清单01 特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单01 特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【清单02】平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【清单03】三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 【清单05】 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【清单06】菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【清单07】菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【清单08】矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 【清单09】直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【清单10】矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【清单11】正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【清单12】正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【考点题型一】菱形的性质 【典例1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，由垂线的性质可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据可得，于是得解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 是菱形的高， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 【变式1-1】如图，在菱形中，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分一组对角得到的度数，再根据菱形对边平行即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，已知， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的面积公式，涉及菱形的性质、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，作出图形，由菱形对角线相互垂直，利用勾股定理可知另一条对角线长为，再根据菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：根据题意，作图如下： ， 菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2， ， 在中，，，，则， ， 菱形的面积为， 故选：C． 【变式1-3】如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明是等边三角形．如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 【考点题型二】菱形的性质与判定综合运用 【典例2】如图，在中，点，分别在边，上，与交于点，且垂直平分，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）证明得，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证明，则，，然后由勾股定理得，则，即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）由（1）可知，，四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 【点晴】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式2-1】如图，在菱形中，对角线交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，四边形的面积是，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质勾股定理． （1）由菱形的性质得，证明可证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形； （2）连接，由四边形的面积是求出，由勾股定理得，进而可得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形 即 即 四边形是平行四边形 是矩形 （2）解：连接 四边形是矩形 在菱形中，， ∴． 【变式2-2】如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，点分别在上，，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若点是的中点，，，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的周长和面积分别是和 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，由直角三角形斜边上的中线性质得，然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论． 本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∴为等腰三角形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 为的中点， ， ，， ，， ， ， （负值已经舍去）， ，， 四边形的面积． ∴四边形的周长． ∴四边形的周长和面积分别是和． 【变式2-3】如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点题型三】菱形中最小问题 【典例3】如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，作点关于的对称点，连接，则，，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ，， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 【变式3-1】如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，作于，交于，连接、，首先证明与重合，因为、关于对称，所以当与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明是的高，学会利用对称解决最短问题． 【详解】解：如图，作于，交于，连接、． ∵已知菱形的周长为16，面积为， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴与重合， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴、关于对称， ∴当与重合时，的值最小，最小值为， 故选：B． 【变式3-2】如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解∶过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选∶D． 【变式3-3】如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是菱形，，，算出，再根据点M是边的中点，，得出，是边上的中点，作点关于的对称点，连接交于，此时，得出当三点共线时，有最小值，最小值为的长．，再证明四边形是平行四边形，得出，求出的最小值为1，根据周长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点M是边的中点，， ∴是的中位线， ∴，是边上的中点， 作点关于的对称点，连接交于， 此时，当三点共线时，有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， ∴是的中点， 又∵是边上的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∵周长， 则周长的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识点，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 【考点题型四】矩形的性质 【典例4】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点M，N．若，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，垂直平分线的性质可证，可得，运用勾股定理可得的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 故选：A ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握矩形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式4-1】如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．根据矩形的性质和含的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知． 【详解】解：在矩形中，，交于点，若，， ， ，即， ， 又、分别为、的中点， 是的中位线， ． 故选：C． 【变式4-2】如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则的长是（  ）． A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明为等边三角形是解题关键．根据矩形的性质结合题意可证明为等边三角形，即得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选D． 【变式4-3】如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（     ） A．26 B．12 C．24 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 由矩形可得：，又由，，可求得的长，则可求得与的长，又由，代入数值即可求得结果． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， ， ， ，， ，， ， ， ． 点到矩形的两条对角线和的距离之和是12． 故选：B． 【考点题型五】直角三角形斜边上的中线 【典例5】在中，，点为边的中点，连接，若，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．由题意得，，即可求出的长． 【详解】解：在中，，点D为的中点， ， ， ， 故选：B． 【变式5-1】如图，在中，于点是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵ ∴； ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【变式5-2】如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线得出，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵，为的中点， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【变式5-3】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．