辽宁省点石联考（东三省）2024-2025学年高二上学期12月调研测试数学试题

点石联考高二联考调研测试 数学 参考答案 2024年12月份东三省高二联考调研测试 题号 2 3 4 5 6 9 10 11 答案 B B D C B A C BCD AD ABD 12.12 13.2 14.451(第一空2分，第二空3分) 15解：(1)甲、乙、丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有 A品=120种 (4分) (2)从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个 人全排列，则有CAAA=144种排列方案. (8分) (3)由题知，分组情况为三种：1人，1人，4人，分配方案有CA;=90种： 2人，2人，2人，分配方案有CC3CA=90种： A 1人，2人，3人，分配方案有CC2CA=360种， 则不同的分配方案共有90+90+360=540（种）. (13分) 16.解：(1)因为线段CD是底面圆的直径，所以CE⊥DE, 可得DE=VCD2-CE2=2√5， (2分) 以点E为坐标原点，EC,ED所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,0), B(2,0,4),P(1,0,2).D0,25,0A0,2N5,4,C(2,0,0) DA=(0,0,4),DP=1,-25,2), (4分) 1 点石联考高二联考调研测试 数学 设点A到直线DP的距离为d, DA.DP 4v221 DP 17 故点A到直线DP的距离为4W22 (6分) 17 (2)由(1)可知DP=1,-25,2),DC=(2,-25,0), DE=(0,-23,0,EB=(2,0,4), (8分) n-DP=x-2V3y+2z=0 设平面PCD的法向量为n=(,y,z),则 n-DC=2x-25y=01 1可==兽所a-i, (10分) 2 mDp=-2√3b=0 设平面BDE的法向量为m=(a,b,c),则 m.EB=2a+4c=0 令c=-1,可得a=2,b=0:所以m=(2,0,-), (12分) 设平面PCD与平面BDE所成的角为O, n~m123-5 3v285 则cos0=cos(n,m)= m V5x v19 95 2 即平面PCD与平面BDE的夹角的余弦值为3V285 15分) 95 17.解：(1)设双曲线C,的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c, 由题意，直线y=V3x为双曲线的一条对称轴， (2分) 设直线y=V3x与函数图象交于A,A2两点， 333、33W3 联立可得4(2之，4（号） (4分) 则|AA2=6,即a=3, 2 点石联考高二联考调研测试 数学 所以b=N5,c=2√5， (6分) 设双曲线C1的焦点分别为F,F,则F(-V3,-3)F,(V3,3). (7分) (2)由(1)可得双曲线C,的方程为 -上=1，右焦点F(25.0, 93 (8分) 设直线1的方程为x=my+2N3,与C,的方程联立可得(m2-3)y2+4N3my+3=0, 设A(x,y),B(x2,2),易知m2-3≠0，△>0， 则y+= 45m①，yy2= 3② (10分) m2-3 2-3 04.0B=x=(my +23)(my2+23)+yy =(m2+1D52+23m0y+y2)+12=21, (12分) 结合①②可得m=士1， 此时直线1的方程为x+y-2V3=0或x-y-2V3=0. (15分) 18.(1)证明：如图，过F作FG⊥AC,垂足为G,过E作EH⊥AB,垂足为H, 因为平面ACD⊥平面ABC,FG⊥AC,FGC平面ACD, 所以FG⊥平面ABC. (2分) 因为平面ABD⊥平面ABC,EH⊥AB,EHC平面ABD, 所以EH⊥平面ABC, 所以FG∥EH, (4分) 因为EHC平面ABD,FG￠平面ABD, 所以FG∥平面ABD. (5分) 因为FGC平面ACD,平面ACD门平面ABD=AD, 所以FG∥AD, 所以AD⊥平面ABC. (7分) D 3 点石联考高二联考调研测试 数学 包解，刻图，连接PG,PH,由题意知FG=EH=4D,CG=1= (8分) tan a EH 3 PH 由题得 3 即PH万 PG 3 (11分) tan B= FG万 PG 3 PG=CG+PC2-2CGxPCxcosC= +PC2-PC. 4 2 又PH=BH2+PB2-2BH×PBxcosB= +P-1P8. 