专题04 圆（15种经典基础练+2种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题04 圆（15种经典基础练+2种优选提升练） 垂径定理及应用（共5题） 1．（2023秋•南关区校级期末）如图，半径为5的与轴交于点、，则点的横坐标为　　 A． B．3 C．4 D．6 2．（2023秋•南关区校级期末）如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•扶余市期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为　　 A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸 4．（2023秋•吉林期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为点，，，则　 　． 5．（2023秋•浑江区期末）如图，中，弦，半径，是上一点且，点是上一动点，连，则长的最小值是　 　． 圆心角、弧、弦的关系（共2题） 6．（2023秋•浑江区期末）如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是　　 A． B．四边形内接于 C． D． 7．（2023秋•伊通县期末）如图，是的弦不是直径），以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接、、、．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 圆周角定理（共8题） 8．（2023秋•磐石市期末）如图，点在上，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•榆树市校级期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•浑江区期末）如图，在中，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•宁江区期末）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•南关区校级期末）如图，在圆形纸片中，为直径．把纸片折叠，使点与点重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，则的度数为　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•龙山区期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点，的读数分别为，，则的度数是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•龙山区期末）如图，内接于，，，则　 　． 15．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：点是的中点； （2）若，求的度数． 圆内接四边形的性质（共3题） 16．（2023秋•绿园区期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•丰满区期末）如图，的内接四边形，为延长线上一点，若，则的度数为 　 　． 18．（2023秋•柳河县期末）如图，四边形内接于，至是六个不同位置的圆周角． （1）分别写出与、相等的圆周角，并求的值； （2）若，求证：． 点与圆的位置关系（共4题） 19．（2023秋•长春期末）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 20．（2023秋•南关区校级期末）已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•南关区校级期末）已知点到圆心的距离为5，若点在圆内，则的半径可能为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 22．（2023秋•梨树县期末）如图，抛物线与轴交于，两点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，点是线段的中点，连接，则线段的最小值是 　 　． 三角形的外接圆与外心（共3题） 23．（2023秋•靖宇县期末）如图，是的外接圆，，则的大小为　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•东丰县期末）如图，是的外接圆，且，，在上取点（不与点，重合），连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为 　 　． 直线与圆的位置关系（共2题） 26．（2023秋•浑江区期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为　　 A．与轴相离、与轴相切 B．与轴、轴都相离 C．与轴相切、与轴相离 D．与轴、轴都相切 27．（2023秋•浑江区期末）已知的半径为8，圆心到直线的距离是6，则直线与的位置关系是　　． 切线的性质（共8题） 28．（2023秋•吉林期末）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，，则　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•舒兰市期末）如图，与相切于点，与相交于点，点是优弧上一点，，则的大小是　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•长春期末）如图，是的切线，是切点，连结、．若，则的大小为 　　度． 31．（2023秋•船营区校级期末）如图，是的直径，是的切线，点为切点，线段与交于点．点是上的动点（不与点、重合）．若，则的度数可能是 　　．（写一个即可） 32．（2023秋•丰满区期末）如图，是的弦，交于点，过点的切线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的半径为，，求的长． 33．（2023秋•扶余市期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．求的度数． 34．（2023秋•浑江区期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标． 35．（2023秋•东辽县期末）已知内接于，是的直径，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若与相切，求． 切线的判定（共5题） 36．（2023秋•蛟河市期末）如图，在，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．求证：为的切线． 37．（2023秋•浑江区期末）如图，的直径，，交于，是的中点． （1）求的长； （2）过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 38．（2023秋•南关区校级期末）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切． 39．（2023秋•龙山区期末）如图，是的弦，交于，，． （1）求的长； （2）若是的中点，求证：是的切线． 40．（2023秋•南关区校级期末）如图，在中，，平分交于点，点在上，． （1）求证：是的外接圆的切线． （2）若，，求的长． 切线的判定与性质（共3题） 41．（2023秋•南关区校级期末）如图，在中，，点、、分别是边、、上的点，以为直径的半圆经过点、，且平分． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，，则半圆的半径长为 　　． 42．（2023秋•榆树市校级期末）如图，为的直径，为上一点，，． （1）求证：为的切线． （2）当，时，求的长． 43．（2023秋•长春期末）如图，为的直径，点、都在上，且平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）延长交的延长线于点．若，，则的长为 　　． 三角形的内切圆与内心（共2题） 44．（2023秋•抚松县期末）如图，是△的内切圆，则点是△的　　 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 45．（2023秋•靖宇县期末）如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为　 　（结果保留 正多边形和圆（共3题） 46．（2023秋•靖宇县期末）正五边形的中心角的度数是　　． 47．（2023秋•船营区校级期末）已知正五边形内接于，连接，则的度数是 　 　． 48．（2023秋•抚松县期末）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点． （1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　　度； （2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （3）连接，则和有什么特殊位置关系？请说明理由． （4）求切线长的值． 弧长的计算（共4题） 49．（2023秋•船营区校级期末）一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧的长度为　　 A． B． C． D． 50．（2023秋•南关区校级期末）如图，扇形的半径为2，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则的长　　．（结果保留 51．（2023秋•双辽市期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，则纸面（即阴影部分）的周长为 　 　． 52．（2023秋•吉林期末）如图①是明清时期女子主要裙式之一的马面裙，图②马面裙可以近似地看作扇环，其中的长度为米，的长度为米，圆心角，则裙长为 　　米． 扇形面积的计算（共6题） 53．（2023秋•长春期末）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为　　 A． B． C． D． 54．（2023秋•南关区校级期末）扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面面积为 　　． 55．（2023秋•榆树市校级期末）如图，有一个半径为的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为的扇形，其中、、都在圆上，则被剪掉阴影部分的面积是 　 　． 56．