精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 2. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程结合离心率公式运算求解即可. 【详解】由题意知，双曲线的离心率，所以． 故选：D． 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 4. 若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 6. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的特征，将向量数量积转化为投影向量，即可判断结果. 【详解】因为平面，平面，平面均与直线垂直， 所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同， 且互不相等，故共有个不同的值． 故选：A 7. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 直线：与圆：的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离的取值范围，即可判断. 【详解】圆：的圆心为，半径， 当时，点到直线的距离， 因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为或． 故选：BC． 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减数列 C. 数列中有两项的值最小 D. 数列中有16项的值为负数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据递推式求得判断A，结合等差数列前n项和公式，利用累加法求得，根据二次函数性质判断单调性和求解最值判断BC，解一元二次不等式即可判断D. 【详解】当时，，所以，A错误； 由，得当时，，，…，，将上式相加， 得， 所以， 由二次函数的性质可知，不为递减数列，B错误； 因为， 所以当或时，取得最小值，C正确； 当时，，解得，， 所以数列中有16项的值为负数，D正确. 故选：CD 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 数列满足，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件等式，代入求，再赋值求. 【详解】由，得，，所以，． 故答案为： 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，以及的范围，转化为二次函数求值域. 【详解】由题意知，，所以， 设，则，由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为． 故答案为： 14. 已知圆：和点，，若点在圆上，且，则实数的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得点在圆上，且点在圆上，即可得到两圆有公共点，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，由，得， 即点在圆上， 圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， 又点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以，解得， 所以或，即的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值及此时的值. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列求和公式列式求得公差，然后求解通项公式即可. （2）先求出，再利用二次函数性质求解最小值即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，当时，取最小值. 16. 已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． （1）求的方程； （2）设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知：，代入抛物线方程运算求解即可； （2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，准线的方程为， 由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，， 因为点在上，所以， 整理得，，解得， 故的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，， 由，消去x整理得， 则，可得，， 所以， 又因为的面积为3，则， 即，解得， 故直线的斜率为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ，所以得， 又,所以， 又，，平面， 所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面， （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 知，， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,,,1,,,0,,,,,,1, 则,0,,,1,,,,， 设平面的一个法向量,,， 则有，令，则有，， 平面的一个法向量,0,， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆：()的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线：与圆：相切，与椭圆交于，两点，若的面积为，求由点，，，四点围成的四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意列式求，即可得结果； （2）根据切线可得，联立方程，根据面积关系利用韦达定理解得，进而可得结果. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，根据题意可得， 解得，，， 所以椭圆的方程是． 【小问2详解】 设，， 因为直线与圆：相切，则，可得， 联立方程，消去y得， 因为圆在椭圆的内部，所以恒成立， 则，， 可得 ， 所以的面积， 即，解得， 此时直线轴，即， 所以四边形的面积为． . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. （1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线； （2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围； ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】（1） 证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为， 则曲线的方程是，且，即， 因为都是常数，且a，b不同时为， 所以曲线是一条直线，且与直线平行. （2）①； ②证明：由①知或，所以， ， ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可. （2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；②结合①的结论，直接运算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是， 所以曲线的方程是，即. 与轴的两个交点A，B的坐标分别是， 因为直线点，斜率为，所以直线的方程为，代入， 消去并整理得， 设， 则，， 因为与在轴的右侧有两个交点， 所以，且，解得或， 所以的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 4. 若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ） A. B. C. D. 7. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 直线：与圆：的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减数列 C. 数列中有两项的值最小 D. 数列中有16项的值为负数 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 数列满足，若，则__________． 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为__________． 14. 已知圆：和点，，若点在圆上，且，则实数的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值及此时的值. 16. 已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． （1）求的方程； （2）设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：()的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线：与圆：相切，与椭圆交于，两点，若的面积为，求由点，，，四点围成的四边形的面积． 19. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. （1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线； （2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围； ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $