青岛版八年级上学期期末必刷易错84题（28个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

2024-2025学年青岛版八年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷易错84题（28个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的性质 2 考点2：全等三角形的判定与性质 2 考点3：全等三角形的应用 3 考点4：作图一基本作图 4 考点5：作图一复杂作图 5 考点6：轴对称的性质 7 考点7：坐标与图形变化-对称 7 考点8：轴对称-最短路线问题 8 考点9：翻折变换(折叠问题) 9 考点10：线段垂直平分线的性质 11 考点11：角平分线的性质 11 考点12：等腰三角形的判定与性质 12 考点13：等边三角形的判定与性质 13 考点14：分式的值为零的条件 14 考点15：分式的基本性质 15 考点16：分式的乘除法 15 考点17：最简分式 15 考点18：最简公分母 16 考点19：分式的混合运算 16 考点20：分式的化简求值 17 考点21：比例线段 17 考点22：解分式方程 17 考点23：分式方程的增根 17 考点24：分式方程的应用 18 考点25：平行线的判定与性质 19 考点26：三角形内角和定理 20 考点27：直角三角形全等的判定 20 考点28：推理与论证 21 考点1：全等三角形的性质 1．（2023秋•泗阳县期末）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　 　． 2．（2023秋•夏邑县期末）如图，若△ABC≌△DEF，则下列结论错误的是（　　） A．∠A＝80° B．∠B＝40° C．x＝7cm D．S△ABC＝S△DEF 3．（2023秋•襄汾县期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为 　 　． 考点2：全等三角形的判定与性质 4．（2022春•榆阳区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，S△AEF＝24，则CF的长为（　　） A．1 B．2 C． D．3 5．（2021秋•池州期末）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论： ①∠AFC＝∠C；②DF＝CF；③BC＝DE+DF；④∠BFD＝∠CAF． 其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）． 6．（2022春•南岗区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB＝CD，∠DAC+∠BCA＝180°，∠BAC+∠ACD＝90°，四边形ABCD的面积是18，则CD的长是　 　． 考点3：全等三角形的应用 7．（2023秋•市中区期末）如图，要测量河岸相对的两点A、B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，测量DE的长度就是AB的长，这里△ABC≌△EDC，其根据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 8．（2023秋•南充校级期末）某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（　　） A．① B．② C．③ D．任意一块 9．（2024春•晋中期末）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 考点4：作图一基本作图 10．（2024春•辽阳期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M． ②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F． A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣② 11．（2021秋•兴化市期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H． （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C． （3）线段PH的长度是点P到　 　的距离．　 　是点C到直线OB的距离． （4）线段PC、PH、OC的大小关系是　 　（用“＜”号连接）． 12．（2021春•金寨县期末）根据要求画图，并回答问题． 已知：直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB （1）过点O画直线MN⊥CD； （2）若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数． 考点5：作图一复杂作图 13．（2023春•余江区期末）如图，已知△ABC，请在BC上求作点P，使得△PAC的周长等于AC+BC．（保留作图痕迹，不写作法） 14．（2021秋•井研县期末）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点． （1）画MC⊥OA，垂足为C； （2）画∠AOB的平分线，交MC于D； （3）过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹） 15．（2021秋•佳木斯期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图： （1）作直线AB； （2）作射线BC； （3）连接AD，并将其反向延长至E，使DE＝2AD； （4）找到一点F，使点F到A、B、C、D四点的距离之和最短． 考点6：轴对称的性质 16．（2023秋•青龙县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2023秋•东营期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 　 　． 18．（2022春•珠晖区校级期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 考点7：坐标与图形变化-对称 19．（2024春•武侯区期末）若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　 　，b＝　 　． 20．（2024春•郧西县期末）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，交y轴于点E，则OE＝　 　． 21．（2024春•南通期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），N（n，﹣n），其中n＜0．若在线段AB上存在点Q，使得点N，Q关于正比例函数y＝mx（m≠0）的图象对称，则n的取值范围是 　 　． 考点8：轴对称-最短路线问题 22．（2023秋•福山区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的图象是第一、三象限的角平分线． （1）【实验与探究】：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3），C（﹣2，5）关于直线l的对称点B'，C'的位置，并写出它们的坐标：B'　 　，C′　 　； （2）【归纳与发现】：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任何一点P（m，n）关于第一、第三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为 　 　； （3）【类比与猜想】：坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 　 　； （4）【运用与拓广】：已知两点D（0，﹣3），E（﹣1，﹣4）试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q，使点Q到D，E两点的距离之和最小，请求出这个最小的距离之和． 23．（2023春•常德期末）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　． 24．（2023秋•密云区期末）已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是　 　． 考点9：翻折变换(折叠问题) 25．（2024春•西安区校级期末）在正方形ABCD中，将△ABE、△BCF分别沿BE、BF折叠，使点A、C都与点G重合，则下列结论中正确的有（　　） ①∠EBF＝45°； ②BE＝BF； ③∠ABF＝∠BFE； ④△DEF的周长等于2AB； ⑤∠AEF+∠BFE﹣∠CBF＝180°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．