专题6.7 多边形【七大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版2024）

专题6.7 多边形【七大题型】 【苏科版2024】 【题型1 多边形的概念与分类】 1 【题型2 与正多边形有关的计算】 2 【题型3 网格中多边形的面积计算】 3 【题型4 外角的计算】 4 【题型5 多边形对角线的条数问题】 5 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 5 【题型7 多边形截角后的边数问题】 6 知识点：多边形 （1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形． （2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．④各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （3）多边形的对角线：（a）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （b）规律总结： ①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形． ②n边形共有条对角线． 【题型1 多边形的概念与分类】 【例1】（2024七年级·全国·专题练习）下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【变式1-1】（2024七年级·全国·专题练习）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【变式1-3】（23-24七年级·上海青浦·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 【题型2 与正多边形有关的计算】 【例2】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　） A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm 【变式2-1】（23-24七年级·新疆阿克苏·阶段练习）若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 【变式2-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【变式2-3】（23-24七年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【题型3 网格中多边形的面积计算】 【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）下列图形中，阴影部分的面积相等的是 ． A．    B．    C．     D． 【变式3-1】（23-24七年级·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【变式3-2】（2024·山东枣庄·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 【变式3-3】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，利用平移的知识完成下列作图． (1)过D作，且； (2)的面积为 ； (3)四边形的面积为 ． 【题型4 外角的计算】 【例4】（24-25七年级·云南昆明·期中）体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级·重庆铜梁·期中）如图，是的外角，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级·福建福州·期中）如图，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级·吉林·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为 ． 【题型5 多边形对角线的条数问题】 【例5】（23-24七年级·陕西延安·阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 【变式5-1】（23-24七年级·湖北恩施·期末）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数） 【变式5-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶点可以画 条对角线． 【变式5-3】（23-24七年级·辽宁辽阳·期末）过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，则的值为 ． 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】（23-24七年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【变式6-1】（23-24七年级·湖北·课后作业）通过连接对角线的方法，可以把十边形分成互不重叠的三角形的个数（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式6-2】（23-24七年级·四川巴中·期末）从一个边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为个三角形，则的值是 ． 【变式6-3】（23-24七年级·湖北·课后作业）将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 【题型7 多边形截角后的边数问题】 【例7】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式7-1】（23-24七年级·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【变式7-2】（23-24七年级·全国·课后作业）一个四边形剪去一三角形后余下的多边形为 边形 【变式7-3】（23-24七年级·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 多边形【七大题型】 【苏科版2024】 【题型1 多边形的概念与分类】 1 【题型2 与正多边形有关的计算】 3 【题型3 网格中多边形的面积计算】 6 【题型4 外角的计算】 10 【题型5 多边形对角线的条数问题】 12 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 13 【题型7 多边形截角后的边数问题】 15 知识点：多边形 （1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形． （2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．④各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （3）多边形的对角线：（a）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （b）规律总结： ①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形． ②n边形共有条对角线． 【题型1 多边形的概念与分类】 【例1】（2024七年级·全国·专题练习）下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2024七年级·全国·专题练习）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形 【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解． 【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形． 【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 【变式1-3】（23-24七年级·上海青浦·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 【答案】 【分析】根据邻余四边形概念作出相应图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个． 故答案为：6． 【点睛】考查了邻余四边形概念的理解与运用，正确理解新定义是解题的关键． 【题型2 与正多边形有关的计算】 【例2】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　） A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm 【答案】C 【详解】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长， 所以正六边形的周长是正三角形的周长的,正六边形的周长为90×3×=180cm， 所以正六边形的边长是180÷6=30cm. 故选C. 【变式2-1】（23-24七年级·新疆阿克苏·阶段练习）若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 【答案】cm/厘米 【分析】根据正边形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：正边形的边长相等，且边长为2cm， 其周长为cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键． 