广东省东莞市东华高级中学2024-2025学年高二上学期第一次联合考试数学试卷

2024—2025学年上学期第一次联合考试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第三章第二节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点且倾斜角为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，直线，圆，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 点到直线的距离为 C. 圆上的点到点的距离的最大值为 D. 直线被圆截得的弦长为 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（ ） A. 若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B. 若，则的最小值是 C. 若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D. 若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 13. 已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点． （1）若直线与直线垂直，求的方程； （2）若直线与圆相切，求的方程． 16. 已知双曲线，直线与交于两点． （1）若的方程为，求； （2）若，且，求的斜率． 17. 如图，长方体中，，点分别是线段上靠近的四等分点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． （1）证明：； （2）已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 2024—2025学年上学期第一次联合考试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第三章第二节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1） （2）1 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明如下： 因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 而平面， 故． （2）（ⅰ）； （ⅱ）存在，. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （ⅰ）证明：当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，则， 联立整理得，则，，，所以， 直线的方程为，由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上． 当时， ， 即直线恒过定点． 当直线的斜率为0时，直线的方程为，也过． 综上，直线恒过定点． （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $