专题01 特殊平行四边形（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题01 特殊平行四边形（易错必刷40题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 菱形的性质 · 矩形的性质 · 矩形的判定 · 矩形的判定与性质 · 正方形的性质 · 正方形的判定与性质 · 轴对称-最短路线问题 一．菱形的性质（共5小题） 1．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，则OH的长为（　　） A． B．10 C．5 D． 3．如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（　　） A． B． C．4 D． 4．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023个菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为　 　． 二．矩形的性质（共14小题） 6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 7．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（　　） A．1 B．2 C． D． 9．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 11．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 12．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　） A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4） 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是　 　． 14．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于　 　°． 15．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝4，EF＝6，则AB＝　 　． 16．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），D为OA的中点，点P在边BC上运动，当PD＝OD时，点P的坐标为 　 　． 17．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 19．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F． （1）求证：CF＝CB； （2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长． 三．矩形的判定（共1小题） 20．下列说法中错误的是（　　） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 四．矩形的判定与性质（共2小题） 21．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为 　 　． 22．如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE． （1）求证：四边形ACBE是矩形； （2）连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长． 五．正方形的性质（共16小题） 23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 24．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，PB＝10，下列结论： ①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤ 26．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A．4 B．2 C．4 D．2 27．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH．则线段GH的长（　　） A． B．10﹣5 C．2 D． 28．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 29．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 30．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论： ①PD＝DF；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF． 其中正确结论的序号为（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　． 32．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　． 33．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝　 　； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 　 　． 34．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，OA与y轴的夹角为30°，则点B的坐标是　 　． 35．如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是 　 　． 36．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 　 　． 37．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长． 38．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 六．正方形的判定与性质（共1小题） 39．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． （1）求证：四边形DEFG是正方形； （2）求AE2+CE2的最小值． 七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 40．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连 接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 $$专题01 特殊平行四边形（易错必刷40题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 菱形的性质 · 矩形的性质 · 矩形的判定 · 矩形的判定与性质 · 正方形的性质 · 正方形的判定与性质 · 轴对称-最短路线问题 一．菱形的性质（共5小题） 1．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE＝＝＝3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，则OH的长为（　　） A． B．10 C．5 D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝20， 又∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝20×BD＝100， ∴BD＝10， ∵DH⊥AB， ∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点， ∴OH＝BD＝10＝5． 故选：C． 3．如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解答】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1， ∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称， ∴AF＝CF， ∴y＝EF+CF＝EF+AF， 当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长， 如图2，当x＝0时，y＝6， 设BE＝a，则CE＝4a， ∴y＝a+5a＝6， ∴a＝1， ∴BC＝5， 由图2知：BD＝6， 如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BG＝BD＝3， 由勾股定理得：CG＝4， ∴△ECG的面积＝S△BCG＝•CG•EH， ∴××3×4＝×4×EH， ∴EH＝， ∴CH＝＝＝， ∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝， ∴AE＝＝＝， 即图象最低点的纵坐标是． 