（2024春•嵊州市期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿AB折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若CD∥AE，则图2中∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A．∠2＝3∠1 B．∠1+∠2＝180° C．∠2﹣∠1＝90° D．3∠2﹣2∠1＝360° 27．（2024春•厦门期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与B点重合，点C落在C′点处，折痕为EF．若∠ABE＝20°，那么∠EFB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 考点10：线段垂直平分线的性质 28．（2023秋•廉江市校级期末）如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　） A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5 29．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 30．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，若∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，则∠BEF的度数是 　 　． 考点11：角平分线的性质 31．（2024春•成都期末）如图，在直角△CAB中，∠CAB＝90°，∠CBA与∠ACB的角平分线BE，CF相交于点D，连接EF，则∠BDF＝　 　°；若△BCD的面积为12，△ABC的面积记为y，△AEF的面积记为x，用含x的代数式表示y＝　 　． 32．（2023秋•怀仁市期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为 　 　． 33．（2023秋•东城区期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 考点12：等腰三角形的判定与性质 34．（2023秋•丹江口市期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若EB＝7，DC＝9，ED＝11，则FG＝　 　． 35．（2024春•达川区期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，且AD＝DE，∠ADE＝36°． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若AD＝2，，求EC的长． 36．（2023秋•泸县期末）如图，在△ABC中，∠A＝84°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝6，AC＝8． （1）求∠BOC的度数； （2）求△AMN的周长． 考点13：等边三角形的判定与性质 37．（2022春•东平县校级期末）如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 38．（2022秋•丰满区校级期末）如图，∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（　　） A． B． C．5 D．4 39．（2020秋•武冈市期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F在△ABC内部，点D在AE上，点E在BF上，点F在CD上，且∠BAE：∠CBF：∠ACD＝1：2：3，则△DEF的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 考点14：分式的值为零的条件 40．（2023秋•确山县期末）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝3时，的值为0 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能是整数 D．无论x为何值，的值总为正数 41．（2024春•红古区期末）若分式的值为零，则x的值是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．0 42．（2024春•龙岗区期末）若分式的值为0，则x＝　 　． 考点15：分式的基本性质 43．（2023秋•高阳县期末）若，则A可以是（　　） A． B． C． D． 44．（2023秋•顺义区期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 45．（2023春•遂宁期末）已知，则？＝　 　． 考点16：分式的乘除法 46．（2022秋•阳信县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 47．（2021秋•白云区期末）计算：（　　） A． B． C． D． 48．（2023春•青岛期末）计算：a+a　 　． 考点17：最简分式 49．（2024春•贺州期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 50．（2023秋•邹城市期末）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 51．（2024春•郑州期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 考点18：最简公分母 52．（2022秋•娄星区期末）分式，，的最简公分母是（　　） A．x2﹣1 B．x（x2﹣1） C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1） 53．（2021秋•如皋市期末）分式和的最简公分母是 　 　． 54．（2023秋•永定区期末）分式，的最简公分母是 　 　． 考点19：分式的混合运算 55．（2024春•江北区校级期末）计算题： （1）（m+1）（m﹣1）+m（3﹣m）． （2）． 56．（2024春•渝北区期末）计算： （1）2x（x﹣y）+（x+y）2； （2）． 57．（2023秋•龙马潭区期末）化简：． 考点20：分式的化简求值 58．（2023秋•行唐县期末）若m与n互为倒数，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 59．（2024春•鹤壁期末）若m+n＝2，mn＝1，则的值为 　 　． 60．（2023秋•郾城区期末）若3xm+2y3与﹣xyn是同类项，则m•n的值是 　 　． 考点21：比例线段 61．（2023秋•迎江区校级期末）若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（　　） A．4：3 B．3：4 C．3：2 D．2：3 62．（2021秋•定海区期末）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 　 　． 63．（2023秋•长丰县期末）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 　 　厘米． 考点22：解分式方程 64．（2022秋•清江浦区校级期末）分式方程的解为 　 　． 65．（2023秋•曹县期末）方程的解是 　 　． 66．（2024春•甘孜州期末）方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝1 考点23：分式方程的增根 67．（2024春•濉溪县期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A．0 B．﹣3 C．1 D．﹣2 68．（2024春•滕州市期末）若分式方程有增根，则m＝（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 69．（2023秋•耿马县期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 　． 考点24：分式方程的应用 70．（2024春•荣昌区期末）折扇是荣昌非遗产品．在传统佳节“端午节”来临之际，某特色商店购进A，B两种折扇若干准备节日期间销售，已知A种折扇的单价比B种折扇的单价高20元/把，经测算，若用1200元购进A种折扇的数量与用1000元购进B种折扇的数量相同． （1）求购进A，B两种折扇的单价分别是多少？ （2）该商店对A折扇在进价基础上提高25%、对B折扇在进价基础上提高20%进行定价销售．端午节假期第一天，某外地客人到店预购买这两种折扇20把，计划总额不超过2700元，请你帮店主算一算，在满足该客人要求的情况下，应怎样推荐客人的购买方案，使商店在这次销售活动中所获得的利润最大？最大利润是多少？ 71．（2024春•姜堰区期末）问题：“某中学组织学生去离学校15km的综合实践基地进行综合实践活动，先遣队与大队同时出发，_____，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？” 条件： ①先遣队的速度是大队速度的1.2倍； ②大队的速度比先遣队的速度慢1km/h． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 72．