清单04 图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单04 图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 【清单03】 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单04】 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单05】 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【清单06】 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单07】 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单08】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单09】 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB ． 【清单10】 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【清单11】 位似图形 1.位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2. 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 3. 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点题型一】比例性质 【典例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】，则（   ） A． B．2 C．3 D．-2 【变式1-2】已知，则的值为 ． 【变式1-3】如果，那么的值为 ． 【考点题型二】比例线段和黄金分割比 【典例2】下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-1】如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ． 【变式2-2】已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【变式2-3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号） 【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【典例3】如图，，若，则的长度是（　）    A．3 B．4 C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 【考点题型四】相似多边形 【典例4】下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【变式4-1】下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式4-3】如图，设小方形的边长为1，四边形四边形，且它们的顶点都在格点上，则它们的相似比是（    ） A． B． C．2 D．3 【考点题型五】相似三角形的判定 【典例5】下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】相似三角形的性质 【典例6】为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，，，则 ． 【变式6-3】如图，在中，，若，，则为 ． 【考点题型七】相似三角形的判定和性质综合 【典例7】如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【变式7-1】如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式7-2】如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【变式7-3】如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【考点题型八】相似三角形的应用综合 【典例8】如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 【变式8-1】如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在D处和F处树立标杆和，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 【变式8-2】如图，中，是边上的高，，．作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在，上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【变式8-3】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【考点题型九】图形的位似 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知，，连接、、，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式9-2】已知：如图与关于点位似，且位似比为，设的横坐标为，则的对应点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【考点题型十】作图-位似 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是的边上一点． (1)画出，使与关于点成中心对称，并写出点的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出将放大为原来的2倍后的，并分别写出点的对应点的坐标． 【变式10-1】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【变式10-2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）      (1)以点为位似中心，在第三象限内作出，使与的位似比为； (2)以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到． 【变式10-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为，并写出点的坐标； (2)作出绕点逆时针旋转后的图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 【清单03】 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单04】 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单05】 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【清单06】 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单07】 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单08】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单09】 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB ． 【清单10】 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【清单11】 位似图形 1.位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2. 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 3. 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点题型一】比例性质 【典例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案． 【详解】解：设，且， 则， ∴， 故选：A 【变式1-1】，则（   ） A． B．2 C．3 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，化简原式即可得出答案，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质得，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】如果，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的知识，解题的关键是熟练掌握比例的性质，从而完成求解；根据题意得到，代入化简即可求解； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3． 【考点题型二】比例线段和黄金分割比 【典例2】下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，掌握相关知识是解题的关键．分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论． 【详解】解：A、 ， ，，，是成比例线段，故选项符合题意； B、 ， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、 ， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； D、 ， ，，，不是成比例线段，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割定理，矩形的性质，由四边形为黄金矩形，则，求出，，则，然后由矩形的性质和线段和差即可求解，掌握黄金分割定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵四边形和为矩形， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 【变式2-2】已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 【变式2-3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【典例3】如图，，若，则的长度是（　）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 由，得，由，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解:∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为， 故选：A． 【变式3-2】如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由，可得，，由，可得，，再进一步分析判断即可． 