首先根据菱形的一组邻角互补可以求出，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得、，所以可得，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得． 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， 在中，， ， 点是的中点， ， ． 故选：C． 【考点题型六】矩形的性质与判定综合运用 【典例6】如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 【变式6-1】如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键 【变式6-2】如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据线段的和差关系可得，根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，可证明四边形为平行四边形，根据即可得结论； （）根据矩形的性质可得，可得为直角三角形，利用“面积法”可求出的长，即可得答案； 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：由（）得：四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，矩形的对角线相交于，点是的中点，交延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可判定，由全等三角形的性质得，结合矩形的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法，即可得证； （2）由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质得，由菱形的性质得，，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 点是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 平行四边形是菱形． （2）解：由（1），得， ， 是等边三角形， ． 四边形是菱形， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质，矩形的性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，掌握菱形的判定及性质，矩形的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【考点题型七】矩形形中最小值问题 【典例7】如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，掌握矩形的性质，找到点关于的对称点，结合三角形三边数量关系，垂线段最短知识的运用是解题的关键． 根据题意，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点，根据三角形三边数量关系可得，，根据点到直线垂线段最短可得，，则有当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小，根据折叠的性质，勾股定理，等面积法可得的值，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点， ∵对称， ∴， ∴， 根据三角形三边数量关系可得，， 根据点到直线垂线段最短可得，， ∴当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：C ． 【变式7-1】如下图，中，，，，是上一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，连接，由题意可得四边形是矩形，得到，可知当时，的值最小，利用勾股定理和三角形的面积求出的最小值即可求解，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，可知的值最小，此时， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴线段的最小值是， 故选：． 【变式7-2】如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，利用菱形的性质证明四边形为矩形，得到，进而得到当时，的值最小，即的值最小，利用菱形的性质和勾股定理分别算出、、，再利用面积法求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形为菱形， ， ，， 四边形为矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， ，， ，即， 解得，， ，， ， ， 即， 解得， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，解题的关键在于利用矩形性质和垂线段最短找出取最小值的情况． 【变式7-3】如图，矩形中，，，点、分别、边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则 ；的最小值为 ． 【答案】 1 4 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故答案为：1，4．, 【考点题型八】矩形中折叠问题 【典例8】在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． ​​ (1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数． (2)如图2，若点落在边上，且，，求的长． (3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据折叠的性质的； （2）根据矩形的性质得，，，由折叠的性质得：，，根据勾股定理得，则，设，则，根据勾股定理可得，解得，即的长为； （3）连接，由题意可得，由折叠的性质得：，，，则，通过证明，则，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， 沿所在的直线折叠，使点落在点处， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为； （3）解：连接，如图所示： 点是的中点， ， 由折叠的性质得：，，， ， 在和中， ， ， ， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 【变式8-1】如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据折叠的性质我们可得出，，，证明，设，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点晴】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【变式8-2】如图，将长方形纸片沿对角线翻折，点B落在点处，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理． （1）证明，即可； （2）设，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿对角线翻折，点B落在点处， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】把一张矩形纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在上），折痕分别为，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了与矩形有关的折叠问题，平行四边形的证明及勾股定理，准确分析计算是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质证明即可； （2）由折叠可得，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 又由折叠可得：，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由折叠可得，，， 在中， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， 即． 【考点题型九】正方形的性质 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标．根据、的互相垂直平分，且，即有，问题得解． 【详解】解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 【变式9-1】如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（    ）度． A．112.5 B．125 C．135 D．150 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质．解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据正方形的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 【变式9-2】如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理的应用、三角形及正方形的面积公式等知识与方法，先由，，，根据勾股定理求得，再分别求出正方形的面积和的面积，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 阴影部分的面积是76， 故选：B． 【变式9-3】如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，推出，证出，即可求解． 【详解】解：如图，设与交点N，与交点M， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴． 在与中， ， ， ， ． 故选：A． 【考点题型十】正方形的性质与判定综合运用 【典例10】如图，在正方形中，E是边上的一动点，过点E作交于点G，且，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质． （1）根据正方形的性质和等角的余角相等即可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴； （2）解：如图，在上截取，连接， 在正方形中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式10-1】如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． （1）利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出即可； （2）结合（1）设，则，，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵将沿对折至， ∴，，， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， ∴在中，，即：， 解得， ∴． 【变式10-2】如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形． (2)若点为的中点，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题考查正方形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）过点M作于点E，于点F，先证，四边形是矩形，进而得出，再证，推出，即可证明四边形是正方形； （2）先用勾股定理解求出，正方形的面积等于对角线长的平方的一半，由此可解． 【详解】（1）解：如图，过点M作于点E，于点F， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）解：如图，连接， 正方形中，点为的中点，且， ， 在中，， 四边形是正方形， 正方形的面积． 