（2023秋•蛟河市期末）如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为 　 　． 57．（2023秋•东丰县期末）如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若，则阴影部分的面积为 　 　． 58．（2023秋•浑江区期末）如图，点，，是上的点，连接，，，且，过点作交于点，连接，，已知半径为2，则图中阴影面积为 　 　． 圆锥的计算（共2题） 59．（2023秋•宁江区期末）如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　 　度． 60．（2023秋•梅河口市期末）半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　　． 圆与三角形综合题（共10题） 1．（22-23九年级上·吉林·期中）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，，则______，______． 2．（2020·吉林长春·二模）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，连接BE．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． (1)求证：CD为⊙O的切线． (2)若∠E=30°，AB=2，求弧AC的长度（用含的代数式表示）． 3．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是的内接三角形，，，过点C作的切线交的延长线于点D．    (1)求证：． (2)如果的半径为2，求的长． 4．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，是的直径，点F是弧的中点，点C是上一个动点，且点C、F分别位于直径的两侧，连结、．    (1)线段的长为________． (2)如图②，连结，延长到D，使，连结、．求证：． (3)如图③．若点D为的中点，连结、．在点C运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 5．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 6．（2023·吉林长春·二模）如图，是的直径，，点是的中点，连接、．是的半径（点不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接、、．    (1)的长为______．（结果保留） (2)当点与点重合，且点在上时，求所在的扇形的面积．（结果保留π） (3)当点在直线右侧，且与的某条直角边平行时，求的长． (4)当时，直接写出的长． 7．（2021·吉林长春·一模）【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点，以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在内部，连接． 求证，的面积等于面积的一半． 【问题解决】小慧的做法是连接并延长，交于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明； 【问题拓展】如图②，在四边形中平分．，若，则面积的最大值为 ． 8．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 9．（2021·吉林长春·二模）教材呈现：如图是华师版九年级上册第64页的课后习题． 如图，在中，点是边的四等分点，，，，．求四边形的周长． （1）请完成该题目（补充说明：题目中的点是边靠近点的四等分点）． （2）小明和小静在复习该题目时分别对这个题目进行了改编，请分别解答小明和小静提出的问题． ①小明提出的问题是：如图①，在中，点是边靠近点的四等分点，，．当四边形为菱形时，求与的数量关系？ ②小静提出的问题是：如图②，在中，点是边靠近点的四等分点，，，，．则四边形面积的最大值是___________． 10．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 圆与四边形综合题（共7题） 1．（2020·吉林长春·一模）如图，BC为⊙O直径，点A是⊙O上任意一点（不与点B、C重合），以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在⊙O外． （1）当AD与⊙O相切时，求∠B的大小． （2）若⊙O的半径为2，BC＝2AB，直接写出的长． 2．（21-22九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的四条边与坐标轴平行，顶点、分别在第一象限、第二象限，对角线、的交点与坐标原点重合，当正方形的边上存在点，满足时，称点为正方形的伴随点． （1）点的坐标为点______，的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （2）当正方形的伴随点的坐标为时，点的坐标可以为______（写出一个即可）． （3）在点、、、中，正方形的伴随点是______． （4）点在直线上．若点为正方形的伴随点，直接写出点横坐标的取值范围． 3．（21-22九年级下·吉林长春·开学考试）【感知】已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 李明同学认为：连结BD，取BD的中点O，连结OA、OC来证明，请你按照李明的思路完成证明． 【拓展】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点F是AD中点，点E是边AB上一点，FP⊥CE于点P． （1）如图②，当点P在线段BD上时，PC=_______； （2）如图③，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别为N、M，则MN的最小值为______． 4．（2022·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容． 例4如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CEAB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED． 证明：∵CEAB（已知）， 请根据教材内容，结合图①，补全证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE，线段CE与BA边的延长线交于点F，点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ．求证：四边形APDQ是平行四边形． （2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F，连接EF，经过线段EF中点O任意作一条直线l，作点B关于直线l的对称点P，连接PE、PO、PF，过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q，连接FQ，得到四边形PEQF．则四边形PEQF面积的最大值为______． 5．（2024·吉林松原·一模）【知识呈现】如图①，在中，是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．求证：； 【结论应用】 （1）如图②，在中，点是边的中点，与的延长线交于点，点、分别在线段、上，且，求证：四边形是平行四边形； （2）如图③，在矩形中，，，分别取、边的中点、，连接，经过线段的中点任意作一条直线，作点关于直线的对称点，连接、、，过点作的平行线交的延长线于点，连接，得到四边形，则四边形面积的最大值为______． 6．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点停止．在点运动的同时，点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动．当点回到点停止时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)以为边作矩形，使点与点在所在直线的两侧，且． ①当点在边上，且点落在上时，求t的值． ②当点在矩形内部时，直接写出t的取值范围． (3)点在边上，且，在线段上只存在一点，使，直接写出t的取值范围． 7．（22-23九年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连接，取的中点O，连接，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，连接，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为______； （2）如图③，过点P分别作于点M，于点N，连接，则的最小值为______． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆（15种经典基础练+2种优选提升练） 垂径定理及应用（共5题） 1．（2023秋•南关区校级期末）如图，半径为5的与轴交于点、，则点的横坐标为　　 A． B．3 C．4 D．6 【分析】过作于，连接，根据点和点的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：过作于，连接， 半径为5的与轴交于点、， ，，， ，过圆心， ， 由勾股定理得：， 点的横坐标是3， 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出是解此题的关键． 2．（2023秋•南关区校级期末）如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论． 【解答】解：由题意得：， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ． 截面圆中弦的长为， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 3．（2023秋•扶余市期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为　　 A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸 【分析】连接，利用垂径定理求出的长，设圆的半径为，用含的代数式表示出的长，然后利用勾股定理建立关于的方程，解方程求出的值，然后求出圆的半径． 【解答】解：连接， 为的直径，， ， 设圆的半径为，则， ， ， 解之：． 圆的直径为． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理列方程，使用代数方法解决几何问题． 4．