专题02 一元二次方程（考题猜想，易错必刷31题11种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题02一元二次方程（易错必刷31题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的一般形式 · 一元二次方程的解 · 解一元二次方程-直接开平方法 · 根的判别式 · 根与系数的关系 · 由实际问题抽象出一元二次方程 · 一元二次方程的应用 · 解一元二次方程-配方法 · 配方法的应用 · 解一元二次方程-因式分解法 一．一元二次方程的定义（共2小题） 1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 2．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+2＝1 B． C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0 二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10 三．一元二次方程的解（共1小题） 4．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题） 5．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝．若x※2＝5，则x的值为 　 　． 五．解一元二次方程-配方法（共2小题） 6．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5 7．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 六．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 8．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　 　． 9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 　 　． 10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 七．根的判别式（共5小题） 11．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　） A．34 B．30 C．30或34 D．30或36 12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1 13．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 14．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 八．根与系数的关系（共3小题） 16．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A． B．﹣3 C． D．﹣ 17．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（　　） A． B．1 C． D． 18．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝　 　． 九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 19．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 20．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 一十．一元二次方程的应用（共7小题） 21．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　 　队参赛． 22．北京时间2022年8月19日，2021﹣22赛季中国初中篮球联赛全国总决赛落幕，明德华兴中学获得男子组全国总冠军．小组预赛赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），总共有15场比赛，请问每个小组有 　 　支球队打比赛． 23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 　 　； （2）分式不等式的解集为 　 　； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 25．盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 （1）直接写出该超市采购费用y（单位：元）与x（单位：盆）的函数关系式 　 　； （2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； （3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了2m元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 26．随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭轿车64辆，2021年底家庭轿车的拥有量达到100辆． （1）若该小区2019年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2022年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车压力，该小区决定投资15万元，全部用于建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位0.5万元/个，露天车位0.1万元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 27．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． （1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ （2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 一十一．配方法的应用（共4小题） 28．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值； （2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长． 29．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10 ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 30．阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值． x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5． 再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值． ﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1．可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值．最大值是﹣1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； （2）代数式x2+8x+11的最小值为 　 　； 【类比应用】 （3）试判断代数式a2+2b2+11与2ab+2a+4b的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 31．