（2024春•新城区校级期末）我校八年级同学为迎接十四岁“青春仪式”，计划由4个小组的志愿者制作720面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名志愿者要比原计划多做5面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有志愿者多少名？ 考点25：平行线的判定与性质 73．（2024春•兴化市期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC，下列判断正确的是（　　） A．若∠BAC＝∠ACD，则AD∥BC B．若AB∥CD，则∠CAD＝∠ACB C．若∠BAD+∠BCD＝180°，则AD∥BC D．若∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，则AB∥CD 74．（2024春•宜城市期末）下面各语句中，错误的个数有（　　） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③相等的角是对顶角； ④经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 75．（2023秋•九龙坡区校级期末）完成下面的证明推理过程，并在括号里填上根据． 如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE和∠ABC，求证：∠FDE＝∠DEB． 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠ADE＝　 　（ 　 　）， ∵DF、BE分别平分∠ADE和∠ABC（已知）， ∴，（ 　 　）， ∴∠ADF＝∠ABE， ∴　 　∥　 　（ 　 　）， ∴∠FDE＝　 　（ 　 　）． 考点26：三角形内角和定理 76．（2023秋•大武口区期末）△ABC的三个内角∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 77．（2024春•管城区校级期末）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 78．（2023秋•秦皇岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　 　． 考点27：直角三角形全等的判定 79．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 80．（2023秋•遵义期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（　　） ①面积相等的两个三角形一定全等； ②周长相等的两个三角形一定全等； ③直角边分别相等的两个直角三角形全等； ④全等三角形对应边上的中线相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 81．（2024春•武冈市期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE．证明Rt△ACD≌Rt△BEF不是利用“HL”的条件是（　　） A．AD＝BF B．AC∥BE C．CD＝EF D．AF＝BD 考点28：推理与论证 82．（2023秋•镇海区校级期末）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 83．（2024春•沭阳县期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 　 　． 84．（2024春•竞秀区期末）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 　 　整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版八年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷易错84题（28个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的性质 2 考点2：全等三角形的判定与性质 3 考点3：全等三角形的应用 5 考点4：作图一基本作图 7 考点5：作图一复杂作图 9 考点6：轴对称的性质 11 考点7：坐标与图形变化-对称 12 考点8：轴对称-最短路线问题 15 考点9：翻折变换(折叠问题) 18 考点10：线段垂直平分线的性质 21 考点11：角平分线的性质 22 考点12：等腰三角形的判定与性质 25 考点13：等边三角形的判定与性质 28 考点14：分式的值为零的条件 30 考点15：分式的基本性质 31 考点16：分式的乘除法 32 考点17：最简分式 33 考点18：最简公分母 34 考点19：分式的混合运算 34 考点20：分式的化简求值 35 考点21：比例线段 36 考点22：解分式方程 37 考点23：分式方程的增根 38 考点24：分式方程的应用 39 考点25：平行线的判定与性质 41 考点26：三角形内角和定理 43 考点27：直角三角形全等的判定 45 考点28：推理与论证 46 考点1：全等三角形的性质 1．（2023秋•泗阳县期末）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　11　． 解：∵一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，这两个三角形全等， ∴x＝6，y＝5， 则x+y＝11． 故答案为：11． 2．（2023秋•夏邑县期末）如图，若△ABC≌△DEF，则下列结论错误的是（　　） A．∠A＝80° B．∠B＝40° C．x＝7cm D．S△ABC＝S△DEF 解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC，AB＝DE，∠A＝∠D，S△ABC＝S△DEF，所以D选项不符合题意， 即x＝8cm，DE＝7cm，∠A＝80°，所以A选项、B选项不符合题意，C选项符合题意． 故选：C． 3．（2023秋•襄汾县期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为 　70°　． 解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B， ∴∠EAC＝∠DAB＝40°， ∴△ABD中，∠B（180°﹣∠BAD）＝70°， ∴∠ADE＝∠B＝70°， 故答案为：70°． 考点2：全等三角形的判定与性质 4．（2022春•榆阳区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，S△AEF＝24，则CF的长为（　　） A．1 B．2 C． D．3 解：∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴S△AEFAE×EF＝3AE＝24， ∴AE＝8， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB， ∴△BEC≌△FEA（AAS）， ∴AE＝CE＝8， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣6＝2， 故选：B． 5．（2021秋•池州期末）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论： ①∠AFC＝∠C；②DF＝CF；③BC＝DE+DF；④∠BFD＝∠CAF． 其中正确的结论是　①③④　（填写所有正确结论的序号）． 解：在△ABC与△AEF中∵AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E ∴△AEF≌△ABC，所以AF＝AC，则∠AFC＝∠C；且BC＝EF＝DE+DF； 由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，可知：△ADE∽△FDB， 由于∠EAF＝∠BAC，所以∠EAD＝∠CAF， 由△ADE∽△FDB可得∠EAD＝∠BFD， 所以∠BFD＝∠CAF． 综上可知：①③④正确． 6．（2022春•南岗区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB＝CD，∠DAC+∠BCA＝180°，∠BAC+∠ACD＝90°，四边形ABCD的面积是18，则CD的长是　6　． 解：在BC的延长线作CE＝AD，如图所示： ∵，∠DAC+∠BCA＝180°， ∠ACE+∠BCA＝180°， ∴∠DAC＝∠ECA， 在△ADC和△CEA中， ∴， ∴△ADC≌△CEA（SAS）， ∴∠ACD＝∠CAE，CD＝AE， 又∵∠BAC+∠ACD＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝90°， 又∠BAC+∠CAE＝∠BAE＝90°， AB＝CD， ∴△ABE是等腰直角三角形，且AB＝AE＝CD， ∴S四边形ABCD＝S△BAE， ∴AB．AE18， 解得：CD＝6， 故答案为6． 考点3：全等三角形的应用 7．