（2023秋•吉林期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为点，，，则　 　． 【分析】结合题意，由垂径定理可得垂直平分，然后在中运用勾股定理求得即可求解． 【解答】解：由题意可知，垂直平分，， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 5．（2023秋•浑江区期末）如图，中，弦，半径，是上一点且，点是上一动点，连，则长的最小值是　 　． 【分析】过点作于点，连接、，利用垂径定理和勾股定理可求出、的长度，然后利用三角形三边关系即可求出的最小值． 【解答】解：过点作于点，连接、， ， 由垂径定理可知：， ， 由勾股定理可知：， ， ， 由勾股定理可知：， 在中，由三角形三边关系可知： ， 当、、三点共线时，可取得最小值， 此时 故答案为： 【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出的长度，本题属于中等题型． 圆心角、弧、弦的关系（共2题） 6．（2023秋•浑江区期末）如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是　　 A． B．四边形内接于 C． D． 【分析】过作于交于，由垂径定理得到，于是得到，推出，根据三角形的三边关系得到，故错误；根据三角形内角和得到，，推出，故错误；由点，，在上，而点在圆心，得到四边形不内接于，故错误；根据余角的性质得到，故正确； 【解答】解：过作于交于， 则， ，， ， ， ， ， ，故错误； ， ， ， ，故错误； 点，，在上，而点在圆心， 四边形不内接于，故错误； ， ， ，故正确； 故选：． 【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（2023秋•伊通县期末）如图，是的弦不是直径），以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接、、、．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据题意得出，进而得出，再利用圆周角定理得出答案． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键． 圆周角定理（共8题） 8．（2023秋•磐石市期末）如图，点在上，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】由，得到，根据圆周角定理得到． 【解答】解：， ， 而， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用 9．（2023秋•榆树市校级期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据圆周角定理得到，则利用互余计算出的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数． 【解答】解：是半圆的直径， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 10．（2023秋•浑江区期末）如图，在中，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理可得出的度数，再由，可求出的度数 【解答】解：连接、， ，， ， （都是半径）， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 11．（2023秋•宁江区期末）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数． 【解答】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 解法二：连接，易得为，再由圆内接四边形互补可得为． 故选：． 【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 12．（2023秋•南关区校级期末）如图，在圆形纸片中，为直径．把纸片折叠，使点与点重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用折叠的性质得到，，然后根据圆周角定理得到． 【解答】解：为直径．把纸片折叠，使点与点重合， ， ， 折叠纸片，使点与点重合，折痕为， 平分， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了折叠的性质． 13．（2023秋•龙山区期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点，的读数分别为，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，利用圆周角定理求解即可． 【解答】解：连接，． 由题意，， ， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题． 14．（2023秋•龙山区期末）如图，内接于，，，则　 　． 【分析】结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：连接． ， ． 又， ． ． 【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理以及勾股定理． 15．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：点是的中点； （2）若，求的度数． 【分析】（1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出． 【解答】（1）证明：连接， 是圆的直径， ， ， 是的中点； （2）解： ， ， ． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是有圆周角定理得到，． 圆内接四边形的性质（共3题） 16．（2023秋•绿园区期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的“对角互补”求出，再根据圆周角定理求出即可． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是正确解答的关键． 17．（2023秋•丰满区期末）如图，的内接四边形，为延长线上一点，若，则的度数为 　 　． 【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可得出答案． 【解答】解：是圆内接四边形的一个外角， ． 故答案为：119． 【点评】本题考查圆内接四边形，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解决问题的关键． 18．（2023秋•柳河县期末）如图，四边形内接于，至是六个不同位置的圆周角． （1）分别写出与、相等的圆周角，并求的值； （2）若，求证：． 【分析】（1）根据圆周角定理、圆内接四边形的性质解答即可； （2）根据题意得到，根据圆周角定理得到，得到，根据次垂直的定义证明． 【解答】（1）解：与相等的圆周角是，与相等的圆周角是， 四边形内接于， ； （2）证明：， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键． 点与圆的位置关系（共4题） 19．（2023秋•长春期末）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断． 【解答】解：点是外一点， ， 的长可能为8． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 20．（2023秋•南关区校级期末）已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可． 【解答】解：的半径为2，， 点在圆外， ， 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难度不大． 21．（2023秋•南关区校级期末）已知点到圆心的距离为5，若点在圆内，则的半径可能为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【解答】解：点在圆内，且， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内． 22．（2023秋•梨树县期末）如图，抛物线与轴交于，两点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，点是线段的中点，连接，则线段的最小值是 　 　． 【分析】连接，如图，先解方程得，，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接交圆于时，最小，然后计算出的最小值即可得到线段的最小值． 【解答】解：连接，如图， 当时，，解得，，则，， 是线段的中点， 为的中位线， ， 当最小时，最小， 连接交圆于时，最小， ， 的最小值， 线段的最小值为2． 故答案为2． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线． 三角形的外接圆与外心（共3题） 23．（2023秋•靖宇县期末）如图，是的外接圆，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】由，得，则，即可根据圆周角定理求得，得到问题的答案． 【解答】解：是的外接圆， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，根据等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键． 24．（2023秋•东丰县期末）如图，是的外接圆，且，，在上取点（不与点，重合），连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用圆内接四边形的性质可求出，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键． 25．（2023秋•南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为 　 　． 【分析】根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心． 【解答】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握外心定义． 直线与圆的位置关系（共2题） 26．（2023秋•浑江区期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为　　 A．与轴相离、与轴相切 B．与轴、轴都相离 C．与轴相切、与轴相离 D．