90°，∴BC∥FH. ∴四边形BEHF为平行四边形.∴BF＝EH. ∴AE＝EH. ∵BF∥EH，BF⊥AE，∴AE⊥EH. ∴∠AEH＝90°. ∴△AEH是等腰直角三角形. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. ∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°.∴∠BAE＋∠ABG＝90°. ∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF. ∴△ABE≌△BCF. ∴AE＝BF，BE＝CF. ∵CF＝FH，∴BE＝FH. ∵∠HFC＝∠FCB＝90°，∴BC∥FH. ∴四边形BEHF为平行四边形.∴BF＝EH. ∴AE＝EH. ∵BF∥EH，BF⊥AE，∴AE⊥EH. ∴∠AEH＝90°. ∴△AEH是等腰直角三角形. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE. (2)如图2，在(1)的条件下，记AH，EH分别交CD于点P，Q，连接 PE. ①试探究PE，BE，DP之间的数量关系； 解：(2)①如图，将△ADP绕点A顺时针旋转90°得 到△ABT，则点C，B，T共线. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°. 由(1)，得△EAH是等腰直角三角形， ∴∠EAH＝45°. ∴∠EAT＝∠BAT＋∠BAE＝∠DAP＋∠BAE＝ 45°.∴∠EAT＝∠EAP. ∵AE＝AE，AT＝AP， ∴△EAT≌△EAP(SAS).∴TE＝PE. ∵TE＝BT＋BE＝PD＋BE，∴PE＝BE＋PD. 解：(2)①如图，将△ADP绕点A顺时针旋转90°得 到△ABT，则点C，B，T共线. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°. 由(1)，得△EAH是等腰直角三角形， ∴∠EAH＝45°. ∴∠EAT＝∠BAT＋∠BAE＝∠DAP＋∠BAE＝ 45°. ∴∠EAT＝∠EAP. ∵AE＝AE，AT＝AP， ∴△EAT≌△EAP(SAS).∴TE＝PE. ∵TE＝BT＋BE＝PD＋BE，∴PE＝BE＋PD. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE. (2)如图2，在(1)的条件下，记AH，EH分别交CD于点P，Q，连接PE. ②设BE＝m，△PQE中边PE上的高为h，请用含m的代数式表示h， 并求h的最大值. 解：(2)②由①，得∵△EAT≌△EAP，∴∠AET＝∠AEP. ∵∠AEH＝90°，∴∠AET＋∠CEQ＝90°，∠AEP＋∠PEQ＝ 90°. ∴∠CEQ＝∠PEQ. ∴点Q到PE的距离的长为CQ＝h. ∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEQ. ∴△BAE∽△CEQ. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴h＝－m2＋m＝－ ＋ . ∵－1＜0，∴当m＝ 时，h的值最大，最大值为 .s 解：(2)②由①，得∵△EAT≌△EAP，∴∠AET＝∠AEP. ∵∠AEH＝90°，∴∠AET＋∠CEQ＝90°，∠AEP＋∠PEQ＝90°. ∴∠CEQ＝∠PEQ. ∴点Q到PE的距离的长为CQ＝h. ∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEQ. ∴△BAE∽△CEQ. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴h＝－m2＋m＝－ ＋ . ∵－1＜0，∴当m＝ 时，h的值最大，最大值为 . 23. 【发现问题】小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒 乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第 二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面 立一块高度为0.4 m的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则 小强获胜. 【提出问题】小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单 位长度为1 m，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不 计，经测量发现，抛球点A的坐标为(－1，3.36)，第一次弹起的运行路 线的最高点坐标为(－0.5，3.61)，第二次弹起的最大高度为1.21 m.小 强通过这些数据经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜. 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； 解：(1)根据题意，得乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的顶点为(－ 0.5，3.61)，且过点A(－1，3.36)，设乒乓球第一次弹起运行路线的抛 物线的解析式为y1＝a(x＋0.5)2＋3.61，代入点A(－1，3.36)，得 3.36＝a(－1＋0.5)2＋3.61，解得a＝－1.∴乒乓球第一次弹起运行路线 的抛物线的解析式为y1＝－(x＋0.5)2＋3.61＝－x2－x＋3.36. 解：(1)根据题意，得乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的顶点为 (－0.5，3.61)，且过点A(－1，3.36)，设乒乓球第一次弹起运行路线的抛 物线的解析式为y1＝a(x＋0.5)2＋3.61，代入点A(－1，3.36)，得 3.36＝a(－1＋0.5)2＋3.61，解得a＝－1.∴乒乓球第一次弹起运行路线 的抛物线的解析式为y1＝－(x＋0.5)2＋3.61＝－x2－x＋3.36. 