【变式10-3】如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理的应用，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设与相交于点，与相交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形、都是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设与相交于点，与相交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴． 【考点题型十一】正方形中最小值问题 【典例12】如图，正方形边长为2，E是中点，点P是上任一点，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接，，由正方形的性质可知，点关于的对称点为点，因而，进而可得，根据两点之间线段最短可得，就是的最小值，也就是的最小值，然后利用正方形的性质得出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，且是对角线， 点关于的对称点为点， ， ， 根据两点之间线段最短可得，就是的最小值，也就是的最小值， 正方形边长为2，E是中点， ，，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），正方形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，线段中点的有关计算，勾股定理等知识点，利用正方形的性质找出点的对称点是解题的关键． 【变式12-1】如图，正方形的边长为分别为边和上的动点，且始终满足，连接，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称−最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，连，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证，得出，然后根据两点之间，线段最短即可得解，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，连， ∵∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 【变式12-2】如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短等；连接，由可判定，由全等三角形的性质得，作点关于的对称点，连接， 当、、三点共线时，取最小值，此时，由勾股定理即可求解；掌握“将军饮马”典型题型的解法，找到取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 作点关于的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值， 此时， ， 的最小值为； 故选：B． 【变式12-2】如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，使的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，正方形的性质及等边三角形的性质，根据正方形的面积求出其边长，由于是等边三角形，所以，由正方形的性质可知点即为点关于的对称点，当与重合时，最小，即最小为的长，则可求的最小值，进而可得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵正方形的面积为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 当与重合时，最小，最小为的长， ∴的和最小值为， 故选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【清单02】平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【清单03】三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 【清单05】 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【清单06】菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【清单07】菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【清单08】矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 【清单09】直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【清单10】矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【清单11】正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【清单12】正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【考点题型一】菱形的性质 【典例1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式1-1】如图，在菱形中，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【考点题型二】菱形的性质与判定综合运用 【典例2】如图，在中，点，分别在边，上，与交于点，且垂直平分，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求四边形的面积． 【变式2-1】如图，在菱形中，对角线交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，四边形的面积是，连接，求的长． 【变式2-2】如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，点分别在上，，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若点是的中点，，，求四边形的周长和面积． 【变式2-3】如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【考点题型三】菱形中最小问题 【典例3】如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 【变式3-1】如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-2】如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】矩形的性质 【典例4】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点M，N．若，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【变式4-1】如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（） A．12 B．8 C．6 D．4 【变式4-2】如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则的长是（  ）． A．4 B． C． D． 【变式4-3】如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（     ） A．26 B．12 C．24 D．不能确定 【考点题型五】直角三角形斜边上的中线 【典例5】在中，，点为边的中点，连接，若，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式5-1】如图，在中，于点是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 【变式5-3】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】矩形的性质与判定综合运用 【典例6】如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【变式6-1】如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【变式6-3】如图，矩形的对角线相交于，点是的中点，交延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【考点题型七】矩形形中最小值问题 【典例7】如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 【变式7-1】如下图，中，，，，是上一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．3 D．4 【变式7-3】如图，矩形中，，，点、分别、边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则 ；的最小值为 ． 【考点题型八】矩形中折叠问题 【典例8】在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． ​​ (1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数． (2)如图2，若点落在边上，且，，求的长． (3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长． 【变式8-1】如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式8-2】如图，将长方形纸片沿对角线翻折，点B落在点处，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式8-3】把一张矩形纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在上），折痕分别为，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求线段的长． 【考点题型九】正方形的性质 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（    ）度． A．112.5 B．125 C．135 D．150 【变式9-2】如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【变式9-3】如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型十】正方形的性质与判定综合运用 【典例10】如图，在正方形中，E是边上的一动点，过点E作交于点G，且，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式10-1】如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 【变式10-2】如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形． (2)若点为的中点，且，求正方形的面积． 【变式10-3】如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：    (1)； (2)． 【考点题型十一】正方形中最小值问题 【典例12】如图，正方形边长为2，E是中点，点P是上任一点，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 【变式12-1】如图，正方形的边长为分别为边和上的动点，且始终满足，连接，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【变式12-2】如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，使的最小值为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$