与轴、轴都相切 【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切． 【解答】解：是以点为圆心，2为半径的圆， 则有，， 这个圆与轴相切，与轴相离． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径． 27．（2023秋•浑江区期末）已知的半径为8，圆心到直线的距离是6，则直线与的位置关系是　　． 【分析】若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【解答】解：根据圆心到直线的距离6小于圆的半径8，则直线和圆相交． 【点评】能够根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键． 切线的性质（共8题） 28．（2023秋•吉林期末）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，，则　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：连接， 是的切线， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键． 29．（2023秋•舒兰市期末）如图，与相切于点，与相交于点，点是优弧上一点，，则的大小是　　 A． B． C． D． 【分析】由切线的性质可知，由圆周角定理可知，根据直角三角形两锐角互余可知． 【解答】解：与相切于点， ． ． ， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是切线的性质和圆周角定理，利用切线的性质和圆周角定理求得、是解题的关键． 30．（2023秋•长春期末）如图，是的切线，是切点，连结、．若，则的大小为 　　度． 【分析】根据切线的性质得到，然后利用互余计算出的度数． 【解答】解：是的切线，是切点， ， ， ， ． 故答案为：54． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 31．（2023秋•船营区校级期末）如图，是的直径，是的切线，点为切点，线段与交于点．点是上的动点（不与点、重合）．若，则的度数可能是 　　．（写一个即可） 【分析】连接，由切线的性质得，则，所以，则，于是得，在此范围内写出一个的度数即可． 【解答】解：连接， 是的直径， 是的半径， 与相切于点， ， ， ， ， ， 点是上的动点，且不与点、重合， ， 故答案为：70． 注：答案不唯一，如：30，45， 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，求得是解题的关键． 32．（2023秋•丰满区期末）如图，是的弦，交于点，过点的切线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的半径为，，求的长． 【分析】（1）由是的切线，根据切线的性质得到，由垂直的定义得到，等量代换得到，，进一步得到结果． （2）设，则，在中，根据勾股定理得到，然后解方程即可． 【解答】（1）证明： 是的切线， ． ， ． 又， ． ， ； 是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，，， ， ， 解得， 即的长为4． 【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用，考点较多，难度适中． 33．（2023秋•扶余市期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．求的度数． 【分析】根据切线性质得出，，求出的度数，得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解： 、是的切线， ， ， 是的直径，是的切线， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键． 34．（2023秋•浑江区期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标． 【分析】由切线的性质，得到点的纵坐标为．当时，求出，，得到点的坐标为或；当时，求出，得到点的坐标为，于是得到点的坐标． 【解答】解：与轴相切， 圆心到轴的距离等于1， 点的纵坐标为． 当时，， ，， 点的坐标为或； 当时，， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为、或． 【点评】本题考查切线的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，关键是由切线的性质得到点的纵坐标为． 35．（2023秋•东辽县期末）已知内接于，是的直径，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若与相切，求． 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法即可证明四边形是平行四边形； （2）根据与相切，和，证明，进而可求． 【解答】解：（1）证明：， ，， ， ， ， 即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）与相切，是半径， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是综合运用以上知识． 切线的判定（共5题） 36．（2023秋•蛟河市期末）如图，在，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．求证：为的切线． 【分析】连接，证得，可知，即可证得为的切线． 【解答】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 又， ， 为的切线． 【点评】本题主要考查的是切线的判定，准确作出辅助线，证得平行是解题的关键． 37．（2023秋•浑江区期末）如图，的直径，，交于，是的中点． （1）求的长； （2）过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 【分析】（1）根据圆周角定理求得，然后解直角三角形即可求得，进而求得即可； （2）要证明直线是的切线只要证明即可． 【解答】证明：（1）解：连接， 是的直径， ， 又，， ， 是的中点， ； （2）证明：连接． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，则 又， ， 是的切线． 【点评】此题主要考查了切线的判定以及含角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线． 38．（2023秋•南关区校级期末）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切． 【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论． 【解答】证明：如图，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 直线与相切． 【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 39．（2023秋•龙山区期末）如图，是的弦，交于，，． （1）求的长； （2）若是的中点，求证：是的切线． 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得到，则，所以，，再根据垂径定理得，所以； （2）由（1），则为等边三角形，所以，，而，则，可计算出，所以，于是根据切线的判定定理得是的切线． 【解答】（1）解：连接、，如图， ，， ， ， ， ， 又， ， ； （2）证明：由（1）， 而， 为等边三角形， ，， 是的中点， ， ， 而， ， ， 是的切线． 【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系． 40．（2023秋•南关区校级期末）如图，在中，，平分交于点，点在上，． （1）求证：是的外接圆的切线． （2）若，，求的长． 【分析】（1）取中点，连接，求出，，推出，推出，求出，根据切线的判定推出即可； （2）设半径为，在中，由勾股定理得出，求出，求出，，推出，代入求出即可． 【解答】（1）证明：取中点，连接， ， 为直径， 的中点为外接圆的圆心． 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的外接圆的切线； （2）解：设半径为， 则在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 切线的判定与性质（共3题） 41．（2023秋•南关区校级期末）如图，在中，，点、、分别是边、、上的点，以为直径的半圆经过点、，且平分． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，，则半圆的半径长为 　　． 【分析】（1）连接，证明得到即可得到证明； （2）连接，先证得到，结合角所对直角边等于斜边一半得到，即可得到答案． 【解答】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是半圆的切线； （2）解：，，， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查切线的证明，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到，． 42．（2023秋•榆树市校级期末）如图，为的直径，为上一点，，． （1）求证：为的切线． （2）当，时，求的长． 【分析】（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明为的切线； （2）由为的直径，得，则，而，所以，则，可求得，由勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的长是． 【点评】此题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键． 43．（2023秋•长春期末）如图，为的直径，点、都在上，且平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）延长交的延长线于点．若，，则的长为 　6　． 【分析】（1）连结，如图，先证明得到，再利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）根据含30度角的直角三角形三边的关系，先在中计算出，则，然后在中可计算出的长． 【解答】（1）证明：连结，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径． 三角形的内切圆与内心（共2题） 44．