故选：B． 4．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023个菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1， ∵∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴BD＝AB＝AD＝1， ∴OB＝BD＝， ∴AO＝＝＝， ∴AC＝2AO＝， 同理可得：AC1＝3， ∴第1个菱形的边长＝1＝（）0， 第2个菱形的边长＝＝（）1， 第3个菱形的边长＝3＝（）2， … ∴第2023个菱形的边长＝（）2022， 故选：B． 5．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC，过点F作FM⊥AC于M，作FN⊥BC延长线于N，连接AF、EF， ∵四边形ABCD是菱形，且∠D＝60°， ∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC， ∴∠FCN＝∠D＝60°＝∠FCM， ∴FM＝FN， ∵FG垂直平分AE， ∴AF＝EF， ∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL）， ∴∠AFM＝∠EFN， ∴∠AFE＝∠MFN， ∵∠FMC＝∠FNC＝90°，∠MCN＝120°， ∴∠MFN＝60°， ∴∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴FG＝AG＝， ∴当AE⊥BC时，Rt△ABE中，∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°， ∵AB＝4， ∴BE＝2，AE＝2， ∴当AE⊥BC时，即AE＝2时，FG最小，最小为3； 故答案为：3． 参考第二种解法如下：取AB中点点P，连接PG，如图所示， ∵GF垂直平分AE， ∴AG＝EG，GF⊥AE， ∵AP＝BP， ∴PG＝BE， 由此可见，当点P，G，F共线时，GF有最小值， 此时PF⊥AE于点G，AE⊥BC， ∴PF＝AD＝AB＝4，PG＝BE＝×2＝1， ∴GF＝PF﹣PG＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 二．矩形的性质（共14小题） 6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10， ∴AO＝DO＝AC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF， ∴12＝×5×EO+×5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF＝， 故选：C． 7．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【答案】D 【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26， 又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20， ∴2a2﹣8a+26＝20， ∴（a﹣3）（a﹣1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， ∵CM2＝OM2+OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2+MP2＝CP2， ∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9， 解得：a＝． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵∠AEO＝120°，∠DOE＝90°， ∴∠EDO＝30°， 又∵AC＝2， ∴DO＝BD＝AC＝， ∴Rt△DOE中，OE＝tan30°×DO＝1， 同理可得，Rt△BOF中，OF＝1， ∴EF＝2， 故选：B． 9．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D． 【答案】B 【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON＝90°， ∴OE＝AB＝2． 在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2． 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2． 故选：B． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：如图，连接AP、EF， ∵PE⊥AB，PF⊥AD， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∴四边形AEPF为矩形． ∴AP＝EF． ∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值． ∵点P从B点沿着BD往D点移动， ∴当AP⊥BD时，AP取最小值． 下面求此时AP的值， 在Rt△BAD中， ∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴BD＝＝＝＝10． ∵S△ABD＝＝， ∴AP＝＝＝． ∴EF的长度最小为：． 故本题选B． 11．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O． ∵线段MN垂直平分BD， ∴BO＝DO，BM＝DM． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠MDO＝∠NBO． 又∠DOM＝∠BON， ∴△DMO≌△BNO（ASA）． ∴DM＝BN＝BM＝2． 在Rt△BAM中， ∴AB＝＝． ∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2． 故选：A． 12．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　） A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4） 【答案】A 【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC∥OB，AC＝OB， ∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO， 在△ACF和△OBE中， ， ∴△CAF≌△BOE（AAS）， ∴BE＝CF＝4﹣1＝3， ∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠AOD＝∠OBE， ∵∠ADO＝∠OEB＝90°， ∴△AOD∽△OBE， ∴＝， 即＝， ∴OE＝，即点B（，3）， ∴AF＝OE＝， ∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣， ∴点C（﹣，4）． 故选：A． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是　0或1＜AF或4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上， ∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点， ①当AF＝0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上； ②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2， 此时△EFP是直角三角形，点P只有一个， 解法一：当⊙O与BC相切时，如图6，连接OP，EP，PF，此时构成三个直角三角形， ∵EC∥OP∥BF，EO＝OF， ∴PC＝BP＝1， ∵DE＝1，CD＝4， ∴CE＝3， ∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°， ∴∠EPC＝∠BFP， ∴△ECP∽△PBF， ∴，即，BF＝， ∴AF＝4﹣＝； 解法二：当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形， 则OP⊥BC，设AF＝x，则BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1， ∵OP∥EC，OE＝OF， ∴OG＝EP1＝， ∴⊙O的半径为：OF＝OP＝+（4﹣x）， 在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2＝OG2+GF2， ∴， 解得：x＝， ∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3， ③当AF＝4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5， 综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4． 故答案为：0或1＜AF或4． 14．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于　56　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合， ∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF ∴∠CFG＝2∠GFP＝124°， ∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°， ∴∠EHF＝∠HFG＝56°． 故答案为56． 15．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝4，EF＝6，则AB＝　4.8　． 【答案】4.8． 【解答】解：连接BE， ∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO＝4， ∴BD＝2DO＝2AO＝8，BE＝DE，∠DOE＝90°， ∴DO＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵OB＝OD，∠EOD＝∠FOB， ∴△EOD≌△FOB（ASA）， ∴EO＝OF， ∵EF＝6， ∴EO＝3， 设AE＝x， 由勾股定理得：BE＝DE＝＝5， AB2＝BD2﹣AD2＝BE2﹣AE2， ∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2， ∴x＝， ∴AB＝＝4.8． 故答案为：4.8． 16．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），D为OA的中点，点P在边BC上运动，当PD＝OD时，点P的坐标为 　（4，8）或（16，8）　． 【答案】（4，8）或（16，8）． 【解答】解：如图，作DH⊥BC于H， ∵D为OA的中点，A（20，0）， ∴OD＝10， ∵DP＝DO， ∴DP＝10， 当点P在H左边时， 在Rt△DHP中，由勾股定理得，PH＝＝6， 当点P'在H右边时，HP'＝PH＝6， ∴CP＝4，CP'＝16， ∴P（4，8）或（16，8）， 故答案为：（4，8）或（16，8）． 17．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设运动时间为t， 则AP＝t，CQ＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°， ∴BP＝4﹣t， ∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）•BC＝4×2＝4（cm）2； （2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形， ∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t， ①当PQ＝DQ＝4﹣t时， 如图1，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∵PH2+HQ2＝PQ2， ∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2， 解得：t＝2，t＝， ②当PQ＝PD时， 如图2，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∴4﹣2t＝t， ∴t＝， ③当DQ＝PD时， ∴DQ＝4﹣t， ∴PD＝DQ＝4﹣t， ∵AP2+AD2＝PD2， ∴t2+22＝（4﹣t）2， ∴t＝， 综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 【答案】（1）当t为3或13时，△ABP和△DCE全等； （2）t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形． 【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等， ∴BP＝CE或AP＝CE， 当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3， 当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13， ∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC， 在Rt△DCE中，CE＝3， ∴DE＝＝5， 若△PDE为等腰三角形， 则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE， 当PD＝DE时， ∵PD＝DE，DC⊥BE， ∴PC＝CE＝3， ∵BP＝BC﹣CP＝3， ∴t＝3÷1＝3， 当PE＝DE＝5时， ∵BP＝BE﹣PE， ∴BP＝9﹣5＝4， ∴t＝4÷1＝4， 当PD＝PE时， ∴PE＝PC+CE＝3+PC， ∴PD＝3+PC， 在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2． ∴（3+PC）2＝16+PC2， ∴PC＝， ∵BP＝BC﹣PC， ∴BP＝， ∴t＝÷1＝， 综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形． 19．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F． （1）求证：CF＝CB； （2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）4﹣2． 【解答】（1）证明：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠BEC， ∵AB＝DE， ∴CD＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠BEC， ∵∠B＝∠EFC＝90°，CE＝CE， ∴△EFC≌△EBC（AAS）， ∴CF＝CB； （2）解：∵∠FCB＝30°，∠BCD＝90°， ∴∠DCF＝60°， ∵∠DFC＝90°， ∴∠CDF＝30°， ∵AD＝BC＝CF＝2， ∴CD＝2CF＝4，DF＝2， ∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2． 答：EF的长为4﹣2． 三．矩形的判定（共1小题） 20．下列说法中错误的是（　　） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确； D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确； 综上所述，B符合题意， 故选：B． 四．矩形的判定与性质（共2小题） 21．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为 　2.4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小， 此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD， 即×4×3＝×5•CD， 解得CD＝2.4， ∴线段EF长的最小值为2.4． 故答案为：2.4 22．