【详解】∵， ∴，，故A不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故B不符合题意；C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能够通过已知条件准确构造辅助线是解决本题的关键． 根据线段的比例关系及中点平分边的特点过点构造与平行的辅助线，进而构成两组成比例的线段、，再根据比例得到线段之间的倍数关系，求出的长度即可． 【详解】解：过点作交于点． 又． ． 设，． 是的中点． ． 又 ． ． ． ． ． 即． 解得：． ． 故选：D． 【考点题型四】相似多边形 【典例4】下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似； C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 【变式4-2】如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， 又∵，， ∴，解得：， 故选D． 【变式4-3】如图，设小方形的边长为1，四边形四边形，且它们的顶点都在格点上，则它们的相似比是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形对应边的比等于相似比，得到它们的相似比是，即可求得答案． 【详解】解：四边形四边形， 与是对应边， ，， 它们的相似比是， 故选：C． 【考点题型五】相似三角形的判定 【典例5】下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【详解】解：A. ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 【变式5-1】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式5-2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2）如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ， ， A、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； B、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； C、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：C． 【变式5-3】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由与的对应边不成比例，可知与不相似，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ，， ，故A不符合题意； 如图2， ，， ，故B不符合题意； 如图3， ，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； 如图4， 与的对应边不成比例， 与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 【考点题型六】相似三角形的性质 【典例6】为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式6-1】如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由证明，，然后由相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了利用相似比求面积，平行四边形的性质，理解相似比的特征是解决本题的关键．根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在中，，若，，则为 ． 【答案】18 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，则，由，证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18． 【考点题型七】相似三角形的判定和性质综合 【典例7】如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 【变式7-1】如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是关键． （1）由可得，即，即可求证； （2）根据题意求出，结合即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即： ∵ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ 【变式7-2】如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，求得，又证明是等腰直角三角形，求得，再证明，推出，由等腰直角三角形的性质求得，据此即可证明结论成立； （2）过点E作，设．利用（1）的结论求得，在中，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过点E作， 则， ∴； 设． ∵， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，负值已舍去． 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式7-3】如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型八】相似三角形的应用综合 【典例8】如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，   ∴， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 【变式8-1】如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在D处和F处树立标杆和，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 【答案】山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米． 【变式8-2】如图，中，是边上的高，，．作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在，上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)矩形的周长为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）由矩形的性质得，则可判断，然后根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）设，，由（1）的结论得到，然后根据比例性质可计算出，再计算这个矩形的周长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴， 而， ， ， ； （2）解：设，， 则，解得， 这个矩形的周长． 【变式8-3】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得：， 答：的长为； （2）解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 【考点题型九】图形的位似 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点的坐标是为，，即． 故选：C． 【变式9-1】如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知，，连接、、，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵， ∴的坐标为或， 即的坐标为或， 故选：C． 【变式9-2】已知：如图与关于点位似，且位似比为，设的横坐标为，则的对应点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键，分别过点，作轴于点，轴于点，证明，结合与关于点位似，得到，从而求得点的横坐标． 【详解】如图，分别过点，作轴于点，轴于点， ， ， ， 与关于点位似，且位似比为， ， ， ， ， 点的横坐标为， 故选：D．    【考点题型十】作图-位似 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是的边上一点． (1)画出，使与关于点成中心对称，并写出点的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出将放大为原来的2倍后的，并分别写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析，）， 【分析】本题考查了作图—位似变换、旋转变换，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据成中心对称的图形的性质得出，再顺次连接即可，由图即可得出坐标； （2）根据位似变换的性质得出，再顺次连接即可，由图即可得出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 由图可得：， （2）解：如图，即为所作， 由图可得：，． 【变式10-1】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可； （）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可； （）连接，相交于点； 此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤． 【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， ∴即为所求； （2）如图，延长，，然后连接， ∴即为所求； （3）如图，连接，相交于点， ∴点即为所求． 【变式10-2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）      (1)以点为位似中心，在第三象限内作出，使与的位似比为； (2)以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画出位似图形，画旋转图形． （1）利用位似定义，先分别求出位似比为的点坐标，依次连接即可画出； （2）利用旋转定义，先分别求出旋转后的点坐标，依次连接即可得到． 【详解】（1）解：∵，，，与的位似比为 ∵在第三象限内作出， ∴， 如图，即为所求；   ； （2）解：∵，，，将沿顺时针方向旋转得到， ∴， 如图所示：   ； 【变式10-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为，并写出点的坐标； (2)作出绕点逆时针旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长到使，延长到使，则可得到，然后写出点的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、即可． 【详解】（1） 如图，为所作，点的坐标为； （2）如下图，为所作： 【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$