（2023秋•抚松县期末）如图，是△的内切圆，则点是△的　　 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论． 【解答】解：是△的内切圆， 则点到三边的距离相等， 点是△的三条角平分线的交点； 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键． 45．（2023秋•靖宇县期末）如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为　　（结果保留 【分析】直接利用正方形的判定方法以及切线的性质得出四边形为正方形，进而得出正方形边长即可得出答案． 【解答】解：连接、， ，，， ， 为的内切圆，、、为切点， ，，， ，， 又，， 四边形为正方形， 设， ，； ，， ， 解得：， 则的面积为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了切线的性质以及三角形的内切圆，正确得出四边形为正方形是解题关键． 正多边形和圆（共3题） 46．（2023秋•靖宇县期末）正五边形的中心角的度数是　　． 【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【解答】解：正五边形的中心角为：． 故答案为：． 【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义． 47．（2023秋•船营区校级期末）已知正五边形内接于，连接，则的度数是 　 　． 【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出，计算即可． 【解答】解：五边形为正五边形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于是解题的关键． 48．（2023秋•抚松县期末）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点． （1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　　度； （2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （3）连接，则和有什么特殊位置关系？请说明理由． （4）求切线长的值． 【分析】（1）利用正多边形的性质求解即可； （2）利用弧长公式求解即可； （3）利用圆周角定理判断即可； （4）利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：30； （2）如图，连接，，由（1）得：劣弧所对应的圆心角， 劣弧的长， ， 劣弧的长度更长． （3）垂直．理由如下： 连接，，， ， 是的直径， ，即， 和相互垂直． （4）如图，是的切线， ， 由（1）知，， ， （或， ， 在△中，． ． 【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系，属于中考常考题型． 弧长的计算（共4题） 49．（2023秋•船营区校级期末）一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据弧长公式即可得到结论． 【解答】解：优弧的长度为， 故选：． 【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 50．（2023秋•南关区校级期末）如图，扇形的半径为2，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则的长　　．（结果保留 【分析】由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算． 【解答】解：由作图知：垂直平分， ， ， 扇形的半径是2， 的长． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 51．（2023秋•双辽市期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，则纸面（即阴影部分）的周长为 　 　． 【分析】弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，由此求出的长，的长，即可得到答案． 【解答】解：，， ， 的长，的长， 阴影部分的周长． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 52．（2023秋•吉林期末）如图①是明清时期女子主要裙式之一的马面裙，图②马面裙可以近似地看作扇环，其中的长度为米，的长度为米，圆心角，则裙长为 　　米． 【分析】由弧长公式求出，的长，即可得到的长． 【解答】解：， 的长，的长， 米，米， 裙长（米． 故答案为：0.8． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 扇形面积的计算（共6题） 53．（2023秋•长春期末）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解． 【解答】解：连接，， ，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等， 图中阴影部分的面积， ， 、是正三角形， 阴影部分的面积． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 54．（2023秋•南关区校级期末）扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面面积为 　　． 【分析】由扇形面积计算公式，求出扇形的面积，扇形的面积，即可得到扇面面积． 【解答】解：，， ， 扇面面积扇形的面积扇形的面积， 扇面面积． 【点评】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积的计算公式． 55．（2023秋•榆树市校级期末）如图，有一个半径为的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为的扇形，其中、、都在圆上，则被剪掉阴影部分的面积是 　 　． 【分析】根据的圆周角所对的弦是直径得出为的直径，则是等腰直角三角形，即可求出半径的长，利用扇形面积公式即可求出扇形的面积，最后求出圆的面积与扇形的面积之差即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接， ， 为的直径， 的半径为， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 即， 解得， ， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 56．（2023秋•蛟河市期末）如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】连接，交于点，根据折叠的性质可得四边形是菱形，从而得到，，，再求出的长，再证明是等边三角形，可得，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【解答】解：如图，连接，交于点， 由折叠的性质得：， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了求扇形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 57．（2023秋•东丰县期末）如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若，则阴影部分的面积为 　 　． 【分析】根据为直径可知，在等腰直角三角形中，垂直平分，，点为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差． 【解答】解：如图，连接， 在中， ， ， 是半圆的直径， ， 在等腰中， 垂直平分，， 为半圆的中点， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 58．（2023秋•浑江区期末）如图，点，，是上的点，连接，，，且，过点作交于点，连接，，已知半径为2，则图中阴影面积为 　 　． 【分析】由圆周角定理可得的度数，由可得，进而可得，然后根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 圆锥的计算（共2题） 59．（2023秋•宁江区期末）如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　 　度． 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算． 【解答】解：圆锥底面周长， 扇形的圆心角的度数圆锥底面周长． 故答案为：120． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子． 60．（2023秋•梅河口市期末）半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　　． 【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【解答】解：半径为的半圆围成一个圆锥， 圆锥的母线，圆锥底面半径， 圆锥的高． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键． 圆与三角形综合题（共10题） 1．（22-23九年级上·吉林·期中）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，，则______，______． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)3；13 【分析】（1）连接，根据圆的性质可得等腰三角形，等腰三角形，由此得到，，根据直角三角形的两个锐角互余即可求证； （2）如图所示（见详解），过点作于点，得，根据，，，可得，，由此证明即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，即，， ∴是的切线． （2）解：如图所示， 过点作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在，中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线证明，三角形全等判定和性质，掌握圆的切线证明方法是过圆心的半径垂直过切点的直线，以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（2020·吉林长春·二模）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，连接BE．