专题03 空间向量与立体几何（4大基础题型+2大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题03 空间向量与立体几何 1、 基础题型 1、 空间向量的运算 2、 空间向量和立体几何的综合 3、 向量法求线面角 4、 向量法的二面角求法 2、 重难点题型 1、 空间角的综合应用 2、 空间立体几何中的探索性问题 空间向量的运算 1．（23-24高二上·北京·期末）若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（    ） A．10 B．－10 C． D．－ 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知三棱锥中，设，，，为中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京房山·期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京丰台·期末）如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京·期末）如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 空间向量和立体几何综合 1．（23-24高二上·北京丰台·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点.给出下列四个结论： ①存在点，使得平面； ②直线与所成角的最大值为； ③点到平面的距离为； ④点到直线的距离为. 其中所有正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 3．（23-24高二上·北京石景山·期末）如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是 . 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：    ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有 . 5．（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱（含端点）上的一个动点.给出下列四个结论： ①存在符合条件的点，使得平面； ②不存在符合条件的点，使得； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④三棱锥的体积的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . A． 二点到平面的距离问题 1．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 2．（23-24高二上·重庆·期中）如图正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点F.    (1)求证：F是的中点； (2)求点D到平面的距离. 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 向量法求直线与平面的夹角 1．（23-24高二上·北京房山·期末）如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的体积． 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，四边形为矩形，平面平面，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 空向量法求二面角 1．（23-24高二上·北京石景山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角的大小. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 2．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 3．（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在直三棱柱中，. (1)证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 4．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知是正方体，点E为的中点，点F为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 5．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 6．（23-24高二上·北京·期末）如图，已知正方体的棱长为，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 空间角的综合应用 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面，M为PC的中点. (1)求证：平面； (2)求MD与平面ABCD所成角的正弦值； (3)设点N在线段PB上，且，PA的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由. 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）如图，在三棱柱中，中，侧面为正方形，平面平面，，. (1)求证：； (2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 3．（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，侧面底面，为等边三角形，，，点在上，. (1)求证：为中点； (2)设上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 空间立体几何中的探索性问题 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面. 若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量与立体几何 1、 基础题型 1、 空间向量的运算 2、 空间向量和立体几何的综合 3、 向量法求线面角 4、 向量法的二面角求法 2、 重难点题型 1、 空间角的综合应用 2、 空间立体几何中的探索性问题 空间向量的运算 1．（19-20高二上·江苏徐州·期末）若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（    ） A．10 B．－10 C． D．－ 【答案】B 【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0， 解得x＝－10． 故选：B 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为，且， ∴直线的方向向量与平面的法向量平行， 则存在实数使， ∴，解得， 故选：D. 3．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知三棱锥中，设，，，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 故选：C． 4．（23-24高二上·北京房山·期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接，，    因为是的中点，， 所以. 故选：A 5．（23-24高二上·北京丰台·期末）如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，， 所以. 故选：D. 6．（20-21高二上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为D为BC的中点，所以， 又， 所以． 故选:C． 空间向量和立体几何综合 1．（23-24高二上·北京丰台·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点.给出下列四个结论： ①存在点，使得平面； ②直线与所成角的最大值为； ③点到平面的距离为； ④点到直线的距离为. 