青岛版八年级上学期期末必刷压轴84题（28个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

2024-2025学年青岛版八年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷压轴84题（28个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的性质 2 考点2：全等三角形的判定与性质 4 考点3：全等三角形的应用 6 考点4：作图一基本作图 9 考点5：作图一复杂作图 11 考点6：轴对称的性质 13 考点7：坐标与图形变化-对称 15 考点8：轴对称-最短路线问题 16 考点9：翻折变换(折叠问题) 21 考点10：线段垂直平分线的性质 25 考点11：角平分线的性质 27 考点12：等腰三角形的判定与性质 29 考点13：等边三角形的判定与性质 32 考点14：分式的值为零的条件 35 考点15：分式的基本性质 35 考点16：分式的乘除法 36 考点17：最简分式 37 考点18：最简公分母 38 考点19：分式的混合运算 39 考点20：分式的化简求值 40 考点21：比例线段 40 考点22：解分式方程 41 考点23：分式方程的增根 43 考点24：分式方程的应用 44 考点25：平行线的判定与性质 45 考点26：三角形内角和定理 47 考点27：直角三角形全等的判定 49 考点28：推理与论证 50 考点1：全等三角形的性质 1．（2020秋•让胡路区校级期末）如图，线段AD、BE相交于点C，且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点． 求证：（1）ME＝BN；　 （2）ME∥BN． 证明：（1）如图，连接BM、EN， ∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC，BC＝EC， ∵点M、N分别为线段AC、CD的中点， ∴CM＝CN， ∴四边形MBNE是平行四边形， ∴ME＝BN； （2）∵四边形MBNE是平行四边形， ∴ME∥BN． 2．（2020春•仁寿县校级期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F， （1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　3　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°， ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5， ∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3， 故答案为：3； （2）①∵△ABC≌△DEB ∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°； ②∵∠AEF是△DBE的外角， ∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°， ∵∠AFD是△AEF的外角， ∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°． 3．（2021春•郓城县期末）如图，线段AD、BE相交于点C，且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点． 求证：（1）ME＝BN； （2）ME∥BN． 证明：（1）连接BM、EN， ∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC，BC＝EC， ∵点M、N分别为线段AC、CD的中点， ∴CM＝CN， ∴四边形MBNE是平行四边形， ∴ME＝BN； （2）∵四边形MBNE是平行四边形， ∴ME∥BN． 考点2：全等三角形的判定与性质 4．（2023秋•娄星区期末）如图所示，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADE． 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 5．（2023秋•通榆县期末）如图，AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，CE＝BF，连接AD交EF于点O，猜想O为哪些线段的中点？请选择其中一种结论证明． 解：点O为AD、EF、BC的中点． 证明：连接AF，DE， ∵CE＝BF， ∴CE+EF＝BF+EF， ∴CF＝BE． 在Rt△AEB和Rt△DFC中， ， BE＝CF， ∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL）， ∴AE＝DF． ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， ∴四边形AEDF为平行四边形． ∴点O为AD、EF的中点． 又∵CE＝BF， ∴BO＝CO， ∴点O为BC的中点． 故点O为AD、EF、BC的中点． 6．（2023秋•蓝山县期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC． 证明：∵点E，F在BC上，BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE； 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）． 考点3：全等三角形的应用 7．（2023秋•玉林期末）如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 解：相等． 理由： ∵∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB（对顶角）， ∴由内角和定理，得∠C＝∠D， 又∵∠CAB＝∠DBA＝90°， 在△CAB和△DBA中， ∴△CAB≌△DBA（AAS）， ∴CA＝DB， ∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等． 8．（2023秋•四平期末）如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度． 解：如图，延长CE交AB于F， 则∠A+∠1＝90°，∠C+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠A＝∠C， 在△ABD和△CDE中， ， ∴△ABD≌△CDE（AAS）， ∴DB＝DE， ∵DE＝2米， ∴DB的长度是2米． 9．（2021秋•平舆县期末）一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE． 解：由题意得：∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵∠BEC＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∵AD＝80cm， ∴CE＝80cm， ∵DE＝140cm， ∴DC＝60cm， ∴BE＝60cm． 考点4：作图一基本作图 10．（2024春•法库县期末）陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） 小淇同学作法如下： （1）在直线l上任意取一点C，连接AC； （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示； （4）作直线AB． 则直线AB就是所要作图形． 你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明． 解：小淇同学作法正确． 理由如下：连接OB． ∵O为AC中点，以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B， ∴OA＝OC＝OB． ∴∠CAB＝∠ABO，∠ACB＝∠CBO， 又∵∠CAB+∠ABO+∠ACB+∠CBO＝180°， ∴∠ABO+∠CBO＝90°． ∴∠ABC＝90°， 即AB⊥l． 11．（2023秋•梁溪区期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． （1）过点C画直线AB的平行线（不写作法，下同）； （2）过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H． （3）线段　AG　的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点　H　到直线　AB　的距离． （4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段AG、AH的大小关系为AG　＜　AH． 解：（1）如图所示，直线CD即为所求作的直线AB的平行线； （2）如图所示； （3）AG，H、AB； （4）＜． 12．（2024春•浦东新区期末）如图，已知∠AOB＝120°．