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． (1)求证：CD为⊙O的切线． (2)若∠E=30°，AB=2，求弧AC的长度（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OC，根据已知可得∠CDB=90°，再根据角平分线和等腰三角形证明PB∥OC，从而可得∠OCD=90°，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠B=90°，从而求出AE=4，∠BAE=60°，然后再利用平行线的性质求出∠AOC，最后利用弧长公式进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵OB=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵CB平分∠PAE ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴AD∥OC， ∵CD丄AD， ∴OC⊥DC， ∴CD是⊙0的切线． （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠B=90°． ∵∠E=30°， ∴∠BAE=60°，AE=2AB=4， ∴∠DAC=∠OAC=60°，AO=2， ∵OA=OC， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC=60°， ∴弧AC的长度为 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，弧长的计算，熟练掌握根据角平分线和等腰三角形证明平行是解题的关键． 3．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是的内接三角形，，，过点C作的切线交的延长线于点D．    (1)求证：． (2)如果的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先连接，则得到，由，得到是等边三角形。再由是的切线得到，继而得出结论； （2）过点B作于点E，由是等边三角形得到，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半得，由锐角三角函数得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图①，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：如图②，过点B作于点E．    ∵是等边三角形， ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，以及特殊角的锐角三角函数，准确作出辅助线是解题的关键． 4．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，是的直径，点F是弧的中点，点C是上一个动点，且点C、F分别位于直径的两侧，连结、．    (1)线段的长为________． (2)如图②，连结，延长到D，使，连结、．求证：． (3)如图③．若点D为的中点，连结、．在点C运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3)AC的长为或或 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和已知条件证明为等腰直角三角形，根据，即可求出的值； （2）连接，结合已知条件利用证明，即可证明； （3）分、、三种情况进行分类讨论，分别画出图形，求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示：    ∵F为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，． ∴． 故答案为：． （2）连接，如图所示：    ∵A、C、B、F四点共圆， ∴， ∵，，， ∴， ∴ （3）当时，连接并延长，交于点E，连接，如图所示：    ∵，， ∴垂直平分， ，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴． 当时，连接、、、，过点F作于点E，如图所示：    ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ， ； 综上分析可知，AC的长为或或． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合问题，垂径定理、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、三角形中位线性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形，作出辅助线，进行分类讨论，熟练掌握垂径定理、勾股定理、解直角三角形，是解题的关键． 5．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 【答案】[感知] ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用] 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： [感知] 过点C作的垂线交延长线于点F，连接，证明，，即可求解； [探究] 过点C作的垂线交延长线于点G，连接，证明，，即可求解； [应用] 过点C作的垂线交延长线于点H，可证明四边形是矩形，再由四边形是的内接四边形，可证明，可证得，从而得到，，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】解：[感知]过点C作的垂线交延长线于点F，连接， ∵为等边的外接圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： [探究] 上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作的垂线交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； [应用]如图，过点C作的垂线交延长线于点H， ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E为的三等分点，点D与点C位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为： 6．（2023·吉林长春·二模）如图，是的直径，，点是的中点，连接、．是的半径（点不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接、、．    (1)的长为______．（结果保留） (2)当点与点重合，且点在上时，求所在的扇形的面积．（结果保留π） (3)当点在直线右侧，且与的某条直角边平行时，求的长． (4)当时，直接写出的长． 【答案】(1)π (2) (3)2或 (4)或 【分析】（1）根据是的直径，点是的中点，可直接得到的长度； （2）先求出对应的圆心角，即可求出长度； （3）分别根据和两种情况开展讨论，当时, 证明是等边三角形，即可求出的长，当时，是等边三角形，即可求出的长； （4）分别根据当点D在点C右侧和左侧两种情况展开讨论，当点D在点C右侧时，可得到，根据勾股定理即可求出的长，当点D在点C左侧时，证明是等边三角形，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵是的直径，点是的中点， ∴的长为； （2）解：如图下图所示，    当点与点重合时，则平分， ∵点是的中点，是直径， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时, 如下图所示，    则， 由翻折，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴, ∴当时，如下图所示，延长交于点，连接．    由翻折，得． ∵， ∴，且为中点, ∴, ∴ ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∴， ∴∴， ∴, ∴或; （4）解：当点D在点C右侧时，如下图所示，    ∵， ∴， ∴， ∴点D和点B重合， ∴， 当点D在点C左侧时，如下图所示，连接,设交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴，, ∴， ∴或． 【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握弧的周长、扇形的面积以及等边三角形等相关知识． 7．（2021·吉林长春·一模）【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点，以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在内部，连接． 求证，的面积等于面积的一半． 【问题解决】小慧的做法是连接并延长，交于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明； 【问题拓展】如图②，在四边形中平分．，若，则面积的最大值为 ． 【答案】问题解决：见详解；问题拓展：6 【分析】本题为几何探究题，考查圆与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握圆与三角形的性质； 问题解决：根据提示作图，通过三角形中线将三角形面积等分证明． 问题拓展：延长交于点，通过三角形三线合一得到为中点，通过中线将三角形面积平分可得面积最大时，面积最大，即为高时满足题意． 【详解】问题解决：解：如图，连接并延长，交边于点． ∵为的直径， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴点为的中点． ， ， ∴的面积等于面积的一半． 问题拓展：延长交于点， ∵平分且， ∴为等腰三角形，点为中点， ∴， 当的面积最大时，面积最大， 即满足题意， ∵， ∴面积的最大值为． 故答案为：6． 8．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 【答案】感知：；探究：见解析；应用：． 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； 探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证； 应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解． 