【解决问题】 (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离； 解：(2)令y1＝0，则－(x＋0.5)2＋3.61＝0.解得x1＝1.4，x2＝－2.4(不 合题意，舍去).∴OB＝1.4 m. ∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4 m. 解：(2)令y1＝0，则－(x＋0.5)2＋3.61＝0.解得x1＝1.4，x2＝－2.4(不 合题意，舍去).∴OB＝1.4 m. ∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4 m. 【解决问题】 (3)小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？ 解：(3)∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最 大高度为1.21 m， ∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为y2＝－(x－h)2＋1.21， 把点B(1.4，0)代入解析式，得 0＝－(1.4－h)2＋1.21，解得h1＝2.5，h2＝0.3(不合题意，舍去). ∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为y2＝－(x－2.5)2＋1.21. 当y2＝0时，则－(x－2.5)2＋1.21＝0. 解：(3)∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最 大高度为1.21 m， ∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为y2＝－(x－h)2＋1.21， 把点B(1.4，0)代入解析式，得 0＝－(1.4－h)2＋1.21，解得h1＝2.5，h2＝0.3(不合题意，舍去). ∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为y2＝－(x－2.5)2＋1.21. 当y2＝0时，则－(x－2.5)2＋1.21＝0. 解得x1＝3.6，x2＝1.4(不合题意，舍去). 当y2＝0.4时，则－(x－2.5)2＋1.21＝0.4. 解得x1＝3.4，x2＝1.6(不合题意，舍去). ∴当3.4 m≤x≤3.6 m时，小强确保获胜，即小强将木板立在距斜坡底 端O大于等于3.4 m，小于等于3.6 m时才能确保自己获胜. 解得x1＝3.6，x2＝1.4(不合题意，舍去). 当y2＝0.4时，则－(x－2.5)2＋1.21＝0.4. 解得x1＝3.4，x2＝1.6(不合题意，舍去). ∴当3.4 m≤x≤3.6 m时，小强确保获胜，即小强将木板立在距斜坡底 端O大于等于3.4 m，小于等于3.6 m时才能确保自己获胜. $$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(一) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各数是无理数的是(　B　) A. B. C. D. 3.141 592 653 4 2. 下列计算正确的是(　D　) A. 2a－a＝2 B. a2＋b2＝a2b2 C. (－2a)3＝8a3 D. (－a3)2＝a6 B D 3. 据海口海关统计，截至2022年1月29日，海关共办理106艘(架、 辆)“零关税”进口交通工具及游艇通关手续，进口总货值达24亿元人民 币.其中数据“24亿”用科学记数法表示为(　B　) A. 2.4×108 B. 2.4×109 C. 24×108 D. 0.24×109 4. 已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项不一定正确的是(　D　) A. a＞b B. a＋2＞b＋2 C. －a＜－b D. 2a＞3b B D 5. 下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是(　D　) A. 对某飞机上旅客随身携带易燃易爆危险物品情况的调查 B. 对我国首艘国产“002型”航母各零部件质量情况的调查 C. 对某班学生的数学期末成绩情况的调查 D. 对全国公民知晓“社会主义核心价值观”内涵情况的调查 6. 一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况是(　A　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 D A 7. “花影遮墙， 峰峦叠窗.”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学 元素，图1中的窗棂是冰裂纹窗，图2是这种窗棂中的部分图案，若∠1＝ ∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5的度数是(　A　) A. 80° B. 75° C. 65° D. 60° A 8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮 在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单 位：g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(ρ＞0).下列说法正确的 是(　C　) A. 当液体密度ρ≥1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20 cm B. 当液体密度ρ＝2 g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40 cm C. 当浸在液体中的高度0 cm＜h≤25 cm时，该液体的密度ρ≥0.8 g/cm3 D. 当液体的密度0 g/cm3＜ρ≤1 g/cm3时， 浸在液体中的高度h≤20 cm C 9. 