【变式2-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 【变式2-3】（23-24七年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【题型3 网格中多边形的面积计算】 【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）下列图形中，阴影部分的面积相等的是 ． A．    B．    C．     D． 【答案】CD 【分析】根据题意可知每个小方格的边长都相等，结合图形可以判断出每个图形的底和高，代入面积公式即可求解，再进行比较即可． 【详解】解：三角形的面积公式：底×高÷2；平行四边形的面积公式：底×高． 设小方格的边长为1，阴影部分的面积为S， 则：A.S=1×1=1， B.S=2×2÷2=2， C. S=1×1÷2=0.5， D. S=1×1÷2=0.5 ∴阴影部分的面积相等的是CD， 故答案为CD. 【点睛】本题主要考查了平行四边形和三角形的面积计算，比较基础． 【变式3-1】（23-24七年级·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【变式3-2】（2024·山东枣庄·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 【答案】6 【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入计算即可． 【详解】由图可知：五边形内部格点有4个，故 五边形边上格点有6个，故 ∴＝ 故答案为：6． 【点睛】本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可． 【变式3-3】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，利用平移的知识完成下列作图． (1)过D作，且； (2)的面积为 ； (3)四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）本题考查了利用平移的知识作平行线，将向上平移一个单位，再向右平移5个单位，得到线段对应线段所在直线，即可得到；类似的方法作出，即可解题； （2）利用割补法，将围成一个矩形，其面积等于矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可解题； （3）解题方法与（2）类似（注意点有两个不同的位置）； 【详解】（1）解：所作直线、线段，如下图所示： （2）解：的面积为：； 故答案为：． （3）解：①当在点下方时，如图所示： 四边形的面积为：； ②当在点上方时，如图所示： 四边形的面积为：； 四边形的面积为， 故答案为：． 【题型4 外角的计算】 【例4】（24-25七年级·云南昆明·期中）体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解；由题意得，，， ∴， 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级·重庆铜梁·期中）如图，是的外角，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的外角，， ∴； 故选B． 【变式4-2】（24-25七年级·福建福州·期中）如图，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的一个外角， ∴ ∴． 故选：A． 【变式4-3】（23-24七年级·吉林·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为 ． 【答案】105 【分析】此题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角板可得：，，然后根据三角形内角和定理可得，进而得到，再根据三角形内角与外角的关系可得结论． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105． 【题型5 多边形对角线的条数问题】 【例5】（23-24七年级·陕西延安·阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解． 【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线， 可知该多边形的边数为， ∴这个多边形对角线的总数为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键． 【变式5-1】（23-24七年级·湖北恩施·期末）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数） 【答案】n-3 【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数． 【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形， 所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定． 故答案为：（n-3）． 【点睛】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题． 【变式5-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶点可以画 条对角线． 【答案】14 【分析】设正多边形的边数为（），边长为，根据边长为整数的正多边形的周长17，求出的值，根据过多边形的一个顶点的对角线的条数为，即可得解． 【详解】解：设正多边形的边数为（），边长为，由题意，得：， ∴， ∵为整数， ∴； ∴过该正多边形的一个顶点可以画：条对角线； 故答案为： 【点睛】本题考查多边形的对角线条数．熟练掌握从多边形的一个顶点出发，可以引条对角线，是解题的关键． 【变式5-3】（23-24七年级·辽宁辽阳·期末）过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，则的值为 ． 【答案】36 【分析】根据m边形从一个顶点出发可引出（m-3）条对角线，以及没有对角线的多边形是三角形，可以得出结果． 【详解】解：∵过m边形的一个顶点有9条对角线， ∴m-3=9，m=12； ∵n边形没有对角线，∴n=3， ∴mn=12×3=36； 故答案为：36． 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式． 【题型6 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】（23-24七年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【答案】C 【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解． 【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形， 则这个多边形的边数为2003+1＝2004． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键． 【变式6-1】（23-24七年级·湖北·课后作业）通过连接对角线的方法，可以把十边形分成互不重叠的三角形的个数（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【详解】从多边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，分成(n-2)个三角形，故把十边形分成互不重叠的三角形的个数为10-2=8个. 故选B. 【变式6-2】（23-24七年级·四川巴中·期末）从一个边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为个三角形，则的值是 ． 【答案】8 【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形作答． 【详解】设多边形有n条边， 则n−2=6， 解得n=8. 故答案为8. 【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式. 【变式6-3】（23-24七年级·湖北·课后作业）将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【详解】 ∵六边形ABCDEF有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形， ∴只能通过同一个顶点作三条对角线(如图1)，这种分法有6种， 也从一个顶点作两条对角线(如图2)，这种分法有2种， 如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种， 故各种不同的剖分方法有14种． 故选D. 【题型7 多边形截角后的边数问题】 【例7】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形. 故选A. 【点睛】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条. 【变式7-1】（23-24七年级·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 【变式7-2】（23-24七年级·全国·课后作业）一个四边形剪去一三角形后余下的多边形为 边形 【答案】三、四、五 【详解】如图可知，一个四边形截去一个三角形后变成三角形或四边形或五边形， 故答案为三、四、五. 【变式7-3】（23-24七年级·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$