（2023秋•市中区期末）如图，要测量河岸相对的两点A、B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，测量DE的长度就是AB的长，这里△ABC≌△EDC，其根据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 解：∵BF⊥AB，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， 故选：C． 8．（2023秋•南充校级期末）某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（　　） A．① B．② C．③ D．任意一块 解：只有①中包含两角及夹边，符合ASA．故选A． 9．（2024春•晋中期末）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 解：∵点E，F分别是AB，AC的三等分点，AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）． 故选：D． 考点4：作图一基本作图 10．（2024春•辽阳期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M． ②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F． A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣② 解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F． ①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D． ②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． 故选：C． 11．（2021秋•兴化市期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H． （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C． （3）线段PH的长度是点P到　直线OA　的距离．　线段PC的长度　是点C到直线OB的距离． （4）线段PC、PH、OC的大小关系是　PH＜PC＜OC　（用“＜”号连接）． 解：（1）如图，直线PH即为所求： （2）如图，直线PC即为所求： （3）线段PH的长度是点P到直线OA的距离；线段PC的长度是点C到直线OB的距离． （4）线段PC、PH、OC的大小关系是PH＜PC＜OC． 故答案为：直线OA，线段PC的长度；PH＜PC＜OC． 12．（2021春•金寨县期末）根据要求画图，并回答问题． 已知：直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB （1）过点O画直线MN⊥CD； （2）若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数． 解：（1）如图． （2）如图：①当F在OM上时， ∵EO⊥AB，MN⊥CD， ∴∠EOB＝∠MOD＝90°， ∴∠MOE+∠EOD＝90°，∠EOD+∠BOD＝90°， ∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝34°； ②当F在ON上时，如图在F′点时， ∵MN⊥CD， ∴∠MOC＝90°＝∠AOC+∠AOM， ∴∠AOM＝90°﹣∠AOC＝56°， ∴∠BON＝∠AOM＝56°， ∴∠EOF′＝∠EOB+∠BON＝90°+56°＝146°， 答：∠EOF的度数是34°或146°． 考点5：作图一复杂作图 13．（2023春•余江区期末）如图，已知△ABC，请在BC上求作点P，使得△PAC的周长等于AC+BC．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示，点P即为所求． 14．（2021秋•井研县期末）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点． （1）画MC⊥OA，垂足为C； （2）画∠AOB的平分线，交MC于D； （3）过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹） 解：（1）如图，MC为所作； （2）如图，OD为所作； （3）如图，DE为所作． 15．（2021秋•佳木斯期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图： （1）作直线AB； （2）作射线BC； （3）连接AD，并将其反向延长至E，使DE＝2AD； （4）找到一点F，使点F到A、B、C、D四点的距离之和最短． 解：（1）如图，直线AB即为所求； （2）如图，射线BC即为所求； （3）如图，点E即为所求； （4）如图，点F即为所求． 考点6：轴对称的性质 16．（2023秋•青龙县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 解：∵点P关于OA的对称点是P1， ∴P1M＝PM． ∵点P关于OB的对称点是P2， ∴PN＝P2N． ∵△PMN的周长＝6cm，P1M＝PM，PN＝P2N， ∴P1P2＝P1M+MN+P2N＝PM+PN+MN＝6cm， 故选：A． 17．（2023秋•东营期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 　10　． 解：∵△ACD与△BCD关于CD所在直线对称， ∴AD＝DE，AC＝CE＝9， ∵AB＝7，AC＝9，BC＝12， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10． 故答案为：10． 18．（2022春•珠晖区校级期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确， 直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误， 故选：D． 考点7：坐标与图形变化-对称 19．（2024春•武侯区期末）若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　1　，b＝　　． 解：因为点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称， 所以点P为线段MN的中点， 所以． 故答案为：1，． 20．（2024春•郧西县期末）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，交y轴于点E，则OE＝　10　． 解：连接OQ，如图， ∵点A（6，6）， ∴OB＝AB＝AC＝OC＝6， ∵点P为AC中点， ∴PA＝PC＝3，P（3，6）， ∵点C关于直线OP的对称点为D， ∴OD＝OC＝OB＝6，∠ODQ＝∠ODP＝∠ACO＝∠ABO＝90°，PD＝PC＝3， ∵OQ＝OQ， ∴Rt△ODQ≌Rt△OBQ（HL）， ∴BQ＝DQ， 设BQ＝DQ＝x，则PQ＝3+x，AQ＝6﹣x， 在直角△APQ中，根据勾股定理可得：AP2+AQ2＝PQ2， ∴32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴Q（6，2）， 设直线PQ的函数表达式为y＝kx+b， 则，解得， ∴直线PQ的函数表达式为； 当x＝0时，y＝10，即OE＝10； 故答案为：10． 21．（2024春•南通期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），N（n，﹣n），其中n＜0．若在线段AB上存在点Q，使得点N，Q关于正比例函数y＝mx（m≠0）的图象对称，则n的取值范围是 　﹣2　． 解：∵N（n，﹣n）， ∴点N在函数y＝﹣x的图象上， ∵n＜0． ∴点N在第二象限． 若m＞0，则y＝﹣x（x＜0）的图象关于直线y＝mx的对称图象与线段AB没有交点， 若m＜0． ①当直线y＝mx与y轴正半轴的夹角是22.5°时，点A关于l3的对称点A′y＝﹣x上． 且OA′＝OA＝2，则A′（，），此时n． ②当直线y＝mx与y轴正半轴的夹角大于22.5°时，y＝﹣x关于l3的对称图象与线段AB没有交点． ③当直线y＝mx与y轴正半轴的夹角小于22.5°时，y＝﹣x关于l3的对称图象与线段AB有交点， 所以当l3与y轴正半轴的夹角大于0°，且小于等于22.5°时，y＝﹣x（x＜0）的图象关于直线y＝mx的对称图象与线段AB有交点． 此时n的取值范围是：﹣2． 故答案为：﹣2． 考点8：轴对称-最短路线问题 22．（2023秋•福山区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的图象是第一、三象限的角平分线． （1）【实验与探究】：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3），C（﹣2，5）关于直线l的对称点B'，C'的位置，并写出它们的坐标：B'　（3，5）　，C′　（5，﹣2）　； （2）【归纳与发现】：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任何一点P（m，n）关于第一、第三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为 　（n，m）　； （3）【类比与猜想】：坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 　（﹣n，﹣m）　； （4）【运用与拓广】：已知两点D（0，﹣3），E（﹣1，﹣4）试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q，使点Q到D，E两点的距离之和最小，请求出这个最小的距离之和． 