专题04 图形的相似（考题猜想，易错必刷50题10种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题04图形的相似（易错必刷50题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 相似三角形的判定 · 比例线段 · 相似三角形的判定与性质 · 平行线分线段成比例 · 相似三角形的应用 · 相似多边形的性质 · 位似变换 · 相似三角形的性质 · 作图-位似变换 一．比例的性质（共3小题） 1．已知，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果x：y＝2：3，则下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则a：b＝　 　． 二．比例线段（共2小题） 4．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为　 　cm． 5．已知：线段a、b、c，且＝＝． （1）求的值． （2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值． ．平行线分线段成比例（共8小题） 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 8．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 9．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 10．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 11．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　． 12．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝　 　cm． 13．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 四．相似多边形的性质（共1小题） 14．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　） A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1 五．相似三角形的性质（共2小题） 15．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（　　） A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对 16．如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点．点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标为　 　． 六．相似三角形的判定（共6小题） 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 18．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（　　） A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C 19．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 20．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 七．相似三角形的判定与性质（共20小题） 23．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 24．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： 25．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（　　） A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 26．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 27．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 28．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（　　） A．25 B．9 C．21 D．16 29．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，则正方形PQRS的边长为（　　） A． B． C．1 D． 31．如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 32．已知，▱ABCD面积为40，点M为AD的三等分点，且AM＝AD，N为BC的中点，MN交对角线BD于点O，则阴影部分的面积为 　 　． 33．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 34．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q． （1）当m＝10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由； （2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）； （3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围． 35．如图，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠ADE＝80°． （1）求证：△AED∽△ABC． （2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的长． 36．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）AE•CD＝BC•ED． 37．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积． 38．如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值． 39．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'． （1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'； （2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值． 40．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是边CD上的点，CD＝4CF，连接EF并延长交AD的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△ECF （2）若正方形ABCD的边长为8，求AG的长． 41．如图，在正方形ABCD中，点B关于CD的对称点为E，F为AD边上一动点，连接CF、EF、EF交CD于G、连接BG，交CF于H． （1）如图1，当点H为CF中点，点P为GE的中点时，连接CP，求证：EG＝2FG； （2）如图2，若DF2＝DG•DC． ①求证：CF＝BG； ②若AB＝2，求AF的长． 42．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′． （1）当AD＝3时，＝　 　； （2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示． 问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示． 八．相似三角形的应用（共3小题） 43．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 44．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为9cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为12cm、9cm，则实像CD的高度为（　　） cm． A．6cm B．6.25cm C．6.75cm D．7cm 45．如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得AB＝16米，DA＝3米，CA＝4米，则楼高EB为（　　） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 九．位似变换（共4小题） 46．