如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D， 则线段DI与DB的关系是(　A　) A. DI＝DB B. DI＞DB C. DI＜DB D. 不确定 第9题图 A 10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正 方形ABCD中，AB＝10.下列三个结论：①若tan∠ADF＝ ，则EF＝ 2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三 等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG'的最大 值为5 ＋5.其中正确的结论是(　D　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ D 第10题图 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 如果∠α＝85°，那么∠α的补角等于 ⁠°. 12. 分解因式：3a3－6a2＋3a＝ ⁠. 13. 如图，物理实验中利用一个半径为6 cm的定滑轮提起砝码，小明向 下拉动绳子的一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起 了 cm.(结果保留π) 95　 3a(a－1)2　 4π　 第13题图 14. 如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的 图象上，若点A的坐标为(3，4)，AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标 为 ⁠. 第14题图 (6，2)　 15. 如图，已知直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2， A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1， △A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上， 则△A2 024B2 023B2 024的面积为 ⁠. 第15题图 24 047　 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 计算：(1) －2 sin 60°－｜2－ ｜＋(1－π)0； 解：原式＝2－2× －(2－ )＋1＝2－ －2＋ ＋1＝1. (2)a(a＋2)－(a＋b)(a－b)－b(b－3). 解：原式＝a2＋2a－a2＋b2－b2＋3b＝2a＋3b. 解：原式＝2－2× －(2－ )＋1＝2－ －2＋ ＋1＝1. 解：原式＝a2＋2a－a2＋b2－b2＋3b＝2a＋3b. 17. 解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来. 解： 解： 解不等式①，得x≥－2， 解不等式②，得x＜4， ∴不等式组的解集为－2≤x＜4. 解集在数轴上表示如图. 解不等式①，得x≥－2， 解不等式②，得x＜4， ∴不等式组的解集为－2≤x＜4. 解集在数轴上表示如图. 18. 如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，BA＝BD，BC＝BE， ∠ABD＝∠CBE. (1)求证：△ABC≌△DBE； 解：(1)证明：∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBE＋∠DBF， 即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中， ​ ∴△ABC≌△DBE(SAS). 解：(1)证明：∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBE＋∠DBF， 即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中， ​ ∴△ABC≌△DBE(SAS). 18. 如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，BA＝BD，BC＝BE， ∠ABD＝∠CBE. (2)若∠ABD＝20°，求∠CDE的度数. 解：(2)∵AB＝BD，∠ABD＝20°， ∴∠BAD＝∠BDA＝ ＝80°. 由(1)，得△ABC≌△DBE， ∴∠BAD＝∠BDE＝80°. ∴∠CDE＝180°－∠BDA－∠BDE＝20°. 解：(2)∵AB＝BD，∠ABD＝20°， ∴∠BAD＝∠BDA＝ ＝80°. 由(1)，得△ABC≌△DBE， ∴∠BAD＝∠BDE＝80°. ∴∠CDE＝180°－∠BDA－∠BDE＝20°. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在锐角三角形ABC中，AC＜AB＜BC，点P在线段BC上. (1)尺规作图：求作∠APB＝90°；(保留作图痕迹) 解：(1)如图，∠APB即为所作. 解：(1)如图，∠APB即为所作. 19. 如图，在锐角三角形ABC中，AC＜AB＜BC，点P在线段BC上. (2)在(1)的条件下，若AB＝6，AC＝5， sin B＝ ，求BC的长. 解：(2)由(1)，得∠APB＝90°. 在Rt△ABP中， sin B＝ ＝ ， ∵AB＝6，∴AP＝4. ∴BP＝ ＝2 . 在Rt△ACP中，AC＝5，AP＝4，∴CP＝ ＝3. ∴BC＝CP＋BP＝3＋2 . 解：(2)由(1)，得∠APB＝90°. 在Rt△ABP中， sin B＝ ＝ ， ∵AB＝6，∴AP＝4. ∴BP＝ ＝2 . 在Rt△ACP中，AC＝5，AP＝4，∴CP＝ ＝3. ∴BC＝CP＋BP＝3＋2 . 20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音 乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学 生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选 且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅 不完整的统计图. 