专题07 旋转（5种经典基础练+3种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题07 旋转（5种经典基础练+3种优选提升练） 旋转的性质（共10题） 1．（2023秋•浑江区期末）如图，在中，，，可以由绕点顺时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据旋转的性质得出，，那么为等腰直角三角形，则．再根据直角三角形的两个锐角互求出，那么，那么根据即可求解． 【解答】解：可以由绕点顺时针旋转得到， ， ，， 为等腰直角三角形，则． 中，，， ， ． ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 2．（2023秋•舒兰市期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，点在边上，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据旋转的性质得出，，然后在直角△中利用直角三角形两锐角互余求出． 【解答】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质． 3．（2023秋•丰满区期末）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，若，则旋转角度数为 　　． 【分析】由旋转的性质可得，可得，由三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：， ， 将绕点旋转到的位置， ， ， ， 故答案为：50． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 4．（2023秋•宁江区期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点在线段的延长线上，则的大小是　　度． 【分析】由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得． 【解答】解：由旋转的性质可知：，，， ，， ， ， ， 故答案为：80． 【点评】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键． 5．（2023秋•船营区校级期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到△，再将△绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则旋转角为 　　． 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，进而得出△是等边三角形，即可得出的长以及的度数． 【解答】解：，将沿射线的方向平移，得到△，再将△绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合， ，， △是等边三角形， ， 旋转角的度数为． 故答案为：60． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△是等边三角形是解题关键． 6．（2023秋•龙山区期末）如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，此时点恰好在线段上，若，，则的度数为　 　． 【分析】由旋转的性质得出得出，，再根据，得出是等边三角形，得出，在中由三角形外角性质即可求出的度数． 【解答】解：由旋转的性质得，， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ． 故答案为： 【点评】本题以旋转为背景，主要考查了等边三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．解题时注意，旋转前、后的图形全等，对应边相等，对应角相等，这是解决问题的关键． 7．（2023秋•蛟河市期末）如图，绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，则　 　． 【分析】根据旋转的性质得出，，进而得出的度数，再利用平行四边形的性质得出的度数． 【解答】解：平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点）， ，， ， ． 故答案为：106． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出是解题关键． 8．（2023秋•龙山区期末）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 【分析】根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，进一步由“”可证，可得． 【解答】证明：由旋转可知，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 9．（2023秋•宁江区期末）如图，在中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转到的位置，在的延长线上，若，，求的度数和的长． 【分析】首先由是由绕点旋转得到的，可得：，进而可得：，，，；然后根据，可得：，进而可得为等边三角形，因而有，即可得到答案． 【解答】解：由旋转的性质可得：， ，，，． ， ， 为等边三角形， ， 点、、在一条直线上， ， ， 为等边三角形， ． 【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质，掌握和理解旋转的性质是解题的关键． 10．（2023秋•丰满区期末）如图，等边三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）请判断△的形状 　 　，并写出判断的依据 　　； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据将线段绕点逆时针旋转，得，，故△是等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）； （2）证明△△，可得，从而． 【解答】解：（1）将线段绕点逆时针旋转， ，， △是等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）； 故答案为：等边三角形；有一个角为的等腰三角形是等边三角形； （2）△是等边三角形， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 【点评】本题考查旋转的性质，涉及全等三角形的判定与性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 中心对称图形（共3题） 11．（2023秋•浑江区期末）下列是中心对称但不是轴对称的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：选项、、均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键． 12．（2023秋•宁江区期末）全国各地都在实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； 图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 图既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意； 图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 13．（2023秋•船营区校级期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合，依据定义逐项判断即可． 【解答】解：．本选项属于中心对称图形，但不属于轴对称图形，故本选项符合题意； ．本选项既属于中心对称图形，也属于轴对称图形，故本选项不符合题意； ．本选项不属于中心对称图形，但属于轴对称图形，故本选项不符合题意； ．本选项不属于中心对称图形，但不属于轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握定义是关键． 