点C在∠AOB的内部，且∠BOC＝30°；OP是∠AOB的角平分线． （1）作∠BOC； （2）尺规作图：作∠AOB的角平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹．） （3）若射线OC、OA分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示　北偏西30°　方向； （4）在图中找出与∠AOP互余的角是　∠BOC和∠COP　； （5）在图中找出与∠AOB互补的角是　∠AOP和∠BOP　． 解：（1）以OB为边，在∠AOB的内部画∠BOC＝30°，如图所示； （2）画出∠AOB的角平分线OP如图所示； （3）把射线OC、OA看作方向标，分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示北偏西30°方向； （4）∠BOC＝30°，∠AOP＝∠BOP＝60°，则∠C0P＝60°﹣30°＝30°， 所以可得：∠AOP+∠BOC＝90°，∠AOP+∠COP＝90° 所以∠AOP的余角是∠BOC和∠COP； （5）因为∠AOB＝120°所以∠AOB+∠AOP＝180°，∠AOB+∠BOP＝180°， 所以∠AOB的补角是：∠AOP和∠BOP． 故答案为：（3）北偏西30°；（4）∠BOC和∠COP；（5）∠AOP和∠BOP． 考点5：作图一复杂作图 13．（2024春•渭滨区期末）尺规作图（不写作法，请保留作图痕迹） 已知：点P为直线AB外一点，求作：直线PQ，使得PQ∥AB． 解：如图所示： 直线PQ即为所求． 14．（2023秋•山阳县期末）已知：如图，已知线段a、b，请你用直尺和圆规作一条线段，使它等于a+b． 解：如图： 则线段BO即为所求． 15．（2023秋•邓州市期末）如图，已知平面内两点A、B． （1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①连接AB． ②在线段AB的延长线上取点C，使BC＝AB． ③在线段BA的延长线上取点D，使AD＝AC． （2）图中若AB＝6，则AC的长度为 　12　，BD的长度为 　18　． 解：（1）如图所示； （2）∵AB＝BC， ∴AC＝2AB＝2×6＝12． ∵AD＝AC＝12， ∴BD＝AD+AB＝12+6＝18． 故答案为：12；18． 考点6：轴对称的性质 16．（2022秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E是AC的中点，且点B与点E关于直线l对称，EF⊥BC于F，若CF＝2，EF＝3，直线l与BC交于点D，求BD长． 解：如图，连接DE， ∵点B与点E关于直线l对称， ∴BD＝DE， ∵BC＝8，CF＝2， ∴DF＝8﹣2﹣BD＝6﹣BD， ∵EF⊥BC于F，EF＝3， ∴DF2+EF2＝DE2，即（6﹣BD）2+32＝BD2，解得BD． 17．（2023秋•余姚市期末）如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是　30°或150°　． 解：分两种情况： 如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE， 则AE＝DEBC， 即BC＝2AE＝2DE， 又∵BC＝2AD， ∴AD＝AE＝DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， 又∵BC垂直平分AD， ∴∠AEC＝30°， 又∵BE＝AE， ∴∠ABC∠AEC＝15°， ∴∠ABD＝2∠ABC＝30°； 如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°， 又∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD＝150°， 故答案为：30°或150°． 18．（2023秋•灵山县校级期末）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在BC边上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝85°，则∠MGE的度数为（　　） A．45° B．55° C．85° D．95° 解：由题意知：∠B＝∠MGN，∠C＝∠EGF， ∵∠A＝180°﹣（∠B+∠C），∠MGE＝180°﹣∠MGN﹣∠EGF＝180°﹣（∠B+∠C）， ∴∠MGE＝∠A， ∵∠A＝85°， ∴∠MGE＝85°； 故选：C． 考点7：坐标与图形变化-对称 19．（2023秋•思明区校级期末）我们给出如下的定义：点A（x，y）先关于x轴对称得到点A'，再将点A'关于直线y＝m（直线上各点的纵坐标都为m）对称得点A1，则称点A1为点A关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点P（2，3）关于直线x＝m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点为P2，则当△P1Q1P2的面积为1时，m＝　1或3　． 解：根据题意得，P1（2，2m+3），Q1（2，2m+2），P2（2m﹣2，3）， ∴P1Q1＝|2m+3﹣2m﹣2|＝1，PP2＝|2m﹣2﹣2|＝|2m﹣4|， ∵△P1Q1P2的面积为1， ∴1×|2m﹣4|＝1， 解得m＝1或3． 故答案为：1或3． 20．（2023秋•九台区期末）点A（﹣3，5）与B（5，5）关于某一直线对称，则对称轴是（　　） A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1 解：∵点A（﹣3，5）与B（5，5），两点纵坐标相等， ∴两点关于过线段中点的直线对称，即关于直线x1对称． 故选：C． 21．（2023秋•内黄县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2022次变换后所得的点A的坐标是（　　） A．（﹣m，﹣n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（m，n） 解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限， 点A第二次关于x轴对称后在第四象限， 点A第三次关于y轴对称后在第三象限， 点A第四次关于x轴对称后在第二象限， 即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，其坐标为（﹣m，﹣n）． 故选：A． 考点8：轴对称-最短路线问题 22．（2024春•泸县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，点E的坐标为 　（，）　． 解：过点C作CF⊥BC，使CF＝AB，连接EF，BF， ∵AO⊥BC ∴CF∥AO， ∴∠FCA＝∠CAO， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴∠CAO＝∠BAO， ∴∠BAD＝∠FCE， ∵AB＝CF，AD＝CE， ∴△ABD≌△CFE（SAS）， ∴BD＝EF， ∴BD+BE＝EF+BE≥BF， ∴当B、E、F三点共线时，BD+BE的值最小， 此时点E在BF与AC的交点E'处， ∵AB＝AC＝10，BC＝12，AO⊥BC， ∴OC＝6，CF＝10， 在Rt△AOC中， 由勾股定理，得AO8， 过点E'作E'H⊥BC于点H，设OH＝a， 则CH＝6﹣a， ∵AO⊥BC， ∴E'H∥AO， ∴△CE'H∽△CAO， ∴，即， ∴E'H（6﹣a）， ∵FC⊥BC，E'H⊥BC， ∴E'H∥FC， ∴△BE'H∽BFC， ∴，即， 解得a， 即OH，E'H（6）， ∴点E'的坐标为（，）， 故答案为：（，）． 23．（2021秋•鲤城区校级期末）已知如图，AB＝8，AC＝4，∠BAC＝60°，BC所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为 　412　． 解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长＝PE+PF+EF＝EM+EF+FN＝MN， ∴当MN的值最小时，△PEF的值最小， ∵AP＝AM＝AN，∠BAM＝∠BAP，∠CAP＝∠CAN，∠BAC＝60°， ∴∠MAN＝120°， ∴MNAMPA， ∴当PA的值最小时，MN的值最小， 取AB的中点J，连接CJ． ∵AB＝8，AC＝4， ∴AJ＝JB＝AC＝4， ∵∠JAC＝60°， ∴△JAC是等边三角形， ∴JC＝JA＝JB， ∴∠ACB＝90°， ∴BC4， ∵∠BOC＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝4，∠BCO＝60°， ∴∠ACH＝30°， ∵AH⊥OH， ∴AHAC＝2，CHAH＝2， ∴OH＝6， ∴OA4， ∵当点P在直线OA上时，PA的值最小，最小值为44， ∴MN的最小值为•（44）＝412． 故答案为412． 24．（2022春•泉州期末）阅读理解，并解决下面问题． 【初步感知】 （1）如图所示，从边长为a的正方形纸片中剪去边长为b的小正方形，即图中阴影部分的面积．