如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE． （1）求证：四边形ACBE是矩形； （2）连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AC⊥AD， ∴∠EAC＝∠DAC＝90°， ∵∠ECA＝∠ACD， ∴∠AEC＝∠ADC， ∴CE＝CD， ∴AE＝AD＝BC， ∵AE∥BC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵∠EAC＝90°， ∴四边形ACBE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于F， 由（1）知：四边形ACBE是矩形， ∴对角线AB和CE相等且互相平分，AO＝AB＝2， ∴OA＝OC， ∵∠ACD＝∠ACO＝60°， ∴△AOC是等边三边形， ∴∠OAC＝60°， ∵∠EAC＝90°， ∴∠FAO＝90°﹣60°＝30°， Rt△AFO中，OF＝AO＝1，AF＝， Rt△AEB中，AE＝＝2， ∴DF＝AF+AD＝+2＝3， ∴OD＝＝＝2． 五．正方形的性质（共16小题） 23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 【答案】B 【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝． 故选：B． 24．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵四边形ADEF为正方形， ∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF， ∴∠CAD+∠FAG＝90°， ∵FG⊥CA， ∴∠GAF+∠AFG＝90°， ∴∠CAD＝∠AFG， 在△FGA和△ACD中， ， ∴△FGA≌△ACD（AAS）， ∴AC＝FG，故①正确； ∵BC＝AC， ∴FG＝BC， ∵∠ACB＝90°，FG⊥CA， ∴FG∥BC， ∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，故②正确； ∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°， ∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确； ∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD＝FE：FQ， ∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，故④正确； 故选：D． 25．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，PB＝10，下列结论： ①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤ 【答案】C 【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵EA⊥PA， ∴∠EAP＝∠BAD＝90° ∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， ∵AE＝AP， 在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立； ②∵AE＝AP＝3，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°，PE＝AE＝6， ∵△APD≌△AEB， ∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立； ③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°， ∴EB⊥ED， 在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10， ∴BE＝＝8，故③不成立； ④如图，连接BD， 由②得：PE＝6，BE＝8， ∵△APD≌△AEB， ∴S△APD+S△APB ＝S△AEB+S△APB ＝S四边形AEBP ＝S△AEP+S△EPB ＝•AE•AP+•PE•BE ＝×3×3+×6×8 ＝33．故④成立； ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE＝8， ∴S△BDP＝PD•BE＝32， ∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65， ∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130， ∴CD2＝130， ∴CD＝，故⑤不成立． 综上所述，正确结论的序号是①②④， 故选：C． 26．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A．4 B．2 C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：连接AC、CF，如图： ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵BC＝8，CE＝4， ∴AC＝8，CF＝4， 由勾股定理得，AF＝＝4， ∵H是AF的中点，∠ACF＝90°， ∴CH＝AF＝2， 故选：B． 27．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH．则线段GH的长（　　） A． B．10﹣5 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：如图，延长BG交CH于点E， ∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8， ∴AG2+BG2＝AB2， ∴△ABG和△DCH是直角三角形， 在△ABG和△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SSS）， ∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°， 又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°， ∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6， 在△ABG和△BCE中， ， ∴△ABG≌△BCE（ASA）， ∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°， ∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2， 同理可得HE＝2， 在Rt△GHE中，GH＝＝＝2， 故选：C． 28．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°， 又∵AB＝AE， ∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°． 故选：B． 29．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】A 【解答】解：∵AB∥CD ∴∠BED＝∠B＝60° ∵△CHE的外角和为360° ∴∠1+90°+∠2+60°+60°×2＝360° ∴∠1+∠2＝90° 故选：A． 30．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论： ①PD＝DF；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF． 其中正确结论的序号为（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：如图，连接PC， ①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点， ∴∠PDC＝45°， 又∵PF⊥CD， ∴∠PFD＝90°， ∴△PDF为等腰直角三角形， ∴PD＝DF， 故①正确； ②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形， ∴PE＝BE， ∵∠PEC＝∠ECF＝∠PFC＝90° ∴四边形PECF为矩形， ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8， 故②正确； ③∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝PC， ∴AP＝EF， 当AP最小时，EF最小， ∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2； 故③错误； ④延长FP交AB于M，延长AP交EF于H， ∵AB∥CD，PF⊥CD， ∴FM⊥AB， ∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC， ∴PM＝PE， ∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°， ∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL）， ∴∠BAP＝∠PFE， ∵∠AMP＝90°， ∴∠BAP+∠APM＝90°， ∵∠APM＝∠HPF， ∴∠PFH+∠HPF＝90°， ∴∠PHF＝90°， ∴AP⊥EF， 故④正确； 综上，①②④正确． 故选：B． 31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　+3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab＝， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b＝，即BG+CG＝， ∴△BCG的周长＝+3， 故答案为：+3． 32．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 33．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝　　； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°， 又∵AE＝BF， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF， ∵AE＝1， ∴BF＝1，BE＝3， ∴EF＝＝； 故答案为：； （2）∵∠ADE＝∠BAF， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°， ∴∠EOF＝∠AOD＝90°， 又∵点P为EF的中点， ∴OP＝EF， 设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x， ∴EF＝＝＝， ∴当x＝2时，EF最小为2，即OP最小为； 故答案为：． 34．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，OA与y轴的夹角为30°，则点B的坐标是　（﹣2+2，2+2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，作BF⊥CE于F，如图， ∵OA与y轴的夹角为30°， ∴∠AOD＝60°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠COE＝30°， 在Rt△COE中，CE＝OC＝2，OE＝CE＝2， ∵∠OCE＝60°，∠BCO＝90°， ∴∠BCF＝30°， ∴BF＝BC＝2，CF＝BF＝2， ∴B（﹣2+2，2+2）． 故答案为：（﹣2+2，2+2）． 35．如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∵直线EF平分正方形ABCD的面积， ∴直线EF经过点O， 取OB的中点H，连接CH，GH． ∵AB＝AD＝8，∠DAB＝90°， ∴BD＝＝， ∴OB＝OC＝，OH＝2， ∵EF⊥PB， ∴∠OGB＝90°， Rt△BOG中，HG＝OB＝， Rt△CHO中，CH＝＝， ∵CG≥CH﹣GH＝， ∴CG的最小值为． 故答案为：． 36．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 　20　． 【答案】20． 【解答】解：如图，连接BE，CG， ∵正方形ABDE和正方形ACFG， ∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAG＝∠CAE， ∴△BAG≌△EAC（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AHB＝∠OHE， ∴∠EOH＝∠BAH＝90°， ∴∠EOG＝∠BOC＝90°， ∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2， ∵AB＝3，AC＝1， ∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2， ∴BE2+CG2＝18+2＝20， ∴BC2+EG2＝20． 故答案为：20． 37．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD， ∴∠GAD＝∠EAB， 在△GAD和△EAB中， ， ∴△GAD≌△EAB， ∴EB＝GD； （2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝5， ∴BD⊥AC，AC＝BD＝5， ∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝， ∵AG＝2， ∴OG＝OA+AG＝， 由勾股定理得，GD＝＝， ∴EB＝． 38．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示 ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2， ∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°， ∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：AE＝EF成立， 理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG+∠AEB＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴∠MAE＝∠CEF． ∵AB＝BC， ∴AB+AM＝BC+CE， 即BM＝BE． ∴∠M＝45°， ∴∠M＝∠FCE． 在△AME与△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． （3）存在， 理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF， 在△ADM与△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（ASA）， ∴DM＝AE， 由（2）AE＝EF， ∴DM＝EF， ∴四边形DMEF为平行四边形． 六．正方形的判定与性质（共1小题） 39．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． （1）求证：四边形DEFG是正方形； （2）求AE2+CE2的最小值． 【答案】（1）证明见解答； （2）32． 【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）解：如图，连接EG， ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DCG＝∠DAE＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ECG＝45°+45°＝90°， ∴AE2+CE2＝EC2+CG2＝EG2， ∴AE2+CE2的最小值就是EG2的最小值， ∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4， ∴BC＝AB＝4，∠B＝90°， ∴AC＝8， 设CE＝x，则AE＝CG＝8﹣x， ∴EG2＝EC2+CG2＝x2+（8﹣x）2＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32， ∴当x＝4时，EG2有最小值是32，即AE2+CE2的最小值是32． 七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 40．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连 接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， 则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， 连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE＝＝13． ∴PC+PB的最小值为13． 故选：D． $$