阅读以下材料：如果两个正数a、b，即a＞0、b＞0，由完全平方式的非负数性质可得： ∵（当 即a＝b时，取等号）， ∴ ∴（当且仅当a＝b时取等号） 结论：对任意两个正数a，b，都有；上述不等式当且仅当a＝b时等号成立．当这两个正数a，b的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数a，b的和的最小值． 例如：当x为正数时，两数x和均为正数，且（常数），则有当且仅当即x＝2时取等号 ∴当x＝2时，有最小值，最小值为4． 利用以上结论完成下列问题： （1）已知m为正数，即m＞0，则当m＝　 　时，取到最小值，最小值为 　 　； （2）当y、x均为正数，即y＞0，x＞0时，求函数的最小值； （3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是4和9，求四边形ABCD面积的最小值． $$专题02一元二次方程（易错必刷31题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的一般形式 · 一元二次方程的解 · 解一元二次方程-直接开平方法 · 根的判别式 · 根与系数的关系 · 由实际问题抽象出一元二次方程 · 一元二次方程的应用 · 解一元二次方程-配方法 · 配方法的应用 · 解一元二次方程-因式分解法 一．一元二次方程的定义（共2小题） 1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 【答案】C 【解答】解：由一元二次方程的定义可知， 解得m＝﹣3． 故选：C． 2．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+2＝1 B． C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0 【答案】C 【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10 【答案】D 【解答】解：x2+2x＝5（x﹣2）， x2+2x＝5x﹣10， x2+2x﹣5x+10＝0， x2﹣3x+10＝0， 则a＝1，b＝﹣3，c＝10， 故选：D． 三．一元二次方程的解（共1小题） 4．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【答案】D 【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根， ∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0， ∴α2＝2α+4 ∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6 ＝α•（2α+4）+8β+6 ＝2α2+4α+8β+6 ＝2（2α+4）+4α+8β+6 ＝8α+8β+14 ＝8（α+β）+14＝30， 故选：D． 四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题） 5．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝．若x※2＝5，则x的值为 　﹣3　． 【答案】﹣3． 【解答】解：分两种情况： 当x＜2时， ∵x※2＝5， ∴x2﹣2×2＝5， ∴x2＝9， ∴x1＝3（舍去），x2＝﹣3； 当x≥2时， ∵x※2＝5， ∴22﹣2x＝5， 解得：x＝﹣（舍去）； 综上所述：x的值为﹣3， 故答案为：﹣3． 五．解一元二次方程-配方法（共2小题） 6．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5 【答案】A 【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4， 配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13， 故选：A． 7．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 【答案】B 【解答】解：分两种情况： 当x＞﹣x时，即x＞0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x1＝5，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜﹣x时，即x＜0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴﹣x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， x﹣1＝±， x﹣1＝或x﹣1＝﹣， x1＝1+（舍去），x2＝1﹣； 综上所述：x＝5或x＝1﹣， 故选：B． 六．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 8．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　13　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0，x﹣4＝0， x1＝2，x2＝4， 当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去， 当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13， 故答案为：13． 9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 　x1＝2，x2＝﹣1　． 【答案】x1＝2，x2＝﹣1． 【解答】解：∵min{x，x﹣1}＝x2﹣3， ∴x﹣1＝x2﹣3， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0， 解得：k≤2， 又因为k是二次项系数，所以k≠0， 所以k的取值范围是k≤2且k≠0． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0， 所以把x＝2代入方程，可得k＝， 所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0， 解得：x1＝2，x2＝， 所以BC的值是． 七．根的判别式（共5小题） 11．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　） A．34 B．30 C．30或34 D．30或36 【答案】A 【解答】解：当a＝4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+b＝12， ∴b＝8不符合； 当b＝4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+a＝12， ∴a＝8不符合； 当a＝b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴12＝2a＝2b， ∴a＝b＝6， ∴m+2＝36， ∴m＝34； 故选：A． 12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1 【答案】D 【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0， 解得k≥且k≠1． 故选：D． 13．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝1+8k2． ∵对于任意实数k都有k2≥0， ∴8k2≥0． ∴1+8k2≥1． ∴1+8k2＞0，即Δ＞0． ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 14．