写出图中含有a，b的代数恒等式为 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　； 【延伸拓展】 定义：在平面直角坐标系中，点M（x，y），若满足x2＝y+m，y2＝x+m，（x≠y，m为常数），则称点M为“智慧点”，如点（2，﹣3），（﹣3，2）都是“智慧点”． （2）点A（1，﹣2），B（2，﹣1）中，点 　A　是“智慧点”；（填A或B） （3）若点P（c，d）（c≠d）是“智慧点”， ①求c，d满足的关系式； ②已知原点O（0，0），Q（3，0），求PO+PQ的最小值． （1）根据图形：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）根据定义， ∵12＝﹣2+m，则m＝3， （﹣2）2＝1+m，则m＝3， ∴A是“智慧点”； ∵22＝﹣1+m，则m＝5， （﹣1）2＝2+m，则m＝﹣1， ∴B不是“智慧点”； 故答案为：A． （3）①根据定义得， 消去m得关系式为：c+d＝﹣1； ②如图，∵c+d＝﹣1， ∴可知P点在直线y＝﹣x﹣1上， 作出O关于直线的对称点O′，连接O′Q交直线于点P，连接PO， ∴PO+PQ的最小值为O′Q的长， ∵O′（﹣1，﹣1），Q（3，0）， ∴O′Q的长为， ∴PO+PQ的最小值为． 考点9：翻折变换(折叠问题) 25．（2023秋•集美区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，将△ABC沿AD折叠，点C的对应点为E，当BE＜CE时，△ABC满足的条件是（　　） A．30°＜∠B＜45° B．30°＜∠B＜90° C．45°＜∠C＜90° D．30°＜∠C＜60° 解：如图1，设BC中点为F， 如图2，当E与F重合时， 此时BE＝CE， 由折叠得AE＝AC， ∴CE＝AE＝AC， ∴△ACE为等边三角形， ∴∠C＝60°， ∴∠B＝30°， ∵BE＜CE， ∴E在F的左侧， ①如图3，当E在线段BF上（不与B、F重合）， ∴∠CAE＞60°， 由折叠得∠AEC＝∠C， ∴∠CAE＝180°﹣2∠C， ∴180°﹣2∠C＞60°， ∴∠C＜60°， ∵∠B+∠C＝90°， ∴∠B＞30°， ②如图4，当E与B重合时， 此时AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°； ③如图5，E在CB的延长线上时， ∴∠B＞∠AEB， ∵∠AEC＝∠C， ∴∠ABC＞∠C， ∵∠ABC+∠C＝90°， ∴2∠C＜90°， ∴∠C＜45°， ∴∠ABC＞45°， ∵∠C＞0，∠ABC＜90°， ∴0＜∠C＜45°， ∴45°＜∠ABC＜90°； 综上所述：0＜∠C＜60°，30°＜∠ABC＜90°； 故选：B． 26．（2021秋•万州区期末）Rt△ABC和Rt△CDE按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AB＞BC．将Rt△ABC沿着AC翻折，得到Rt△AB'C，将Rt△CDE沿着CE翻折，得Rt△CD'E，点B、D的对应点B'、D'与点C恰好在同一直线上，若AC＝13，BD＝17，则B'D'的长度为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 解：由翻折可知：∠ACB＝∠ACB′，∠ECD＝∠ECD′， ∵∠ACB+∠ACB′+∠ECD+∠ECD′＝180°， ∴∠ACB+∠ECD＝90°， ∵∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， 在△BAC和ECD中， ， ∴△BAC≌ECD（AAS）， ∴BC＝DE，AC＝CE＝13， 在RtCDE中，根据勾股定理，得 CD2+DE2＝CE2， ∴（17﹣BC）2+BC2＝132， 解得BC＝5或BC＝12（舍去）， ∴B′C＝5，CD＝17﹣5＝12， ∴B′D′＝CD′﹣B′C＝12﹣5＝7． 故选：A． 27．（2024春•睢宁县期末）△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝50°，将∠B折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为　25°或40°或32.5°　． 解：∵将∠B折叠，使得点B与点A重合， ∴∠B＝∠PAB， 当∠APC＝∠C＝50°时， ∵∠B＝∠PAB，∠APC＝∠B+∠PAB＝50°， ∴∠B＝25°， 当∠PAC＝∠C＝50°时，∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠B∠APC＝40°， 当∠CAP＝∠CPA（180°﹣∠C）（180°﹣50°）＝65°时，∠B∠CPA＝32.5°， 故答案为：25°或40°或32.5°． 考点10：线段垂直平分线的性质 28．（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝BD， CE＝EB， 又∵EC＝4， ∴BE＝4， 又∵△BDC的周长＝18， ∴BD+DC＝10， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDN＝60°， 又∵MN垂直平分BC， ∴∠DNC＝90°， ∴∠C＝30°， 又∵∠C＝∠DBC＝30°， ∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°． 29．（2023秋•宿城区期末）如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）若△APQ的周长为12，求BC的长； （2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC， ∵△APQ的周长为12， ∴BC＝12； （2）∵AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°． 30．（2023秋•安宁区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 解：（1）∵D是BC的中点 ∴BD＝CD， 又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC； （2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AB﹣BE＝AC﹣CF， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 考点11：角平分线的性质 31．（2023秋•文昌校级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由． 解：CE＝CF＝GB． 理由如下： （1）∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠ACD+∠CAD＝90°． ∴∠ACD＝∠ABC． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE． ∵∠CEF＝∠BAE+∠ABC，∠CFE＝∠CAE+∠ACD， ∴∠CEF＝∠CFE． ∴CE＝CF（等角对等边）． （2）如图，过E作EH⊥AB于H， ∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC， ∴EH＝EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∴EH＝CF． ∵FG∥AB， ∴∠CGF＝∠EBH． ∵CD⊥AB，EH⊥AB， ∴∠CFG＝∠EHB＝90°． 在Rt△CFG和Rt△EHB中 ∵， ∴Rt△CFG≌Rt△EHB（AAS）． ∴CG＝EB． ∴CE＝GB． ∴CE＝CF＝GB． 32．（2024春•罗湖区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． 求证：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AD垂直平分EF． 证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE； （2）在Rt△AED和Rt△AFD中 ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD， ∴AE＝AF， 而DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 33．（2023秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积等于9． 求：△ADC的面积． 解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴DE＝DF，AB＝6，AC＝4，且S△ABD＝9， ∴S△ABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝AB：AC＝6：4＝3：2， 则S△ACD＝6． 考点12：等腰三角形的判定与性质 34．（2023秋•信州区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝102°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C． 