关于原点对称的点的坐标（共4题） 14．（2023秋•蛟河市期末）点与关于原点对称，则　　 A．3 B． C． D．2 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【解答】解：点与关于原点对称， ，， 解得：，， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 15．（2023秋•通榆县期末）点与点关于原点成中心对称，则的值为　　 A．1 B． C．7 D． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：点与点关于原点成中心对称， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是． 16．（2023秋•伊通县期末）若点与关于原点中心对称，则的值为 　　． 【分析】根据点与关于原点中心对称可得，，进而即可求解． 【解答】解：点与关于原点中心对称， ，， ，， ． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题的关键． 17．（2023秋•东丰县期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　 　． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数． 坐标与图形变化-旋转（共2题） 18．（2023秋•靖宇县期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、、在轴上，经过变换得到．若点的坐标为，，则这种变换可以是　　 A．绕点顺时针旋转，再向下平移3 B．绕点顺时针旋转，再向下平移1 C．绕点逆时针旋转，再向下平移1 D．绕点逆时针旋转，再向下平移3 【分析】观察图形可以看出，通过变换得到，应先旋转然后平移即可． 【解答】解：根据图形可以看出，绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位可以得到． 故选：． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键． 19．（2023秋•梅河口市期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标是 　 　． 【分析】由条件可知点和点关于原点对称，可求得答案． 【解答】解：将绕原点逆时针旋转得到， 点和点关于原点对称， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查坐标与图形变换旋转，掌握旋转的性质是解题的关键． 作图-旋转变换（共7题） 20．（2023秋•龙山区期末）方格纸中，若三角形的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．在如图的方格纸中，画出与成中心对称的格点三角形． 【分析】我们可以将方格纸做中心对称，这样可以清楚的看到中心对称的格点三角形．画出即可． 【解答】解：根据中心对称的性质： 如图． 【点评】使学生对中心对称的认识加深． 21．（2023秋•扶余市期末）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的△； （2）把△绕点按逆时针旋转，在网格中画出旋转后的△． 【分析】（1）把沿方向平移后，点移到点，相当于把先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，利用此平移规律画出、的对应点即可； （2）利用旋转的定义和网格的特点画图． 【解答】解：（1）如图，△为所作； （2）如图，△为所作． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 22．（2023秋•宁江区期末）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． （1）画出将向右平移5个单位长度后的△； （2）再将△绕点顺时针旋转，画出旋转后的△． 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质作出点、、的对应点、、，从而得到△； （2）利用网格特点和旋转的性质作出点、的对应点、，从而得到△． 【解答】解：（1）如图，△为所作； （2）如图，△为所作． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 23．（2023秋•浑江区期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、 （1）将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的△； （2）将△绕点逆时针旋转，画出旋转后的△并直接写出、的坐标； （3）求△的面积． 【分析】（1）由点及其对应点的位置得出平移方向和距离，再将点和点分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得； （2）由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）利用割补法求解可得． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求． （2）如图所示，△即为所求，其中的坐标为、的坐标为； （3）△的面积为． 【点评】本题主要考查作图旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 24．（2023秋•蛟河市期末）如图，在平面直角坐标系中，直角的三个顶点分别是，，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的△； （2）分别连接，后，求四边形的面积． 【分析】（1）利用网格特点，延长到使，延长到使，点的对应点与点重合，则△满足条件； （2）四边形的对角线互相垂直平分，则四边形为菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△为所作， （2）四边形的面积． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 25．（2023秋•双辽市期末）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形（画出一个即可）； （2）将图2中的绕着点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的三角形． 【分析】（1）根据成轴对称图形的概念，分别以边、所在的直线为对称轴作出图形即可； （2）根据网格结构找出点、绕着点按顺时针方向旋转后的对应点的位置，再与点顺次连接即可． 【解答】解：如图所示． 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 26．（2023秋•龙山区期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是点、． （1）若点的坐标是，请在图中画出，并写出点、的坐标． （2）当点落在轴的上方时，试写出一个符合条件的点的坐标． 【分析】（1）绕点逆时针旋转后得到，所以，，，，，，据此在图中画出，并写出点、的坐标即可． （2）根据点落在轴的上方，可得；然后根据，判断出，即可求出一个符合条件的点的坐标是多少． 【解答】解：（1）绕点逆时针旋转后得到， ，，，，，， 在图中表示为： ，， 点的坐标是， ， 点的坐标是． （2）点落在轴的上方， ， 又， ，， ， 一个符合条件的点的坐标是． 【点评】此题主要考查了作图旋转变换问题，解答此题的关键是要熟练掌握旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在 角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 旋转模型之线段问题（共3题） 1．