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　） A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5） 47．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 48．如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（8，﹣4） C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4） 49．如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　 　． 一十．作图-位似变换（共1小题） 50．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标； （2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积． $$专题04图形的相似（易错必刷50题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 相似三角形的判定 · 比例线段 · 相似三角形的判定与性质 · 平行线分线段成比例 · 相似三角形的应用 · 相似多边形的性质 · 位似变换 · 相似三角形的性质 · 作图-位似变换 一．比例的性质（共3小题） 1．已知，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：设＝k（k≠0）， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴＝＝2， 故选：A． 2．如果x：y＝2：3，则下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：可设x＝2k，y＝3k．通过代入计算， 进行约分，A，B，C都正确； D不能实现约分，故错误． 故选：D． 3．已知，则a：b＝　19：13　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵ ∴5（a+2b）＝9（2a﹣b） ∴5a+10b＝18a﹣9b ∴19b＝13a ∴a：b＝． 二．比例线段（共2小题） 4．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为　6　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故填6． 5．已知：线段a、b、c，且＝＝． （1）求的值． （2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵＝， ∴＝， ∴＝+1＝+1＝； （2）设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+b+c＝27， ∴2k+3k+4k＝27， ∴k＝3， ∴a＝6，b＝9，c＝12， ∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9． 三．平行线分线段成比例（共8小题） 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 即， 解得：EC＝2， 故选：B． 7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 故选：D． 8．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 解得：EF＝6． 故选：C． 9．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵BG∥DF，∴＝，A正确，C错误； ∴＝，B 正确； ∵AD∥BC，∴∠A＝∠C， ∵BG∥DF，∴∠BEC＝∠DFA， ∴△BEC∽△DFA， ∴＝，D正确， 故选：C． 10．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：l1∥l2∥l3， ∴＝＝， 又∵DF＝10， ∴DE＝DF＝6， 故选：B． 11．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　2：1　． 【答案】2：1． 【解答】解：∵点O是线段AG的中点， ∴OA＝OG＝AG， ∵DE∥BC，AD：DB＝3：1， ∴＝＝＝，＝＝， ∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG， ∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1， 故答案为：2：1． 12．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝　12　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC＝12cm． 故答案为：12． 13．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24， ∴＝＝， ∴＝， ∴BC＝15， ∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9． （2）解：∵l1∥l2∥l3 ∴＝＝， ∴＝， ∴OB＝3， ∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12， ∴＝＝， ∴＝， ∴CF＝4． 四．相似多边形的性质（共1小题） 14．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　） A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1 【答案】C 【解答】解：设HG＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1， 由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1， ∴四边形ADHE是矩形， ∵AD＝DH， ∴四边形ADHE是正方形， ∴AD＝HE＝1， ∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似， ∴＝， ∴＝， 解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1， 经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根， ∵GH＞0， ∴GH＝﹣1， ∴DC＝2+x＝+1， 故选：C． 五．相似三角形的性质（共2小题） 15．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（　　） A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝∠A， 分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C）， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝， ∴， ∴DE＝12， ②∠ADE′＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE′∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴DE′＝16， ∵AB＝9， ∴此时点E在AB的延长线上，不符合题意，舍去， 故选：A． 16．如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点．点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标为　（4，0）或（，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点， ∴OA＝8，OB＝6，AC＝AB， ∴AB＝10， ∴AC＝5， 若△PAC∽△OAB， ∵∠OAB＝∠PAC， 则需， ∴PA＝4，PC＝3， ∴OP＝4， ∴P点坐标为（4，0）； 若△PAC∽△BAO， ∵∠OAB＝∠PAC， 则需， ∴， 解得：PA＝， ∴OP＝8﹣＝． ∴P点坐标为（，0）． 故答案为：（4，0）或（，0）． 六．相似三角形的判定（共6小题） 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①当∠CED＝90°时，如图1， 过E作EF⊥CD于F， ∵AD∥BC，AD＜BC， ∴AB与CD不平行， ∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE， ∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴AE＝EF，EF＝BE， ∴AE＝BE＝AB＝； ②当∠CDE＝90°时，如图2， ∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°， ∴∠BCE＝∠DCE＝30°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴BE＝ED＝2AE， ∵AB＝3， ∴AE＝1， 综上，AE的值为或1； 故选：D． 