解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，如图所示， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， 又AB+BD＝CD，DE＝BD， ∴AB+DE＝CD，而CD＝DE+EC， ∴AB＝EC， ∴AE＝EC， 故设∠EAC＝∠C＝x， ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x， ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°﹣2x﹣2x＝180°﹣4x， ∵∠BAC＝102°， ∴∠BAE+∠EAC＝102°，即180°﹣4x+x＝102°， 解得：x＝26°， 则∠C＝26°． 35．（2022秋•盘山县期末）已知如图：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E． （1）请问：DE、BD、CE之间的数量关系为　DE＝BD+CE　； （2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE的周长为　12　． 解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∴DE＝BD+CE． 故答案为：DE＝BD+CE； （2）由（1）证得DE＝BD+CE， ∵△ADE的周长＝AD+DE＝AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC， ∵AB＝7，AC＝5， ∴△ADE的周长＝12． 故答案为：12． 36．（2021秋•陕州区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AB的垂直平分线． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若△ABD的周长是a，BC＝b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示） （1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB72°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∵∠CDB是△ADC的外角， ∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°， ∴∠B＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴△BCD是等腰三角形； （2）∵AD＝BD＝CB＝b，△ABD的周长是a， ∴AB＝a﹣2b， ∵AB＝AC， ∴CD＝a﹣3b， ∴△BCD的周长长＝CD+BD+BC＝a﹣3b+b+b＝a﹣b． 考点13：等边三角形的判定与性质 37．（2021春•米脂县期末）如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 证明：（1）∵△ABD和△BCD都为正三角形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC， ∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2， ∴DE＝CF， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）∵△BDE≌△BCF， ∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF， ∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°， ∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°， ∴△BEF为正三角形； 38．（2023秋•乌海期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 解：（1）△ODE是等边三角形， 其理由是：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60° ∴△ODE是等边三角形； （2）答：BD＝DE＝EC， 其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝∠OBD＝30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠ABO＝30°， ∴∠DBO＝∠DOB， ∴DB＝DO， 同理，EC＝EO， ∵DE＝OD＝OE， ∴BD＝DE＝EC． 39．（2023秋•莱芜区校级期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP＝2PQ． 证明：（1）∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC＝∠C＝60°． ∵AB＝AC，AE＝CD， ∴△ADC≌△BEA． （2）∵△ADC≌△BEA， ∴∠ABE＝∠CAD． ∵∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠ABE+∠BAD＝60°． ∴∠BPQ＝60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°． ∴BP＝2PQ． 考点14：分式的值为零的条件 40．（2024春•邓州市期末）若分式的值为0，则x的值是 　1　． 解：∵要使该分式有意义，且分式的值为0， ∴分母不为0，分子为0，即x2﹣x＝0，且x≠0， 解得：x＝1， 故答案为：1． 41．（2024春•建邺区期末）当x　＝2　时，分式的值为0． 解：∵分式的值为0， ∴x﹣2＝0， 解得：x＝2． 故答案为：＝2． 42．（2022秋•巴南区期末）若分式的值为零，则a的值是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．0 解：∵分式的值为零， ∴． ∴a＝2． 故选：C． 考点15：分式的基本性质 43．（2023秋•禹城市期末）把分式中的a和b分别扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．不变 解：把分式中的a和b分别扩大为原来的2倍， 即， 则分式的值缩小为原来的， 故选：C． 44．（2024•济南模拟）若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（　　） A．是原来的100倍 B．是原来的10倍 C．不变 D．是原来的倍 解：∵， ∴分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值是原分式值的10倍， 故选：B． 45．（2023秋•郯城县期末）下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 解：A选项：，而2a+b≠3，故本选项等式不成立； B选项：，故本选项等式成立； C选项：，故本选项等式成立； D选项：，故本选项等式成立． 故选：A． 考点16：分式的乘除法 46．（2023秋•永州期末）下列计算正确的是（　　） A．x﹣1•2x﹣2＝2x2 B．（﹣2x2）﹣2＝4x﹣4 C．﹣20＝1 D． 解：A．∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； C．∵﹣20＝﹣1，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 47．（2024春•邵东市期末）若，则A等于 　　． 解：∵， ∴ ， 故答案为：． 48．（2023秋•永定区期末）计算的结果为（　　） A．ab2 B．﹣ab2 C． D． 解：•a3＝ab2， 故选：A． 考点17：最简分式 49．（2023秋•邯郸期末）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（　　） A．4 B．x C．2x D．x2 解：A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为2x时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为x2时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 50．（2023秋•庄河市期末）下列式子中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 解：A．，不是最简分式，不符合题意； B．，不是最简分式，不符合题意； C．是最简分式，符合题意； D．，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 51．（2023秋•浦东新区校级期末）下列分式中，最简分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：，，，这四个是最简分式． 而． 最简分式有4个， 故选：C． 考点18：最简公分母 52．（2024春•宁明县期末），，的最简公分母是 　12xy3　． 解：分式，，的最简公分母为12xy3， 故答案为：12xy3． 53．（2024春•五华县期末）分式、的最简公分母是 　12x2y2　． 