专题03 实数（考题猜想，易错必刷53题15种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

专题3 实数（考题猜想易错必刷53题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根的概念 · 平方根的计算 · 算术平方根的非负性 · 立方根的概念与计算 · 平方根与立方根的应用 · 无理数与实数的概念 · 实数的分类 · 实数与数轴 · 实数的大小比较 · 无理数的估算 · 无理数的整数与小数部分 · 实数的混合运算 · 实数的程序运算 · 新定义实数的计算题 · 实数运算的规律性问题 一．平方根的概念（共3小题） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）在0，，，，中，有平方根的数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 二、平方根的计算（共4小题） 4．（24-25八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 5．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广东东莞·期中）在下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南周口·期中）计算： ． 三、算术平方根的非负性（共5小题） 8．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根 ． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·北京·期中）若实数a、b满足，则 ． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知，则的立方的平方根是 ． 四、立方根的概念与计算（共3小题） 13．（22-23七年级下·全国·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是2 B．9的算术平方根是3 C．是27的立方根 D．0无立方根 14．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）立方根等于它本身的有（    ） A．，， B．， C．， D． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是 ． 五、平方根与立方根的应用（共5小题） 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 18．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为_____； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为_____，边长为_____； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点与1重合，则点在数轴上所表示的数为_____． 20．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 六、实数与无理数的概念（共3小题） 21．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 22．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 23．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 七、实数的分类（共4小题） 24．（22-23八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）下列实数，，2，，其中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 27．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）将下列各数填入相应的括号内： ，，，，，， 正数集合：｛                            …｝； 有理数集合：｛                            …｝； 负数集合：｛                            …｝； 无理数集合：｛                            …｝． 八、实数与数轴（共4小题） 28．（24-25七年级上·北京·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，是实数，且，，，则用数轴上的点来表示，，正确的是（） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 31．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是 ，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ． 九、实数的大小比较（共3小题） 32．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）下面各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数表示在数轴上（近似位置即可），并按从小到大的顺序用“”连接． 34．（24-25七年级上·浙江金华·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“”号把它们连接起来． 4，，，0，（标出大致位置即可） 十、无理数的估算（共3小题） 35．（24-25八年级上·全国·期中）在与 之间共有（     ）个整数 A．3 B．4 C．5 D．6 36．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）的大小在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 37．（24-25八年级上·重庆万州·期中）估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 十一、无理数的整数与小数部分（共4小题） 38．（24-25七年级上·浙江温州·期中）的整数部分是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 40．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 41．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 十二、实数的混合运算（共3小题） 42．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算 (1) (2) 43．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：． 44．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 十三、实数的程序运算（共3小题） 45．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 46．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 十四、新定义实数的计算题（共3小题） 48．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 49．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 50．（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 十五、实数运算的规律性问题（共3小题） 51．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料并解决问题： 求的值． 令，等式两边同时乘2，则， 两式相减得，所以． 依据以上计算方法，计算 ． 52．（23-24七年级上·云南普洱·期末）阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得，即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)请计算出的值． 53．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． $$专题3 实数（考题猜想易错必刷53题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根的概念 · 平方根的计算 · 算术平方根的非负性 · 立方根的概念与计算 · 平方根与立方根的应用 · 无理数与实数的概念 · 实数的分类 · 实数与数轴 · 实数的大小比较 · 无理数的估算 · 无理数的整数与小数部分 · 实数的混合运算 · 实数的程序运算 · 新定义实数的计算题 · 实数运算的规律性问题 一．平方根的概念（共3小题） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）在0，，，，中，有平方根的数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，乘方，平方根的意义．熟练掌握平方根的意义是解题的关键．根据非负数有平方根，判定非负数的个数即可． 【详解】解：，，， 非负数有平方根，而0，，，，中，非负数有0，，共3个， 故选C． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意； 因为的算术平方根是2，所以B不符合题意； 因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是，所以C不符合题意； 因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意； 故选：D． 