（22-23九年级上·吉林·期末）一副三角板按图1放置，是边的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】交于点N，由题意得，，，，，，根据锐角三角函数即可得，，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，交于点N， 由题意得，，，，，， 根据是边的中点，可得： ∵绕点O顺时针旋转60°，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，   ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度． 2．（2022秋•通榆县期中）（1）如图①，和是等腰直角三角形，，点在上，点在线段的延长线上，连接、．线段与的数量关系为 　 　； （2）如图②，将图①中的绕点顺时针旋转，第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；若不成立，说明理由． （3）如图③，若，点是线段外一动点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，解答下列问题． ①当点落在线段上时，的长为 　　； ②直接写出长度的最大值和最小值． 【分析】（1）利用证明，可得结论； （2）与（1）同理可证明结论成立； （3）①当点落在上时，，由勾股定理得，，即可得出答案； ②过点作，取，连接，，由，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【解答】解：（1）和是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）仍然成立， ， ， ，， ， ； （2）①如图，当点落在上时，， 由勾股定理得，， ， ， 故答案为：7． ②如图，过点作，取，连接，， ， ， ， ， ， ，， 的最大值为，的最小值为． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，构造相似三角形是解决问题的关键． 3．（2022•雁塔区一模）（1）【问题发现】 如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接． 填空： ①线段与的数量关系为 　 　； ②直线与所夹锐角的度数为 　　． （2）【拓展探究】 如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明． （3）【解决问题】 如图③，和都是等腰直角三角形，，，为的中点．若点在直线上运动，连接，则在点的运动过程中，线段长的最小值为 　　（直接写出结果）． 【分析】（1）连接，由正方形的性质可得点、、三点共线，，，从而得出答案； （2）连接，，利用，得，，从而解决问题； （3）连接，利用证明，得，则，可知当时，最小，再利用等腰直角三角形的性质求出答案． 【解答】解：（1）连接， 四边形、是正方形， ， 点、、三点共线， ，， ， 故答案为：，； （2）仍然成立，连接，，延长交于点， ， ，， ， ，， ， （1）中的结论仍然成立； （3）连接， ， ， ，， ， 或， ， 当时，最小， ，为的中点． ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转型相似是解题的关键． 旋转模型之角度问题（共3题） 1．（2023秋•镇赉县期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且．则．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为．如图②，连接，． （1）如图②，请直接写出与的数量关系． （2）将旋转至如图③所示位置时，请判断与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）在旋转的过程中，当的面积最大时，　 　．（直接写出答案即可） 【分析】（1）利用证明，可得结论； （2）设与的交点为，同理利用证明，得，，则； （3）根据边的长是定值，则边上的高最大时，的面积最大，则当点在线段的垂直平分线上时，的面积最大，画出图形即可解决问题． 【解答】解：（1），理由如下： ，， ， 在与中， ， ， ； （2），， 理由如下：设与的交点为， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，； （3）在中，边的长是定值，则边上的高最大时，的面积最大， 当点在线段的垂直平分线上时，的面积最大，如图所示， ，，于， ， ， 即当的面积最大时，旋转角， 故答案为：． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 2．（2022秋•松原期末）已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到△，点、点的对应点分别是点、点． 感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 　　（不需要证明）； 探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 应用：如图③，若，、交于点，则　　度． 【分析】感知：由旋转知，，是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案； 探究：由旋转知，可证明，从而结论不变； 应用：设与相交于点，由，得，则，再利用三角形内角和解决问题． 【解答】解：感知：将绕点逆时针旋转得到△， ， 即， 又，， ， 即， 故答案为：相等； 探究：，证明如下： 将绕点逆时针旋转得到△， ，，， ， ， ； 应用：， ， ， 设与相交于点， ， ， ，， ， ． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 3．（21-22九年级上·吉林四平·期末）已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到， (1)感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是 （不需要证明）； (2)探究：如图②，当不落在AB边上时，AB与是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由； (3)应用：如图③，若，、交于点E，则 度． 【答案】(1)相等； (2)相等；理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据旋转的性质及图中各角之间的数量关系可得，利用等边对等角求解即可得； （2）根据旋转的性质及相似三角形的判定和性质即可证明； （3）根据（2）中结论及各角之间的等量代换可得，设与AE相交于点O，可得，利用等腰直角三角形的性质可得，据此计算即可得． 【详解】（1）感知：∵将绕点B逆时针旋转得到，， ∴，当落在AB边上时， 即， ∵，， ∴， 即， 故答案为：相等； （2）探究：，证明如下： ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）应用：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与AE相交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 旋转模型之面积问题（共5题） 1．（2023•乾安县三模）如图，，，连接，点在边上（点不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，且与的数量关系满足，求的面积； （3）若，连接，试说明的面积是一个定值，并求出该定值． 【分析】（1）利用证明即可； （2）由全等三角形的对应角相等知，得，设，则，，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题； （3）由（1）同理得，，则，证明，过点作于，于，求出． 【解答】（1）证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ，， ； （3）解：当时，和都是等边三角形， 由（1）同理得，， ， ， ， ， ， 过点作于，于， ， ， ， 的面积是一个定值，为． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解决问题（3）的关键． 2．