解：分式中分母分别是4xy2，6x2， 故最简分母是：12x2y2， 故答案为：12x2y2． 54．（2022秋•江夏区校级期末）分式与的最简公分母是（　　） A．x﹣2 B．x2﹣4 C．2（x﹣2）2 D．2（x﹣2） 解：最简公分母是2（x﹣2）， 故选：D． 考点19：分式的混合运算 55．（2020秋•临河区期末）计算 （1）（a﹣b）2+（2a﹣b）（a﹣2b） （2）． 解：（1）原式＝a2﹣2ab+b2+2a2﹣ab﹣4ab+2b2 ＝3a2﹣7ab+3b2； （2）原式 ． 56．（2023春•重庆期末）化简下列各式： （1）a（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣2b） （2）． 解：（1）原式＝a2﹣ab﹣a2+ab+2b2＝2b2； （2）原式••． 57．（2023秋•商城县期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 解：依题意，， 故选：D． 考点20：分式的化简求值 58．（2020秋•汇川区期末）先化简，再求值：（），其中x． 解：原式 • ， 当x时，原式． 59．（2024春•田阳区期末）先化简再求值（x+3）•，其中x＝3． 解：原式••， 当x＝3时，原式． 60．（2024春•盐田区期末）先化简，再求值：，其中x＝5． 解：原式＝[] ＝2x+8， 当x＝5时，原式＝2×5+8＝18． 考点21：比例线段 61．（2023秋•长春期末）在一幅地图上，用2厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 解：比例尺， 故选：D． 62．（2023秋•槐荫区期末）已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（　　） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即a：3＝6：9， ∴a＝2（cm）． 故选：B． 63．（2023秋•淮北期末）已知a，b，c，d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm，则线段d的长度为 　32　cm． 解：∵a，b，c，d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm， ∴， ∴， 解得d＝32（cm）， 故答案为：32． 考点22：解分式方程 64．（2022春•北仑区期末）解方程（组）： （1）； （2）． 解：（1）， ①﹣②×7得m＝﹣1， 把m＝﹣1代入②得n＝1， ∴方程组的解为． （2）分式方程左右两边同时乘以（x2﹣1）得（x+2）（x+1）﹣（x2﹣1）＝3， x2+3x+2﹣x2+1＝3， 3x＝0， x＝0， 把x＝0代入原分式方程， 左边＝右边， ∴x＝0是分式方程的解． 65．（2021春•盐湖区校级期末）观察发现：1；；根据你发现的规律，回答下列问题： （1）利用你发现的规律计算：． （2）灵活利用规律解方程：． 解：（1）由题意得：． ∴ ． （2）∵， ∴ ． ∴． ∴x＝50． 经检验，当x＝50时，x（x+100）≠0． ∴x＝50是的解． 66．（2024春•二道区期末）解分式方程时，将方程两边同时乘以同一个整式，会得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x+1 C．x（x+1） D．x（x﹣1） 解：将方程两边同时乘以x（x+1）即可得到一个一元一次方程， 故选：C． 考点23：分式方程的增根 67．（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）， 去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 移项合并得：（m+1）x＝﹣5， （1）∵x＝1是分式方程的增根， ∴1+m＝﹣5， 解得：m＝﹣6； （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6； （3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 68．（2023秋•息县校级期末）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则k的值为　9　． 解：方程两边同乘x（x﹣1）（x+1）， 去分母得x（k﹣1）﹣（x+1）＝（k﹣5）（x﹣1）， 将增根x＝﹣1代入得﹣（k﹣1）﹣（﹣1+1）＝（k﹣5）（﹣1﹣1）， 解得k＝9． 故答案为：9． 69．（2024春•兰州期末）如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．4 C．﹣3 D．﹣15 解：∵分式方程有增根， ∴x＝4， 原方程去分母可得：m﹣1＝﹣2（x﹣4）， 把x＝4代入可得：m﹣1＝0， 解得：m＝1； 故选：A． 考点24：分式方程的应用 70．（2024春•城关区校级期末）某超市用3000元购进某种干货销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购入该干货，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干货数量是第一次的2倍还多150千克，如果超市按每千克15元的价格出售，当大部分干货售出后，余下的100千克按售价的8折售完． （1）该干货的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干货共盈利多少元？ 解：（1）设该干货第一次进价是x元/千克，则第二次进价是1.2x元/千克， 根据题意得：2+150， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意． 答：该干货第一次进价是10元/千克． （2）第一次购进数量＝3000÷10＝300（千克）， 第二次购进数量＝300×2+150＝750（千克）， ∴盈利＝（300+750﹣100）×15+100×15×80%﹣3000﹣9000＝3450（元）． 答：超市销售完这种干货共盈利3450元． 71．（2024春•海口期末）现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成了任务．求采用新的技术后每天能装多少台机器． 解：设原来每天装配机器x台，依题意得： 3， 解得：x＝6， 经检验：x＝6是原方程的解， 2x＝12． 答：采用新的技术后每天能装12台机器． 72．（2024春•市北区期末）某市区为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道．铺设1200米后，为尽量减少施工对城市交通所造成的影响，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：30， 解得x＝90， 经检验 x＝90是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道90米． 考点25：平行线的判定与性质 73．（2023秋•莘县期末）如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．试说明：AD平分∠BAC． 解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°， ∴AD∥EG， ∴∠1＝∠2，∠E＝∠3． 又∵∠E＝∠1， ∴∠2＝∠3， ∴AD平分∠BAC． 74．（2024春•鱼台县期末）如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A． （1）求证：FE∥OC； （2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数． （1）证明：∵AB∥DC， ∴∠C＝∠A， ∵∠1＝∠A， ∴∠1＝∠C， ∴FE∥OC； （2）解：∵FE∥OC， ∴∠FOC+∠OFE＝180°， ∵∠FOC+∠BOC＝180°，∠DFE+∠OFE＝180°， ∴∠BOC+∠DFE＝180°， ∵∠BOC﹣∠DFE＝20°， ∴∠BOC+∠DFE＝180°， 解得：∠DFE＝80°， ∴∠OFE＝100°． 75．（2024春•启东市期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°， （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数． 证明：（1）∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠BAD＝180°， ∴AD∥EF； （2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°， ∴∠1＝30°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠GDC＝∠1＝30°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠GDC＝30°． 考点26：三角形内角和定理 76．