18．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（　　） A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B， ∴△ADE∽△ABC，故本选项正确； B、∵＝，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，故本选项正确； C、∵＝，两线段的夹角∠D和∠B不知道相等， ∴不能说△ADE和△ABC相似，故本选项错误，即不正确； D、∵∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC，故本选项正确； 故选：C． 19．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米， ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）； 当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）； 即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似． 20．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECD； （2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝5﹣3＝2， 由（1）得：△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝； （3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD； 理由是：过E作EF⊥AD于F， ∵△AED∽△ECD， ∴∠EAD＝∠DEC， ∵∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠EDC， ∵DC⊥BC， ∴EF＝EC， ∵DE＝DE， ∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）， ∴DF＝DC， 同理可得：△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF+DF＝AB+CD． 21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的； （2）当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°， AM＝t cm，AN＝6﹣2t（cm）， ∴S△AMN＝AN•AM＝×（6﹣2t）×t＝﹣（t﹣）2+（0≤t≤3）， 依题意得：﹣（t﹣）2+＝×3×6， t2﹣3t+2＝0， t1＝2，t2＝1． 答：经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的； （2）设运动时间为t秒， 由题意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm）， 若△NMA∽△ACD， 则有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t， 解得t＝1.5， 若△MNA∽△ACD 则有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t）， 解得t＝2.4， 答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似． 七．相似三角形的判定与性质（共20小题） 23．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 24．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： 【答案】C 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC 又∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△CBA∽△ACD ＝＝＝， ∵＝（）2＝ ∴△ABC与△DCA的面积比为4：9． 故选：C． 25．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（　　） A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 【答案】A 【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴AD＝FD， ∴△ADF是等腰三角形， 同理△ABE是等腰三角形， AD＝DF＝9； ∵AB＝BE＝6， ∴CF＝3； ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2， 又BG⊥AE， ∴AE＝2AG＝4， ∴△ABE的周长等于16， 又∵▱ABCD ∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选：A． 26．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解答】解：如图：连接BE， ， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：A． 27．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】 解：设正方形的面积分别为S1，S2…S2010， 根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2， ∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（同位角相等）． ∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°， ∴△BAA1∽△B1A1A2， 在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝， cot∠DAO＝＝， ∵tan∠BAA1＝＝cot∠DAO， ∴BA1＝AB＝， ∴CA1＝+＝×， 同理，得：C1A2＝××， 由正方形的面积公式，得：S1＝， S2＝×，S3＝××， 由此，可得Sn＝×（1+）2n﹣2， ∴S2010＝5×（）2×2010﹣2， ＝5×（）4018． 故选：D． 28．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（　　） A．25 B．9 C．21 D．16 【答案】C 【解答】解：因为EF∥AB，DE：AE＝2：3， 所以， 所以S△DEF：S△ABD＝4：25， 又因为四边形ABCD是平行四边形， 所以△ABD≌△BDC，△BDC的面积为25，所以△ABD的面积为25， 所以△DEF的面积为4， 则四边形AEFB的面积为21． 故选：C． 29．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】A 【解答】解：∵＝， ∴＝＝， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝＝， ∴9S△AEF＝S△ABC， ∵S四边形BCFE＝8， ∴9（S△ABC﹣8）＝S△ABC， 解得：S△ABC＝9． 故选：A． 30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，则正方形PQRS的边长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解答】解：如图： 设正方形PQRS的边长为x， ∵AD是△ABC的高，SR∥BC， ∴AE是△ASR的高， 则AE＝AD﹣ED＝2﹣x， ∵四边形PQRS是正方形， ∴SR∥BC， ∴△ASR∽△ABC， ∴＝， ∴＝， 解得：x＝， ∴正方形PQRS的边长为． 故选：A． 31．如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 【答案】D 【解答】解：连接BG，设GC＝x， ∵G恰在CD边的四等分点， ∴DG＝3x，DC＝4x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x， ∴在Rt△BCD中根据勾股定理得，BD＝4x， 在Rt△BGC中根据勾股定理得，BG＝x， ∵四边形BFGE是正方形， ∴∠BGH＝45°， ∴∠BGH＝∠BDG， ∴∠DBG＝∠GBH， ∴△BGH∽△BDG， ∴＝， ∴＝， ∴BH＝， ∴DH＝BD﹣BH＝4x﹣＝， ∴＝＝． 