解：（1）由题意，如图：B′（3，5），C′（5，﹣2）； 故答案为：（3，5）；（5，﹣2）． （2）由题意，坐标平面内任何一点P（m，n）关于第一、第三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（n，m）． 故答案为：（n，m）． （3）由题意，坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（﹣n，﹣m）． 故答案为：（﹣n，﹣m）． （4）由题意，可得，D（0，﹣3）关于直线l的对称点D′的坐标为（﹣3，0），连接D′E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小， ∴QD+QE的最小值为D'E2． 23．（2023春•常德期末）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　6　． 解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值， ∵BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴CE＝BC•cos45°＝66． ∴CM+MN的最小值为6． 故答案为：6． 24．（2023秋•密云区期末）已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是　10　． 解：如图，作点M关于直线l的对称点M'，连接NM'，交直线l于P，连接NP，则MP＝M'P， ∴PM+PN的最小值等于线段M'N的长， ∵OM＝OM'，OP＝OP，PM＝PM'， ∴△OPM≌△OPM'（SSS）， ∴∠POM＝∠POM'＝45°，OM＝OM'＝6， ∴∠NOM'＝90°， ∴Rt△NM'O中，M'N10， ∴PM+PN的最小值是10， 故答案为：10． 考点9：翻折变换(折叠问题) 25．（2024春•西安区校级期末）在正方形ABCD中，将△ABE、△BCF分别沿BE、BF折叠，使点A、C都与点G重合，则下列结论中正确的有（　　） ①∠EBF＝45°； ②BE＝BF； ③∠ABF＝∠BFE； ④△DEF的周长等于2AB； ⑤∠AEF+∠BFE﹣∠CBF＝180°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：由折叠可知，AE＝EG，CF＝FG，∠ABE＝∠GBE，∠CBF＝∠GBF， ∵∠ABC＝∠ABE+∠GBE+∠CBF+∠GBF＝90°， ∴∠EBF＝∠GBE+∠GBF＝45°，故①正确，符合题意； 若BE＝BF，则点G是EF的中点，即EG＝FG， ∴AE＝CF，题目中没有条件直接说明，故②错误，不符合题意； 在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝CD， ∴∠ABF＝∠CFB＝∠BFE，故③正确，符合题意； ∵EF＝EG+FG＝AE+CF； ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝2AB； 故④正确，符合题意； 在四边形ABGE中，∠A＝∠BGE＝90°， ∴∠AEF+∠ABG＝180°， ∵∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝∠BFE﹣∠CBF， ∴∠AEF+∠BFE﹣∠CBF＝180°，故⑤正确，符合题意； 综上，共有4个正确； 故选：C． 26．（2024春•嵊州市期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿AB折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若CD∥AE，则图2中∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A．∠2＝3∠1 B．∠1+∠2＝180° C．∠2﹣∠1＝90° D．3∠2﹣2∠1＝360° 解：如图：延长CA到点G， 由折叠得：∠EAB＝∠BAH＝∠HAG∠EAG，∠DCF＝2∠1， ∴∠DCA＝180°﹣∠DCF， ∵CD∥AE， ∴∠DCA＝∠EAG＝180°﹣∠DCF， ∴∠EAB∠EAG（180°﹣∠DCF）（180°﹣2∠1）， 由题意得：AB∥EM， ∴∠2+∠EAB＝180°， ∴∠2（180°﹣2∠1）＝180°， ∴3∠2﹣2∠1＝360°， 故选：D． 27．（2024春•厦门期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与B点重合，点C落在C′点处，折痕为EF．若∠ABE＝20°，那么∠EFB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵∠ABE＝20°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°， ∴∠DEB＝180°﹣∠AEB＝110°， 由折叠得：∠DEF∠DEB＝55°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝55°， 故选：C． 考点10：线段垂直平分线的性质 28．（2023秋•廉江市校级期末）如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　） A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5 解：∵ED是AB的垂直平分线，AD＝3， ∴BD＝AD＝3，EA＝EB，AB＝2AD＝6， ∵△ACE的周长为9.5 ∴AC+AE+EC＝9.5， ∴AC+BE+EC＝9.5， ∴AC+BC＝9.5， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝9.5+6＝15.5， 故选：D． 29．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD ＝AB+AD+CD ＝AB+AC ＝3+5 ＝8， 故选：C． 30．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，若∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，则∠BEF的度数是 　58°　． 解：∵EF是BC的垂直平分线， ∴∠BFE＝90°，EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB， ∵∠BAC＝60°，∠ACE＝24°， ∴∠ABD+∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC﹣∠ACE＝96°， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝32°， ∴∠BEF＝90°﹣∠EBC＝58°， 故答案为：58°． 考点11：角平分线的性质 31．（2024春•成都期末）如图，在直角△CAB中，∠CAB＝90°，∠CBA与∠ACB的角平分线BE，CF相交于点D，连接EF，则∠BDF＝　45　°；若△BCD的面积为12，△ABC的面积记为y，△AEF的面积记为x，用含x的代数式表示y＝　x+24　． 解：由题意，∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°． ∵BE、CF分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠CBD∠ABC，∠BCD∠ACB． ∴∠CBD+∠BCD∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝45°． ∵∠BDF是△BCD的一个外角， ∴∠BDF＝∠CBD+∠BCD＝45°． 如图，作点F关于BE的对称点F'，点E关于CF的对称点E'， ∵∠FBE＝∠CBE，∠ECF＝∠BCF， ∴点E、F在BC上． ∵∠BDF＝45°， ∴∠CDE＝45°． 由轴对称的性质可知，DF＝DF'， ∠BDF＝∠BDF'＝45°，∠CDE＝∠CDE'＝45°，S△BDF＝S△BDF'，S△CDE＝S△CDE'， ∴∠EDF＝∠CDE． 过E作EG⊥CF于点G，过E作EH⊥DF'， 在△EGD和△EHD中， ， ∴△EGD≌△EHD（AAS）． ∴EG＝EH． ∵S△DEFDF•EG，S△DEFDF'•E'H， ∴S△DEF＝S△EDF'． ∴S△BCD＝S△BDF+S△EDF+S△CDE ＝S△BDF+S△DEF+S△BDF ＝12． ∴S四边形BCEF＝24． ∵S△ABC＝S△AEF+S四边形BCEF， ∴y＝x+24． 