其中所有正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】连接，如图所示 正方体中有，，则四边形为平行四边形，有， 为棱的中点，当为棱的中点时，有，则， 平面，平面，所以此时平面，结论①正确； 直线与所成角，即直线与所成的角，由图形可知，直线与不可能垂直，结论②错误； 正方体中平面，平面，，， 同理，，， 设点到平面的距离为，由，有， 即，解得，结论③正确； 设点到直线的距离为，中，，解得，结论④正确. 正确结论有3个. 故选：C 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 【答案】D 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设正方体棱长为1， ， 对于A，， 不妨设直线与所成角为， 所以， 当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减， 所以，所以，故A错误； 对于B，由题意，且显然平面的法向量为， 不妨设直线与平面所成角为， 则单调递增，， 所以，所以，故B错误； 对于C，， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以有和，令，解得， 即取平面与平面的法向量分别为， 二面角为锐角，不妨设为， 则， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，， 所以， 所以与不垂直，所以直线与平面不垂直. 3．（23-24高二上·北京石景山·期末）如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设，则， 因为，所以，即，所以①正确； 由，因为的面积为定值，点到平面的距离也是定值， 所以为定值，所以②正确； 又由 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，由，解得，所以③正确； 又因为，，则， 所以不存在点，使得平面，所以④错误. 故选：①②③. 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：    ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有 . 【答案】①③ 【详解】对①：过作，交于，连接，则平面，因为点再上运动，故满足条件的直线有无数条.所以①正确；    对②：当与重合，为中点时，，所以长度取值范围是是错误的； 对③：    因为直线平面，所以到平面的距离为定值，是正方体体对角线的，所以当与重合时，底面积最大，此时的体积最大，为，所以③正确； 对④，当，位置确定时，线段的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应该是一条直线，所以④错误. 故答案为：①③ 5．（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱（含端点）上的一个动点.给出下列四个结论： ①存在符合条件的点，使得平面； ②不存在符合条件的点，使得； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④三棱锥的体积的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】对于①，易知，平面，平面， 所以可得平面， 又为棱（含端点）上的一个动点，当与点重合时，能满足平面，即①正确； 对于②，以为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，假设存在符合条件的点满足； 则易知， 由可得，解得，不满足题意，舍去； 所以不存在符合条件的点，使得，即②正确； 对于③，易知，可得， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为，即③错误； 对于④，易知， 由余弦定理可得，， 所以的面积为， 设平面的一个法向量为， 由可得， 令，则，即； 又，所以点到平面的距离为， 由可得 可得三棱锥的体积， 因此可得三棱锥的体积的取值范围是，即④正确. 故答案为：①②④ 二点到平面的距离问题 1．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）如图：连接，交于，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面， 平面，所以. 所以底面为矩形. 因为为中点，所以、到平面的距离相等，设为. 由， 而，， 中，，，，所以是直角三角形，且， 所以，即为所求. 2．（23-24高二上·重庆·期中）如图正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点F.    (1)求证：F是的中点； (2)求点D到平面的距离. 【详解】（1）连接， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 又， 所以四边形为平行四边形， 故， 故， 又E是棱的中点， 所以F是的中点.    （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，得，故，    点D到平面的距离为. 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，,,,,,, 设平面的法向量为 得，取， 设直线与平面所成角为，所以. （2）因为, 设点到平面的距离为，所以. 向量法求直线与平面的夹角 1．（23-24高二上·北京房山·期末）如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【详解】（1）因为是等边三角形，是的中点， 所以 ．平面， 又平面平面，平面平面， 所以平面； （2）记的中点为，易知两两互相垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则  令，此时 ． 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角为； （3）设点到平面的距离为，， 则 ． 由平面几何知识，易知在直角梯形中， 所以．    2．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，四边形为矩形，平面平面，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）法1： ，， ，又． 四边形为矩形，． 平面平面，且平面平面，平面, 平面．平面，． 平面,平面． 法2：平面平面，且平面平面， 且平面,, 平面．平面，． 由两两垂直，则以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． , ， 由．可得，， 平面，平面． （2）结合上问可知：， 设平面的法向量为 则，． 即，令，则．即． 因为， 设所求角的大小为．则 故直线与平面所成角的大小. 空向量法求二面角 1．（23-24高二上·北京石景山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角的大小. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 在中，分别为的中点，所以且， 在菱形中，因为且， 所以,所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面.    （2）解：选择条件①： 因为平面，平面， 所以. 连接，因为，且， 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为且. 又因为为正三角形且，所以， 则，则， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以，所以二面角的大小为.    选择条件②： 因为平面，且平面，所以. 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 连接，因为且，又因为又为中点，所以， 所以为正三角形且，所以， 则，则， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以，所以二面角的大小为.    2．