根据图中信息，解答下列问题： (1)参加问卷调查的学生共有 人； 60　 (2)条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中α的度数为 ⁠； 11　 90°　 (3)根据调查结果，可估计该校600 名学 生中最喜欢“音乐社团”的约有 人； 100　 20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音 乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学 生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选 且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅 不完整的统计图. (3)根据调查结果，可估计该校600 名学生中最喜欢“音乐社团”的约 有 人； 100　 20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音 乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学 生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选 且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅 不完整的统计图. (4)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取 两名参加演讲比赛，请用列表或画树 状图的方法求出恰好选中甲和乙两 名同学的概率. 解：(4)画树状图如图. 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，故 恰好选中甲和乙两名同学的概率为 ＝ . 解：(4)画树状图如图. 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，故 恰好选中甲和乙两名同学的概率为 ＝ . 21. 为落实“数字中国”的建设工作，某市政府计划对全市中小学多媒 体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工 效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数 量的教室多用3天. (1)甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ 解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室.根据 题意，得 － ＝3.解得x＝4. 经检验，x＝4是分式方程的解且符合题意. ∴1.5x＝1.5×4＝6. 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室. 解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室.根据 题意，得 － ＝3.解得x＝4. 经检验，x＝4是分式方程的解且符合题意. ∴1.5x＝1.5×4＝6. 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室. 21. 为落实“数字中国”的建设工作，某市政府计划对全市中小学多媒 体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工 效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数 量的教室多用3天. (2)已知甲公司安装费每天1 000元，乙公司安装费每天500元，现需安装 教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18 000元，则最 多安排甲公司工作多少天？ 解：(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作()天. 根据题意，得1 000y＋ ×500≤18 000.解得y≤12. 答：最多安排甲公司工作12天. 解：(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作()天. 根据题意，得1 000y＋ ×500≤18 000.解得y≤12. 答：最多安排甲公司工作12天. 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 综合与实践. 【问题情境】通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现 A4纸的长与宽分别为297 mm和210 mm，其比值为 ≈1.414，而 ≈1.414，他们上网查阅资料也发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值 “ ”.不妨定义长与宽的比为 ∶1的矩形为“标准矩形”. 【操作实践】如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正 方形ABCD，连接对角线BD，在射线DC上截取DE＝DB，过点E作 EF⊥AB交AB的延长线于点F，令AB＝1. 【问题探究】(1)求证：四边形AFED为“标准矩形”； 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝ AD＝1， ∠A＝90°.∴BD＝ ＝ . ∴DE＝BD＝ .∴DE∶AD＝ ∶1. ∴四边形AFED为“标准矩形”. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝ AD＝1， ∠A＝90°.∴BD＝ ＝ . ∴DE＝BD＝ .