故答案为：45，x+24． 32．（2023秋•怀仁市期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为 　2　． 解：如图：当DE⊥AB时，DE有最小值， ∵AD＝2CD，AC＝6， ∴CDAC＝2， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC， ∴DE＝DC＝2， ∴DE的最小值为2， 故答案为：2． 33．（2023秋•东城区期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 解：如图： ∵AD平分∠BAC，点H在AD上， ∴点H到AB、AC的距离相等， ∵BE是AC边上的中线， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积， ∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积， ∴△ABH的面积＝△CBH的面积， ∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点， 故选：A． 考点12：等腰三角形的判定与性质 34．（2023秋•丹江口市期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若EB＝7，DC＝9，ED＝11，则FG＝　5　． 解：∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠BCF， ∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABG＝∠GBC，∠ACF＝∠BCF， ∴∠ABG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF， ∴EB＝EG＝7，DF＝CD＝9， ∵DE＝11， ∴FG＝EG+DF﹣DE＝7+9﹣11＝5， 故答案为：5． 35．（2024春•达川区期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，且AD＝DE，∠ADE＝36°． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若AD＝2，，求EC的长． （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠EBC＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC＝72°， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）＝72°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠C＝72°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：由（1）可得：∠DAE＝∠DEA＝∠C＝72°， ∵∠AED＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE， ∵∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝36°， ∴∠BAC＝∠ABE， ∴AE＝BE1， ∵∠ADE＝36°， ∴∠ABD＝∠ADE＝36°， ∴AB＝AD＝2， ∵AB＝AC， ∴AC＝AB＝AD＝2， ∴EC＝AC﹣AE＝2﹣（1）＝3， ∴EC的长为3． 36．（2023秋•泸县期末）如图，在△ABC中，∠A＝84°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝6，AC＝8． （1）求∠BOC的度数； （2）求△AMN的周长． 解：（1）∵∠A＝84°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝96°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB＝48°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝132°， ∴∠BOC的度数为132°； （2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠MBO，∠OCB＝∠NCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC， ∴MO＝MB，NC＝NO， ∵AB＝6，AC＝8， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+CN+AN ＝AB+AC ＝6+8 ＝14， ∴△AMN的周长为14． 考点13：等边三角形的判定与性质 37．（2022春•东平县校级期末）如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 解：如图：连接AC， 由题意得：AB＝BC＝40海里，BE∥AD，∠BAD＝40°， ∴∠EBA＝∠BAD＝40°， ∵∠CBE＝20°， ∴∠CBA＝∠CBE+∠EBA＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝40海里， ∴A、C两地相距40海里， 故选：B． 38．（2022秋•丰满区校级期末）如图，∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（　　） A． B． C．5 D．4 解：∵点O为线段BD的中点，BD＝10， ∴BOBD＝5， 由题意得：OB＝OE， ∵∠ABC＝60°， ∴△BOE是等边三角形， ∴BE＝OB＝5， 故选：C． 39．（2020秋•武冈市期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F在△ABC内部，点D在AE上，点E在BF上，点F在CD上，且∠BAE：∠CBF：∠ACD＝1：2：3，则△DEF的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解：∵∠BAE：∠CBF：∠ACD＝1：2：3， ∴设∠BAE＝x，则∠CBF＝2x，∠ACD＝3x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝60°﹣2x， ∠FCB＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣3x， ∠CAD＝∠CAB﹣∠BAE＝60°﹣x， ∴∠DEF＝∠BAE+∠ABE＝x+60°﹣2x＝60°﹣x， ∠DFE＝∠FBC+∠FCB＝2x+60°﹣3x＝60°﹣x， ∠EDF＝∠ACD+∠DAC＝3x+60°﹣x＝60°+2x， ∴∠DEF＝∠DFE≠∠EDF， ∴△DEF的形状是等腰三角形， 故选：A． 考点14：分式的值为零的条件 40．（2023秋•确山县期末）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝3时，的值为0 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能是整数 D．无论x为何值，的值总为正数 解；A．当x＝3时，无意义，故A不符合题意． B．当x≠0时，有意义，故B不符合题意． C．当x＝4、0、﹣2、﹣6时，是整数，故C不符合题意． D．根据偶次方的非负性，得x2+1＞0，即无论x为何值，的值总为正数，故D符合题意． 故选：D． 41．（2024春•红古区期末）若分式的值为零，则x的值是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．0 解：∵|x|﹣2＝0， ∴x＝±2， 当x＝2时，x﹣2＝0，分式无意义． 当x＝﹣2时，x﹣2≠0， ∴当x＝﹣2时分式的值是0． 故选：C． 42．（2024春•龙岗区期末）若分式的值为0，则x＝　﹣2　． 解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0， 解得x＝±2，且x≠2， ∴x＝﹣2， 故答案为：﹣2 考点15：分式的基本性质 43．（2023秋•高阳县期末）若，则A可以是（　　） A． B． C． D． 解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 44．（2023秋•顺义区期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 解：把x和y都扩大3倍后，原式为•，约分后缩小为原来的． 故选：A． 45．（2023春•遂宁期末）已知，则？＝　2a2+3a﹣14　． 解：由题意得：（a﹣2）（2a+7）＝2a2+7a﹣4a﹣14＝2a2+3a﹣14， 故答案为：2a2+3a﹣14． 考点16：分式的乘除法 46．（2022秋•阳信县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 解：． 故选：A． 47．（2021秋•白云区期末）计算：（　　） A． B． C． D． 解：原式， 故选：C． 