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞且a≠0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根 得Δ＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0， 解得a＞ 则a＞且a≠0 故答案为a＞且a≠0 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 八．根与系数的关系（共3小题） 16．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A． B．﹣3 C． D．﹣ 【答案】D 【解答】解：（x+2）*3＝（x+2）2+2×3（x+2）﹣32＝x2+10x+7＝0， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴＝＝， 故选：D． 17．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1， 所以+＝＝＝1． 故选：B． 18．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝　﹣或2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x≠y时， ∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0， ∴x、y是z2﹣2z﹣6＝0的两根， ∴x+y＝2，xy＝﹣6， ∴＝＝＝﹣． 当x，y的值相等时，原式＝2． 故答案为：﹣或2． 九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 19．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 20．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 【答案】B 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）； 依题意，可列方程为：＝10； 故选：B． 一十．一元二次方程的应用（共7小题） 21．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　8　队参赛． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4＝28场比赛． 设比赛组织者应邀请x队参赛， 则由题意可列方程为：＝28． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）， 所以比赛组织者应邀请8队参赛． 故答案为：8． 22．北京时间2022年8月19日，2021﹣22赛季中国初中篮球联赛全国总决赛落幕，明德华兴中学获得男子组全国总冠军．小组预赛赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），总共有15场比赛，请问每个小组有 　6　支球队打比赛． 【答案】6． 【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， ＝15， 解得x＝6或﹣5（舍去）． ∴共有6个球队参加比赛． 故答案为：6． 23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2＝608 化简得：4x2+12x﹣7＝0 ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）能，理由如下： ∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 　x＞4或x＜﹣4　； （2）分式不等式的解集为 　x＞3或x＜1　； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4） ∴x2﹣16＞0可化为 （x+4）（x﹣4）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组①，得x＞4， 解不等式组②，得x＜﹣4， ∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4， 即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4． （2）∵ ∴或 解得：x＞3或x＜1 （3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3） ∴2x2﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 或 解不等式组①，得0＜x＜， 解不等式组②，无解， ∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜． 25．盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 （1）直接写出该超市采购费用y（单位：元）与x（单位：盆）的函数关系式 　y＝2x+3000（150≤x≤160）　； （2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； （3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了2m元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得，该超市采购（300﹣x）盆B种盆栽， ∴该超市采购费用y＝12x+10（300﹣x）＝2x+3000． ∵A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆， ∴． ∴150≤x≤160． 故答案为：y＝2x+3000（150≤x≤160）． （2）由题意，该超市这300盆盆栽的利润W＝（19﹣12）x+（15﹣10）（300﹣x）＝2x+1500． ∵2＞0， ∴利润W随x的增大而增大． 又150≤x≤160， ∴当x＝160时，利润W最大为：2×160+1500＝1820（元）． （3）由题意，利润W＝（19﹣12﹣2m）x+（15﹣10+m）（300﹣x）＝（2﹣3m）x+300m+1500． ①当2﹣3m＞0时，即m＜时，W随x的增大而增大， 又∵150≤x≤160， ∴当x＝150时，W最小＝1460， 即：（2﹣3m）×150+300m+1500＝1460， 解得：m＝＞，舍去， ②当2﹣3m＜0时，即m＞时，W随x的增大而减小， 又∵150≤x≤160， ∴当x＝160时，W最小＝1460， 即：（2﹣3m）×160+300m+1500＝1460， 解得：m＝2，符合题意． 综上所述，m的值为2． 26．随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭轿车64辆，2021年底家庭轿车的拥有量达到100辆． （1）若该小区2019年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2022年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车压力，该小区决定投资15万元，全部用于建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位0.5万元/个，露天车位0.1万元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 【答案】（1）125辆． （2）21个． 【解答】解：（1）设该小区2019年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率为x， 根据题意得：64（x+1）2＝100， ， ∴， ∴x+1＝或x+1＝﹣， ∴x1＝0.25，x2＝﹣2.25（舍）， 100×（1+0.25）＝125（辆）， 答：该小区到2022年底家庭轿车将达到125辆． （2）设该小区可建室内车位a个， 根据题意得：， 15﹣0.5a≥0.2a， ∴， ∵a为正整数， ∴a≤21， 答：该小区最多可建室内车位21个． 