二、平方根的计算（共4小题） 4．（24-25八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义，先化简，再根据算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根等于． 故选：C． 5．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根概念，首先根据算术平方根的定义求出的结果，然后利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 6．（23-24七年级下·广东东莞·期中）在下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解决此题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级上·河南周口·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一个数的算术平方根的定义进行化简，熟练掌握知识点是解题的关键．根据的算术平方根是，进行解答即可． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴． 故答案为：． 三、算术平方根的非负性（共5小题） 8．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可求x、y的值，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5； 故答案为5． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解： ， ，， 解得：，， 则， 故答案为：16． 10．（24-25八年级上·北京·期中）若实数a、b满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，解得，， ∴． 故答案为：1． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知，则的立方的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根、平方根、非负数的性质，根据当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0，求得，，再求的立方的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴的立方， ∴的立方的平方根是． 故答案为：． 四、立方根的概念与计算（共3小题） 13．（22-23七年级下·全国·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是2 B．9的算术平方根是3 C．是27的立方根 D．0无立方根 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、平方根以及立方根，掌握相关概念是解题关键，根据算术平方根、平方根以及立方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，4的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、9的算术平方根是，原说法正确，符合题意； C、3是27的立方根，原说法错误，不符合题意； D、0的立方根是0，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 14．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）立方根等于它本身的有（    ） A．，， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的立方根为； 的立方根为； 的立方根为； ∴立方根等于本身的数有，，， 故选：． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是 ． 【答案】1或0 【分析】本题考查算术平方根，立方根，根据算术平方根和立方根的性质，进行求解即可． 【详解】解：算术平方根等于本身的数有，立方根等于本身的有 ∴的算术平方根等于它的立方根， 故答案为：1或0． 五、平方根与立方根的应用（共5小题） 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该木板边长为，根据题意可得，根据x为正数，得出x的值． 【详解】解：设该木板边长为， 根据题意可得， ∵， ∴， ∵x为正数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方根的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用正方形的面积和体积公式求出a，b的值，然后再代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵边长为a的正方形面积为256， ∴， ∵， ∴， ∵棱长为b的正方体体积为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 18．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为_____； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为_____，边长为_____； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点与1重合，则点在数轴上所表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为6 (2)阴影面积为18，边长为 (3)点表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根，算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）解：棱长为， 每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是， 魔方的一面四个小正方形的面积为， ； 阴影部分的面积为，边长为； （3）解： 正方形的边长为， 点与重合， 点在数轴上表示的数为． 20．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 六、实数与无理数的概念（共3小题） 21．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 22．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是有理数，不符合题意； B．3.1415是有限小数，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是分数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 23．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，绝对值，实数的分类，近似数，实数和数轴的知识点，根据这些知识点注意判断即可． 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 七、实数的分类（共4小题） 24．（22-23八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中， 是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1）， ∴无理数的个数是4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键． 25．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）下列实数，，2，，其中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．无限不循环小数是无理数．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】在，，2，中，无理数有，， 共2个． 故答案为：B． 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 【答案】整数：①④；负分数：②⑥⑦；无理数：③⑤⑧． 【分析】本题考查实数的分类、绝对值及乘方的计算．先计算乘方，绝对值，再根据整数包括负整数、和正整数；负分数为小于的分数；无理数是无限不循环小数，作答即可．熟练掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：，， 整数集合：{①④…}； 负分数集合：{②⑥⑦…}； 无理数集合：{③⑤⑧…}； 27．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）将下列各数填入相应的括号内： ，，，，，， 正数集合：｛                            …｝； 有理数集合：｛                            …｝； 负数集合：｛                            …｝； 无理数集合：｛                            …｝． 【答案】答案见详解 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数分为有理数和无理数，熟练掌握实数的性质是解本题的关键．根据实数的分类，有理数与无理数统称实数，实数还可分为：正实数，，负实数，从而可求出答案． 【详解】正数集合：， 有理数集合：， 负数集合：， 无理数集合：． 八、实数与数轴（共4小题） 28．（24-25七年级上·北京·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则． 根据数轴得，且，再根据实数的加法法则依次判断即可． 