【详解】感知： 由圆周角定理可得， 故答案为：； 探究： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， ， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， 即； 应用： 延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解． 9．（2021·吉林长春·二模）教材呈现：如图是华师版九年级上册第64页的课后习题． 如图，在中，点是边的四等分点，，，，．求四边形的周长． （1）请完成该题目（补充说明：题目中的点是边靠近点的四等分点）． （2）小明和小静在复习该题目时分别对这个题目进行了改编，请分别解答小明和小静提出的问题． ①小明提出的问题是：如图①，在中，点是边靠近点的四等分点，，．当四边形为菱形时，求与的数量关系？ ②小静提出的问题是：如图②，在中，点是边靠近点的四等分点，，，，．则四边形面积的最大值是___________． 【答案】（1）18；（2）①；② 【分析】（1）根据点D是边AB靠近点A的四等分点，得到，，再根据DE∥AC，得到△BED∽△BCA，即由此求解即可； （2）①由（1）得，根据四边形DECF是菱形，可得DE=DF，由此求解即可； ②根据△BED∽△BCA，，即可得到，同理，从而推出，要想四边形DECF面积最大，即三角形ABC的面积最大，再根据A、B、C三点共圆，且弦BC=8，弦BC所对的圆心角度数为120°，如图所示，分别过点A作AE⊥BC，OF⊥BC，过点O作OP⊥AE于P，得出当且仅当A、O、F三点共线的时候，此时AE有最大值，即三角形ABC的面积有最大值，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵点D是边AB靠近点A的四等分点， ∴，， ∵DE∥AC， ∴△BED∽△BCA， ∴， ∴， 同理可以求得， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CF=DE=6，CE=DF=3， ∴四边形DECF的周长=CF+DE+CE+DF=18； （2）①由（1）得， ∵四边形DECF是菱形， ∴DE=DF， ∴， ∴； ②∵DE∥AC， ∴△BED∽△BCA， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴要想四边形DECF面积最大，即三角形ABC的面积最大， ∵BC=8，∠A=60°， ∴可以看做A、B、C三点共圆，且弦BC=8，弦BC所对的圆心角度数为120°， 如图所示，分别过点A作AE⊥BC，OF⊥BC，过点O作OP⊥AE于P， ∴， 由垂径定理可知，，， ∴，， 则四边形OFEP是矩形， ∴OF=PE， ∴， 当且仅当A、O、F三点共线的时候，此时AE有最大值，即三角形ABC的面积有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 10．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案： （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中， ， ∴， ∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 圆与四边形综合题（共7题） 1．（2020·吉林长春·一模）如图，BC为⊙O直径，点A是⊙O上任意一点（不与点B、C重合），以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在⊙O外． （1）当AD与⊙O相切时，求∠B的大小． （2）若⊙O的半径为2，BC＝2AB，直接写出的长． 【答案】（1）∠B＝45°；（2） 【分析】（1）连接OA，由切线的性质得出AD⊥OA，由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出OA⊥BC，则△OAB是等腰直角三角形，即可得出∠B＝45°； （2）连接AC，由圆周角定理得出∠BAC＝90°，证出∠ACB＝30°，得出∠B＝60°，由圆周角定理得出∠AOC＝2∠B＝120°，再由弧长公式即可得出答案． 【详解】解：（1）连接OA，如图1所示： ∵AD与⊙O相切， ∴AD⊥OA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴OA⊥BC， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°； （2）连接AC，如图2所示： ∵BC为⊙O直径， ∴∠BAC＝90°， ∵BC＝2AB， ∴∠ACB＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°， ∴的长为＝． 【点睛】本题是与圆有关的综合题，涉及圆的基本性质、平行四边形的性质、切线性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、弧长公式等知识，综合性强，难易适中，认真分析，寻找这些知识的关联点并灵活运用是解答的关键． 2．（21-22九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的四条边与坐标轴平行，顶点、分别在第一象限、第二象限，对角线、的交点与坐标原点重合，当正方形的边上存在点，满足时，称点为正方形的伴随点． （1）点的坐标为点______，的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （2）当正方形的伴随点的坐标为时，点的坐标可以为______（写出一个即可）． （3）在点、、、中，正方形的伴随点是______． （4）点在直线上．若点为正方形的伴随点，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1），，，；（2）答案不唯一；（3）、；（4）或 【分析】（1）根据正方形的性质可以确定，，，的坐标； （2）已知点的位置，根据已知条件知点在正方形的边上，且，即可确定点的位置； （3）分别以点、、、为圆心，为半径作圆，与正方形有交点为伴随点； （4）根据题意可以确定符合题意的点的临界状态有四个，两个在正方形内部，两个在正方形外，确定好临界位置，即可求得点横坐标的取值范围． 【详解】解：（1）已知正方形边长为， 且正方形的四条边与坐标轴平行，对角线、的交点与坐标原点重合， ∴，，，； 故答案为：，，，； （2）已知点在正方形的边上，且， 又∵， ∴点（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）； （3）①如图以点为圆心，为半径作圆，与正方形无交点， ∴不是正方形的伴随点； ②如图以点为圆心，为半径作圆，与正方形无交点， ∴不是正方形的伴随点； ③如图以点为圆心，为半径作圆，与正方形有交点， ∴是正方形的伴随点； ④如图以点为圆心，为半径作圆，与正方形有交点， ∴是正方形的伴随点； 故答案为：，； （4）如图符合条件的临界点有4个，如图，过点作轴于，过点作轴于， ∵点，点在上， ∴， ∵正方形边长为6， ∴， ∴，， ∴,， ∴， ∴， ， ∴， 同理可得，， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查正方形的性质，点与圆的位置关系，理解新定义，根据定义的意义找到点的位置才是解题的关键． 3．（21-22九年级下·吉林长春·开学考试）【感知】已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 李明同学认为：连结BD，取BD的中点O，连结OA、OC来证明，请你按照李明的思路完成证明． 【拓展】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点F是AD中点，点E是边AB上一点，FP⊥CE于点P． （1）如图②，当点P在线段BD上时，PC=_______； （2）如图③，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别为N、M，则MN的最小值为______． 【答案】感知：见解析；拓展：（1）；（2）． 【分析】感知：根据直角三角形斜边上中线的性质可得OA=OB=OC=OD，从而即可证得结论； 拓展：①由感知可得点D、F、P、C四点在同一个圆上，由圆的性质及正方形的性质可得△PCF是等腰直角三角形，从而由勾股定理可得，在Rt△FDC中由勾股定理可求得FC的长，从而可得PC的长； ②取FC的中点O，连接PO、BP、BO，以O为圆心FC长为半径作⊙O，过点O分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、G．由感知得D、F、P、C四点在同一个圆上，则可得，当P点在线段OB上时，BP最短，由矩形性质MN=BP，从而MN最小，MN=OB−OP；由辅助线作法易得四边形OGCH是矩形，则易得OH=CG=4，CH=OG=2，BH=6，由勾股定理可求得OB，则可得MN的最小值． 【详解】感知：∵∠A=∠C=90゜，O是BD的中点 ∴ ， ∴OB=OD=OA=OC 即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上 拓展：①∵四边形ABCD是正方形，BD为正方形的对角线 ∴∠ADP=∠CDP=45゜，∠ADC=90゜，AD=AB=CD=8 ∵FP⊥CE ∴由感知可得点D、F、P、C四点在同一个圆上，如图 ∴∠PFC=∠CDP=45゜，∠PCF=∠ADP=45゜ ∴∠PFC=∠PCF=45゜ ∴PF=PC ∴△PCF是等腰直角三角形，由勾股定理可得 ∵F是AD的中点 ∴ 在Rt△FDC中，由勾股定理得 ∴ 故答案为： ②取FC的中点O，连接PO、BP、BO，以O为圆心FO长为半径作⊙O，过点O分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、G，如图 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC=∠ABC=∠BCD=90゜，AD=AB=CD=BC=8 ∵FP⊥CE ∴由感知可得点D、F、P、C四点在以O为圆心FO为半径的同一个圆上 由①知 ∴ 当P点在线段OB上时，BP+OP最小，且最小值为线段OB的长，从而BP最小，且最小值BP=OB−OP ∵PN⊥AB，PM⊥BC，∠ABC=90゜ ∴四边形PMBN是矩形 ∴MN=BP ∴MN最小，且最小值MN=OB−OP ∵OG⊥CD，∠ADC=90゜ ∴OG∥FD ∴ ∴点G是CD的中点 ∴， ∵OG⊥CD，OH⊥BC，∠BCD=90゜ ∴四边形OGCH是矩形 ∴OH=CG=4，CH=OG=2   ∴BH=BC−CH=8−2=6 在Rt△OBH中，由勾股定理可求得 MN的最小值为 故答案为： 【点睛】本题是四边形与圆的综合，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，两点间线段最短，直角三角形斜边上中线的性质等知识，利用四点在同一个圆上并应用圆的性质是解决本题的难点与关键． 