48．（2023春•青岛期末）计算：a+a　a+1　． 解：由题意，原式＝a+1． 故答案为：a+1． 考点17：最简分式 49．（2024春•贺州期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，是最简分式，符合题意； D、，故不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 50．（2023秋•邹城市期末）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、，故A不是最简分式，不符合题意； B、，故B不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故D不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 51．（2024春•郑州期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 解；A、是最简二次根式，符合题意； B、1，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 考点18：最简公分母 52．（2022秋•娄星区期末）分式，，的最简公分母是（　　） A．x2﹣1 B．x（x2﹣1） C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1） 解：，，的最简公分母是x（x2﹣1）， 故选：B． 53．（2021秋•如皋市期末）分式和的最简公分母是 　x（x﹣2）　． 解：，则分式，的分母分别是（x﹣2）、x（x﹣2），所以它们的最简公分母是x（x﹣2）． 故答案为：x（x﹣2）． 54．（2023秋•永定区期末）分式，的最简公分母是 　x（x+1）　． 解：∵ ∴分式，的最简公分母是x（x+1）． 故答案为：x（x+1）． 考点19：分式的混合运算 55．（2024春•江北区校级期末）计算题： （1）（m+1）（m﹣1）+m（3﹣m）． （2）． 解：（1）（m+1）（m﹣1）+m（3﹣m） ＝m2﹣1+3m﹣m2 ＝﹣1+3m； （2） • • • ． 56．（2024春•渝北区期末）计算： （1）2x（x﹣y）+（x+y）2； （2）． 解：（1）2x（x﹣y）+（x+y）2 ＝2x2﹣2xy+x2+2xy+y2 ＝3x2+y2； （2） • • ． 57．（2023秋•龙马潭区期末）化简：． 解： • • ． 考点20：分式的化简求值 58．（2023秋•行唐县期末）若m与n互为倒数，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解：∵m与n互为倒数， ∴mn＝1， ∴ ＝2+2﹣2﹣2 ＝0； 故选：A． 59．（2024春•鹤壁期末）若m+n＝2，mn＝1，则的值为 　2　． 解：∵m+n＝2，mn＝1， ∴2， 故答案为：2． 60．（2023秋•郾城区期末）若3xm+2y3与﹣xyn是同类项，则m•n的值是 　﹣9　． 解：∵3xm+2y3与﹣xyn是同类项， ∴m+2＝1，n＝3， 解得：m＝﹣1，n＝3， ∴m•n ＝﹣13 ＝﹣1×3×3 ＝﹣9， 故答案为：﹣9． 考点21：比例线段 61．（2023秋•迎江区校级期末）若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（　　） A．4：3 B．3：4 C．3：2 D．2：3 解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即， ∵a：b＝3：2， ∴b：c＝3：2． 故选：C． 62．（2021秋•定海区期末）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 　6　． 解：设线段a和b的比例中项为c， ∵a＝9，b＝4， ∴， ∴c2＝ab＝4×9＝36， 解得：c＝±6， 又∵线段不能是负数， ∴﹣6舍去， ∴c＝6， 故答案为：6． 63．（2023秋•长丰县期末）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 　4　厘米． 解：∵线段b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac＝16， 解得b＝±4， 又∵线段是正数， ∴b＝4． 故答案为4． 考点22：解分式方程 64．（2022秋•清江浦区校级期末）分式方程的解为 　x＝6　． 解：， x＝2（x﹣3）， 解得：x＝6， 检验：当x＝6时，x（x﹣3）≠0， ∴x＝6是原方程的根， 故答案为：x＝6． 65．（2023秋•曹县期末）方程的解是 　x　． 解：， 2（3x+2）＝3（x﹣2）， 解得：x， 检验：当x时，（x﹣2）（3x+2）≠0， ∴x是原方程的根． 66．（2024春•甘孜州期末）方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝1 解：， 2x＝x﹣3， 解得：x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，x（x﹣3）≠0， ∴x＝﹣3是原方程的根， 故选：A． 考点23：分式方程的增根 67．（2024春•濉溪县期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A．0 B．﹣3 C．1 D．﹣2 解：， 1+2x+m＝x﹣1， 解得：x＝﹣2﹣m， ∵方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， 把x＝1代入方程x＝﹣2﹣m中得：1＝﹣2﹣m， 解得：m＝﹣3， 故选：B． 68．（2024春•滕州市期末）若分式方程有增根，则m＝（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 解：， x+3＝2（x﹣5）+m， 解得：x＝13﹣m， ∵分式方程有增根， ∴x﹣5＝0， ∴x＝5， 把x＝5代入x＝13﹣m中， 5＝13﹣m， 解得：m＝8， 故选：A． 69．（2023秋•耿马县期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　﹣2　． 解：， x﹣1＝m﹣2（x+1）， 解得：x， ∵分式方程有增根， ∴x+1＝0， ∴x＝﹣1， 把x＝﹣1代入x中得：1， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 考点24：分式方程的应用 70．（2024春•荣昌区期末）折扇是荣昌非遗产品．在传统佳节“端午节”来临之际，某特色商店购进A，B两种折扇若干准备节日期间销售，已知A种折扇的单价比B种折扇的单价高20元/把，经测算，若用1200元购进A种折扇的数量与用1000元购进B种折扇的数量相同． （1）求购进A，B两种折扇的单价分别是多少？ （2）该商店对A折扇在进价基础上提高25%、对B折扇在进价基础上提高20%进行定价销售．端午节假期第一天，某外地客人到店预购买这两种折扇20把，计划总额不超过2700元，请你帮店主算一算，在满足该客人要求的情况下，应怎样推荐客人的购买方案，使商店在这次销售活动中所获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）设购进A折扇的单价是x元，则购进B折扇的单价是（x﹣20）元， 根据题意，可得， ∴x＝120（元）． 经检验，x＝120是该分式方程的解， ∴x﹣20＝100（元）． 答：购进A折扇的单价是120元，则购进B折扇的单价是100元； （2）设推荐客人的购买A折扇m把，则购进B折扇（20﹣m）把， 根据题意，外地客人计划总额不超过2700元， 则有120×（1+25%）m+100×（1+20%）（20﹣m）≤2700， 解得m≤10， 设商店在这次销售活动中所获得的利润为w， 则有w＝120×25%m+100×20%（20﹣m）＝10m+400， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝10时，即推荐客人的购买A折扇10把，购进B折扇10把， 使商店在这次销售活动中所获得的利润最大， 最大利润为w最大＝10×10+400＝500（元）． 71．（2024春•姜堰区期末）问题：“某中学组织学生去离学校15km的综合实践基地进行综合实践活动，先遣队与大队同时出发，_____，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？” 条件： ①先遣队的速度是大队速度的1.2倍； ②大队的速度比先遣队的速度慢1km/h． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 解：选择①先遣队的速度是大队速度的1.2倍， 设大队的速度为x km/h，则先遣队的速度为1.2x km/h， 由题意得：0.5， 解得：x＝5，经检验x＝5是原分式方程的解． ∴1.2x＝6， 答：先遣队的速度为6km/h，大队的速度为5km/h． ②大队的速度比先遣队的速度慢1km/h， 设大队的速度为y km/h，则先遣队的速度为（y+1）km/h， 由题意得：0.5， 解得：y＝5，经检验y＝5是原分式方程的解． ∴y+1＝6， 答：先遣队的速度为6km/h，大队的速度为5km/h． 