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，，又，所以两两垂直， 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图， 由， 则， ， 设平面的法向量， 则，令，则，所以， 又因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为平面的法向量，， 所以， 所以点B到平面的距离为. 3．（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在直三棱柱中，. (1)证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面平面， 所以. 又，平面， 所以平面， 又平面，所以. 由，得四边形为正方形，所以. 又，平面， 所以平面. （2）因为平面，所以两两互相垂直， 故以为原点，的方向分别为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，于是. 由（1）可知：是平面的一个法向量. 因为， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 4．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知是正方体，点E为的中点，点F为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【详解】（1）∵是正方体，∴两两垂直， ∴以为x轴，以为y轴，以为z轴如图建系: 设，∴，，，，，，， ∴，， ∴， ∴ （2）平面FCB的法向量， 设平面EFC的法向量，，， ， 令，得，；∴， 设二面角的平面角为，则， ∴二面角的余弦值为. 5．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 因为过的平面分别与棱交于， 所以； （2）因为平面，平面，平面， 所以， 又因为， 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是； 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是， 所以， 因为，所以， 由二面角的大小为， 根据的方向判断可得， 所以，当时，的最大值为. 6．（20-21高二上·北京丰台·期末）如图，已知正方体的棱长为，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为，是的中点， 所以、、、、、、， ，. 设平面的法向量为，由， 令，则，，所以. 因为，所以， 因为平面，所以平面； （2）由（1）知，平面的法向量. 又平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 空间角的综合应用 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面，M为PC的中点. (1)求证：平面； (2)求MD与平面ABCD所成角的正弦值； (3)设点N在线段PB上，且，PA的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由. 【详解】（1）连接交于E，连接. ∵四边形是菱形， ∴E为中点， ∵M是线段中点， ∴ME是中位线， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面.    （2）取中点O，连接、， ∵是等边三角形， ∴. ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形. ∴. ∵平面平面，平面平面，在平面内， ∴平面. ∵平面， ∴⊥， ∴，，两两垂直. ∴以为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以为z轴建立坐标系.如图， ∴，，，，，，， ∴ ∴平面的法向量为. 设与平面所成角为， 则. ∴与平面所成角正弦值为.    （3）点Q在平面内，理由如下： 连接， ∵，∴， ∴， 设平面的法向量为， 则， 令得，， ∴. ∵的中点为Q， ∴，. ∴. ∴. ∵D在平面内， ∴DQ在平面内. ∴点Q在平面内. 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）如图，在三棱柱中，中，侧面为正方形，平面平面，，. (1)求证：； (2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【详解】（1）因为侧面为正方形，所以. 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由（1）知，，，， 故以为原点，分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，. 设，其中. 则， 所以， 又. 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，，所以. 由题意，为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 解得或（舍）. 所以. 3．（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【详解】（1）选择条件①： （1）因为平面平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. 选择条件②：解法同上 （2）选择条件①： 因为平面，平面， 所以. 又因为， 所以. 因此，即两两垂直. 如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， 所以. 由（1），得，且为棱的中点， 所以点为棱的中点.， 故. 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，即. 所以点到平面的距离. 选择条件②： 因为平面，平面 所以， 又因为与相交，平面， 所以平面，平面， 所以， 即两两垂直. 以为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上； （3）选择条件①： 设， 则. 所以. 设直线与平面所成角为， 所以； 化简得，解得， 即. 选择条件②：解法同上 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，侧面底面，为等边三角形，，，点在上，. (1)求证：为中点； (2)设上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【详解】（1）因为四边形是矩形，则， 又因为平面底面，面底面，平面， 所以平面，平面，则， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是等边三角形，所以是中点； （2）分别以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 所以，， 设，则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 显然平面的一个法向量是， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，又，故解得， 所以． 空间立体几何中的探索性问题 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面. 若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为底面是矩形，侧棱底面，可知三线两两垂直， 如图示建立空间直角坐标系，由题意可知，所以, 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则； （2）假设存在点，使得平面，且， 根据（1）可知，则， 若平面，又平面，所以， 而，则不成立，所以平面不成立. 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， , 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， ∴， ∴平面和平面夹角的余弦值为. （3）设，则， 设，则，得， ∴，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 由题意，， ∴，此方程无解， ∴在线段上是不存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$