2 PB+PC=1, 解得PB=子，PC=},即P为BC上靠近C的四等分点， (15分) 4 4 此时PH= ,AD=2BH=25pH= (17分) 4 3 6 19.解：(1)由F(1,0)可得p=2, 则E的方程为y2=4x. (2分) 4任小等c管月 (2) 当直线BC的斜率存在时，设BC:y-2=k(x-5),k≠0， y2=4x 联立 -2=x-5列得2-4y+8-20k=0. 则%+⅓=亭=8,4=16-8-20)>0， 自C-8利年年-升6-a 即×++” 164416 +y-n(出+乃2)+n2=0, 80-r-23-20r+168-2-16e年16=0 4 点石联考高二联考调研测试 数学 即(80-24n2+n)k2+16n2-64n-192）k+64-16n2=0, (5分) 80-24n2+n4=0, 则16n2-64n-192=0, 64-16n2=0, 可得n=-2,故A(1,-2) (7分) 当直线BC的斜率不存在时，B(5,25),C(5,-25),AB,4C=0成立 (8分) 综上所述，A(1,-2) (9分) (3) 品烧收账性怪 SN AMIAN月 (11分) 易知直线AB,AC的斜率均存在， 设AB:y+2=k(x-1),AC:y+2=k(x-1), 此时6=-山，M06-2列N0名-2 -+3可长2可 (13分) y2=4x, 联立 +2=4x-,得2-4-8-46=0 4 则=2%有2， 同理 4 +2=-4k+2, (15分) 悟定+-=啡24 SC的最大值是24 SSAMN (17分) 点石联考高二联考调研测试 数学 参考答案及解析 2024年12月份东三省高二联考调研测试 一.单选题 1.B【解析】由题意得4=2p×2解得P=4,由抛物线的性质，得点4到其焦点的距离为 1+卫= 222 2.B【解析】因为4⊥h2,所以a(a+2)+1×(-3)=0,所以a2+2a-3=0,解得a=-3或a=1, 故p是g的充分不必要条件. 3.D【解析】如图，在正三棱锥A-BCD中，取CD中点M,连接AM,BM,则 40-+号-写西+c+而-丽+号c+写0 3 M 4.C【解析】由排列组合的定义知A,B错误：对于C: (n+)A=(n+)n-(n-)(-m+)=A,故C正确；对于D:C= n! ml(n-m)月 (n+1)月 (n+1)! C(m)(m)(m))! 所以C=m+lC,故D错误 n+1 5.C【解析】连接QA,则QA=QP,所以 24-QO=QP-lQO=OP=4<OA=2V5,根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O,A 为焦点的双曲线， 6.B【解析】由C=C3,得m-3=或m-3+=13,解得m=9(舍)或m=12, 9 3 3 2 6 点石联考高二联考调研测试 数学 则C+C+C+…+C2=C+C+C+C+…+C-1 =C1+C+C+…+Ci-1=…=C-1=285. 7.A【解析】如图，在正四棱台ABCD-ABC,D中，分别取AB,CD,AB,CD的中点为 E,F,E,F,则四边形EFFE,的内切圆是正四棱台内切球O的截面大圆，因为四边形EFEE是等 腹梯形，5R=2.EF=4,E=EF+E)=3,则正四陵台的商AN=25,校点4到 平面BBCC的距商为h.又V44G=/#4g,所以写h-SsG-有×25xS4aG, 3 且S△BaG= 2=3,S48G= 2×3 22=2,所以h=4 2 3 M 8.C【解析】设M(x,y),N(x2,y2),当直线MN斜率不存在时，且OM⊥ON,则点M,N关 x轴对称，取lowy=x,与椭圆方程，+y=联立，得x=,即0P=；当直丝 4 4 y=kx+m 斜率存在时，设方程为y=k红+m,联立 x2+3y2=3 得(3k2+1)x2+6km+3m2-3=0,所 以4=36k2-12m2+12>0,解得m2<3认2+1，由根与系数的关系得， x+为= 3+5=3欢+所以=(+m+m)=-3 6km 3m2-3 3冰2+1，由于 OM1ON,所以x5+=3m-3+m3 3k2+13k2+1 =0,得m2-32+3 ,又OP2为点0到直 4 线MN距离的平方，所以Op=m=3综上，点P在以原点为圆心， 为半径的圆上，则 k2+141 2 7 点石联考高二联考调研测试 数学 4乃的最小值为5-5因 22 二、多选题 BCD【解析)由+。