27．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． （1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ （2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每台空调降价x元． （400﹣x）×（50+×5）＝30000， 即（400﹣x）（50+0.5x）＝30000， ∴x2﹣300x+20000＝0． ∴x＝100或200． 又秉承扩大销量的原则， ∴x＝200． 答：每台降价200元． （2）由题意，设调配甲连锁店A空调x台，则调配给甲连锁店B空调（70﹣x）台，调配给乙连锁店A空调（40﹣x）台，B空调（x﹣10）台， ∴y＝（180﹣a）x+160（70﹣x）+150（40﹣x）+140（x﹣10）， 即y＝（10﹣a）x+15800． 又由题意得，，， ∴10≤x≤40，0＜a＜20． ∴当0＜a＜10时，10﹣a＞0，函数y随x的增大而增大，故当x＝40时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调40台，B空调30台，乙连锁店A空调 0台，B空调30台； 当a＝10时，x的取值在10≤x≤40内时所有方案利润相同； 当10＜a＜20时，10﹣a＜0，函数y随x的增大而减小，当x＝10时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调10台，B空调60台，乙连锁店A空调30台，B空调0台． 一十一．配方法的应用（共4小题） 28．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值； （2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长． 【答案】（1）﹣1；（2）17． 【解答】解：（1）由题意，∵x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0， ∴x2+2xy+y2+4y2﹣4y+1＝0，即（x+y）2+（2y﹣1）2＝0． ∴x+y＝0，且2y﹣1＝0． ∴x＝﹣，y＝． ∴x﹣y＝﹣﹣＝﹣1． （2）由题意，∵a2+b2+58＝14a+6b， ∴a2﹣14a+49+b2﹣6b+9＝0． ∴（a﹣7）2+（b﹣3）2＝0． ∴a﹣7＝0，b﹣3＝0． ∴a＝7，b＝3． 又a，b，c是等腰△ABC的三条边长， ∴a＝c＝7，b＝3．（若a＝7，b＝c＝3，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍去．） ∴△ABC的周长为：7+7+3＝17． 29．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10 ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 【答案】（1）见（1）的证明过程． （2）． 【解答】证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3 ＝（x﹣2）2+3． ∵（x﹣2）2≥0． ∴y≥0+3＝3． ∴y＞0． ∴y是正数． （2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤） ∴S＝PC•CQ． ＝（6﹣2t）•t ＝﹣t2+3t ＝﹣（t2﹣3t） ＝﹣（t﹣）2+． ∵（t﹣）2≥0． ∴当t＝时，S有最大值． 30．阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值． x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5． 再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值． ﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1．可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值．最大值是﹣1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　； （2）代数式x2+8x+11的最小值为 　﹣5　； 【类比应用】 （3）试判断代数式a2+2b2+11与2ab+2a+4b的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 【答案】（1）4；（2）﹣5；（3）a2+2b2+11＞2ab+2a+4b，理由见解析；（4）32 m2． 【解答】解：（1）由题意得，a2+4a+4是完全平方式． 故答案为：4． （2）由题意，∵x2+8x+11＝（x+4）2﹣5， 又对于任意的x都有（x+4）2≥0， ∴x2+8x+11＝（x+4）2﹣5≥﹣5． ∴代数式x2+8x+11的最小值为﹣5． 故答案为：﹣5． （3）a2+2b2+11＞2ab+2a+4b．理由如下： ∵（a2+2b2+11）﹣（2ab+2a+4b） ＝a2+2b2+11﹣2ab﹣2a﹣4b ＝[（a2﹣2ab+b2）+（﹣2a+2b）+1]+（b2﹣6b+9）+1 ＝[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+（b﹣3）2+1 ＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+1＞0， ∴a2+2b2+11＞2ab+2a+4b． （4）设AB＝x， ∴BC＝16﹣2x． ∴0＜x＜8，生物园的面积y＝x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x． 又y＝﹣2x2+16x ＝﹣2（x﹣4）2+32， ∵﹣2＜0， ∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32． 答：当x＝4时，面积最大为32 m2． 31．阅读以下材料：如果两个正数a、b，即a＞0、b＞0，由完全平方式的非负数性质可得： ∵（当 即a＝b时，取等号）， ∴ ∴（当且仅当a＝b时取等号） 结论：对任意两个正数a，b，都有；上述不等式当且仅当a＝b时等号成立．当这两个正数a，b的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数a，b的和的最小值． 例如：当x为正数时，两数x和均为正数，且（常数），则有当且仅当即x＝2时取等号 ∴当x＝2时，有最小值，最小值为4． 利用以上结论完成下列问题： （1）已知m为正数，即m＞0，则当m＝　1　时，取到最小值，最小值为 　2　； （2）当y、x均为正数，即y＞0，x＞0时，求函数的最小值； （3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是4和9，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1）1；2；（2）3；（3）25． 【解答】解：（1）由题意，∵m+≥2＝2，当且仅当m＝，即m＝1时取等号， ∴当m＝1时，m+有最小值，最小值为2． 故答案为：1；2． （2）由题意得，y＝x+＝（x+1）+﹣1（x+1＞1＞0）． 又（x+1）+≥2＝4，当且仅当x+1＝时，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，（x+1）+有最小值，最小值为4． ∴此时（x+1）+﹣1有最小值为3． ∴函数y＝x+有最小值为3． （3）设S△BOC＝x，由△AOB、△COD的面积分别是4和9， 根据等高三角形可知：S△AOB：S△AOD＝S△BOC：S△COD，即4：S△AOD＝x：9， 整理得：S△AOD＝， ∴四边形ABCD面积为4+9+x+＝13+x+≥13+2＝13+12＝25， 当且仅当x＝，即正数x＝6时取等号， 则四边形ABCD面积的最小值为25． $$