∴DE∶AD＝ ∶1. ∴四边形AFED为“标准矩形”. (2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段 EF上取一点P，连接BP，DP. ①当DP平分∠BDE时，求PF的长； 解：(2)①∵DP平分∠BDE，∴∠BDP＝∠EDP. 又∵DB＝DE，DP＝DP，∴△BDP≌△EDP(SAS). ∴∠DBP＝∠E＝90°， BP＝EP. ∵AD＝AB， ∠A＝90°，∴∠ABD＝45°.∴∠PBF＝45°. ∴△PBF是等腰直角三角形.∴PB＝ PF. 设PF＝x，则PB＝PE＝1－x.∴1－x＝ x. 解得x＝ －1.∴PF＝ －1. 解：(2)①∵DP平分∠BDE，∴∠BDP＝∠EDP. 又∵DB＝DE，DP＝DP，∴△BDP≌△EDP(SAS). ∴∠DBP＝∠E＝90°， BP＝EP. ∵AD＝AB， ∠A＝90°，∴∠ABD＝45°.∴∠PBF＝45°. ∴△PBF是等腰直角三角形.∴PB＝ PF. 设PF＝x，则PB＝PE＝1－x.∴1－x＝ x. 解得x＝ －1.∴PF＝ －1. (2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段 EF上取一点P，连接BP，DP. ②当△BDP的周长最小时，求∠PBF的正切值. 解：(2)②如图，延长BF至点B1，使得FB1＝FB，连接DB1，交EF于 点P，连接PB，则此时△BDP的周长最小. ∵AF＝BD＝ ，AB＝1， ∴FB1＝FB＝ －1. ∴AB1＝ ＋ ＝2 －1. 由轴对称的性质，得∠PBF＝∠PB1F. ∴tan∠PBF＝tan∠PB1F＝ ＝ ＝ . 解：(2)②如图，延长BF至点B1，使得FB1＝FB，连接DB1，交EF于 点P，连接PB，则此时△BDP的周长最小. ∵AF＝BD＝ ，AB＝1， ∴FB1＝FB＝ －1. ∴AB1＝ ＋ ＝2 －1. 由轴对称的性质，得∠PBF＝∠PB1F. ∴tan∠PBF＝tan∠PB1F＝ ＝ ＝ . 23. 如图，抛物线y＝ax2－bx－3与x轴交于点A，C，与y轴交于点 B，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线的解析式及对称轴； 解：(1)∵y＝ax2－bx－3，∴点B(0，－3).∴OB＝3. ∵OB＝OC＝3OA，∴OA＝1，OC＝3.∴点A(－1，0)，C(3，0). 把点A，C的坐标代入y＝ax2－bx－3， 得 解得 ∴抛物线的解析式是y＝x2－2x－3，对称轴为直线x＝－ ＝1. 解：(1)∵y＝ax2－bx－3，∴点B(0，－3).∴OB＝3. ∵OB＝OC＝3OA，∴OA＝1，OC＝3.∴点A(－1，0)，C(3，0). 把点A，C的坐标代入y＝ax2－bx－3， 得 解得 ∴抛物线的解析式是y＝x2－2x－3， 对称轴为直线x＝－ ＝1. 23. 如图，抛物线y＝ax2－bx－3与x轴交于点A，C，与y轴交于点 B，OB＝OC＝3OA. (2)如图1，连接AB，点M是对称轴上的一点且在第四象限，若△AMB是 以∠MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标； 解：(2)设点M(1，m). ∵点A(－1，0)，B(0，－3)，∴MA2＝4＋m2，MB2＝1＋(m＋3)2，AB2 ＝10. ①当MA＝AB时，MA2＝AB2，即4＋m2＝10，解得m＝ 或－ . ∵点M在第四象限，∴点M(1，－ ). ②当MA＝MB时，MA2＝MB2，即4＋m2＝1＋(m＋3)2， 解得m＝－1.∴点M(1，－1). 综上所述，点M的坐标为(1，－ )或(1，－1). 解：(2)设点M(1，m). ∵点A(－1，0)，B(0，－3)， ∴MA2＝4＋m2，MB2＝1＋(m＋3)2，AB2＝10. ①当MA＝AB时，MA2＝AB2，即4＋m2＝10，解得m＝ 或－ . ∵点M在第四象限，∴点M(1，－ ). ②当MA＝MB时，MA2＝MB2，即4＋m2＝1＋(m＋3)2， 解得m＝－1.∴点M(1，－1). 综上所述，点M的坐标为(1，－ )或(1，－1). 23. 如图，抛物线y＝ax2－bx－3与x轴交于点A，C，与y轴交于点 B，OB＝OC＝3OA. (3)如图2，连接AB，点P在抛物线上，当∠PAC＝2∠ABO时，求点P 的坐标. 解：(3)如图，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，过点A作AF⊥BE 于点F. ∵∠ABO＝∠EBO， ∴∠ABE＝2∠ABO. ∵点A(－1，0)，B(0，－3)， ∴BE＝AB＝ . ∵S△ABE＝ AE·OB＝ BE·AF， ∴AF＝ ＝ . 解：(3)如图，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，过点A作AF⊥BE 于点F. ∵∠ABO＝∠EBO， ∴∠ABE＝2∠ABO. ∵点A(－1，0)，B(0，－3)， ∴BE＝AB＝ . ∵S△ABE＝ AE·OB＝ BE·AF， ∴AF＝ ＝ . 在Rt△ABF中，BF＝ ＝ ， ∴tan∠ABE＝ ＝ . 设点P(n，n2－2n－3). ∵∠PAC＝2∠ABO＝∠ABE，∴tan∠PAC＝ ，即 ＝ . 在Rt△ABF中，BF＝ ＝ ， ∴tan∠ABE＝ ＝ . 设点P(n，n2－2n－3). ∵∠PAC＝2∠ABO＝∠ABE，∴tan∠PAC＝ ，即 ＝ . ①当点P在第一象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去)， ∴点P . ①当点P在第一象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去)， ∴点P . ②当点P在第四象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去). ∴点P(，－ ).综上所述，点P的坐标是 或 ②当点P在第四象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去). ∴点P(，－ ).综上所述，点P的坐标是 或 $$