4．（2022·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容． 例4如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CEAB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED． 证明：∵CEAB（已知）， 请根据教材内容，结合图①，补全证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE，线段CE与BA边的延长线交于点F，点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ．求证：四边形APDQ是平行四边形． （2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F，连接EF，经过线段EF中点O任意作一条直线l，作点B关于直线l的对称点P，连接PE、PO、PF，过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q，连接FQ，得到四边形PEQF．则四边形PEQF面积的最大值为______． 【答案】见解析；（1）见解析；（2） 【分析】[教材呈现]证明△ABD≌△ECD，即可得AD=ED； [结论应用] （1）先由由[教材呈现]得CE=FE，可证得QE=PE，从而得出AE=DE，最后得出四边形APDQ是平行四边形； （2）当PQ⊥EF时，四边形PEQF面积的最大，先求出BO的长，再证明四边形PEQF是菱形，再利用菱形的面积公式计算即可 【详解】[教材呈现] ∵CE∥AB， ∴∠BAD=∠CED． ∵D是边BC的中点， ∴BD=CD． ∵∠ADB=∠EDC ∴△ABD≌△ECD（AAS）． ∴AD=ED． [结论应用] （1）连接AC． 在平行四边形ABCD中，AB∥CD． ∵点E是边AD的中点， ∴由[教材呈现]得CE=FE． ∵CP=FQ， ，， ∴QE=PE． ∵点E是边AD的中点， ∴AE=DE． ∴四边形APDQ是平行四边形． （2）∵点B与点P关于直线l的对称， ∴OP=OB=， ∴点P在以点O为圆心，为半径的弧上， ∴当PQ⊥EF时，四边形PEQF面积的最大 如图，连接BO， ∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4， 点E、F分别是AB、CD边的中点， ∴OE=2，BE=1， ∴， ∵QE∥PF， ∴∠OPF=∠OQE， ∵在△OPF和△OQE中， ∴△OPF≌△OQE（AAS）， ∴QE=PF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∵PQ⊥EF， ∴四边形PEQF是菱形， ∴四边形PEQF面积= 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定及性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．（2024·吉林松原·一模）【知识呈现】如图①，在中，是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．求证：； 【结论应用】 （1）如图②，在中，点是边的中点，与的延长线交于点，点、分别在线段、上，且，求证：四边形是平行四边形； （2）如图③，在矩形中，，，分别取、边的中点、，连接，经过线段的中点任意作一条直线，作点关于直线的对称点，连接、、，过点作的平行线交的延长线于点，连接，得到四边形，则四边形面积的最大值为______． 【答案】知识呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2） 【分析】教材呈现：证明，进而得出结论； 结论应用：（1）由教材呈现得：，进而得出，进一步得出结论； （2）根据轴对称性质可得，从而得出点P在以O为圆心，为半径的圆上运动，当的边上的高最大时，四边形的面积最大，当时，四边形的面积最大，进一步得出结果． 【详解】解：教材呈现： 证明：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 结论应用： （1）证明：在中，， ∵点E是边的中点， ∴由教材呈现得：， ∵， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图， 连接作于H， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，的面积最大， ∵， ∴当时，的面积最大， ∵点B与点P关于l对称， ∴直线l是的垂直平分线， ∴， ∴点P在以O为圆心，为半径的圆上运动，作，交于， 当P运动到时，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，确定圆的条件，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是确定点P的运动轨迹． 6．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点停止．在点运动的同时，点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动．当点回到点停止时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)以为边作矩形，使点与点在所在直线的两侧，且． ①当点在边上，且点落在上时，求t的值． ②当点在矩形内部时，直接写出t的取值范围． (3)点在边上，且，在线段上只存在一点，使，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2)①；②当点在矩形内部时，或 (3)的取值范围是或或 【分析】（1）先确定的取值范围，当点与点重合时，解得；当点返回到点时，，则当时，；当时，； （2）①点在边上，且点落在上，可证明，则，于是得，所以； ②分三种情况讨论，一是时，当点在矩形内部时，；二是时，点不在矩形内部；三是时，点在上，则，解得；点与点重合，则，，作于点，可证明，得，则，可知点恰好落在边上，于是可知当点在矩形内部时，； （3）以为直径作，则点在外，再分三种情况讨论，一是时，由点在内或点与点重合，得，则；当与相切于，连接，则，，根据勾股定理得，由，得，则；二是时，与没有公共点，此时不存在符合条件的点；三是时，由点在内或点与点重合，得，则． 【详解】（1）解：点从点出发以每秒2个单位的速度运动， 当点与点重合时，则，解得； 当点返回到点时，则，解得， 当时，， 当时，． （2）解：①点在边上，且点落在上，如图1， 四边形和四边形都是矩形，，， ， ， ， ， ， ， 解得 ②当时，如图1，由①得，当点在矩形内部时，， 当时，如图2，此时点不在矩形内部， 当时，如图3，点在上，则，解得； 如图4，点与点重合，则，， 作于点，则， ， ， ， ， 点恰好落在边上， 当点在矩形内部时，， 综上所述，当点在矩形内部时，或． （3）解：以为直径作，则点在外， 当时，如图5，点在内或点与点重合，则线段上只存在一点，使， ，解得； 如图6，与相切于，此时线段上只存在一点，使， 连接，则，， ，，， ， ， ， ， ， 解得， 当时，如图2，与没有公共点，此时线段上不存在一点，使； 当时，如图7，点在内或点与点重合，则线段上只存在一点，使， ，解得， 综上所述，的取值范围是或或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、直线与圆的位置关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 7．（22-23九年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连接，取的中点O，连接，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，连接，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为______； （2）如图③，过点P分别作于点M，于点N，连接，则的最小值为______． 【答案】问题情境：证明见解析；问题解决：（1）；（2）． 【分析】【问题情境】：连接，取的中点O，连接，由直角三角形斜边中线的性质可得出，即A、B、C、D四点共圆； 【问题解决】：（1）由正方形的性质可求出，结合勾股定理可得，由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，结合圆周角定理可推出，从而得出为等腰直角三角形．再根据其性质和勾股定理即可求解； （2）由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，过点O作于点G，作于点H，连接交于点，连接，由题意可得出四边形为矩形，即得出，说明要求的最小值，即求的最小值即可．由平行线分线段成比例易证点G为的中点，即为的中位线，得出．进而可求出，结合勾股定理可求出，最后根据两点之间线段最短可知，即的最小值为． 【详解】【问题情境】：证明：如图，连接，取的中点O，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆； 【问题解决】：解：（1）∵四边形为正方形，点E是边的中点，， ∴， ∴， 由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，如图， ∴． ∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． 设，则， ∵， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴线段． 故答案为：； （2）由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆， 如图，过点O作于点G，作于点H，连接交于点，连接， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴要求的最小值，即求的最小值， 由（1）知，， ∴． ∵，且点O为的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 在中，， 根据两点之间线段最短得，， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四点共圆、正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质、平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，属于圆的综合题，熟练掌握相关知识是解题关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$