（2021秋•船营区校级期末）感知：如图①，点是等边的边上的一点，以为边在的上方作等边，连接，易证（不用证明）； 探究：如图②，点是的边上的一点，，，以为边在的上方作，使，，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； 应用：在（2）的条件下，当，时，则四边形的面积为 　 　． 【分析】探究：根据手拉手相似模型可得，即可得出与的数量关系． 应用：根据题目条件可得和均为含有角的直角三角形，从而可求出、、、的长度，从而求出四边形的面积． 【解答】解：探究：，， ， ， ， ， ， ， 即． 应用：， ， ， ， ， ， ，，， 四边形为直角梯形，且， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查手拉手相似三角形模型以及含角的直角三角形的性质，属于中等题． 3．（2022秋•二道区月考）问题背景： 如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①　 　；②直线与所夹锐角的度数为 　　． （2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸： 在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为 　　． 【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，，，， ， 如图2，设与交于点，与交于点， 绕点按逆时针方向旋转， ， ， ，， 又， ， 直线与所夹锐角的度数为， 故答案为：，； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图3，设与交于点，与交于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 又， ， ，， 又， ， 直线与所夹锐角的度数为． 拓展延伸：如图4，当点在的上方时，过点作于， ，，点是边的中点，， ，，， ，， ， 、、三点共线， ， ， ， ， 由（2）可得：， ， ， 的面积； 如图5，当点在的下方时，过点作，交的延长线于， 同理可求：的面积； 故答案为：或． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 4．（21-22九年级上·吉林通化·期末）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，，则______，四边形的面积＝______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)； 【分析】（1）由旋转的性质得，从而得到，即可证明结论； （2）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明； （3）如图，过点作于，由（1）得，，在中，由勾股定理得，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用可得出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转得，，， ∴， 由（1）得，， 在中，， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积： ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质等知识．证明是解题的关键． 5．（22-23九年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 猜想 如图23.4.2.在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想： DE∥BC，且DE=1/2BC． 对此，我们可以用演译推理给出证明。 【定理应用】 (1)如图1，点D、E、F分别是三边中点，若的周长为10，则的周长是______； (2)如图2，、是的中线，，点M、N分别是和的中点，若，那么的长为______； (3)如图3，在矩形中，将线段绕点B旋转一定的角度，得到线段，连结，点H，G分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为______． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线定理，进行求解即可； （2）取的中点，连接，利用三角形的中位线定理以及勾股定理，进行求解即可； （3）根据三角形的中位线定理，得到为定值，只要边上的高最大时，的面积最大，即为高时，面积最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点D、E、F分别是三边中点， ∴， ∴的周长； 故答案为：； （2）解：如图：取的中点，连接， ∵点M、N分别是和的中点， ∴， ∵，、是的中线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点H，G分别是和的中点， ∴， ∵的面积等于乘以上的高， ∴当上的高最大时，的面积最大， ∵上的高， ∴当时，的面积最大， 如图，当绕点旋转时，此时：， 此时：， ∴的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质．熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 旋转（5种经典基础练+3种优选提升练） 旋转的性质（共10题） 1．（2023秋•浑江区期末）如图，在中，，，可以由绕点顺时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•舒兰市期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，点在边上，则的大小为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•丰满区期末）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，若，则旋转角度数为 　　． 4．（2023秋•宁江区期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点在线段的延长线上，则的大小是　　度． 5．（2023秋•船营区校级期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到△，再将△绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则旋转角为 　　． 6．（2023秋•龙山区期末）如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，此时点恰好在线段上，若，，则的度数为　 　． 7．（2023秋•蛟河市期末）如图，绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，则　 　． 8．（2023秋•龙山区期末）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 9．（2023秋•宁江区期末）如图，在中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转到的位置，在的延长线上，若，，求的度数和的长． 10．（2023秋•丰满区期末）如图，等边三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）请判断△的形状 　 　，并写出判断的依据 　　； （2）若，求的度数． 中心对称图形（共3题） 11．（2023秋•浑江区期末）下列是中心对称但不是轴对称的图形是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•宁江区期末）全国各地都在实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•船营区校级期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 关于原点对称的点的坐标（共4题） 14．（2023秋•蛟河市期末）点与关于原点对称，则　　 A．3 B． C． D．2 15．（2023秋•通榆县期末）点与点关于原点成中心对称，则的值为　　 A．