【详解】解∶由数轴知∶ ，且， ∴，， 故选∶D． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，是实数，且，，，则用数轴上的点来表示，，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴的知识，解答本题的关键是理解数轴上各点的大小关系，掌握原点左边的数小于0，原点右边的数大于0．根据绝对值的定义和数轴的定义解答此题即可． 【详解】解：，， ，， ， 到原点的距离大于到原点的距离， 故选：C． 30．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算法则得到的范围，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴在数轴上表示的点可能是点， 故选：C． 31．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是 ，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，求得的长是解题的关键．根据网格的特点求得对应的数为1，求得正方形的面积为，进而求得的长度，根据题意，可得点对应的无理数． 【详解】解：依题意，每一方格的边长为个单位． ∴对应的数是， ∵四边形的面积等于4个小正方形的面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴， ∴正方形的边长为， 以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点， ∴， ∴点对应的无理数是． 故答案为：． 九、实数的大小比较（共3小题） 32．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）下面各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：∵，， ∴最小， 故选：B． 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数表示在数轴上（近似位置即可），并按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查数轴、实数的大小比较、化简绝对值． 先在数轴上表示各个数，再比较即可． 【详解】解：， 各数表示在数轴上（近似位置即可）如下： ∴ 34．（24-25七年级上·浙江金华·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“”号把它们连接起来． 4，，，0，（标出大致位置即可） 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查数轴，绝对值与实数大小的比较，利用在数轴上右边的数总是大于左边的数即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， 各数在数轴上表示如下： 由数轴可得：． 十、无理数的估算（共3小题） 35．（24-25八年级上·全国·期中）在与 之间共有（     ）个整数 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算与 分别在哪两个整数之间的范围，再结合范围即可解答． 【详解】解： ，， 在与 之间的整数有，共4个． 故选：B． 36．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）的大小在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握解答的方法是解题关键．根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】， ， 即， 故选：D． 37．（24-25八年级上·重庆万州·期中）估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， 估计的值应在6和7之间， 故选：D． 十一、无理数的整数与小数部分（共4小题） 38．（24-25七年级上·浙江温州·期中）的整数部分是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数整数部分的计算，理解无理数整数部分的计算方法是解答关键． 根据得到求出的整数部分，进而求出的整数部分． 【详解】解：， ， ， 的整数部分为2， 的整数部分为． 故选：B． 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．先通过估算确定M、N的值，再求的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴a的整数值为：，0，1，2，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴9的平方根是，即的平方根为； 故答案为：． 40．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的值，根据无理数的估算的值，然后求得的值即可； （）把，，的代入，然后根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∴，，， （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴的平方根为． 41．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键． （1）估算出，，即可得解； （2）估算出，求出，，从而得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是， ∴，即， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴． 十二、实数的混合运算（共3小题） 42．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟知算术平方根和立方根的意义是正确解决本题的关键． 根据算术平方根和立方根的意义、乘方的运算法则求解即可． （1）先算乘方，化简绝对值，求算术平方根，再算加减即可； （2）先算乘方，求算术平方根，立方根再计算即可． 【详解】（1）解：；      （2）解：．    ． 43．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．先计算算术平方根和立方根，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】 44．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）按照混合运算法则，先算乘除，后算加减即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 十三、实数的程序运算（共3小题） 45．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 46．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 十四、新定义实数的计算题（共3小题） 48．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 49．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数计算，绝对值和完全平方非负性等． （1）根据题意展开计算即可； （2）根据题意先利用非负性求出，再利用题意展开计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：22； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ． 50．（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足，理由见解析 (3)5或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． 十五、实数运算的规律性问题（共3小题） 51．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料并解决问题： 求的值． 令，等式两边同时乘2，则， 两式相减得，所以． 依据以上计算方法，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数计算中的规律，读懂阅读材料并知晓等式两边同乘的是幂的底数是解题的关键．根据阅读材料，可令，再利用等式的性质即可解题． 【详解】解：由题意知，令， 等式两边同时乘以，得 两式相减，得 故答案为：． 52．（23-24七年级上·云南普洱·期末）阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得，即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)请计算出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了阅读学习，正确读懂新方法是解题的关键． (1)根据规律，当时，计算即可． (2)仿照阅读的新方法，计算即可． (3)仿照阅读的新方法，计算即可． 【详解】（1）根据题意，得， 当时， ， 故答案为：15． （2）设①， 把等式①两边同时乘以5，得：② 由，得：， ， ． （3）设①， 把等式①两边同时乘以10， 得：② 由得：， 故． 53．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律题． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可. （2）①两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；②总结规律即可． （3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）① 故答案为：． ② 故答案为：． （3） $$