（2023秋•楚雄州期末）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：在△ABC中， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝35°． 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵在△ABD中∠BAD＝90°﹣∠B＝25°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°． 77．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝68°，求∠AEC和∠DAE的度数． 解：∵∠B＝40°，∠C＝68°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°， ∵AE是角平分线， ∴∠EAC∠BAC＝36°． ∵AD是高，∠C＝68°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝36°﹣22°＝14°， ∠AEC＝90°﹣14°＝76°． 78．（2022秋•枣阳市期末）如图，在△ABC中∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数． 解：∵∠A＝40°，∠B＝72°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣72°＝68°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE＝34°， ∴∠CED＝∠A+∠ACE＝74°， ∴∠CDE＝90°，DF⊥CE， ∴∠CDF+∠ECD＝∠ECD+∠CED＝90°， ∴∠CDF＝74°． 考点27：直角三角形全等的判定 79．（2021秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF． 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°． ∵AD＝AD， ∴△AED≌△AFD． ∴AE＝AF，DE＝DF． ∵BD＝CD， ∴△BED≌△CFD（HL）． ∴BE＝CF． 解法二：利用角平分线的性质定理，可以直接证明DE＝DF，不需要全等三角形的性质证明． 80．（2023秋•商南县校级期末）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． 81．（2022秋•安宁市期末）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF，则需添加一个条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝CF 解：∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∵BF＝CE， ∴CE﹣EF＝BF﹣EF， ∴CF＝BE， ∴要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，还要添加一个条件是AB＝DC． 故选：A． 考点28：推理与论证 82．（2023春•海沧区期末）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 解：A、∵不能同时点M和N ∴A不符合点菜规则； B、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需要点R， ∴B不符合点菜规则； C、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴C符合点菜规则； D、∵在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需点S． 故选：C． 83．（2023春•海沧区校级期末）某汽车的变速箱有1～6号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是： ①如果1号转动，那么2号转，但是5号停； ②如果2号或者5号转动，则4号停； ③3号和4号可以同时转，不能同时停； ④5号和6号必有一个在转动． 若1号齿轮转动，则同时转动的三个齿轮是（　　） A．2号、4号和6号 B．3号、4号和5号 C．2号、3号和6号 D．2号、5号和6号 解：由①可得1号齿轮转动，那么2号转，排除B选项 由②可得如果2号或者5号转动，则4号停；排除A选项 由③可得3号和4号可以同时转，不能同时停；则3号转，排除D选项， 由④可得5号和6号必有一个在转动，由①可得5号不转，则6号转， ∴1号齿轮转动，则同时转动的三个齿轮是2号、3号和6号 故选：C． 84．（2023春•昆明期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 　9　局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 　甲　.（填“甲”“乙”或“丙”） 解：∵甲共当裁判5局， ∴乙、丙之间打了5局， 又∵乙、丙分别进行了8局、6局比赛， ∴乙与甲打了8﹣5＝3局，丙与甲打了6﹣5＝1局， ∴甲、乙、丙三人共打了3+1+5＝9（局）， ∵甲共当裁判5局，而从1到9共5个奇数，4个偶数， ∴甲当裁判的局为奇数局， ∴最后一局比赛的裁判是甲， 故答案为：9，甲． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版八年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷压轴84题（28个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的性质 2 考点2：全等三角形的判定与性质 4 考点3：全等三角形的应用 5 考点4：作图一基本作图 6 考点5：作图一复杂作图 8 考点6：轴对称的性质 9 考点7：坐标与图形变化-对称 10 考点8：轴对称-最短路线问题 10 考点9：翻折变换(折叠问题) 12 考点10：线段垂直平分线的性质 12 考点11：角平分线的性质 14 考点12：等腰三角形的判定与性质 15 考点13：等边三角形的判定与性质 16 考点14：分式的值为零的条件 17 考点15：分式的基本性质 17 考点16：分式的乘除法 18 考点17：最简分式 18 考点18：最简公分母 18 考点19：分式的混合运算 19 考点20：分式的化简求值 19 考点21：比例线段 20 考点22：解分式方程 20 考点23：分式方程的增根 21 考点24：分式方程的应用 22 考点25：平行线的判定与性质 22 考点26：三角形内角和定理 24 考点27：直角三角形全等的判定 25 考点28：推理与论证 26 考点1：全等三角形的性质 1．（2020秋•让胡路区校级期末）如图，线段AD、BE相交于点C，且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点． 求证：（1）ME＝BN；　 （2）ME∥BN． 2．（2020春•仁寿县校级期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F， （1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　 　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°， ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 3．（2021春•郓城县期末）如图，线段AD、BE相交于点C，且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点． 求证：（1）ME＝BN； （2）ME∥BN． 考点2：全等三角形的判定与性质 4．（2023秋•娄星区期末）如图所示，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADE． 5．（2023秋•通榆县期末）如图，AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，CE＝BF，连接AD交EF于点O，猜想O为哪些线段的中点？请选择其中一种结论证明． 6．（2023秋•蓝山县期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC． 考点3：全等三角形的应用 7．（2023秋•玉林期末）如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 8．（2023秋•四平期末）如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度． 9．（2021秋•平舆县期末）一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE． 考点4：作图一基本作图 10．（2024春•法库县期末）陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） 小淇同学作法如下： （1）在直线l上任意取一点C，连接AC； （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示； （4）作直线AB． 