1 B． C．7 D． 16．（2023秋•伊通县期末）若点与关于原点中心对称，则的值为 　　． 17．（2023秋•东丰县期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　 　． 坐标与图形变化-旋转（共2题） 18．（2023秋•靖宇县期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、、在轴上，经过变换得到．若点的坐标为，，则这种变换可以是　　 A．绕点顺时针旋转，再向下平移3 B．绕点顺时针旋转，再向下平移1 C．绕点逆时针旋转，再向下平移1 D．绕点逆时针旋转，再向下平移3 19．（2023秋•梅河口市期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标是 　 　． 作图-旋转变换（共7题） 20．（2023秋•龙山区期末）方格纸中，若三角形的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．在如图的方格纸中，画出与成中心对称的格点三角形． 21．（2023秋•扶余市期末）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的△； （2）把△绕点按逆时针旋转，在网格中画出旋转后的△． 22．（2023秋•宁江区期末）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． （1）画出将向右平移5个单位长度后的△； （2）再将△绕点顺时针旋转，画出旋转后的△． 23．（2023秋•浑江区期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、 （1）将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的△； （2）将△绕点逆时针旋转，画出旋转后的△并直接写出、的坐标； （3）求△的面积． 24．（2023秋•蛟河市期末）如图，在平面直角坐标系中，直角的三个顶点分别是，，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的△； （2）分别连接，后，求四边形的面积． 25．（2023秋•双辽市期末）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形（画出一个即可）； （2）将图2中的绕着点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的三角形． 26．（2023秋•龙山区期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是点、． （1）若点的坐标是，请在图中画出，并写出点、的坐标． （2）当点落在轴的上方时，试写出一个符合条件的点的坐标． 旋转模型之线段问题（共3题） 1．（22-23九年级上·吉林·期末）一副三角板按图1放置，是边的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是 ． 2．（2022秋•通榆县期中）（1）如图①，和是等腰直角三角形，，点在上，点在线段的延长线上，连接、．线段与的数量关系为 　 　； （2）如图②，将图①中的绕点顺时针旋转，第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；若不成立，说明理由． （3）如图③，若，点是线段外一动点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，解答下列问题． ①当点落在线段上时，的长为 　　； ②直接写出长度的最大值和最小值． 3．（2022•雁塔区一模）（1）【问题发现】 如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接． 填空： ①线段与的数量关系为 　 　； ②直线与所夹锐角的度数为 　　． （2）【拓展探究】 如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明． （3）【解决问题】 如图③，和都是等腰直角三角形，，，为的中点．若点在直线上运动，连接，则在点的运动过程中，线段长的最小值为 　　（直接写出结果）． 旋转模型之角度问题（共3题） 1．（2023秋•镇赉县期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且．则．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为．如图②，连接，． （1）如图②，请直接写出与的数量关系． （2）将旋转至如图③所示位置时，请判断与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）在旋转的过程中，当的面积最大时，　 　．（直接写出答案即可） 2．（2022秋•松原期末）已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到△，点、点的对应点分别是点、点． 感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 　　（不需要证明）； 探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 应用：如图③，若，、交于点，则　　度． 3．（21-22九年级上·吉林四平·期末）已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到， (1)感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是 （不需要证明）； (2)探究：如图②，当不落在AB边上时，AB与是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由； (3)应用：如图③，若，、交于点E，则 度． 旋转模型之面积问题（共5题） 1．（2023•乾安县三模）如图，，，连接，点在边上（点不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，且与的数量关系满足，求的面积； （3）若，连接，试说明的面积是一个定值，并求出该定值． 2．（2021秋•船营区校级期末）感知：如图①，点是等边的边上的一点，以为边在的上方作等边，连接，易证（不用证明）； 探究：如图②，点是的边上的一点，，，以为边在的上方作，使，，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； 应用：在（2）的条件下，当，时，则四边形的面积为 　 　． 3．（2022秋•二道区月考）问题背景： 如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①　 　；②直线与所夹锐角的度数为 　　． （2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸： 在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为 　　． 4．（21-22九年级上·吉林通化·期末）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，，则______，四边形的面积＝______． 5．（22-23九年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 猜想 如图23.4.2.在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想： DE∥BC，且DE=1/2BC． 对此，我们可以用演译推理给出证明。 【定理应用】 (1)如图1，点D、E、F分别是三边中点，若的周长为10，则的周长是______； (2)如图2，、是的中线，，点M、N分别是和的中点，若，那么的长为______； (3)如图3，在矩形中，将线段绕点B旋转一定的角度，得到线段，连结，点H，G分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为______． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$