故选：D． 32．已知，▱ABCD面积为40，点M为AD的三等分点，且AM＝AD，N为BC的中点，MN交对角线BD于点O，则阴影部分的面积为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∵BD＝BD， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∴△CDB的面积＝▱ABCD的面积＝20， ∵N为BC的中点， ∴BN＝NC＝BC， ∴△DNC的面积＝△BND的面积＝△CBD的面积＝10， ∵AM＝AD， ∴DM＝AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC，∠DMN＝∠ANB， ∴△DMO∽△BNO， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴△DON的面积＝△BND的面积＝， ∴阴影部分的面积＝△DON的面积+△DNC的面积＝， 故答案为：． 33．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB， ∴＝， 设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵AE＝4，AC＝9， ∴＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴BD的长是． 34．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q． （1）当m＝10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由； （2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）； （3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）存在点P． 假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP＝10﹣x， 在Rt△APD中，DP2＝AD2+AP2，即DP2＝42+x2， 在Rt△PBC中，PC2＝BC2+PB2，即PC2＝42+（10﹣x）2， 在Rt△PCD中，CD2＝DP2+PC2，即102＝42+x2+42+（10﹣x）2， 解得x＝2或8， 故当m＝10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP＝2或8； （2）连接AC，设BP＝y，则AP＝m﹣y， ∵PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC， ∴＝，即＝①， ∵DP⊥PQ， ∴∠APD+∠BPQ＝90°， ∵∠APD+∠ADP＝90°，∠BPQ+∠PQB＝90°， ∴∠APD＝∠BQP， ∴△APD∽△BQP， ∴＝，即＝②， ①②联立得，BQ＝； （3）连接DQ， 由已知PQ⊥PD，所以只有当DP＝PQ时，△PQD为等腰三角形（如图）， ∴∠BPQ＝∠ADP，又∠B＝∠A＝90°， ∴△PBQ≌△DAP， ∴PB＝DA＝4，AP＝BQ＝m﹣4， ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为： S四边形PQCD＝S矩形ABCD﹣S△DAP﹣S△QBP＝4m﹣×4×（m﹣4）﹣×4×（m﹣4）＝16（4≤m＜8） 当Q在BC延长线上时，S＝m2﹣2m（m≥8）． 综上所述，S＝． 35．如图，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠ADE＝80°． （1）求证：△AED∽△ABC． （2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的长． 【答案】（1）证明过程见解答部分； （2）3． 【解答】（1）证明：∵∠A＝55°，∠B＝45°， ∴∠C＝80°， ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C， ∴△AED∽△ABC； （2）解：由（1）得△AED∽△ABC， ∴， ∵AD＝4，BD＝6， ∴AB＝10， ∵AD＝4，AB＝10，AE＝5 ∴AC＝8． ∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3． 36．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）AE•CD＝BC•ED． 【答案】证明过程见解答部分． 【解答】证明：（1）∵AB2＝BE•BD， ∴AB：BE＝BD：AB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC， ∴△ABE∽△DCE； （2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE， ∵∠BEC＝∠AED， ∴△ADE∽△BCE， ∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE， ∴△BCD∽△AED， ∴BC：AE＝CD：ED， AE•CD＝BC•ED． 37．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图所示： （1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠BAD+∠ADB＝120°， 又∵∠ADB+∠EDC＝120°， ∴∠BAD＝∠EDC， ∴△ABD∽△DCE； （2）过点A作AH⊥BC交BC于点H， ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∵BD＝4，CE＝3， ∴ 设AB＝4x，则DC＝3x． 又∵BD+DC＝AC， ∴4+3x＝4x， 解得：x＝4， ∴AB＝AC＝BC＝16， 在Rt△ABH中，由勾股定理得： ＝＝， ∴＝＝． 38．如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）的值为． 【解答】（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AEB， ∴＝， ∴AB2＝AC•AE； （2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H， ∵△ABC∽△AEB， ∴＝＝＝， ∴设AC＝2a，AB＝3a， ∴＝， ∴AE＝a， ∴＝＝， ∵BD＝3CD， ∴设CD＝m，则BD＝3m， ∴BC＝CD+BD＝4m， ∴＝， ∴EB＝6m， ∵EH∥CD， ∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE， ∴△ACD∽△AEH， ∴＝＝， ∴EH＝m， ∵EH∥BD， ∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH， ∴△BDF∽△EHF， ∴＝＝＝， ∴EF＝BE＝m， ∴＝＝， ∴的值为． 39．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'． （1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'； （2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值． 【答案】（1）证明过程详见解答； （2）EG′＝． 【解答】（1）证明：∵FG∥CE， ∴△BFG∽△BEC， ∴＝， ∴＝， ∵∠F′BG′＝∠EBC， ∴∠FBG′+∠EBG′＝∠EBC+∠EBG′， 即∠F′BE＝∠CBG， ∴△BEF′∽△BCG′； （2）如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠ABC＝45°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AE＝AB＝3， ∴BE＝3， 由（1）知：＝， ∴＝， ∴BG＝， ∴BG′＝BG＝， 在Rt△ABG′中，由勾股定理得， AG′＝＝＝， ∴EG′＝AE﹣AG′＝3﹣＝， EG″＝， 综上所述：EG′＝． 40．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是边CD上的点，CD＝4CF，连接EF并延长交AD的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△ECF （2）若正方形ABCD的边长为8，求AG的长． 【答案】（1）证明过程见上面详细过程；（2）AG＝20． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝90°， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE＝， ∴， ∵CD＝4CF， ∴， ∴即， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF； （2）∵正方形ABCD的边长为8， ∴BC＝CD＝AD＝8，BC∥AD， ∴∠CEF＝∠G， ∵∠CFE＝∠DFG， ∴△CEF∽△DGF， ∴， ∵E是BC的中点，CD＝4CF， ∴CF＝2，DF＝6，CE＝4， ∴， ∴DG＝12， ∴AG＝DG+AD＝20． 41．如图，在正方形ABCD中，点B关于CD的对称点为E，F为AD边上一动点，连接CF、EF、EF交CD于G、连接BG，交CF于H． （1）如图1，当点H为CF中点，点P为GE的中点时，连接CP，求证：EG＝2FG； （2）如图2，若DF2＝DG•DC． ①求证：CF＝BG； ②若AB＝2，求AF的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）①证明过程见解答； ②． 【解答】（1）证明：∵点P为GE的中点． ∴EG＝2PG， ∵点B关于CD对称点为E， ∴点C是BE的中点， ∴CP是△BEG的中位线， ∴CP∥BG， ∴， ∵H是CF的中点， ∴FH＝CH， ∴FG＝PG， ∴EG＝2FG； （2）①证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCG＝∠D＝90°，BC＝CD，AD//BC， ∵DF2＝DG•DC， ∴， ∵∠FDG＝∠CDF＝90°， ∴△CFD∽△FGD， ∴∠FCD＝∠GFD， ∵AD//BC， ∴∠GFD＝∠E， ∵CD垂直平分BE， ∴BG＝EG， ∴∠GBC＝∠E， ∴∠FCD＝∠GBC， ∴△GBC≌△FCD（ASA）， ∴CF＝BG； ②解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝AB＝2， 设AF＝x，则DF＝2﹣x， 由①得：△GBC≌△FCD， ∴CG＝DF＝2﹣x， ∵AD＝CD， ∴AD﹣DF＝CD﹣CG， ∴DG＝AF＝x， ∵DF2＝DG•DC， ∴（2﹣x）2＝2x， 即x2﹣6x+4＝0， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 42．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′． （1）当AD＝3时，＝　　； （2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示． 问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：问题1： （1）∵AB＝4，AD＝3， ∴BD＝4﹣3＝1， ∵DE∥BC， ∴， ∴＝＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝，即， 故答案为：； （2）解法一：∵AB＝4，AD＝m， ∴BD＝4﹣m， ∵DE∥BC， ∴＝＝， ∴＝＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝＝＝， 即＝； 解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH， ∴△ADF∽△ABH， ∴＝， ∴＝＝＝， 即＝； 问题2：如图2， 解法一：如图2，分别延长BA、CD交于点O， ∵AD∥BC， ∴△OAD∽△OBC， ∴， ∴OA＝AB＝4， ∴OB＝8， ∵AE＝n， ∴OE＝4+n， ∵EF∥BC， 由问题1的解法可知：＝＝＝， ∵＝＝， ∴＝， ∴＝＝＝，即＝； 解法二：如图3，连接AC交EF于M， ∵AD∥BC，且AD＝BC， ∴＝， ∴S△ADC＝， ∴S△ADC＝S，S△ABC＝， 由问题1的结论可知：＝， ∵MF∥AD， ∴△CFM∽△CDA， ∴＝＝＝， ∴S△CFM＝×S， ∴S△EFC＝S△EMC+S△CFM＝+×S＝， ∴＝． 八．相似三角形的应用（共3小题） 43．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵BE＝2.5，BH＝0.5， ∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2， ∵四边形BEFG是矩形， ∴BG＝EF，∠BEF＝90°， ∴∠ABH＝∠FEH＝90°， ∵∠AHB＝∠EHF， ∴△ABH∽△FEH， ∴＝， ∴＝， ∴EF＝4， ∴BG＝EF＝4， 故选：A． 44．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为9cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为12cm、9cm，则实像CD的高度为（　　） cm． A．6cm B．6.25cm C．6.75cm D．7cm 【答案】C 【解答】解：由题意得：AB∥CD， ∴∠A＝∠ACD，∠D＝∠ABD， ∴△OAB∽△OCD， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝6.75， ∴实像CD的高度为6.75cm， 故选：C． 45．如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得AB＝16米，DA＝3米，CA＝4米，则楼高EB为（　　） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【解答】解：由题意得：CD∥AE， ∴∠DCA＝∠EAB， ∵DA⊥CB，EB⊥CB， ∴∠DAC＝∠EBA＝90°， ∴△DAC∽△EBA， ∴＝， ∴＝， 解得：EB＝12， ∴楼高EB为12米， 故选：B． 九．位似变换（共4小题） 46．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　） A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5） 【答案】C 【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半， 又∵A（6，8）， ∴端点C的坐标为（3，4）． 故选：C． 47．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【答案】D 【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣4，2）， ∴点E的对应点E'的坐标为（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），即（﹣8，4）或（8，﹣4）， 故选：D． 48．如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（8，﹣4） C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4） 【答案】C 【解答】解：以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小， 则点E的对应点E′的坐标为（﹣4×，2×）或[﹣4×（﹣），2×（﹣）]， 即（2，﹣1）或（﹣2，1）， 故选：C． 49．如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　（3，2）或（﹣9，﹣2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点， 令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣3， ∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1）， ∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2， ∴＝＝， ∴O′B′＝2，AO′＝6， ∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）； 当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）． ∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）． 故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）． 一十．作图-位似变换（共1小题） 50．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标； （2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣2）； （2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0）， △A2BC2的面积： 6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4 ＝24﹣6﹣4﹣4 ＝24﹣14 ＝10． $$