则直线AB就是所要作图形． 你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明． 11．（2023秋•梁溪区期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． （1）过点C画直线AB的平行线（不写作法，下同）； （2）过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H． （3）线段　 　的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点　 　到直线　 　的距离． （4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段AG、AH的大小关系为AG　 　AH． 12．（2024春•浦东新区期末）如图，已知∠AOB＝120°．点C在∠AOB的内部，且∠BOC＝30°；OP是∠AOB的角平分线． （1）作∠BOC； （2）尺规作图：作∠AOB的角平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹．） （3）若射线OC、OA分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示　 　方向； （4）在图中找出与∠AOP互余的角是　 　； （5）在图中找出与∠AOB互补的角是　 　． 考点5：作图一复杂作图 13．（2024春•渭滨区期末）尺规作图（不写作法，请保留作图痕迹） 已知：点P为直线AB外一点，求作：直线PQ，使得PQ∥AB． 14．（2023秋•山阳县期末）已知：如图，已知线段a、b，请你用直尺和圆规作一条线段，使它等于a+b． 15．（2023秋•邓州市期末）如图，已知平面内两点A、B． （1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①连接AB． ②在线段AB的延长线上取点C，使BC＝AB． ③在线段BA的延长线上取点D，使AD＝AC． （2）图中若AB＝6，则AC的长度为 　 　，BD的长度为 　 　． 考点6：轴对称的性质 16．（2022秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E是AC的中点，且点B与点E关于直线l对称，EF⊥BC于F，若CF＝2，EF＝3，直线l与BC交于点D，求BD长． 17．（2023秋•余姚市期末）如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是　 　． 18．（2023秋•灵山县校级期末）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在BC边上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝85°，则∠MGE的度数为（　　） A．45° B．55° C．85° D．95° 考点7：坐标与图形变化-对称 19．（2023秋•思明区校级期末）我们给出如下的定义：点A（x，y）先关于x轴对称得到点A'，再将点A'关于直线y＝m（直线上各点的纵坐标都为m）对称得点A1，则称点A1为点A关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点P（2，3）关于直线x＝m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点为P2，则当△P1Q1P2的面积为1时，m＝　 　． 20．（2023秋•九台区期末）点A（﹣3，5）与B（5，5）关于某一直线对称，则对称轴是（　　） A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1 21．（2023秋•内黄县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2022次变换后所得的点A的坐标是（　　） A．（﹣m，﹣n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（m，n） 考点8：轴对称-最短路线问题 22．（2024春•泸县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，点E的坐标为 　 　． 23．（2021秋•鲤城区校级期末）已知如图，AB＝8，AC＝4，∠BAC＝60°，BC所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为 　 　． 24．（2022春•泉州期末）阅读理解，并解决下面问题． 【初步感知】 （1）如图所示，从边长为a的正方形纸片中剪去边长为b的小正方形，即图中阴影部分的面积．写出图中含有a，b的代数恒等式为 　 　； 【延伸拓展】 定义：在平面直角坐标系中，点M（x，y），若满足x2＝y+m，y2＝x+m，（x≠y，m为常数），则称点M为“智慧点”，如点（2，﹣3），（﹣3，2）都是“智慧点”． （2）点A（1，﹣2），B（2，﹣1）中，点 　 　是“智慧点”；（填A或B） （3）若点P（c，d）（c≠d）是“智慧点”， ①求c，d满足的关系式； ②已知原点O（0，0），Q（3，0），求PO+PQ的最小值． 考点9：翻折变换(折叠问题) 25．（2023秋•集美区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，将△ABC沿AD折叠，点C的对应点为E，当BE＜CE时，△ABC满足的条件是（　　） A．30°＜∠B＜45° B．30°＜∠B＜90° C．45°＜∠C＜90° D．30°＜∠C＜60° 26．（2021秋•万州区期末）Rt△ABC和Rt△CDE按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AB＞BC．将Rt△ABC沿着AC翻折，得到Rt△AB'C，将Rt△CDE沿着CE翻折，得Rt△CD'E，点B、D的对应点B'、D'与点C恰好在同一直线上，若AC＝13，BD＝17，则B'D'的长度为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 27．（2024春•睢宁县期末）△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝50°，将∠B折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为　 　． 考点10：线段垂直平分线的性质 28．（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 29．（2023秋•宿城区期末）如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）若△APQ的周长为12，求BC的长； （2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 30．（2023秋•安宁区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 考点11：角平分线的性质 31．（2023秋•文昌校级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由． 32．（2024春•罗湖区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． 求证：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AD垂直平分EF． 33．（2023秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积等于9． 求：△ADC的面积． 考点12：等腰三角形的判定与性质 34．（2023秋•信州区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝102°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C． 35．（2022秋•盘山县期末）已知如图：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E． （1）请问：DE、BD、CE之间的数量关系为　 　； （2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE的周长为　 　． 36．（2021秋•陕州区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AB的垂直平分线． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若△ABD的周长是a，BC＝b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示） 考点13：等边三角形的判定与性质 37．（2021春•米脂县期末）如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 38．（2023秋•乌海期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 39．（2023秋•莱芜区校级期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP＝2PQ． 考点14：分式的值为零的条件 40．（2024春•邓州市期末）若分式的值为0，则x的值是 　 　． 41．（2024春•建邺区期末）当x　 　时，分式的值为0． 42．（2022秋•巴南区期末）若分式的值为零，则a的值是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．0 考点15：分式的基本性质 43．（2023秋•禹城市期末）把分式中的a和b分别扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．不变 44．（2024•济南模拟）若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（　　） A．是原来的100倍 B．是原来的10倍 C．不变 D．是原来的倍 45．（2023秋•郯城县期末）下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 考点16：分式的乘除法 46．（2023秋•永州期末）下列计算正确的是（　　） A．x﹣1•2x﹣2＝2x2 B．（﹣2x2）﹣2＝4x﹣4 C．﹣20＝1 D． 47．（2024春•邵东市期末）若，则A等于 　 　． 48．（2023秋•永定区期末）计算的结果为（　　） A．ab2 B．﹣ab2 C． D． 考点17：最简分式 49．（2023秋•邯郸期末）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（　　） A．4 B．x C．2x D．x2 50．（2023秋•庄河市期末）下列式子中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 51．（2023秋•浦东新区校级期末）下列分式中，最简分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点18：最简公分母 52．（2024春•宁明县期末），，的最简公分母是 　 　． 53．（2024春•五华县期末）分式、的最简公分母是 　 　． 54．（2022秋•江夏区校级期末）分式与的最简公分母是（　　） A．x﹣2 B．x2﹣4 C．2（x﹣2）2 D．2（x﹣2） 考点19：分式的混合运算 55．（2020秋•临河区期末）计算 （1）（a﹣b）2+（2a﹣b）（a﹣2b） （2）． 56．（2023春•重庆期末）化简下列各式： （1）a（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣2b） （2）． 57．（2023秋•商城县期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 考点20：分式的化简求值 58．（2020秋•汇川区期末）先化简，再求值：（），其中x． 59．（2024春•田阳区期末）先化简再求值（x+3）•，其中x＝3． 60．（2024春•盐田区期末）先化简，再求值：，其中x＝5． 考点21：比例线段 1．（2023秋•长春期末）在一幅地图上，用2厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•槐荫区期末）已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（　　） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 3．（2023秋•淮北期末）已知a，b，c，d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm，则线段d的长度为 　 　cm． 考点22：解分式方程 4．（2022春•北仑区期末）解方程（组）： （1）； （2）． 5．（2021春•盐湖区校级期末）观察发现：1；；根据你发现的规律，回答下列问题： （1）利用你发现的规律计算：． （2）灵活利用规律解方程：． 6．（2024春•二道区期末）解分式方程时，将方程两边同时乘以同一个整式，会得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x+1 C．x（x+1） D．x（x﹣1） 考点23：分式方程的增根 7．（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 8．（2023秋•息县校级期末）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则k的值为　 　． 9．（2024春•兰州期末）如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．4 C．﹣3 D．﹣15 考点24：分式方程的应用 10．（2024春•城关区校级期末）某超市用3000元购进某种干货销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购入该干货，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干货数量是第一次的2倍还多150千克，如果超市按每千克15元的价格出售，当大部分干货售出后，余下的100千克按售价的8折售完． （1）该干货的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干货共盈利多少元？ 11．（2024春•海口期末）现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成了任务．求采用新的技术后每天能装多少台机器． 12．（2024春•市北区期末）某市区为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道．铺设1200米后，为尽量减少施工对城市交通所造成的影响，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 考点25：平行线的判定与性质 13．（2023秋•莘县期末）如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．试说明：AD平分∠BAC． 14．（2024春•鱼台县期末）如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A． （1）求证：FE∥OC； （2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数． 15．（2024春•启东市期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°， （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数． 考点26：三角形内角和定理 16．（2023秋•楚雄州期末）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 17．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝68°，求∠AEC和∠DAE的度数． 18．（2022秋•枣阳市期末）如图，在△ABC中∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数． 考点27：直角三角形全等的判定 19．（2021秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF． 20．（2023秋•商南县校级期末）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 21．（2022秋•安宁市期末）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF，则需添加一个条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝CF 考点28：推理与论证 22．（2023春•海沧区期末）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 23．（2023春•海沧区校级期末）某汽车的变速箱有1～6号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是： ①如果1号转动，那么2号转，但是5号停； ②如果2号或者5号转动，则4号停； ③3号和4号可以同时转，不能同时停； ④5号和6号必有一个在转动． 若1号齿轮转动，则同时转动的三个齿轮是（　　） A．2号、4号和6号 B．3号、4号和5号 C．2号、3号和6号 D．2号、5号和6号 24．（2023春•昆明期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 　 　局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 　 　.（填“甲”“乙”或“丙”） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$