=1，得口2=9，B=4,则a=3,b=2,c=Va-=V5,因为P是椭圆 上一点，所以PF+PF=2a=6,因为PF-PF=2,所以PF=4,PF引=2，故A错 误：△PFE的周长为2a+2c=6+2V5,故B正确：对于C,因为PF+PF=FF，,所以 △PFE为直角三角形，PE,1PR,所以Sam5=2 ×2×4=4，故C正确：对于D,因为 △PF5为直角三角形，所以OP上2FB上V5,故点P在圆x+y=5上，故D正确 10.AD【解析】由展开式中二项式系数之和是64易知n=6,则通项 不=C(子=C(-宁(=0L,23450由=现式系数的定义知二项式系 6-3 3x 数最大的项是第4项，放A正确：令63”三0，则72，故常数项为工=C()= 2 故B错误：令。可得各项系数之和为乃)故C错误：第，三，五，七项系数为正，第 20 二，四，六项系数为负，通过计算可知第三项系数最大，为一，故D正确。 3 2 L.ABD【解析】由题意得半球的体积为二π，圆锥的体积为 π，则该组合体的体积为 3 3 2元+5元=(5+凸)元，故A正确：当Q位于孤B中点时，P0与平面PHB所成角最大，为 一π+ 3 3 3 ，当Q点与平面PAB共面时，PQ与平面PAB所成角最小，为0，则PQ与平面PAB所成角的取 6 值范围为 0 故B正确：当Q位于弧AB中点时，作BM⊥PQ,连接AM,如图所示，则 8 点石联考高二联考调研测试 数学 ∠MB为二面角BPOA的平面角，易知AM=BM= -,在△ABM中，由余弦定理可得 C0s∠AMB=-1>一5：则三面角BP2A小于2元 于，”，则平面PAQ与平面PBQ所成角大于亚 3 故C错误： B 当PQ=√7时，设Q点形成的轨迹是半径为r的圆C,如图所示，在△PCQ中， 人1-F++r产=7，解得7弓则轨迹长度为元，故D正确 三、填空题 12.12【解析】从红色球中任取2个球，放到第一个和第三个位置，有A种方法，此时白色球 取法唯一且位置唯一；从红色球中任取2个球，放到第二个和第四个位置，有A种方法，此时白 色球取法唯一且位置唯一，则共有A·2=12种排法 13.2【解析】设P(xo,y。),则6x。+2y。-9=0,由题意得C(0,0),C2(3,)因为 1 PAP=PC,P-1=x后+y-1,|PB=PC2P-2=(x-3)2+0%-1)2-2=x+y后-1，所 以PMPB,又M为AB中点，N为PA中点，则2MMPB=1PM,则PA=2. MN I 9 点石联考高二联考调研测试 数学 14.451(第一空2分，第二空3分)【解析】a03=C。=45.因为 1-x2)2024=(1+x)202“1-x)2024,左侧展开式x2024的系数为C,右侧展开式x2024的系数为 (C324C4)-(C4·C3)++(C.C324） _(C9242-(C204)}+(C3m4)-(C42++(C84)2=C0,则 1+宽--aio (C}+C-C+C广--C-l a2024.1013 C 四、解答题 15解：1D甲、乙、丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有A兰=120种。 (4分) A (2)从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个 人全排列，则有CAAA=144种排列方案. (8分) (3)由题知，分组情况为三种：1人，1人，4人，分配方案有C。A=90种： 2人，2人，2人，分配方案有CCCA=90种： A 1人，2人，3人，分配方案有CC2CA=360种， 则不同的分配方案共有90+90+360=540（种）. (13分) 16.解：(1)因为线段CD是底面圆的直径，所以CE⊥DE, 可得DE=VCD2-CE2=2√5， (2分) 以点E为坐标原点，EC,ED所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,0),B(2,0,4),P1,0,2),D0,25,0.A0,2N5,4,C(2,0,0) 10绝密★启用前点石联考引 6.若C一心，偶+C+C+…+C的植为 2024年12月份东三省高二联考测研测试 A.286 从2N5 C,219 D.218 数学 7,在正四棱台ACD-AB,CD:中，AB=4,A,B,=2,若存在球)与该正四棱台韵各个面均 本客满分150分，考黄时间12如分钟 相切，别点A,到平面4，B℃的距离为 注意事项： B. e 业品得 1.答卷前，考生务必将自己的生名，准形证号等算写在答明卡上，并将座考证号条彩弱粘君在容 超卡的指定位置，号认结束后，将答题卡交回. &已知M.N是椭+-1上的两个动点.0为半标眼点：OM上ON过点0作Op1MN, 二，同答选样瑟时，选出每小驱谷紫后，用B铅笔起答是卡上封应短日的答装标号涂则.。如需改 动，用檬皮擦干净后，再选涂其勉答蜜标号。 