故答案为：①，先遣队的速度为6km/h，大队的速度为5km/h或②，先遣队的速度为6km/h，大队的速度为5km/h． 72．（2024春•新城区校级期末）我校八年级同学为迎接十四岁“青春仪式”，计划由4个小组的志愿者制作720面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名志愿者要比原计划多做5面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有志愿者多少名？ 解：设每个小组有志愿者x名， 由题意得：5， 解得：x＝12， 当x＝12时，12x≠0， ∴x＝12是分式方程的根， 答：每个小组有志愿者12名． 考点25：平行线的判定与性质 73．（2024春•兴化市期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC，下列判断正确的是（　　） A．若∠BAC＝∠ACD，则AD∥BC B．若AB∥CD，则∠CAD＝∠ACB C．若∠BAD+∠BCD＝180°，则AD∥BC D．若∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，则AB∥CD 解：A、若∠BAC＝∠ACD，则AB∥DC，故A不符合题意； B、若AD∥BC，则∠CAD＝∠ACB，故B不符合题意； C、若∠BAD+∠B＝180°，则AD∥BC，故C不符合题意； D、∵∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠BAD+∠DCB+∠B+∠D＝360°， ∴2∠BAD+2∠D＝360°， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴AB∥CD， 故D符合题意； 故选：D． 74．（2024春•宜城市期末）下面各语句中，错误的个数有（　　） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③相等的角是对顶角； ④经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故①不正确； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故②不正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③不正确； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故④不正确； 所以，上面各语句中，错误的个数有4个， 故选：D． 75．（2023秋•九龙坡区校级期末）完成下面的证明推理过程，并在括号里填上根据． 如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE和∠ABC，求证：∠FDE＝∠DEB． 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠ADE＝　∠ABC　（ 　两直线平行，同位角相等　）， ∵DF、BE分别平分∠ADE和∠ABC（已知）， ∴，（ 　角平分线的定义　）， ∴∠ADF＝∠ABE， ∴　DF　∥　BE　（ 　同位角相等，两直线平行　）， ∴∠FDE＝　∠DEB　（ 　两直线平行，内错角相等　）． 解：∵DE∥BC（已知）， ∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）， ∵DF、BE分别平分∠ADE和∠ABC（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴∠ADF＝∠ABE， ∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：∠ABC；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；DF；BE；同位角相等，两直线平行；∠DEB；两直线平行，内错角相等． 考点26：三角形内角和定理 76．（2023秋•大武口区期末）△ABC的三个内角∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k， 由题意得k+2k+3k＝180°， 解得k＝30°， ∴∠C＝3×30°＝90°， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：C． 77．（2024春•管城区校级期末）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 78．（2023秋•秦皇岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝　38°　． 解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处， ∴∠CED＝∠A， ∵∠ACB＝90°，∠B＝26°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣26°＝64°， ∴∠CED＝64°， ∴∠BDE＝64°﹣26°＝38°． 故答案为：38°． 考点27：直角三角形全等的判定 79．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意； B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意； D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意； 故选：A． 80．（2023秋•遵义期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（　　） ①面积相等的两个三角形一定全等； ②周长相等的两个三角形一定全等； ③直角边分别相等的两个直角三角形全等； ④全等三角形对应边上的中线相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①∵面积相等的两个三角形不一定全等， ∴该结论不正确，不符合题意； ②∵周长相等的两个三角形不一定全等， ∴该结论不正确，不符合题意； ③∵直角边分别相等的两个直角三角形全等， ∴该结论正确，符合题意； ④∵全等三角形对应边上的中线相等， ∴该结论正确，符合题意， 综上所述：正确的结论有③④，共2个， 故选：B． 81．（2024春•武冈市期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE．证明Rt△ACD≌Rt△BEF不是利用“HL”的条件是（　　） A．AD＝BF B．AC∥BE C．CD＝EF D．AF＝BD 解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE． ∴∠ADC＝∠EFB＝90°， ∵AC＝BE， ∴补充：AD＝BF或CD＝EF， 可得：Rt△ACD≌Rt△BEF（HL），故A，C不符合题意； 补充AF＝BD， ∴AD＝BF， ∴Rt△ACD≌Rt△BEF（HL），故D不符合题意； 补充AC∥BE， ∴∠A＝∠B， ∴Rt△ACD≌Rt△BEF（AAS），故B符合题意； 故选：B． 考点28：推理与论证 82．（2023秋•镇海区校级期末）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道， 由题意得，， ①×2﹣②得，z﹣x＝20， 所以，难题比容易题多20道． 故选：B． 83．（2024春•沭阳县期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 　1　． 解：若小明第一次取走1根，小丽也取走1根，小明第二次取2根，小丽不论取走1根还是两根，小明都将取走最后一根， 若小明第一次取走1根，小丽取走2根，小明第二次取1根，小丽不论取走1根还是两根，小明都将取走最后一根，由小明先取，且小明获胜是必然事件， 故答案为：1． 84．（2024春•竞秀区期末）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 　9　整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 解：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11； 232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60． 将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 故答案为：9．、 （1）979﹣（9+7+9）＝944＝9×104，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （2）（100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝99a+9b＝9（11a+b）， ∵a，b为整数， ∴9（11a+b）能被9整除， ∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$