重足为点P,若A,:A,分湖为亮属的左，右慎在，侧A严的慧小值为 3.同答非选择题时，将答案写在答题卡上.习在本试登上无效 认.恒 c 以.3 一，单选要引本大菱共8小丽，每小霞5分，共地分。在每小■所给的四个选丽中，有且只有一项 二，多法题（本大盟共3小盟，每小曹6分，共18分。在每小葡所给的四个诚项中，有多项符合整 是符合醒目要求的！ 日要求。全邵选对的得6分，部分豫对的得品分分，有选情的得0分》 L已知批物线z2-2(少>0》上一点A(一2，).煤点A到龙您点的距离为 头设PF,分别为W+号=1的两个指点：P是调上一点，且PE,一F:=下 入是 C,4 列说法中正编的是 2.已知p:”a=1”,g:“直线1：4a正十y十7=0和直线12：(a十2)z一y十2-0石相重直”，爆D A.PF-3 且△PF,,的周长为6+2 是y的 C△PF:F,的面积为4 D.点P在图+y=5上 A.必要不充分条用 且.光分不必爱条作 ,充要条件 D鹰不充分也不必要条并 1在，G一是广的展开式巾二现式系数之和是4，则下列说肤正胸约是 3.在正三花策A-BCD中，O为△CD外接则圆心，喇A石- A二项式系数最大的虞是第4项 且.服开式没有常数项 A.A形+4记+A丽 3 心各项系数之和为结 B系数最大的项是第多项 c+0+a0 n+号+a ,如图，该儿间体为调锥与华球组域的阻合体，其中调脏轴戴雀为边长为2的正三角，点Q 4,已知m,nEN”且知是，用下列等式正喻的是 为半球雍上的一个动点，所下列说法正确的是 A.Al-A 取g- 人模组合体均体积州产： Cw+1》A:=A n c-c 品.已知圆0+y-16.定点A(2,),P是则上任意一点，线2AP的垂直平分线当直线0P &PQ与平面1B所成角的取植抢需为[，司 交于点Q,则点Q的轨连为 C平面PAQ与平指PQ载角的取的范腾为[，司 A.以A为直径的两 且以？，A为瓜点的形圆 C。以O,A为焦点的双自线 D以)为园点，4为焦点的增物线 山.当Q=时，Q点形成的轨连长度为 1直石联考1离二数学第1灭（共页1 1点石乐考1高二脑学第：天（共黄1 三，镇空题（本大蹈共3小题，每小题5分，共15分》 1以，(15分)产对号阴数“y-十名(>0,6>0的图象位可以看成是以x一0与y一r为帝亚 12,一盒子里有解号12,3的红球和编号1,23的白球各一个，随航取出4个球非一列，测相 间阀色和相同国号均不相邻的排法有 种， 13.过直线1：8x+2y-9-0上一点P作解C:x十￥'一1糊图C:r-3)严+《y-)-2的切 线修双角线设函数了=十是，若指兆图象看酸双线， (1山承双自线C:的焦点量际 线：间点分精有AB若为AB中点，N为PA中点则 (2)得双由线C,烧着量标凰点)填时针旋转，使焦点落到工轴上，得到双由线C:,政双由线 14,杨年三角（帕断卡三角）是我国南求数学家杨解用三角形来 挥角 C的右焦点为F,注F的直线与发自线C的右支交于A,B两点，当i·月=到 直观解释二明式聚数观律的一种方法，如图，记第“行的第馆 11 时，求直线的方醒， 21 1+(-1yu5a… 13方 14 41 专个数为4…则4一 ,0051 站18850581 ☒，解答置（本大共5小疆，共刀分。解答时应写出必要的文字说明，证阴过程或清算步囊】 15,(13分)甲.乙，内等6名同学利用周末到社区进行老恩整务， (18名同学站成一排，若甲，乙，丙自左向右从高到矮排列，则不同的指用方案有多少种？ 18。了分已知三棱维D-A(C底面为边长为1的等边三角形AC,平面ADD⊥平面ABC,平 面ACD⊥平面AC,E为线段BD中点，F为线段CD中点，点P在线段BC上， (2)6名同学站成一排，甲，乙西名同学之可恰有2人的不可排列方案有多少种？ 《1》证明，AD⊥平面ABC: ()6名同学分成三稻（择组至少有一人》，进行三角不可的社区醒务，则不同的分配方案有 少种平 ()设直线PE,PF与平面AC所宽的角分别为，其中。-言m月一子未线段AD的 长度及P点位置 16,(15分)如闭，已知正方形ABCD是网且的转藏面（经过能转轴的假面），点E在感面国周上，。 A4=4,CE=2,点P是E的中点 (11求点A到直线DP的距南： 1以.(17分)已知抛物线Ey一2x(>0)的焦点为F(1,0,过数物线上一点A,任意作两条相 (2)求平面P风CD与平面BDE的类梅的余弦值. 五垂直的弦AB,AC,蓝C过定点P(,2). (1求E的方程： (2)求A点坐标： 争直线A仙有C分精科与y地之于N两点：当四<，水二的最大值 (点石联考)夜二酸学算3真（典1商） 《点有联考)瘦二数学算真〔典1顶)